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专题13 几何最值之瓜豆原理巩固练习(提优)-2021年中考数学几何专项复习(教师版含解析)

1、几何最值之瓜豆原理巩固练习几何最值之瓜豆原理巩固练习(提优提优) 1. 点 A 是双曲线在第一象限上的一个动点,连接 AO 并延长交另一交令一分支点 B,以 AB 为斜 边作等腰 RtABC,点 C 在第二象限,随着点 A 的运动,点 C 的位置也在不断变化,但始终在某函数图像 上运动,则这个函数的解析式为 . 【分析】动点 C 可看作是由主动点 A 绕着原点 O 逆时针旋转 90 得到的,所说点 C 所在的图像必然也是双 曲线. 【解答】 【解析】连接 OC,作 CD轴于点 D,AE轴于点 E,如图所示: 设点 A 的坐标为,A、B 两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点, 点 A 与点

2、 B 关于原点对称,OAOB, ABC 为等腰直角三角形,OCOA,OCOA, DOCAOE90 , DOCDCO90 ,DCOAOE, 在COD 与OAE 中,CODOAE(AAS), , ,点 C 在反比例函数的图像上. 2. 如图,在 RtABC 中,ACB90 ,AC8,BC6,点 D 是以 A 为圆心,4 为半径的圆上一点,连 接 BD,M 为 BD 的中点,则线段 CM 的长度的最大值为 . 【分析】本题即可用中点模型处理(详见本专辑的专题 02 中点模型),也可以用瓜豆原理得到点 M 的轨迹, 将问题转化为点到圆的距离问题,然后求解. 【解答】7 【解析】法一、中点模型 取 AB

3、 的中点 E,连接 EM、CE,如图所示: 在 RtABC 中, E 是 RtABC 斜边上的中点,CE5, M 是 BD 的中点,E 是 AB 的中点, 在CEM 中,即, CM 的长度最大值为 7. 法二、瓜豆原理 由 M 为 BD 的中点,结合瓜豆原理内容可得点 M 的轨迹是一个圆,如图所示,M 点的轨迹就是由圆 A 以 定点 B 为位似中心,以为位似比缩小来的. 圆 E 的半径为 2, 当 C、E、M 三点共线时,CM 的长度最大, E 是 RtABC 斜边的中点,CE5,CMCEEM527. 3. 如图,已知线段 AB12,点 C 在线段 AB 上,且ACD 是边长为 4 的等边三角

4、形,以 CD 为边的右 侧作矩形 CDEF,连接 DF,点 M 是 DF 的中点,连接 MB,则线段 MB 的最小值为 . 【解答】6 【解析】法一、连接 AM、CM,如图所示: ACD 为等边三角形,ACAD,DAC60 , 四边形 DCFE 是矩形,点 M 是 DF 的中点,DMCM, 在ADM 与ACM 中,ADMACM(SSS), DAMCAM, DAC60 ,ACM30 ,当 BMAM 时,MB 有最小值, 此时. 法二、如图所示 FCB30 ,F 的路径是定射线 DF, 又点 M 是 DF 的中点, D 点为定点,F 点为主动点,M 点为从动点,由瓜豆原理内容可知 M 点的路径亦是

5、一条射线, 取 CD 的中点 N,连接 NM 并延长,则射线 NM 就是 M 点的路径,且 NMCF, 作 BGNM 于点 G,交 CF 于点 H,则 BGCF,故 BGBHHGBHCN426, 线段 BM 的最小值即为 BG,最小值为 6. 4. 如图,在ABC 中,ACB90 ,A30 ,BC2,D 是 AB 上一动点,以 DC 为斜边向右侧作等 腰 RtDCE,使CED90 ,连接 BE,则线段 BE 的最小值为 . 【解答】 【解析】由题意可知 C 为定点,D 点为主动点,路径为线段 AB,点 E 为从动点, DCE 是等腰直角三角形,DCE45 , 结合瓜豆原理内容可知从动点 E 的

6、路径为一条线段,可以看成是由线段 AB 先绕着定点 C 逆时针旋转 45 , 再以定点 C 为位似中心,以为位似比缩小来的, 如图,将 BE 的最小距离转化为点到线的最小距离(点 B 到的最短距离), 由旋转相似可得, ,在中,有,则, 线段 BE 的最小值为. 5. 如图, 已知在扇形 AOB 中, OA3, AOB120 , C 是在上的动点, 以 BC 为边作正方形 BCDE, 当点 C 从点 A 移动至点 B 时,求点 D 运动的路径长? 【解答】 【解析】将圆 O 补充完整,延长 BO 交圆 O 于点 F,取的中点 H,连接 FH、HB、BD,如图所示: 由题意可得FHB 是等腰直角

7、三角形,HFHB,FHB90 , FDB45 FHB,点 D 在圆 H 上运动,轨迹如图中蓝色虚线, HFGHCF15 ,FHG150 , CHB120 , 点 D 的运动路径长度为. 6. 如图,A(1,1),B(1,4),C(5,4),点 P 是ABC 边上一动点,连接 OP,以 OP 为斜 边在 OP 的右上方作等腰直角OPQ,当点 P 在ABC 边上运动一周时,求点 Q 的轨迹形成的封闭 图形面积是多少? 【解答】3 【解析】根据OPQ 是等腰直角三角形可得:Q 点运动轨迹与 P 点轨迹形状相同,根据 OP:OQ , 可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为, 故面积比为2:1, ABC

8、面积为1/2 3 4 6,故 Q 点轨迹形成的封闭图形面积为 3 7. 如图, 已知点 A 是第一象限内横坐标为的一个定点,轴于点 M, 交直线于点 N, 若点 P 是线段 ON 上的一个动点,APB30 ,BAPA,则点 P 在线段 ON 上运动时,A 点不变,B 点随 之运动,求当点 P 从点 O 运动到点 N 时,求点 B 的运动路径长? 【解答】 【解析】由题意可知,点 N 在直线上,于点 M,则OMN 是等腰直角三角 形, 如图 1,设动点 P 在 O 点(起点)时 ,点 B 的位置为,动点 P 在 N 点(终点)时,点 B 的位置为,连接 , , 又, ,相似比为, , 如图 2,当点 P 运动至 ON 上任意一点时,设其对应的点 B 为,连接 AP、, , , , 又, 点在线段上,即线段就是点 B 运动的路径, 综上所述,点 B 运动的路径是线段,其长度为.