专题13 几何最值之瓜豆原理巩固练习(提优)-2021年中考数学几何专项复习(教师版含解析)

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资源描述:
几何最值之瓜豆原理巩固练习几何最值之瓜豆原理巩固练习提优提优 1. 点 A 是双曲线在第一象限上的一个动点,连接 AO 并延长交另一交令一分支点 B,以 AB 为斜 边作等腰 RtABC,点 C 在第二象限,随着点 A 的运动,点 C 的位置也在不断变化,但始终在某函数图像 上运动,则这个函数的解析式为 . 【分析】动点 C 可看作是由主动点 A 绕着原点 O 逆时针旋转 90 得到的,所说点 C 所在的图像必然也是双 曲线. 【解答】 【解析】连接 OC,作 CD轴于点 D,AE轴于点 E,如图所示 设点 A 的坐标为,A、B 两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点, 点 A 与点 B 关于原点对称,OAOB, ABC 为等腰直角三角形,OCOA,OCOA, DOCAOE90 , DOCDCO90 ,DCOAOE, 在COD 与OAE 中,,CODOAEAAS, , ,点 C 在反比例函数的图像上. 2. 如图,在 RtABC 中,ACB90 ,AC8,BC6,点 D 是以 A 为圆心,4 为半径的圆上一点,连 接 BD,M 为 BD 的中点,则线段 CM 的长度的最大值为 . 【分析】本题即可用中点模型处理详见本专辑的专题 02 中点模型,也可以用瓜豆原理得到点 M 的轨迹, 将问题转化为点到圆的距离问题,然后求解. 【解答】7 【解析】法一、中点模型 取 AB 的中点 E,连接 EM、CE,如图所示 在 RtABC 中,, E 是 RtABC 斜边上的中点,CE5, M 是 BD 的中点,E 是 AB 的中点,, 在CEM 中,,即, CM 的长度最大值为 7. 法二、瓜豆原理 由 M 为 BD 的中点,结合瓜豆原理内容可得点 M 的轨迹是一个圆,如图所示,M 点的轨迹就是由圆 A 以 定点 B 为位似中心,以为位似比缩小来的. 圆 E 的半径为 2, 当 C、E、M 三点共线时,CM 的长度最大, E 是 RtABC 斜边的中点,CE5,CMCEEM527. 3. 如图,已知线段 AB12,点 C 在线段 AB 上,且ACD 是边长为 4 的等边三角形,以 CD 为边的右 侧作矩形 CDEF,连接 DF,点 M 是 DF 的中点,连接 MB,则线段 MB 的最小值为 . 【解答】6 【解析】法一、连接 AM、CM,如图所示 ACD 为等边三角形,ACAD,DAC60 , 四边形 DCFE 是矩形,点 M 是 DF 的中点,DMCM, 在ADM 与ACM 中,,ADMACMSSS, DAMCAM, DAC60 ,ACM30 ,当 BMAM 时,MB 有最小值, 此时. 法二、如图所示 FCB30 ,F 的路径是定射线 DF, 又点 M 是 DF 的中点,, D 点为定点,F 点为主动点,M 点为从动点,由瓜豆原理内容可知 M 点的路径亦是一条射线, 取 CD 的中点 N,连接 NM 并延长,则射线 NM 就是 M 点的路径,且 NMCF, 作 BGNM 于点 G,交 CF 于点 H,则 BGCF,故 BGBHHGBHCN426, 线段 BM 的最小值即为 BG,最小值为 6. 4. 如图,在ABC 中,ACB90 ,A30 ,BC2,D 是 AB 上一动点,以 DC 为斜边向右侧作等 腰 RtDCE,使CED90 ,连接 BE,则线段 BE 的最小值为 . 【解答】 【解析】由题意可知 C 为定点,D 点为主动点,路径为线段 AB,点 E 为从动点, DCE 是等腰直角三角形,DCE45 ,, 结合瓜豆原理内容可知从动点 E 的路径为一条线段,可以看成是由线段 AB 先绕着定点 C 逆时针旋转 45 , 再以定点 C 为位似中心,以为位似比缩小来的, 如图,将 BE 的最小距离转化为点到线的最小距离点 B 到的最短距离, 由旋转相似可得,, ,在中,有,则, 线段 BE 的最小值为. 5. 如图, 已知在扇形 AOB 中, OA3, AOB120 , C 是在上的动点, 以 BC 为边作正方形 BCDE, 当点 C 从点 A 移动至点 B 时,求点 D 运动的路径长 【解答】 【解析】将圆 O 补充完整,延长 BO 交圆 O 于点 F,取的中点 H,连接 FH、HB、BD,如图所示 由题意可得FHB 是等腰直角三角形,HFHB,FHB90 , FDB45 FHB,点 D 在圆 H 上运动,轨迹如图中蓝色虚线, HFGHCF15 ,FHG150 , CHB120 ,, 点 D 的运动路径长度为. 6. 如图,A1,1,B1,4,C5,4,点 P 是ABC 边上一动点,连接 OP,以 OP 为斜 边在 OP 的右上方作等腰直角OPQ,当点 P 在ABC 边上运动一周时,求点 Q 的轨迹形成的封闭 图形面积是多少 【解答】3 【解析】根据OPQ 是等腰直角三角形可得Q 点运动轨迹与 P 点轨迹形状相同,根据 OPOQ , 可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为, 故面积比为21, ABC面积为1/2 3 4 6,故 Q 点轨迹形成的封闭图形面积为 3 7. 如图, 已知点 A 是第一象限内横坐标为的一个定点,轴于点 M, 交直线于点 N, 若点 P 是线段 ON 上的一个动点,APB30 ,BAPA,则点 P 在线段 ON 上运动时,A 点不变,B 点随 之运动,求当点 P 从点 O 运动到点 N 时,求点 B 的运动路径长 【解答】 【解析】由题意可知,点 N 在直线上,于点 M,则OMN 是等腰直角三角 形,, 如图 1,设动点 P 在 O 点起点时 ,点 B 的位置为,动点 P 在 N 点终点时,点 B 的位置为,连接 , , 又, ,相似比为, , 如图 2,当点 P 运动至 ON 上任意一点时,设其对应的点 B 为,连接 AP、、, , , ,, 又,, 点在线段上,即线段就是点 B 运动的路径, 综上所述,点 B 运动的路径是线段,其长度为.
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