1、2021 年福建省福州十六中、厦金中、泉州七中三校中考数学联考试卷年福建省福州十六中、厦金中、泉州七中三校中考数学联考试卷 一、 选择题： 本题共一、 选择题： 本题共 10 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的。 1的倒数是（ ） A B C2021 D2021 2下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A角 B等边三角形 C平行四边形 D菱形 3下列运算正确的是（ ） A2x+6y8xy B4y3y33 C6x25xx D9ab9ba0 4如图，一个几何
2、体由 5 个相同的小正方体搭成，则从上面看这个几何体的平面图形是（ ） A B C D 5在平面直角坐标系中，把点 P（2，3）绕着原点顺时针旋转 90后得到点 Q，则点 Q 的坐标是（ ） A （5，1） B （3，2） C （1，5） D （3，2） 6如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在圆上，若D65，则BAC（ ） A20 B25 C30 D35 7如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（O）为 60，A，B，C 都在格点上，则 tanABC 的值是（ ） A1 B C D 8 “绿水青山就是金山银山” ，为了进一步优化河道环境，某工程队
3、承担一条 4800 米长的河道整治任务开 工后，实际每天比原计划多整治 200 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天整治 x 米，那么所列 方程正确的是（ ） A+4 B200 C4 D200 9如图，数轴上 A、B、C 三点所表示的数分别为 a、b、c，满足 a+bc0 且 ABBC那么下列各式正 确的是（ ） Aa+c0 Bac0 Cbc0 Dab0 10 已知函数 yx22ax+5， 当 x2 时， 函数值随 x 的增大而减小， 且对任意的 1x1a+1 和 1x2a+1， x1，x2相应的函数值 y1，y2总满足|y1y2|9，则实数 a 的取值范围是（ ） A1a3 B1a2
4、 C2a3 D2a4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11如果a2，则 a 12 在1、 0、 0.101001、 、 5.1、 7 的 6 个数中， 随机抽取一个数， 抽到无理数的概率是 13已知一个扇形的半径为 6，弧长为 2，则这个扇形的圆心角为 14已知 yx+3，当 x 分别取 1，2，3，2021 时，所对应的 y 值的总和是 15如图，已知O 的内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OM2cm，则该圆的内接正三角形 ACE 的边长为 cm 16如图，平面直角坐标系 xOy 中，在反比例函数 y（k0，x0）的图象
5、上取点 A，连接 OA，与 y 的图象交于点 B，过点 B 作 BCx 轴交函数 y的图象于点 C，过点 C 作 CEy 轴交函数 y 的图象于点 E，连接 AC，OC，BE，OC 与 BE 交于点 F，则 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （8 分）解不等式组： 18 （8 分）如图，ABAD，ACAE，CAEBAD 求证：BD 19 （8 分）先化简（x1） ，再从2，1，1，2 中选取一个你喜爱的 x 值代入求值 20 （8 分）如图，等腰ABC，ACBCAB，射线 A
6、D 与 BC 交于点 D （1）在射线 AD 上求作一点 E，使得CAEAEB； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 CD2BD，AC12，求 BE 的值 21 （8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，连接 AC，若 CACP，A30 （1）求证：CP 是O 的切线； （2）若 OA1，求弦 AC 的长 22 （10 分）某公司分别在 A，B 两城生产同种产品，共 100 件其中 A 城生产 x 件，A 城生产产品的总成 本 y（万元）与产品数量 x（件）之间具有函数关系 yx2+30 x，B
7、 城生产产品的成本为每件 70 万元设 A，B 两城生产这批产品的总成本的和为 W 万元，当 W 取最小值时，求： （1）A，B 两城各生产多少件产品？ （2）从 A 城把该产品运往 C，D 两地的费用分别为 m 万元/件和 3 万元/件；从 B 城把该产品运往 C，D 两地的费用分别为 1 万元/件和 2 万元/件，C 地需要 90 件，D 地需要 10 件，设从 A 城运往 C 地的产品 数量为 n 件， 请写出 AB 两城总运费之和 P 的表达式 （用含有 m、 n 的式子表示） ， 并写出 n 的取值范围 23 （10 分）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套
8、餐 （1） 为了解员工手机流量使用情况从该企业的员工中随机抽取 1 人， 求该员工手机月平均使用流量不超 过 900M 的概率 （2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下 套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M） A 20 700 B 30 1000 流量套餐的规则是：每月 1 日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加 包， 每一个叠加包 （包含 200M 的流量） 需要 10 元， 可以多次购买， 如果当月流量有剩余， 将会被清零 该 企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用若以人均 所需费用为决策依据，
9、该企业订购哪一款套餐更经济？ 24 （12 分）如图，四边形 ABCD 中，ABAD4，CBCD3，ABCADC90，点 M、N 是边 AB、AD 上的动点，且MCNBCD，CM、CN 与对角线 BD 分别交于点 P、Q （1）求 sinMCN 的值； （2）当 DNDC 时，求CNM 的度数； （3）试问：在点 M、N 的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化， 请至少给出两个可能的值，并说明点 N 相应的位置 25 （14 分）已知抛物 yax2+bx （1）若抛物线与一次函数 yx1 有且只有一个公共点，求 a、b 满足的关系式； （2） 设点 Q 为抛物线上的
10、顶点， 点 P 为平面内一点， 若点 P 坐标为 （2， 2） ， SOPQ3， 且 OPOQ， 抛物线经过点 A（m，n）和点 B（4m，n） ，直线 PB 与抛物线的另一交点为 C 求抛物线的解析式； 证明：对于任意实数 m，直线 AC 必过一定点 2021 年福建省福州十六中、厦金中、泉州七中三校中考数学联考试卷年福建省福州十六中、厦金中、泉州七中三校中考数学联考试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题： 本题共一、 选择题： 本题共 10 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的。在每小题给出的四个
11、选项中， 只有一项是符合要求的。 1的倒数是（ ） A B C2021 D2021 【分析】直接利用倒数的定义得出答案 【解答】解：的倒数是：2021 故选：D 2下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A角 B等边三角形 C平行四边形 D菱形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 3下列运算正确的是（
12、） A2x+6y8xy B4y3y33 C6x25xx D9ab9ba0 【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此 判断即可 【解答】解：A、2x 与 6y 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、4y3y33y3，故本选项不合题意； C、6x2与 5x 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D、9ab9ba0，故本选项符合题意； 故选：D 4如图，一个几何体由 5 个相同的小正方体搭成，则从上面看这个几何体的平面图形是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【解答】
13、解：从上面看，是一行 3 个正方形， 故选：C 5在平面直角坐标系中，把点 P（2，3）绕着原点顺时针旋转 90后得到点 Q，则点 Q 的坐标是（ ） A （5，1） B （3，2） C （1，5） D （3，2） 【分析】利用图象法，作出图形可得结论 【解答】解：如图，观察图象可知，点 Q 的坐标为： （3，2） 故选：D 6如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在圆上，若D65，则BAC（ ） A20 B25 C30 D35 【分析】连接 BC，如图，利用圆周角定理得到ACB90，BD65，然后利用互余计算出 BAC 的度数 【解答】解：连接 BC，如图， AB 为O 的直径， ACB90
14、， BD65， BAC90B906525 故选：B 7如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（O）为 60，A，B，C 都在格点上，则 tanABC 的值是（ ） A1 B C D 【分析】如图，连接 EA、EC，先证明AEC90，E、C、B 共线，再根据 tanABC，求出 AE、 EB 即可解决问题 【解答】解：如图，连接 EA，EC， 设菱形的边长为 a，由题意得AEF30，BEF60，AEa，EB2a， AEC90， ACEACGBCG60， ECB180， E、C、B 共线， 在 RtAEB 中，tanABC 故选：D 8 “绿水青山就是金
15、山银山” ，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条 4800 米长的河道整治任务开 工后，实际每天比原计划多整治 200 米，结果提前 4 天完成任务，若设原计划每天整治 x 米，那么所列 方程正确的是（ ） A+4 B200 C4 D200 【分析】根据本题的关键描述语是： “提前 4 天完成任务” ；等量关系为：原计划用时实际用时4 天 【解答】解：设原计划每天挖 x 米，则原计划用时为：天，实际用时为：天 所列方程为：4， 故选：C 9如图，数轴上 A、B、C 三点所表示的数分别为 a、b、c，满足 a+bc0 且 ABBC那么下列各式正 确的是（ ） Aa+c0 Bac0 Cbc0
16、Dab0 【分析】由数轴知 ABba，BCcb，再由 ABBC 得 a+c2b，再根据 a+bc0，进而得 b2a， c3a，进而由 abc，知 a、b、c 都为正数，便可得出最后答案 【解答】解：ABBC， bacb， a+c2b， a+bc0，即 ca+b， a+（a+b）2b， b2a， ca+b3a， abc， a0，b0，c0， a+c0，则 A 选项错误； ac0，则 B 选项正确； bc0，则 C 错误； ab0，则 D 错误 故选：B 10 已知函数 yx22ax+5， 当 x2 时， 函数值随 x 的增大而减小， 且对任意的 1x1a+1 和 1x2a+1， x1，x2相应的
17、函数值 y1，y2总满足|y1y2|9，则实数 a 的取值范围是（ ） A1a3 B1a2 C2a3 D2a4 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于 a 的不等式，从而可以求得 a 的取值范围 【解答】解：函数 yx22ax+5，当 x2 时，函数值随 x 的增大而减小， 对称轴是直线 xa，a2， 在 1xa+1 中，最小值是 xa 时取得，最大值是 x1 时取得， 对任意的 1x1a+1 和 1x2a+1，x1，x2相应的函数值 y1，y2总满足|y1y2|9， （122a1+5）（a22aa+5）9， 解得2a4， a2， 2a4， 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题
18、共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11如果a2，则 a 2 【分析】根据相反数的概念解答即可 【解答】解：a2， a2 故答案为：2 12在1、0、0.101001、5.1、7 的 6 个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其 发生的概率 【解答】解：在1、0、0.101001、5.1、7 的 6 个数中，无理数有 0、0.101001、 共 2 个， 随机抽取一个数，抽到无理数的概率是， 故答案为： 13已知一个扇形的半径为 6，弧长为 2，则这个扇形的圆心角为 60 【
19、分析】设这个扇形的圆心角是 n，根据弧长公式和已知条件得出2，再求出答案即可 【解答】解：设这个扇形的圆心角是 n， 一个扇形的半径为 6，弧长为 2， 2， 解得：n60， 即这个扇形的圆心角是 60， 故答案为：60 14已知 yx+3，当 x 分别取 1，2，3，2021 时，所对应的 y 值的总和是 2023 【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简，然后代入求值即可求出答案 【解答】解：y|x2|x+3， 当 x2 时， y（x2）x+3 x+2x+3 2x+5， 当 x2 时， yx2x+3 1， y 值的总和为：3+1+1+1 3+12020 2023， 故答案为：20
20、23 15如图，已知O 的内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OM2cm，则该圆的内接正三角形 ACE 的边长为 4 cm 【分析】连接 OC、OB，过 O 作 ONCE 于 N，证出COB 是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求 解即可 【解答】解：如图所示，连接 OC、OB，过 O 作 ONCE 于 N， 多边形 ABCDEF 是正六边形， COB60， OCOB， COB 是等边三角形， OCM60， OMOCsinOCM， OC（cm） ， OCN30， ON（cm） ， CE2CN4（cm） 故答案为 4 16如图，平面直角坐标系 xOy 中，在反比例函数 y（k0，x0）的图象上
21、取点 A，连接 OA，与 y 的图象交于点 B，过点 B 作 BCx 轴交函数 y的图象于点 C，过点 C 作 CEy 轴交函数 y 的图象于点 E，连接 AC，OC，BE，OC 与 BE 交于点 F，则 【分析】如图，过点 A 作 ANx 轴于 N，过点 B 作 BMx 轴于 M利用相似三角形的性质证明 ，设 A（m，） ，则 B（，） ，由 BCx 轴，ECy 轴，推出 C（2m，） ，E（2m，） ， 求出直线 OC，BE 的解析式，构建方程组确定点 F 的坐标，即可解决问题 【解答】解：如图，过点 A 作 ANx 轴于 N，过点 B 作 BMx 轴于 M ANBM， OBMOAN， S
22、OBM，SAOM2k， （）2， ， 设 A（m，） ，则 B（，） ， BCx 轴，ECy 轴， C（2m，） ，E（2m，） ， 直线 OC 的解析式为 yx，直线 BE 的解析式为 yx+， 由，解得， F（，） ， ， 故答案为： 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （8 分）解不等式组： 【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解 【解答】解：， 解不等式，得 x1； 解不等式，得 x5； 原不等式组的解集为 1x5 18 （8 分）如图，ABAD，ACAE，CAE
23、BAD 求证：BD 【分析】根据全等三角形的判定方法边角边即可证明 【解答】证明：CAEBAD， CAE+EABBAD+EAB， BACDAE， 在ABC 和ADE 中， ， ABCADE（SAS） ， BD 19 （8 分）先化简（x1） ，再从2，1，1，2 中选取一个你喜爱的 x 值代入求值 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从2，1，1，2 中选取一个使得原分式 有意义的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解：（x1） ， x10， （2+x） （2x）0， x1，x2， x1， 当 x1 时，原式3 20 （8 分）如图，等腰ABC，ACBCAB，射线 AD
24、与 BC 交于点 D （1）在射线 AD 上求作一点 E，使得CAEAEB； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 CD2BD，AC12，求 BE 的值 【分析】 （1）作CBEC 即可 （2）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可 【解答】解： （1）如图，点 E 即为所求作 （2）CCBE， ACBE， ， ， BE6 21 （8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，连接 AC，若 CACP，A30 （1）求证：CP 是O 的切线； （2）若 OA1，求弦 AC 的长 【分析】 （1）连接 O
25、C，由等腰三角形的性质得出AACO30，P30，求出ACP 的度数， 则可求出答案； （2）连接 BC，由勾股定理可求出答案 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， OAOC，A30， AACO30， CACP， AP30， ACP180AP1803030120， OCPACPACO1203090， OCCP， CP 是O 的切线； （2）解：如图，连接 BC， OAOB1， AB2， AB 是O 的直径， ACB90， A30， BCAB1， AC 22 （10 分）某公司分别在 A，B 两城生产同种产品，共 100 件其中 A 城生产 x 件，A 城生产产品的总成 本 y（万元）与产品数
26、量 x（件）之间具有函数关系 yx2+30 x，B 城生产产品的成本为每件 70 万元设 A，B 两城生产这批产品的总成本的和为 W 万元，当 W 取最小值时，求： （1）A，B 两城各生产多少件产品？ （2）从 A 城把该产品运往 C，D 两地的费用分别为 m 万元/件和 3 万元/件；从 B 城把该产品运往 C，D 两地的费用分别为 1 万元/件和 2 万元/件，C 地需要 90 件，D 地需要 10 件，设从 A 城运往 C 地的产品 数量为 n 件， 请写出 AB 两城总运费之和 P 的表达式 （用含有 m、 n 的式子表示） ， 并写出 n 的取值范围 【分析】 （1）W 等于 A
27、城生产产品的总成本加上 B 城生产产品的总成本，由此可列出 W 关于 x 的二次函 数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案； （2）设从 A 城把该产品运往 C 地的产品数量为 n 件，分别用含 n 的式子表示出从 A 城把该产品运往 D 地的产品数量、从 B 城把该产品运往 C 地的产品数量及从 B 城把该产品运往 D 地的产品数量，再列不 等式组求得 n 的取值范围，然后用含 n 的式子表示出 A，B 两城总运费之和 P，即可得答案 【解答】解： （1）设 A，B 两城生产这批产品的总成本的和为 W（万元） ， 则 Wx2+30 x+70（100 x） x240 x+7000 （x
28、20）2+6600， 当 x20 时，W 取得最小值，最小值为 6600 万元， 此时 100 x1002080 A 城生产 20 件，B 城生产 80 件； （2）设从 A 城把该产品运往 C 地的产品数量为 n 件，则从 A 城把该产品运往 D 地的产品数量为（20 n）件； 从 B 城把该产品运往 C 地的产品数量为（90n）件，则从 B 城把该产品运往 D 地的产品数量为（10 20+n）件，由题意得： ， 解得， Pmn+3（20n）+（90n）+2（1020+n） mn+603n+90n+2n20 mn2n+130 （m2）n+130（10n20） 23 （10 分）某大型企业为鼓
29、励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐 （1） 为了解员工手机流量使用情况从该企业的员工中随机抽取 1 人， 求该员工手机月平均使用流量不超 过 900M 的概率 （2）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下 套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M） A 20 700 B 30 1000 流量套餐的规则是：每月 1 日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加 包， 每一个叠加包 （包含 200M 的流量） 需要 10 元， 可以多次购买， 如果当月流量有剩余， 将会被清零 该 企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流
30、量叠加包所需月费用若以人均 所需费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？ 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据平均数的计算公式先分别求出 A 套餐人均所需费用和 B 套餐人均所需费用，再进行比较，即 可得出答案 【解答】解： （1）由题意得，样本中月平均使用流量不超过 900M 的频数为：1002890， 则该员工手机月平均使用流量不超过 900M 的概率是； （2）A 套餐人均所需费用为：28（元） ， B 套餐人均所需费用为：30.2（元） ， 2830.2， 该企业订购 A 套餐更经济 24 （12 分）如图，四边形 ABCD 中，ABAD4，CBCD3，ABCAD
31、C90，点 M、N 是边 AB、AD 上的动点，且MCNBCD，CM、CN 与对角线 BD 分别交于点 P、Q （1）求 sinMCN 的值； （2）当 DNDC 时，求CNM 的度数； （3）试问：在点 M、N 的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化， 请至少给出两个可能的值，并说明点 N 相应的位置 【分析】 （1）如图，连接 AC 交 BD 于 H利用勾股定理求出 AC，证明MCNACB 即可解决问题 （2）延长 AD 到 E，使得 DEBM，连接 CE证明MCNECN（SAS） ，可得CNMCNE，即 可解决问题 （3），值不变利用相似三角形的相似比等于对应
32、高的比解决问题即可 【解答】解： （1）如图，连接 AC 交 BD 于 H ABAD，CBCD， AC 垂直平分线段 BD， BHDH， AB4，BC3，ABC90， AC5， CBCD，CHBD， BCHDCH， sinBCH， MCNBCDBCH， sinMCN （2）如图，延长 AD 到 E，使得 DEBM，连接 CE BMDE，CBMCDE90，BCDC， CBMCDE（SAS） ， BCMDCE，CMCE， MCEBCD， MCNBCD， MCNECN， CMCE，CNCN， MCNECN（SAS） ， CNMCNE， DNDC，NDC90， CNDDCN45， CNM45 （3），
33、值不变 理由：CHDADC90， ACD+CDH90，ADH+CDH90， ACDADH， MCNBCDACD， MCNADH， PQCNQD， CPQQND， CNECNM， CPQCNM， PCQNCM， PCQCNM， NCMNCE， PCQNCE，MNNE， CHPQ，CDNE， sinCDH， CDH+ADH90，CAD+CDH90， CDHCAD， sinCDHsinCAD 25 （14 分）已知抛物 yax2+bx （1）若抛物线与一次函数 yx1 有且只有一个公共点，求 a、b 满足的关系式； （2） 设点 Q 为抛物线上的顶点， 点 P 为平面内一点， 若点 P 坐标为 （2
34、， 2） ， SOPQ3， 且 OPOQ， 抛物线经过点 A（m，n）和点 B（4m，n） ，直线 PB 与抛物线的另一交点为 C 求抛物线的解析式； 证明：对于任意实数 m，直线 AC 必过一定点 【分析】 （1）根据题意，列出一元二次方程后，根据根的判别式等于 0，列方程即可； （2）由抛物线经过点 A（m，n）和点 B（4m，n） ，可求得对称轴为 x2，根据 SOPQ3，可求得 点 Q 的坐标，进而可求得抛物线解析式； 运用待定系数法和根与系数关系表示出 AC 解析式，根据解析式即可判断经过的定点 【解答】解： （1）由题意得，方程 ax2+bxx1 有两个相等的实数根， （b+1）2
35、4a0， a； （2）抛物线经过点 A（m，n）和点 B（4m，n） ， 抛物线对称轴为直线 x2， 设 Q（2，q） ， P（2，2） ， PQy 轴， SOPQPQ2PQ，SOPQ3， PQ3， OPOQ， Q 点的坐标为（2，1） ， 设抛物线解析式为 ya（x2）2+1，把（0，0）代入得：a， 抛物线解析式为 y（x2）2+1，即 yx2+x； 证明：设直线 PB 的解析式为 ykx+b，把 P（2，2）代入得：22k+b， b22k， 直线 PB 的解析式为 ykx22k， 直线 PB 与抛物线 yx2+x 交于 B，C， x2+xkx22k， 化简得：x2+（k1）x22k0， xB+xC4（k1） ，xBxC88k， 设直线 AC 的解析式为 yfx+d，与抛物线交于点 B，C， x2+xfx+d， 化简得：x2+（f1）x+d0， xA+xC4（f1） ，xAxC4d， xB+xC+xA+xC4（k1）4（f1） ，xBxC+xAxC88k+4d， xA+xB4， xC2k2f+2，xCd22k， 2k2f+2d22k， 2f+4d， 直线 AC 的解析式为 yfx2f+4f（x2）+4， 当 x2 时，y4， 直线 AC 必过定点（2，4）
