1、2018 年辽宁省本溪市中考数学二模试卷一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa+ aa 2 Baa 2a 2 C （2a） 22a 2 Da+2a3a2 （3 分）如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（ ）A B C D3 （3 分）在一个不透明的袋子中装有 6 个除颜色外其余完全相同的小球，其中黄球 2 个，红球 2 个，白球 2 个， “从中任意摸出 2 个球，它们的颜色相同” ，这一事件是（ ）A必然事件 B不可能事件
2、 C确定事件 D随机事件4 （3 分）若 ab，则下列式子一定成立的是（ ）Aa+ b0 Bab0 Cab0 D5 （3 分）反比例函数 y 的图象位于（ ）A第一、三象限 B第二、四象限C第一、四象限 D第二、三象限6 （3 分）在一副扑克牌（54 张，其中王牌两张）中，任意抽取一张牌是“王牌”的概率是（ ）A B C D7 （3 分）施工队要铺设一段全长 2000 米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多 50 米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米设原计划每天施工 x 米，则根据题意所列方程正确的是（ ）A 2 B
3、 2C 2 D 28 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取第 2 页（共 29 页）值范围是（ ）Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k09 （3 分）二次函数 yax 2+bx+c（a、b、c 为常数且 a 0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4 5y 12 5 0 3 4 3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数 yax 2+bx+c 有最小值，最小值为3；（2）当 x2 时，y 0；（3）ab+c0；（4）二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两个
4、交点，且它们分别在 y 轴两侧则其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D410 （3 分）如图，在ABC 中，C90，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿AC 方向匀速运动到终点 C，动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B已知P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接 MP，MQ，PQ在整个运动过程中，MPQ 的面积大小变化情况是（ ）A一直增大 B一直减小C先减小后增大 D先增大后减少二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11 （3 分）已知 1 纳米0.000000001 米，则 27 纳米用科学记数法
5、表示为 12 （3 分）分解因式：x 2y2xy+y 13 （3 分）体育老师对甲、乙两名同学分别进行了 8 次跳高测试，经计算这两名同学成绩的平均数相同，甲同学的方差是 S 甲 26.4，乙同学的方差是 S 乙 28.2，那么这两名同第 3 页（共 29 页）学跳高成绩比较稳定的是 同学14 （3 分）将一张矩形纸片按图中方式折叠，若150，则2 为 度15 （3 分）已知 1，2，3，4，x 1，x 2，x 3 的平均数是 8，那么 x1+x2+x3 的值 &nbs
6、p; 16 （3 分）已知 a2+3a20，ab2，则 + 的值为 17 （3 分）如图，在 RtACB 中，ACB90，A25，D 是 AB 上一点，将 RtABC 沿 CD 折叠，使点 B 落在 AC 边上的 B处，则ADB 等于 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A，A 1，A 2，A 3An 都在直线 1：y x+1上，点 B，B 1， B2，B 3Bn 都在 x 轴上，且 AB11，B 1A1x 轴，A 1B21，B 2A2x 轴，则 An 的横坐标为 （用含有 n 的代数式表
7、示） 三、解答题(19 题 10 分,20 题 12 分,共 22 分)19 （10 分）先化简，再求值：（1 ） ，其中 a 20 （12 分）如图，在ABC 中，BAC 90，AD 是中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作AF BC 交 BE 的延长线于 F，连接 CF第 4 页（共 29 页）（1）求证：ADAF ；（2）如果 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论四、解答题(21 题 12 分,22 题 12 分,共 24 分)21 （12 分） “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售量较好的肉馅粽、豆沙粽、红枣粽、
8、蛋黄馅粽（以下分别用A、B 、C 、D 表示这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将不完整的条形图补充完整（3）若居民区有 8000 人，请估计爱吃 D 粽的人数？（4）若有外型完全相同的 A、B、C 、D 粽各一个煮熟后，小王吃了俩个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率？22 （12 分）已知：过O 外一点 C 作 CE直径 AF，垂足为 E，交弦 AB 于 D，若CDCB，则（1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并证明；（2）E 为 OA
9、中点，FAB 30，AD 4，请直接写出图中阴影部分的面积第 5 页（共 29 页）五、解答题（满分 12 分）23 （12 分）如图，自来水厂 A 和村庄 B 在小河 1 的两侧，现要在 A，B 间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出 A，B 间的距离一小船在点 P 处测得 A 在正北方向，B 位于南偏东 24.5方向，前行 1200m，到达点 Q 处，测得 A 位于北偏西 49方向，B 位于南偏西 41方向（1）求 BQ 长度；（2）求 A，B 间的距离 （参考数据：cos410.75）六、解答题（满分 12 分）24 （12 分）某商场将进价为 2000 元的手机以 2400 元
10、售出，平均每天能售出 8 部，为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种手机的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 部（1）假设每部手机降价 x 元，商场每天销售这种手机的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种手机销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每部手机应降价多少元？（3）每部手机降价多少元时，商场每天销售这种手机的利润最高？最高利润是多少？七、解答题（满分 12 分）25 （12 分）已知：ABC 是等腰三角形，其底边是 BC，点 D 在直线 AB 上，E 是直线BC 上一点，且DECDC
11、E（1）如图 ，点 D 在线段 AB 上，若BAC60，判断 EB 与 AD 的数量关系（不必证明） ；（2）若点 D 在线段 AB 的延长线上，其它条件不变（如图） ， （1）的结论是否成立，第 6 页（共 29 页）请说明理由；（3）若BAC，其它条件不变，EB 与 AD 的数量关系是怎样的？（用含有 的关系式直接写出结论，不要求写解答过程）八、解答题（满分 14 分）26 （14 分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y轴的正半轴上，OA4，OC 3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O、A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D（
12、1）求抛物线的解析式并直接写出点 D 的坐标；（2）点 P 在对称轴上，当CDP 周长最小时，求点 P 的坐标；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点 A、D、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由第 7 页（共 29 页）2018 年辽宁省本溪市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa+ aa 2 Baa 2a 2 C （2a） 22a 2 Da+2a3a【分析】
13、根据同底数幂的乘法规则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；分析 A、D答案则是合并同类项，只把系数相加即可【解答】解：A、应为 a+a2a，故本选项错误；B、应为 aa2a 3，故本选项错误；C、应为（2a） 24a 2，故本选项错误；D、a+2a3a，故 D 正确故选：D【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错2 （3 分）如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（ ）A B C D【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层中间有
14、 1 个正方形故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图3 （3 分）在一个不透明的袋子中装有 6 个除颜色外其余完全相同的小球，其中黄球 2 个，红球 2 个，白球 2 个， “从中任意摸出 2 个球，它们的颜色相同” ，这一事件是（ ）A必然事件 B不可能事件 C确定事件 D随机事件【分析】直接利用随机事件的定义进而得出答案【解答】解：黄球 2 个，红球 2 个，白球 2 个共 6 个小球，第 8 页（共 29 页）从中任意摸出 2 个球，它们的颜色相同是随机事件故选：D【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键4 （3 分）若 a
15、b，则下列式子一定成立的是（ ）Aa+ b0 Bab0 Cab0 D【分析】根据不等式的基本性质进行答题【解答】解：A、若 0ab 时，a+b0故 A 选项错误；B、在 ab 的两边同时减去 b，不等式仍成立，即 ab0故 B 选项正确；C、若 a0b 时，ab0故 C 选项错误；D、若 b0 时，该不等式不成立故 D 选项错误故选：B【点评】主要考查了不等式的基本性质 “0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变（2）不等式两边乘（或除以）同一个正
16、数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变5 （3 分）反比例函数 y 的图象位于（ ）A第一、三象限 B第二、四象限C第一、四象限 D第二、三象限【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k0，位于一、三象限；k0，位于二、四象限【解答】解：y ，k 10，函数图象过二、四象限故选：B【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，比较简单，容易掌握6 （3 分）在一副扑克牌（54 张，其中王牌两张）中，任意抽取一张牌是“王牌”的概率是（ ）A B C D第 9 页（共 29 页）【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；
17、符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：一副扑克牌一共 54 张，其中王牌有 2 张，一副扑克牌任意抽一张是王牌的概率 ，故选：C【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 7 （3 分）施工队要铺设一段全长 2000 米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多 50 米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米设原计划每天施工 x 米，则根据题意所列方程正确的是（ ）A 2 B 2C 2 D 2【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本
18、题【解答】解：由题意可得，故选：B【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程8 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k0【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出不等式，且二次项系数不为 0，即可求出 k 的范围【解答】解：一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，b 24ac4+4k 0，且 k0，解得：k1 且 k0故选：D【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值
19、大于 0，方程有两个不第 10 页（共 29 页）相等的实数根；根的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于 0，方程没有实数根9 （3 分）二次函数 yax 2+bx+c（a、b、c 为常数且 a 0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4 5y 12 5 0 3 4 3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数 yax 2+bx+c 有最小值，最小值为3；（2）当 x2 时，y 0；（3）ab+c0；（4）二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧则其中正确结论的个数是（ ）A1 B
20、2 C3 D4【分析】观察表格，结合二次函数的性质一一判断即可；【解答】解：（1）二次函数 yax 2+bx+c 有最小值，最小值为4，故结论错误；（2）观察表格可知：1x3 时，y0，故结论正确；（3）x1 时，ab+c 0，故结论正确；（4）二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧，交点分别为（1，0） ， （3，0） ，故结论正确，故选：C【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的图象与系数的关系等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A
21、出发，沿AC 方向匀速运动到终点 C，动点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B已知P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接 MP，MQ，PQ在整个运动过程中，MPQ 的面积大小变化情况是（ ）第 11 页（共 29 页）A一直增大 B一直减小C先减小后增大 D先增大后减少【分析】连接 CM，根据点 M 是 AB 的中点可得ACM 和BCM 的面积相等，又P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，所以点 P 到达 AC 的中点时，点 Q 到达 BC 的中点，然后把开始时、结束时、与中点时的MPQ 的面积与 ABC 的面积相比即可进行判断【解答】解：如图所示，连接 C
22、M，M 是 AB 的中点，S ACM S BCM SABC ，开始时，S MPQ S ACM SABC ，点 P 到达 AC 的中点时，点 Q 到达 BC 的中点时，S MPQ SABC ，结束时，S MPQ S BCM SABC ，所以，MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大故选：C【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意找出关键的开始时，中点时，结束时三个时间点的三角形的面积与ABC 的面积的关系是解题的关键二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11 （3 分）已知 1 纳米0.000000001 米，则 27 纳米用科学记数法表示为 2.710 8 米 第
23、 12 页（共 29 页）【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：1 纳米0.000000001 米，27 纳米270.000000001 米2.710 8 米故答案为：2.710 8 米【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定12 （3 分）分解因式：x 2y2xy+y y （x1） 2 【分析】先提取公因式 y，再根据完全平方公
24、式进行二次分解完全平方公式：a22ab+b 2（ab） 2【解答】解：x 2y2xy+ y，y（x 22x+1） ，y（x1） 2故答案为：y（x 1） 2【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底13 （3 分）体育老师对甲、乙两名同学分别进行了 8 次跳高测试，经计算这两名同学成绩的平均数相同，甲同学的方差是 S 甲 26.4，乙同学的方差是 S 乙 28.2，那么这两名同学跳高成绩比较稳定的是 甲 同学【分析】根据方差的意义可知，方差越小，成绩越稳定【解答】解：甲同学的方差小于乙的方差，则甲的成绩稳定故填甲【点评】本题考查了方差
25、的意义，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立14 （3 分）将一张矩形纸片按图中方式折叠，若150，则2 为 65 度第 13 页（共 29 页）【分析】由已知150，可得，350，那么4（1803）265，所以218034求出2【解答】解：由已知矩形纸片和平行线的性质及折叠原理得：3150，4（1803）265，218034180506565故答案为：65【点评】此题考查的知识点是平行线的性质和翻转变换问题，解题的关键是由平行线的性质先求出3，再由折叠原求出4从而求出215 （3 分）已知 1，2，3，4，x 1，x 2，x 3 的平均数是 8，那么 x1+x2+
26、x3 的值 46 【分析】根据算术平均数的定义即可得【解答】解：本组数据为 1，2，3，4，x 1，x 2，x 3，平均数（1+2+3+4+x 1+x2+x3）78，x 1+x2+x346 ，故答案为：46【点评】本题考查的是平均数的求法熟记公式是解决本题的关键注意把 x1+x2+x3 当一个整体来计算16 （3 分）已知 a2+3a20，ab2，则 + 的值为 【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，把 ab2 变形得到 ba2，代入化简后将 a2+3a20 代入计算即可求出值【解答】解：a 2+3a20，ab2，即 ba2，第 14 页（共 29 页）原式 故答案为：
27、【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键17 （3 分）如图，在 RtACB 中，ACB90，A25，D 是 AB 上一点，将 RtABC 沿 CD 折叠，使点 B 落在 AC 边上的 B处，则ADB 等于 40 【分析】根据翻折变换的性质得出ACDBCD，CDBCDB，进而利用三角形内角和定理得出BDCBDC，再利用平角的定义，即可得出答案【解答】解：将 RtABC 沿 CD 折叠，使点 B 落在 AC 边上的 B处，ACDBCD，CDBCDB，ACB90，A25，ACDBCD45，B902565，BDCBDC180456570，ADB180707040故答案为：40
28、【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出BDC 和BDC 的度数是解题关键18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A，A 1，A 2，A 3An 都在直线 1：y x+1上，点 B，B 1， B2，B 3Bn 都在 x 轴上，且 AB11，B 1A1x 轴，A 1B21，B 2A2x 轴，则 An 的横坐标为 （ 1） （用含有 n 的代数式表示） 第 15 页（共 29 页）【分析】根据题意：先求出 AO，A 1B1，A 2B2 的长度，找出规律，表示出 AnBn，再计算OBn，可得 An 的横坐标【解答】解：直线 1：y x+1 交 x
29、 轴，y 轴于 B，A 两点A（0，1） ，B（ ，0）AB 11，B 1A1x 轴，A 1B21，B 2A2x 轴A 1B1AO A 2B2A 3B3，AB 1A 1B2A 2B3BOAB 1B 1A1B2 B 2A2B3tanBtanOAB 1 OB 1OAA 1B1A 1B1同理可得 A2B2AnBnOB 1AO tanOAB 11 B 1B2A 1B1tanOAB 1An1 BnA n1 Bn1 tan OAB1 OB nOB 1+B1B2+B2B3+An1 Bn1 + + +第 16 页（共 29 页） OBn + + + 得 OBn OB n （ 1 ）故答案为 （ 1）【点评】本
30、题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，点的规律，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型三、解答题(19 题 10 分,20 题 12 分,共 22 分)19 （10 分）先化简，再求值：（1 ） ，其中 a 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式 ，当 a 时，原式 1+ 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键20 （12 分）如图，在ABC 中，BAC 90，AD 是中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作AF BC 交
31、 BE 的延长线于 F，连接 CF（1）求证：ADAF ；（2）如果 ABAC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论【分析】 （1）由 E 是 AD 的中点， AFBC，易证得AEFDEB，即可得 AFBD ，又由在ABC 中，BAC90，AD 是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得 ADBDCD BC，即可证得：AD AF；第 17 页（共 29 页）（2）由 AFBDDC ，AF BC，可证得：四边形 ADCF 是平行四边形，又由ABAC，根据三线合一的性质，可得 ADBC，AD DC，继而可得四边形 ADCF 是正方形【解答】 （1）证明：AFBC，EAF E
32、DB，E 是 AD 的中点，AEDE ，在AEF 和DEB 中，AEF DEB（ASA ） ，AFBD ，在ABC 中，BAC90，AD 是中线，ADBD DC BC，ADAF；（2）解：四边形 ADCF 是正方形AFBD DC，AF BC，四边形 ADCF 是平行四边形，ABAC，AD 是中线，ADBC，ADAF，四边形 ADCF 是正方形【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用四、解答题(21 题 12 分,22 题 12 分,共 24 分)21 （12 分） “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的
33、习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售量较好的肉馅粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B 、C 、D 表示这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样第 18 页（共 29 页）调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将不完整的条形图补充完整（3）若居民区有 8000 人，请估计爱吃 D 粽的人数？（4）若有外型完全相同的 A、B、C 、D 粽各一个煮熟后，小王吃了俩个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率？【分析】 （1）根据 D 类型的人数是 240 人，所占的比例是 40%，据此
34、即可求得总人数；（2）利用总人数，减去其它各组的人数，即可求得 C 类的人数，据此即可完成直方图；（3）利用总人数 8000 乘以对应的百分比即可求解；（4）利用列举法可以列举出所有的结果，然后利用概率公式即可求解【解答】解：（1）调查的居民数有：24040%600（人） ；（2）C 类的人数是：600180 60240120（人） （3）爱吃 D 粽的人数是：8000 40%3200（人） ； （4）则 P 第 19 页（共 29 页）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
35、计图直接反映部分占总体的百分比大小22 （12 分）已知：过O 外一点 C 作 CE直径 AF，垂足为 E，交弦 AB 于 D，若CDCB，则（1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并证明；（2）E 为 OA 中点，FAB 30，AD 4，请直接写出图中阴影部分的面积【分析】 （1）相切，根据等腰三角形的性质及对顶角相等可得：ADECDBCBD，由直角三角形的两锐角互余可得结论；（2）先根据直角三角形 30 度角的性质和勾股定理得：ED 2，AE2 ，则半径 OAOB 4 ，作辅助线，证明 OMAB 和CDB 是等边三角形，根据 S 阴影 S四边形 OECBS OEM S 扇形 OMB，代入可
36、得结论【解答】解：（1）直线 BC 与 O 相切，证明：连接 OB，CDCB，CBDCDB，CEAF，A+ADE90，ADECDBCBD，A+CBD90，OAOB ，OBAA，OBA+CBD90，OBCB，OB 是半径，第 20 页（共 29 页）直线 BC 与O 相切；（2）Rt AED 中，A30，AD 4，ED 2，由勾股定理得：AE2 ，E 为 OA 中点，OAOB 4 ，设 EC 交O 于 M，连接 OM，交 AB 于 G，RtOEM 中，OE2 ， OM4 ，EMO30，EOM 60，EM 6，AOBA 30，AOB1803030120，BOM60，A30，AOM60，AGO 90
37、 ，OG OA 2 ，AG6，AB2AG 12，BDABAD1248，CDBADE60，CDCB，CDB 是等边三角形，S 阴影 S 四边形 OECBS OEM S 扇形 OMB，S 四边形 OEDB+SCDB S OEM S 扇形 OMB， AEED+ OEEM ， +16 8，12 2 +16 6 8， （12 分）第 21 页（共 29 页）【点评】本题考查了切线的性质和判定，直角三角形 30 度角的判定和性质，等边三角形的判定，扇形的面积，三角形的面积等知识点的综合应用，第二问有难度，确定阴影部分面积的求法是关键五、解答题（满分 12 分）23 （12 分）如图，自来水厂 A 和村庄
38、B 在小河 1 的两侧，现要在 A，B 间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出 A，B 间的距离一小船在点 P 处测得 A 在正北方向，B 位于南偏东 24.5方向，前行 1200m，到达点 Q 处，测得 A 位于北偏西 49方向，B 位于南偏西 41方向（1）求 BQ 长度；（2）求 A，B 间的距离 （参考数据：cos410.75）【分析】 （1）首先由已知求出PBQ 和BPQ 的度数进行比较得出线段 BQ 与 PQ 是否相等；第 22 页（共 29 页）（2）先由已知求出PQA，再由直角三角形 PQA 求出 AQ，由（1）得出BQPQ1200，又由已知得AQB90，所以根据勾股定
39、理求出 A，B 间的距离【解答】解：（1）B 位于 P 点南偏东 24.5方向，BPQ9024.565.5，又B 位于 Q 点南偏西 41方向，PQB904149，PBQ18065.54965.5，即PBQBPQ，BQPQ 1200（m） ；（2）点 P 处测得 A 在正北方向，APQ90在 RtAPQ 中，cos AQP 0.75AQ12000.751600，在点 Q 处，测得 A 位于北偏西 49方向，B 位于南偏西 41方向，AQB90，在 RtABQ 中，AB 2000（m ）答：A，B 间的距离约为 2000m【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出
40、BQPQ，再由直角三角形先求出 AQ，根据勾股定理求出 AB六、解答题（满分 12 分）24 （12 分）某商场将进价为 2000 元的手机以 2400 元售出，平均每天能售出 8 部，为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种手机的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 部（1）假设每部手机降价 x 元，商场每天销售这种手机的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种手机销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每部手机应降价多少元？（3）每部手机降价多少元时，商场每天销售这种手机的利润最高？最高利润是多
41、少？【分析】 （1）直接利用销量每部手机利润总利润进而得出函数关系式；（2）利用 y4800，进而解方程得出答案；第 23 页（共 29 页）（3）利用公式 x ，再把 x 的值代入求出答案【解答】解：（1）根据题意，得：y（24002000x ） （8+4 ） x2+24x+3200（0x 400） （2）由题意，得 x2+24x+32004800整理，得 x2300x +200000解这个方程，得 x1100，x 2200要使百姓得到实惠，取 x200所以，每部手机应降价 200 元（3）对于 y x2+24x+3200，当 x 150 时，y 最大值 （24002000150）（8+4
42、）250205000） 所以，售价降价 150 元时，商场的利润最大，最大利润是 5000 元【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键七、解答题（满分 12 分）25 （12 分）已知：ABC 是等腰三角形，其底边是 BC，点 D 在直线 AB 上，E 是直线BC 上一点，且DECDCE（1）如图 ，点 D 在线段 AB 上，若BAC60，判断 EB 与 AD 的数量关系（不必证明） ；（2）若点 D 在线段 AB 的延长线上，其它条件不变（如图） ， （1）的结论是否成立，请说明理由；（3）若BAC，其它条件不变，EB 与 AD 的数量关系是怎
43、样的？（用含有 的关系式直接写出结论，不要求写解答过程）第 24 页（共 29 页）【分析】 （1）作 DHBC 交 AC 于 H，根据等边三角形的性质和判定定理得到ADH是等边三角形，得到 ADDH，DB HC，证明DBECHD，根据全等三角形的性质证明；（2）作 DFBC 交 AC 的延长线于 F，证明DBECHD，得到 EBDF ，根据等腰三角形的性质解答；（3）分点 D 在线段 AB 上、点 D 在线段 AB 的延长线上两种情况，根据正弦的定义解答【解答】解：（1）EBAD ，理由如下：作 DHBC 交 AC 于 H，ABAC， BAC60，ABC 是等边三角形，DHBC，ADH 是等
44、边三角形，ADDH ，DB HC，DECDCE，DEDC，EDBDCH，在DBE 和CHD 中，DBECHD，EBDHAD；（2）EBAD 不成立；理由如下：作 DFBC 交 AC 的延长线于 F，DECDCE，DEDC，第 25 页（共 29 页）BCDF，DCEFDC，DECDCE，DECCDF，在DBE 和CFD 中，DBECFD，EBDF ，ABACBC，ADAFDFEBAD ；（3）BE2ADsin ，如图 ，点 D 在线段 AB 上，作 AMDH 于 M，ADAH ，DAM BAC ，DM MH，在 Rt ADM 中，DM ADsin ，DH2DM 2ADsin ，EBDH，BE2
45、AD sin ，同理，如图，点 D 在线段 AB 的延长线上时，BE 2ADsin ，BE2AD sin 第 26 页（共 29 页）【点评】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键八、解答题（满分 14 分）26 （14 分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y轴的正半轴上，OA4，OC 3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O、A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D（1）求抛物线的解析式并直接写出点 D 的坐标；（2）点 P 在对称轴上，当CDP 周长最小时，求点 P 的坐标；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点 A、D、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由 OA 的长度确定出 A 的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式 ya（x 2） 2+3，将 A 的坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线解析式；设直线 AC 解析式为 ykx+b，将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线 AC 解析式
