1、几何最值之瓜豆原理巩固练习几何最值之瓜豆原理巩固练习(提优提优) 1. 点 A 是双曲线在第一象限上的一个动点，连接 AO 并延长交另一交令一分支点 B，以 AB 为斜 边作等腰 RtABC，点 C 在第二象限，随着点 A 的运动，点 C 的位置也在不断变化，但始终在某函数图像 上运动，则这个函数的解析式为 . 【分析】动点 C 可看作是由主动点 A 绕着原点 O 逆时针旋转 90 得到的，所说点 C 所在的图像必然也是双 曲线. 【解答】 【解析】连接 OC，作 CD轴于点 D，AE轴于点 E，如图所示： 设点 A 的坐标为，A、B 两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点， 点 A 与点
2、 B 关于原点对称，OAOB， ABC 为等腰直角三角形，OCOA，OCOA， DOCAOE90 ， DOCDCO90 ，DCOAOE， 在COD 与OAE 中，CODOAE(AAS)， ， ，点 C 在反比例函数的图像上. 2. 如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC8，BC6，点 D 是以 A 为圆心，4 为半径的圆上一点，连 接 BD，M 为 BD 的中点，则线段 CM 的长度的最大值为 . 【分析】本题即可用中点模型处理(详见本专辑的专题 02 中点模型)，也可以用瓜豆原理得到点 M 的轨迹， 将问题转化为点到圆的距离问题，然后求解. 【解答】7 【解析】法一、中点模型 取 AB
3、 的中点 E，连接 EM、CE，如图所示： 在 RtABC 中， E 是 RtABC 斜边上的中点，CE5， M 是 BD 的中点，E 是 AB 的中点， 在CEM 中，即， CM 的长度最大值为 7. 法二、瓜豆原理 由 M 为 BD 的中点，结合瓜豆原理内容可得点 M 的轨迹是一个圆，如图所示，M 点的轨迹就是由圆 A 以 定点 B 为位似中心，以为位似比缩小来的. 圆 E 的半径为 2， 当 C、E、M 三点共线时，CM 的长度最大， E 是 RtABC 斜边的中点，CE5，CMCEEM527. 3. 如图，已知线段 AB12，点 C 在线段 AB 上，且ACD 是边长为 4 的等边三角
4、形，以 CD 为边的右 侧作矩形 CDEF，连接 DF，点 M 是 DF 的中点，连接 MB，则线段 MB 的最小值为 . 【解答】6 【解析】法一、连接 AM、CM，如图所示： ACD 为等边三角形，ACAD，DAC60 ， 四边形 DCFE 是矩形，点 M 是 DF 的中点，DMCM， 在ADM 与ACM 中，ADMACM(SSS)， DAMCAM， DAC60 ，ACM30 ，当 BMAM 时，MB 有最小值， 此时. 法二、如图所示 FCB30 ，F 的路径是定射线 DF， 又点 M 是 DF 的中点， D 点为定点，F 点为主动点，M 点为从动点，由瓜豆原理内容可知 M 点的路径亦是
5、一条射线， 取 CD 的中点 N，连接 NM 并延长，则射线 NM 就是 M 点的路径，且 NMCF， 作 BGNM 于点 G，交 CF 于点 H，则 BGCF，故 BGBHHGBHCN426， 线段 BM 的最小值即为 BG，最小值为 6. 4. 如图，在ABC 中，ACB90 ，A30 ，BC2，D 是 AB 上一动点，以 DC 为斜边向右侧作等 腰 RtDCE，使CED90 ，连接 BE，则线段 BE 的最小值为 . 【解答】 【解析】由题意可知 C 为定点，D 点为主动点，路径为线段 AB，点 E 为从动点， DCE 是等腰直角三角形，DCE45 ， 结合瓜豆原理内容可知从动点 E 的
6、路径为一条线段，可以看成是由线段 AB 先绕着定点 C 逆时针旋转 45 ， 再以定点 C 为位似中心，以为位似比缩小来的， 如图，将 BE 的最小距离转化为点到线的最小距离(点 B 到的最短距离)， 由旋转相似可得， ，在中，有，则， 线段 BE 的最小值为. 5. 如图， 已知在扇形 AOB 中， OA3， AOB120 ， C 是在上的动点， 以 BC 为边作正方形 BCDE， 当点 C 从点 A 移动至点 B 时，求点 D 运动的路径长？ 【解答】 【解析】将圆 O 补充完整，延长 BO 交圆 O 于点 F，取的中点 H，连接 FH、HB、BD，如图所示： 由题意可得FHB 是等腰直角
7、三角形，HFHB，FHB90 ， FDB45 FHB，点 D 在圆 H 上运动，轨迹如图中蓝色虚线， HFGHCF15 ，FHG150 ， CHB120 ， 点 D 的运动路径长度为. 6. 如图，A(1，1)，B(1，4)，C(5，4)，点 P 是ABC 边上一动点，连接 OP，以 OP 为斜 边在 OP 的右上方作等腰直角OPQ，当点 P 在ABC 边上运动一周时，求点 Q 的轨迹形成的封闭 图形面积是多少？ 【解答】3 【解析】根据OPQ 是等腰直角三角形可得：Q 点运动轨迹与 P 点轨迹形状相同，根据 OP:OQ ， 可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为， 故面积比为2:1， ABC
8、面积为1/2 3 4 6，故 Q 点轨迹形成的封闭图形面积为 3 7. 如图， 已知点 A 是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点 M， 交直线于点 N， 若点 P 是线段 ON 上的一个动点，APB30 ，BAPA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随 之运动，求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，求点 B 的运动路径长？ 【解答】 【解析】由题意可知，点 N 在直线上，于点 M，则OMN 是等腰直角三角 形， 如图 1，设动点 P 在 O 点(起点)时 ，点 B 的位置为，动点 P 在 N 点(终点)时，点 B 的位置为，连接 ， ， 又， ，相似比为， ， 如图 2，当点 P 运动至 ON 上任意一点时，设其对应的点 B 为，连接 AP、， ， ， ， 又， 点在线段上，即线段就是点 B 运动的路径， 综上所述，点 B 运动的路径是线段，其长度为.
