1、2019 年辽宁省本溪市中考数学试卷一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）下列各数是正数的是（ ）A0 B5 C D2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D3 （3 分）下列计算正确的是（ ）Ax 7xx 7 B （3x 2） 29x 4Cx 3x32x 6 D （x 3） 2 x64 （3 分）2019 年 6 月 8 日，全国铁路发送旅客约 9560000 次，将数据 9560000 科学记数法表示为（ ）A9.56
2、10 6 B95.610 5 C0.95610 7 D95610 45 （3 分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（）的统计结果：县（区） 平山区 明山区 溪湖区 南芬区 高新区 本溪县 恒仁县气温（） 26 26 25 25 25 23 22则该日最高气温（）的众数和中位数分别是（ ）A25，25 B25，26 C25，23 D24，256 （3 分）不等式组 的解集是（ ）Ax3 Bx4 Cx3 D3x 47 （3 分）如图所示，该几何体的左视图是（ ）第 2 页（共 32 页）A BC D8 （3 分）下列事件属于必然事件的是（ ）A
3、打开电视，正在播出系列专题片 “航拍中国”B若原命题成立，则它的逆命题一定成立C一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小D在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数9 （3 分）为推进垃圾分类，推动绿色发展某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类用 360 万元购买甲型机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为 140 万元若设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）A B C + 140 D 14010 （3 分）如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，CAAB，PDAC 于点 D，连接AP，设 APx，PA
4、PDy，则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ）第 3 页（共 32 页）ABCD二、填空题（本題共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11 （3 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 12 （3 分）函数 y5x 的图象经过的象限是 13 （3 分）如果关于 x 的一元二次方程 x24x +k0 有实数根，那么 k 的取值范围是 14 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A（4，2） ，B（5，0） ，以点 O为位似中心，相似比为 ，把ABO 缩小
5、，得到A 1B1O，则点 A 的对应点 A1 的坐标为 15 （3 分）如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使BE BF；分别以 E，F 为圆心，以大于 EF 的长为半径作弧，两弧在 ABD 内交于点G，作射线 BG 交 AD 于点 P，若 AP3，则点 P 到 BD 的距离为 第 4 页（共 32 页）16 （3 分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD 内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为 17 （3 分）如图，在平
6、面直角坐标系中，等边OAB 和菱形 OCDE 的边 OA，OE 都在 x轴上，点 C 在 OB 边上，S ABD ，反比例函数 y （x0）的图象经过点 B，则k 的值为 18 （3 分）如图，点 B1 在直线 l：y x 上，点 B1 的横坐标为 2，过 B1 作 B1A1l，交 x轴于点 A1，以 A1B1 为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1 交 x 轴于点 A2；以 A2B2为边，向右作正方形 A2B2B3C2，延长 B3C2 交 x 轴于点 A3；以 A3B3 为边，向右作正方形 A3B3B4C3 延长 B4C3 交 x 轴于点 A4；按照
7、这个规律进行下去，点 n 的横坐标为 （结果用含正整数 n 的代数式表示）第 5 页（共 32 页）三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，共 22 分）19 （10 分）先化简，再求值（ ） ，其中 a 满足 a2+3a2020 （12 分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A机器人，B围棋，C羽毛球，D电影配音每人只能加入一个社团为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中 A 所占扇形的圆心角为 36根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的
8、学生共有 人；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有 1000 学生加入了社团，请你估计这 1000 名学生中有多少人参加了羽毛球社团；（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率四、解答题（第 21 题 12 分，第 22 题 12 分，共 24 分）21 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADCD，B45，延长 CD 到点第 6 页（共 32 页）E，使 DEDA，连接 AE（1）求证：AEBC；（2）若 AB3，CD1，求四边形
9、ABCE 的面积22 （12 分）小李要外出参加“建国 70 周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图，分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长 BC，拉杆 AB 的长度都相等，B，F 在 AC 上，C 在 DE 上，支杆DF30 cm，CE：CD1： 3，DCF45，CDF30，请根据以上信息，解决下列向题（1）求 AC 的长度（结果保留根号） ；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离（结果保留根号） 五、解答题（满分 12 分）23 （12 分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（
10、元）与一次性批发量 x（件） （x 为正整数）之间满足如图所示的函数关系（1）直接写出 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）若一次性批发量不超过 60 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？第 7 页（共 32 页）六、解答题（满分 12 分）24 （12 分）如图，点 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，连接 BP 并延长交 CD 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，O 是DEF 的外接圆，连接 DP（1）求证：DP 是O 的切线；（2）若 tanPDC ，正方形 ABCD 的边长为 4，求O 的半径和线段 OP 的长七、解
11、答题（满分 12 分）25 （12 分）在 RtABC 中，BCA90，AABC，D 是 AC 边上一点，且DADB，O 是 AB 的中点，CE 是BCD 的中线（1）如图 a，连接 OC，请直接写出OCE 和OAC 的数量关系： ；（2）点 M 是射线 EC 上的一个动点，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得射线 ON，使MONADB，ON 与射线 CA 交于点 N如图 b，猜想并证明线段 OM 和线段 ON 之间的数量关系；若 BAC30，BCm，当AON15时，请直接写出线段 ME 的长度（用含m 的代数式表示） 第 8 页（共 32 页）八、解答题（满分 1
12、4 分）26 （14 分）抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1， 0） ，B （5，0）两点，顶点为C，对称轴交 x 轴于点 D，点 P 为抛物线对称轴 CD 上的一动点（点 P 不与 C，D 重合）过点 C 作直线 PB 的垂线交 PB 于点 E，交 x 轴于点 F（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF 的面积为 5 时，求点 P 的坐标；（3）当PCF 为等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标第 9 页（共 32 页）2019 年辽宁省本溪市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
13、要求的）1 （3 分）下列各数是正数的是（ ）A0 B5 C D【分析】此题利用正数和负数的概念即可解答【解答】解：0 既不是正数，也不是负数；5 是正数； 和 都是负数故选：B【点评】此题考查正数和负数的概念大于 0 的数是正数，正数前面加上“”的数是负数数 0 既不是正数，也不是负数2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故
14、本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意故选：B【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形第 10 页（共 32 页）3 （3 分）下列计算正确的是（ ）Ax 7xx 7 B （3x 2） 29x 4Cx 3x32x 6 D （x 3） 2 x6【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案【解答】解：A
15、、x 7xx 6，故此选项错误；B、 （3x 2） 2 9x4，故此选项错误；C、x 3x3x 6，故此选项错误；D、 （x 3） 2x 6，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键4 （3 分）2019 年 6 月 8 日，全国铁路发送旅客约 9560000 次，将数据 9560000 科学记数法表示为（ ）A9.5610 6 B95.610 5 C0.95610 7 D95610 4【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点
16、移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将数据 9560000 科学记数法表示为 9.56106故选：A【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5 （3 分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（）的统计结果：县（区） 平山区 明山区 溪湖区 南芬区 高新区 本溪县 恒仁县气温（） 26 26 25 25 25 23 22则该日最高气温（）的众数和中位数分别是（ ）A25，25
17、B25，26 C25，23 D24，25【分析】根据众数和中位数的概念求解即可【解答】解：在这 7 个数中，25（）出现了 3 次，出现的次数最多，该日最高气温（）的众数是 25；第 11 页（共 32 页）把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是 25，则中位数为：25；故选：A【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数6 （3 分）不等式组 的解集是（ ）Ax
18、3 Bx4 Cx3 D3x 4【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可【解答】解： ，由得： x3，由得： x4，则不等式组的解集为 3x4，故选：D【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键7 （3 分）如图所示，该几何体的左视图是（ ）A BC D第 12 页（共 32 页）【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图8 （3 分）下列事件属于必然事件的是（ ）A打开电视，正在播出系列专
19、题片 “航拍中国”B若原命题成立，则它的逆命题一定成立C一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小D在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案【解答】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” ，是随机事件，不合题意；B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；故选：C【点评】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键9 （3 分）为推进垃圾分类，推动绿
20、色发展某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类用 360 万元购买甲型机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为 140 万元若设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）A B C + 140 D 140【分析】设甲种型号机器人每台的价格是 x 万元，根据“用 360 万元购买甲型机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同” ，列出关于 x 的分式方程【解答】解：设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，可得： ，故选：A【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键正确找出等量关系，列出分式方程第 13 页（共 32 页
21、）10 （3 分）如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，CAAB，PDAC 于点 D，连接AP，设 APx，PA PDy，则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ）ABCD【分析】设圆的半径为 R，连接 PB，则 sinABP ，则 PDAPsinx x2，即可求解【解答】设：圆的半径为 R，连接 PB，则 sinABP ，CAAB，即 AC 是圆的切线，则PDAPBA ，第 14 页（共 32 页）则 PDAPsin x x2，则 yPAPD x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C【点评】本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质、二次函
22、数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式二、填空题（本題共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11 （3 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 x2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x20，再解即可【解答】解：由题意得：x20，解得：x2，故答案为：x2【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数12 （3 分）函数 y5x 的图象经过的象限是 一、三 【分析】利用这个比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即可【解答】解：函数 y5x 的图象经过一三象限，故答案为：一、三【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例
23、函数 ykx （k0） ，k0 时，图象在一三象限，呈上升趋势，当 k0 时，图象在二四象限，呈下降趋势13 （3 分）如果关于 x 的一元二次方程 x24x +k0 有实数根，那么 k 的取值范围是 k4 【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得到 k 的范围【解答】解：根据题意得：164k0，解得：k4故答案为：k4【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于 0，方程没有第 15 页（共 32 页）实数根14 （3 分）在平
24、面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A（4，2） ，B（5，0） ，以点 O为位似中心，相似比为 ，把ABO 缩小，得到A 1B1O，则点 A 的对应点 A1 的坐标为 （2，1）或（2，1） 【分析】根据位似变换的性质计算即可【解答】解：以点 O 为位似中心，相似比为 ，把ABO 缩小，点 A 的坐标是A（4，2） ，则点 A 的对应点 A1 的坐标为（4 ，2 ）或（4 ，2 ） ，即（2，1）或（2，1） ，故答案为：（2，1）或（2，1） 【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或
25、k15 （3 分）如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使BE BF；分别以 E，F 为圆心，以大于 EF 的长为半径作弧，两弧在 ABD 内交于点G，作射线 BG 交 AD 于点 P，若 AP3，则点 P 到 BD 的距离为 3 【分析】首先结合作图的过程确定 BP 是ABD 的平分线，然后根据角平分线的性质求得点 P 到 BD 的距离即可【解答】解：结合作图的过程知：BP 平分ABD，A90，AP 3，点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为 3，故答案为：3【点评】考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图
26、形确定 BP 平分ABD第 16 页（共 32 页）16 （3 分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD 内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为 【分析】如图所示，AD 与直线的交点为 E，AB 与直线的交点为 F，分别求出 AE、AF所占边长的比例即可解答【解答】解：如图所示，AD 与直线的交点为 E，AB 与直线的交点为 F，根据题意可知 ，根据相似三角形的性质可得 ， AB， ，小球停留在阴影区域的概率为：1 故答案为：【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比17 （3 分）如图，在平
27、面直角坐标系中，等边OAB 和菱形 OCDE 的边 OA，OE 都在 x轴上，点 C 在 OB 边上，S ABD ，反比例函数 y （x0）的图象经过点 B，则k 的值为 第 17 页（共 32 页）【分析】连接 OD，由OAB 是等边三角形，得到AOB60，根据平行线的性质得到DEO AOB60，推出DEO 是等边三角形，得到DOEBAO60，得到 ODAB，求得 SBDO S AOD ，推出 SAOB S ABD ，过 B 作 BHOA 于H，由等边三角形的性质得到 OHAH ，求得 SOBH ，于是得到结论【解答】解：连接 OD，OAB 是等边三角形，AOB60
28、，四边形 OCDE 是菱形，DEOB ，DEO AOB60，DEO 是等边三角形，DOE BAO60，ODAB，S BDO S AOD ，S 四边形 ABDOS ADO +SABD S BDO +SAOB ，S AOB S ABD ，过 B 作 BHOA 于 H，OHAH ，S OBH ，反比例函数 y （x 0）的图象经过点 B，k 的值为 ，故答案为： 第 18 页（共 32 页）【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，等边三角形的性质，菱形的性质，同底等高的三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键18 （3 分）如图，点 B1 在直线 l：y x 上，点 B1 的横坐标为 2
29、，过 B1 作 B1A1l，交 x轴于点 A1，以 A1B1 为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1 交 x 轴于点 A2；以 A2B2为边，向右作正方形 A2B2B3C2，延长 B3C2 交 x 轴于点 A3；以 A3B3 为边，向右作正方形 A3B3B4C3 延长 B4C3 交 x 轴于点 A4；按照这个规律进行下去，点 n 的横坐标为 （结果用含正整数 n 的代数式表示）【分析】根据点 B1 的横坐标为 2，在直线 l：y x 上，可求出点 B1 的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 1：2，然后依次利用相似三角形的性质计算出 C1、C 2、C
30、3、C 4的横坐标，根据规律得出答案【解答】解：过点 B1、C 1、 C2、C 3、C 4 分别作 B1Dx 轴，C 1D1x 轴，C2D2x 轴，C3D3x 轴，C 4D4x 轴，垂足分别为 D、D 1、D 2、D 3、D 4点 B1 在直线 l：y x 上，点 B1 的横坐标为 2，点 B1 的纵坐标为 1，即：OD2，B 1D1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 1：2，第 19 页（共 32 页）点 C1 的横坐标为：2+ +（ ） 0，点 C2 的横坐标为：2+ +（ ） 0+（ ） 0 +（ ） 1 +（ ） 0 +（ ） 1点 C3 的横坐标为：2+ +（ ） 0+
31、（ ） 0 +（ ） 1+（ ） 1 +（ ）2 +（ ） 0 +（ ） 1 +（ ） 2点 C4 的横坐标为： +（ ） 0 +（ ） 1 +（ ） 2 +（ ） 3点 n 的横坐标为： +（ ） 0 +（ ） 1 +（ ） 2 +（ ） 3 +（ ） 4+（ ） n1 + （ ） 0+（ ） 1+（ ） 2+（ ） 3+（ ） 4+（ ） n1故答案为：【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质、在计算探索的过程中发现规律，得出一般性的结论三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，共 22 分）19 （10 分）先化简，再求值（ ） ，其中 a 满足 a2+
32、3a20【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据 a2+3a20，可以求得所求式子的值第 20 页（共 32 页）【解答】解：（ ） （ ） ，a 2+3a20，a 2+3a2，原式 1【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法20 （12 分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A机器人，B围棋，C羽毛球，D电影配音每人只能加入一个社团为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中 A 所占扇形的圆心角为 36根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的
33、学生共有 200 人；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校共有 1000 学生加入了社团，请你估计这 1000 名学生中有多少人参加了羽毛球社团；（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四第 21 页（共 32 页）人中任选两名参加机器人大赛用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率【分析】 （1）由 A 类有 20 人，所占扇形的圆心角为 36，即可求得这次被调查的学生数；（2）首先求得 C 项目对应人数，即可补全统计图；（3）该校 1000 学生数参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有
34、等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）A 类有 20 人，所占扇形的圆心角为 36，这次被调查的学生共有：20 200（人） ；故答案为：200；（2）C 项目对应人数为：200 20804060（人） ；补充如图（3）1000 300（人）答：这 1000 名学生中有 300 人参加了羽毛球社团；（4）画树状图得：共有 12 种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种，P（选中甲、乙） 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图注意概率所求第 22 页（共 32 页）情况数与总情况数之比四、解答题（第 21 题 12
35、 分，第 22 题 12 分，共 24 分）21 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ADCD，B45，延长 CD 到点E，使 DEDA，连接 AE（1）求证：AEBC；（2）若 AB3，CD1，求四边形 ABCE 的面积【分析】 （1）通过证明四边形 ABCE 是平行四边形，可得结论；（2）由平行四边形的性质可求 DEAD 2，即可求四边形 ABCE 的面积【解答】证明：（1）ABCD，B45C+B180 C135DEDA ，ADCDE45E+C 180 AEBC，且 ABCD四边形 ABCE 是平行四边形AEBC（2）四边形 ABCE 是平行四边形ABCE3ADDE ABC
36、D2四边形 ABCE 的面积326【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键22 （12 分）小李要外出参加“建国 70 周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图，分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长 BC，拉杆 AB 的长度都相等，B，F 在 AC 上，C 在 DE 上，支杆第 23 页（共 32 页）DF30cm，CE：CD1：3，DCF45，CDF30 ，请根据以上信息，解决下列向题（1）求 AC 的长度（结果保留根号） ；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离（结果保留根号） 【分析】 （1）过 F
37、作 FHDE 于 H，解直角三角形即可得到结论；（2）过 A 作 AGED 交 ED 的延长线于 G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）过 F 作 FHDE 于 H，FHCFHD90，FDC30，DF30，FH DF15，DH DF15 ，FCH45，CHFH15， ，CE：CD1：3，DE CD20+20 ，ABBCDE，AC（40+40 ）cm；（2）过 A 作 AGED 交 ED 的延长线于 G，ACG45，AG AC20 +20 ，答：拉杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离为（20 +20 ）cm 第 24 页（共 32 页）【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主
38、要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题五、解答题（满分 12 分）23 （12 分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件） （x 为正整数）之间满足如图所示的函数关系（1）直接写出 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）若一次性批发量不超过 60 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【分析】 （1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；（2）根据利润（售价成本）件数，列出利润的表达式，求出最值【解答】解：（
39、1）当 0x20 且 x 为整数时，y 40；当 20x60 且 x 为整数时，y x+50；当 x60 且 x 为整数时，y 20；（2）设所获利润 w（元） ，当 0x20 且 x 为整数时，y 40，w（4016）20480 元，当 20x60 且 x 为整数时，y x+50，第 25 页（共 32 页）w（y16 ）x（ x+5016）x，w x2+34x，w （x 34） 2+578， 0，当 x34 时，w 最大，最大值为 578 元答：一次批发 34 件时所获利润最大，最大利润是 578 元【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问
40、题的关键六、解答题（满分 12 分）24 （12 分）如图，点 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，连接 BP 并延长交 CD 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，O 是DEF 的外接圆，连接 DP（1）求证：DP 是O 的切线；（2）若 tanPDC ，正方形 ABCD 的边长为 4，求O 的半径和线段 OP 的长【分析】 （1）连接 OD，可证CDPCBP，可得CDPCBP，由CBP+BEC90，BECOED ODE，可证出ODP90，则 DP 是O的切线；（2）先求出 CE 长，在 RtDEF 中可求出 EF 长，证明DPEFPD，由比例线段可求出 EP 长，则 OP 可
41、求出【解答】 （1）连接 OD，正方形 ABCD 中，CDBC ，CP CP，DCPBCP45，第 26 页（共 32 页）CDPCBP（SAS） ，CDPCBP，BCD90，CBP+ BEC90，ODOE ，ODE OED，OED BEC ，BECOEDODE ，CDP+ODE90，ODP 90 ，DP 是 O 的切线；（2）CDPCBE，tan ，CE ，DE2，EDF90，EF 是O 的直径，F+DEF90，FCDP，在 Rt DEF 中， ，DF4，第 27 页（共 32 页） 2 ， ，FPDE ，DPE FPD，DPEFPD， ，设 PEx，则 PD2x ， ，解得 x ，OPOE
42、 +EP 【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算是解决问题的关键七、解答题（满分 12 分）25 （12 分）在 RtABC 中，BCA90，AABC，D 是 AC 边上一点，且DADB，O 是 AB 的中点，CE 是BCD 的中线（1）如图 a，连接 OC，请直接写出OCE 和OAC 的数量关系： OCEOAC ；（2）点 M 是射线 EC 上的一个动点，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得射线 ON，使MONADB，ON 与射线 CA 交于点 N如图
43、 b，猜想并证明线段 OM 和线段 ON 之间的数量关系；若 BAC30，BCm，当AON15时，请直接写出线段 ME 的长度（用含m 的代数式表示） 第 28 页（共 32 页）【分析】 （1）结论：ECOOAC理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理解决问题即可（2） 只要证明 COMAON（ASA） ，即可解决问题分两种情形：如图 31 中，当点 N 在 CA 的延长线上时，如图 32 中，当点 N 在线段 AC 上时，作 OHAC 于 H分别求解即可解决问题【解答】解：（1）结论：ECOOAC理由：如图 1 中，连接 OEBCD90，BEED ，BO OA，CEEDEB BD，C
44、OOA OB，OCAA，BEED ，BOOA，OEAD ，OE AD，CEEOEOCOCAECO，ECOOAC故答案为：OCEOAC第 29 页（共 32 页）（2）如图 2 中，OCOA，DADB，AOCAABD ，COAADB，MONADB，AOCMON，COMAON，ECOOAC，MCONAO，OCOA，COMAON（ASA ） ，OM ON如图 31 中，当点 N 在 CA 的延长线上时，CAB30OAN+ ANO，AON15，AONANO15，OAANm，第 30 页（共 32 页）OCMOAN，CMANm，在 Rt BCD 中， BCm， CDB60，BD m，BEED ，CE B
45、D m，EMCM+CEm+ m如图 32 中，当点 N 在线段 AC 上时，作 OHAC 于 HAON15，CAB30，ONH15+3045，OHHN m，AH m，CMAN m m，EC m，EMECCM m（ m m） m m，综上所述，满足条件的 EM 的值为 m+ m 或 m m【点评】本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题八、解答题（满分 14 分）26 （14 分）抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1， 0） ，B （5，0）两点，顶点为
