专题13 圆的必考综合题再精练(解析版)-备战2021年中考数学查缺补漏再训练26个微专题

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1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 13 圆的必考综合题再精练圆的必考综合题再精练( (共共 1 17 7 道道题题) ) 1. (20202020 福建)福建) 如图,AB与 O相切于点B,AO交O于点C,AO的延长线交O于点D,E是BCD 上不与,B D重合的点, 1 sin 2 A (1)求BED的大小; (2)若O的半径为 3,点F在AB的延长线上,且3 3BF ,求证:DF与O相切 【答案】 (1)60 ; (2)详见解析 【解析】(1)连接 OB,在 RtAOB 中由 1 sin

2、2 A 求出A=30 ,进而求出AOB=60 ,BOD=120 ,再 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出BED 的值; (2)连接 OF,在 RtOBF中,由tan3 BF BOF OB 可以求出BOF=60 ,进而得到FOD=60 ,再证 明 FOBFOD,得到ODF=OBF=90 解:(1)连接OB, AB与O相切于点B, OBAB, 1 sin 2 A ,30A , 60AOB,则120BOD 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知: 1 60 2 BEDBOD 故答案为:60 (2)连接OF, 由(1)得OBAB,120BOD, 3OB, 3 3BF ,tan 3 BF BOF

3、 OB , 60BOF,60DOF 在BOF与DOF中, OBOD BOFDOF OFOF ()BOFDOF SAS, 90ODFOBF 又点D在O上,故DF与O相切 2 2 ( (20212021 齐齐哈尔齐齐哈尔模拟模拟)如图,以ABC的边BC为直径作O,点A在O上,点D在线段BC的延 长线上,ADAB,D30 (1)求证:直线AD是O的切线; (2)若直径BC4,求图中阴影部分的面积 【答案】见解析。 【解析】 (1)证明:连接OA,则COA2B, ADAB, BD30, COA60, OAD180603090, OAAD, 即CD是O的切线; (2)解:BC4, OAOC2, 在 Rt

4、OAD中,OA2,D30, OD2OA4,AD2, 所以SOADOAAD222, 因为COA60, 所以S 扇形COA , 所以S 阴影SOADS扇形COA2 3.(20202020 湖北黄石)湖北黄石)如图,在Rt ABC中, 90C,AD平分BAC交BC于点 D,O为AB上一点, 经过点 A、D 的O分别交AB、AC于点 E、F (1)求证:BC是O的切线; (2)若8BE , 5 sin 13 B ,求O的半径; (3)求证: 2 ADAB AF 【答案】 (1)见解析(2)8(3)见解析 【解析】 (1)连接 OD,由 AD 为角平分线得到一对角相等,再由等边对等角得到一对角相等,等量

5、代换得 到内错角相等,进而得到 OD 与 AC平行,得到 OD与 BC垂直,即可得证; (2)连接 EF,设圆的半径为 r,由 sinB的值,利用锐角三角函数定义即可求出 r的值; (3) 先判断出AEFB 再判断出AEFADF, 进而得出BADF, 进而判断出ABDADF, 即可得出结论 【详解】 (1)如图,连接 OD,则 OAOD, ODAOAD, AD是BAC的平分线, OADCAD, ODACAD, ODAC, ODBC90, 点 D在O上, BC是O的切线; (2)由(1)知,ODBC, BDO90, 设O的半径为 R,则 OAODOER, BE8, OBBEOE8R, 在 RtB

6、DO中,sinB 5 13 , sinB 8 ODR OBR 5 13 , R5; (3) 连接 OD,DF,EF, AE是O的直径, AFE90C, EFBC, BAEF, AEFADF, BADF, 由(1)知,BADDAF, ABDADF, ABAD ADAF , AD2ABAF 【点睛】此题是圆的综合题,主要考查了切线的判定,圆周角的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三 角函数,求出圆的半径是解本题的关键 4. (2020 贵州遵义)贵州遵义)如图,AB是 O的直径,点C是O上一点,CAB的平分线AD交BC于点D, 过点D作/DE BC交AC的延长线于点E (1)求证:DE是O的切线;

7、 (2)过点D作DFAB于点F,连接BD若1OF ,2BF ,求BD的长度 【答案】 (1)见解析; (2)2 3BD 【解析】 (1)连接 OD,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出ADODAE,从而 ODAE,由 DEBC得E90 ,由两直线平行,同旁内角互补得出ODE90 ,由切线的判定定理得出答案; (2)先由直径所对的圆周角是直角得出ADB90 ,再由 OF1,BF2 得出 OB的值,进而得出 AF和 BA 的值,然后证明DBFABD,由相似三角形的性质得比例式,从而求得 BD2的值,求算术平方根即 可得出 BD的值 解: (1)连接 OD,如图: OAOD, OADADO, AD

8、平分CAB, DAEOAD, ADODAE, ODAE, DEBC, E90 , ODE180E90 , DE是O的切线; (2)因AB为直径,则90ADB 1OF ,2BF OB=3 4AF ,6BA ADB=DFB=90, B=B DBFABD BFBD BDAB 2 2 612BDBF BA 所以2 3BD 5. (2020 湖北鄂州)湖北鄂州)如图所示: O与ABC的边BC相切于点 C,与AC、AB分别交于点 D、E, /DE OBDC是O的直径连接OE,过 C作/CG OE交O于 G,连接DG、EC,DG与EC交 于点 F (1)求证:直线AB与O相切; (2)求证:AE EDAC

9、EF; (3)若 1 3,tan 2 EFACE时,过 A作/AN CE交O于 M、N 两点(M在线段AN上) ,求AN的 长 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 10+2 5 【解析】(1)DE/OB,BOC=EDC, CG/OE,DEO=BOE, 又DEO=EDC,DEO=BOE, 由题意得:EO=CO,BO=BO, BOEBOC(SAS), BEO=BCO=90, AB是O的切线 (2) 如图所示 DG与 OE 交点作为 H 点, EO/GC, EHD=DGC=90, 又由(1)所知AEO=90, AE/DF, AECDFC, AEDF ACDC , 由圆周角定理可知EDG=

10、ECG,EOD=2ECD, DO/GC, EOD=GCD=GCE+ECD, ECD=GCE=EDF, 又FED=DEC, FEDDEC, DFEF DCED , AEEF ACED ,即AE EDAC EF (3) 1 3,tan 2 EFACE,与ACE相等角的 tan值都相同 ED=6,则 EC=12, 根据勾股定理可得 22 36 1446 5CDEDEC EO=DO=CO=3 5 由(2)可得 1 2 AEEF ACED , 在 RtAEO中,可得 222 AOAEEO ,即 2 22 ACOCAEEO, 22 2 23 53 5AEAE, 解得 AE=4 5,则 AC=8 5,AO=

11、5 5 连接 ON,延长 BO 交 MN于点 I,根据垂径定理可知 OIMN, AN/CE,CAN=ACE 在 RtAIO中,可得 222 AOAIIO ,即 2 2 2 5 52OIOI, 解得 OI=5,则 AI=10, 在 RtOIN中, 222 ONINIO ,即 2 22 3 55IN, 解得 IN=2 5 AN=AI+IN=10+2 5 【点睛】本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目 给出的条件 6. (20212021 福建模拟)福建模拟)如图, 在ABC 中,90C,AD平分BAC交BC于点D,过点A和点D的圆, 圆心O在线段A

12、B上,O交AB于点E,交AC于点F (1)判断BC与O的位置关系,并说明理由; (2)若8AD,10AE ,求BD长 【答案】 (1)BC与O相切证明见解析; (2)120. 7 【解析】 (1)利用角平分线的定义证明,OADCAD 结合等腰三角形的性质证明,ODACAD 从 而证明/ /,ODAC结合90C可得答案; (2)连接DE,先利用勾股定理求解DE的长,再证明,BDEBAD 利用相似三角形的性质列方程组 求解即可得到答案 解: (1)BC与O相切 理由如下: 如图,连接OD, AD平分BAC, ,OADCAD ,OAODQ ,ODAOAD ,ODACAD / /,ODAC 90 ,C

13、 90 ,ODBC DQ在O上, BC是O的切线 (2)连接,DE AE为O的直径, 90 ,ADE 8AD,10AE , 22 6,DEAEAD 90 ,ODBADE 90 ,BDEODEADOODE ,BDEADO ,ODOA ,ADODAO ,BDEDAO ,BB ,BDEBAD , BDDEBE BAADBD 6 , 108 BDBE BEBD 2 68 , 10 BDBE BDBEBE 解得: 120 . 7 BD 所以:BD的长为:120. 7 【点睛】本题考查的切线的判定与性质,圆的基本性质,圆周角定理,三角形相似的判定与性质,勾股定 理的应用,掌握以上知识是解题的关键 7.(2

14、0202020 贵州黔西南)贵州黔西南)古希腊数学家毕达哥拉斯认为: “一切平面图形中最美的是圆” 请研究如下美丽的 圆如图,线段 AB 是O 的直径,延长 AB 至点 C,使 BCOB,点 E 是线段 OB 的中点,DEAB 交O 于点 D,点 P 是O 上一动点(不与点 A,B 重合) ,连接 CD,PE,PC (1)求证:CD 是O 的切线; (2)小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以 证明 【答案】 (1)见解析; (2) 1 2 ,解析 【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质 (1)连接 OD,DB,由已

15、知可得 DE 垂直 平分 OB,于是 DBDO,而 OBOD,所以 DBDOOB,即ODB 是等边三角形,于是BDO60,再由等 腰三角形的性质及三角形的外角性质可得CDB30,从而可得ODC90,所以 ODCD,所以 CD 是 O 的切线; (2)连接 OP,由已知条件得 OPOBBC2OE,再利用“两组边成比例,夹角相等”证明OEP OPC,最后由相似三角形的对应边成比例得到结论 【详解】解: (1)如答图,连接 OD,DB,点 E 是线段 OB 的中点,DEAB 交O 于点 D,DE 垂直平分 OB, DBDO DOOB, DBDOOB, ODB 是等边三角形, BDODBO60 BCO

16、BBD, 且DBE 为BDC 的外角,BCDBDC 1 2 DBODBO60,CDB30ODCBDO BDC603090,ODCD,CD 是O 的切线; (2)这个确定的值是 1 2 证明:如答图,连接 OP,OPOBBC2OE, OE OP OP OC 1 2 ,又COPPOE,OEPOPC, PE PC OP OC 1 2 【点拨】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关性质及定理是解题的关 键 8.(2021 江苏苏州模拟)江苏苏州模拟)如图,AB是O的直径,点 C 是O 上一点(与点 A,B不重合) ,过点 C作直线 PQ,使得ACQABC (1)求证:直线 P

17、Q是O的切线 (2)过点 A 作 ADPQ 于点 D,交O于点 E,若O的半径为 2,sinDAC 1 2 ,求图中阴影部分的面 积 【答案】 (1)见解析; (2) 2 3 3 【解析】 (1)连接 OC,由直径所对的圆周角为直角,可得ACB90;利用等腰三角形的性质及已知条 件ACQABC,可求得OCQ90,按照切线的判定定理可得结论 (2)由 sinDAC 1 2 ,可得DAC30,从而可得ACD的 度数,进而判定AEO为等边三角形, 则AOE的度数可得;利用 S阴影S扇形SAEO,可求得答案 【详解】解: (1)证明:如图,连接 OC, AB 是O的直径, ACB90, OAOC, C

18、ABACO ACQABC, CAB+ABCACO+ACQOCQ90,即 OCPQ, 直线 PQ是O的切线 (2)连接 OE, sinDAC 1 2 ,ADPQ, DAC30 ,ACDABC=60 BAC=30, BAD=DAC+BAC=60, 又OAOE, AEO为等边三角形, AOE60 S阴影S扇形SAEO S扇形 1 2 OAOEsin60 2 6013 22 2 36022 2 3 3 图中阴影部分的面积为 2 3 3 9.(2021 重庆模拟)重庆模拟)如图,在O中,AB为O的直径,C为O上一点,P 是BC的中点,过点 P 作 AC 的垂线,交 AC的延长线于点 D (1)求证:DP

19、 是O的切线; (2)若 AC=5, 5 sin 13 APC,求 AP 的长 【答案】 (1)见解析; (2)AP=3 13 【解析】 (1)根据题意连接 OP,直接利用切线的定理进行分析证明即可; (2)根据题意连接 BC,交于 OP 于点 G, 利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可. 解: (1)证明:连接 OP; OP=OA; 1=2; 又P 为BC的中点; PC PB 1=3; 3=2; OPDA; D=90 ; OPD=90 ; 又OP 为O半径; DP 为O 的切线; (2)连接 BC,交于 OP于点 G; AB是圆 O 的直径; ACB 为直角; 5 sin

20、 13 APC sinABC= 5 13 AC=5,则 AB=13,半径为13 2 由勾股定理的 BC= 22 13512-= ,那么 CG=6 又四边形 DCGP 为矩形; GP=DC=6.5-2.5=4 AD=5+4=9; Rt ADP 中,AP= 2222 963 13ADDP . 10. (20202020 四川成都)四川成都) 如图, 在ABC的边BC上取一点O, 以O为圆心,OC为半径画O, O 与边AB 相切于点D,ACAD,连接OA交O 于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F (1)求证:AC是O 的切线; (2)若10AB, 4 tan 3 B ,求O 的半径; (3)若F

21、是AB的中点,试探究BDCE与AF的数量关系并说明理由 【答案】 (1)见解析; (2) 8 3 ; (3)AFBD CE,理由见解析 【解析】(1) 连接 OD, 由切线的性质可得ADO=90, 由 “SSS” 可证ACOADO, 可得ADO=ACO=90, 可得结论; (2)由锐角三角函数可设 AC=4x,BC=3x,由勾股定理可求 BC=6,再由勾股定理可求解; (3)连接 OD,DE,由“SAS”可知COEDOE,可得OCE=OED,由三角形内角和定理可得DEF=180 -OEC-OED=180-2OCE, DFE=180-BCF-CBF=180-2OCE, 可得DEF=DFE, 可证

22、 DE=DF=CE, 可得结论 解: (1)如图,连接 OD, O 与边 AB 相切于点 D, ODAB,即ADO=90, AO=AO,AC=AD,OC=OD, ACOADO(SSS) , ADO=ACO=90, 又OC 是半径, AC 是O 的切线; (2)在 RtABC 中,tanB= 4 3 = AC BC , 设 AC=4x,BC=3x, AC 2+BC2=AB2, 16x 2+9x2=100, x=2, BC=6, AC=AD=8,AB=10, BD=2, OB 2=OD2+BD2, (6-OC) 2=OC2+4, OC= 8 3 , 故O 的半径为 8 3 ; (3)连接 OD,D

23、E, 由(1)可知:ACOADO, ACO=ADO=90,AOC=AOD, 又CO=DO,OE=OE, COEDOE(SAS) , OCE=ODE, OC=OE=OD, OCE=OEC=OED=ODE, DEF=180-OEC-OED=180-2OCE, 点 F 是 AB 中点,ACB=90, CF=BF=AF, FCB=FBC, DFE=180-BCF-CBF=180-2OCE, DEF=DFE, DE=DF=CE, AF=BF=DF+BD=CE+BD 【点睛】本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,切线的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股 定理,锐角三角函数等知识,灵活运用这些性质进行

24、推理是本题的关键 11. (2020 甘肃威武)甘肃威武) 如图, 圆O是ABC的外接圆, 其切线AE与直径BD的延长线相交于点E, 且A E A B (1)求ACB的度数; (2)若2DE ,求圆O的半径 【答案】 (1)ACB的度数为60; (2)圆 O的半径为 2 【解析】 (1)如图(见解析) ,设Ex ,先根据等腰三角形的性质得出ABEEx ,再根据圆的 性质可得OAOB,从而可得OABABOx,然后根据圆的切线的性质可得OAAE,又根据三 角形的内角和定理可求出 x 的值,从而可得AOB的度数,最后根据圆周角定理即可得; (2)如图(见解析) ,设圆 O 的半径为r,先根据圆周角定

25、理得出90BAD,再根据直角三角形的性质 可得3ABr,从而可得3AEr,然后在Rt AOE中,利用勾股定理求解即可得 【详解】 (1)如图,连接 OA 设Ex AEABQ ABEEx OAOB OABABOx,1801802AOBOABABOx AE 是圆 O的切线 OAAE,即90OAE 90BAEOABOAEx 在ABE中,由三角形的内角和定理得:180ABEEBAE 即90180 xxx 解得30 x 18021802 30120AOBx 则由圆周角定理得: 11 12060 22 ACBAOB 故ACB的度数为60; (2)如图,连接 AD 设圆 O的半径为r,则,2OAODr BD

26、r 2DE 2OEODDEr BD 是圆 O的直径 90BAD 由(1)可知,30ABD 则在RtABD中, 22 1 ,3 2 ADBDr ABBDADr 3AEr 在Rt AOE中,由勾股定理得: 222 OAAEOE,即 222 ( 3 )(2)rrr 解得2r =或 2 3 r (不符题意,舍去) 则圆 O的半径为 2 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点,较难的是题 (2) ,通过作辅助线,利用圆周角定理是解题关键 12 (2021 湖北襄阳模拟湖北襄阳模拟)如图,四边形 ABCD 内接于O,ABAC,ACBD,垂足为 E,点 F 在 BD

27、 的 延长线上,且 DFDC,连接 AF、CF (1)求证:BAC2CAD; (2)若 AF10,BC4,求 tanBAD 的值 【答案】见解析。 【分析】 (1)根据等腰三角形的性质得出ABCACB,根据圆心角、弧、弦的关系得到,即可 得到ABCADB,根据三角形内角和定理得到ABC(180BAC) 90BAC, ADB 90CAD,从而得到BACCAD,即可证得结论; (2)易证得 BCCF4,即可证得 AC 垂直平分 BF,证得 ABAF10,根据勾股定理求得 AE、CE、 BE,根据相交弦定理求得 DE,即可求得 BD,然后根据三角形面积公式求得 DH,进而求得 AH,解直角三 角函数

28、求得 tanBAD 的值 解: (1)ABAC, ,ABCACB, ABCADB,ABC(180BAC)90BAC, BDAC, ADB90CAD, BACCAD, BAC2CAD; (2)解:DFDC, DFCDCF, BDC2DFC, BFCBDCBACFBC, CBCF, 又 BDAC, AC 是线段 BF 的中垂线,ABAF10,AC10 又 BC4, 设 AEx,CE10 x, 由 AB2AE2BC2CE2,得 100 x280(10 x)2, 解得 x6, AE6,BE8,CE4, DE3, BDBE+DE3+811, 作 DHAB,垂足为 H, ABDHBDAE, DH, BH,

29、 AHABBH10, tanBAD 13 ( (2021 海南模拟)海南模拟)如图,正六边形 ABCDEF 内接于O,BE 是O 的直径,连接 BF,延长 BA,过 F 作 FGBA,垂足为 G (1)求证:FG 是O 的切线; (2)已知 FG2,求图中阴影部分的面积 【答案】见解析。 【解析】 (1)证明:连接 OF,AO, ABAFEF, , ABFAFBEBF30, OBOF, OBFBFO30, ABFOFB, ABOF, FGBA, OFFG, FG 是O 的切线; (2)解:, AOF60, OAOF, AOF 是等边三角形, AFO60, AFG30, FG2, AF4, AO

30、4, AFBE, SABFSAOF, 图中阴影部分的面积 14 (20212021 深圳模拟深圳模拟)如题 24-1 图,在ABC 中,AB=AC,O 是ABC 的外接圆,过点 C 作BCD= ACB 交O 于点 D,连接 AD 交 BC 于点 E,延长 DC 至点 F,使 CF=AC,连接 AF (1)求证:ED=EC; (2)求证:AF 是O 的切线; (3)如题 24-2 图,若点 G 是ACD 的内心,BCBE=25,求 BG 的长 【答案】 (1)证明:AB=AC B=ACB BCD=ACB B=BCD AC= AC B=D BCD=D ED=EC (2)证明: 连接 AO 并延长交

31、O 于点 G,连接 CG 由(1)得B=BCD ABDF AB=AC,CF=AC AB=CF 四边形 ABCF 是平行四边形 CAF=ACB AG 为直径 ACG=90,即G+GAC=90 G=B,B=ACB ACB+GAC=90 CAF+GAC=90即OAF=90 点 A 在O 上 AF 是O 的切线 (3)解: 连接 AG BCD=ACB,BCD=1 1=ACB B=B ABECBA BC AB AB BE BCBE=25 AB2=25 AB=5 点 G 是ACD 的内心 2=3 BGA=3+BCA=3+BCD=3+1=3+2=BAG BG=AB=5 【考点】圆的综合应用,等弧等弦等角的转

32、换,切线的证明,垂径定理的逆应用,内心的概念,相似三角形的 应用,外角的应用,等量代换的意识 15 (2021 广西百色广西百色模拟模拟)如图,已知 AC、AD 是O 的两条割线,AC 与O 交于 B、C 两点,AD 过圆心 O 且与O 交于 E、D 两点,OB 平分AOC (1)求证:ACDABO; (2)过点 E 的切线交 AC 于 F,若 EFOC,OC3,求 EF 的值 提示: (+1) (1)1 【答案】见解析。 【解析】 (1)由题意可得BOEAOCD,且AA,即可证ACDABO; (2)由切线的性质和勾股定理可求 CD 的长,由相似三角形的性质可求 AE3,由平行线分线段成比例

33、可得,即可求 EF 的值 证明: (1)OB 平分AOC BOEAOC OCOD DOCD AOCD+OCD DAOC DBOE,且AA ACDABO (2)EF 切O 于 E OEF90 EFOC DOCOEF90 OCOD3 CD3 AC DABO AE3 EFOC EF63 1616 ( (20212021 湖北黄冈模拟)湖北黄冈模拟)如图,在 RtABC 中,ACB90,以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D,过点 D 作 O 的切线交 BC 于点 E,连接 OE (1)求证:DBE 是等腰三角形; (2)求证:COECAB 【答案】见解析。 【解析】 (1)连接 OD,由 DE 是

34、O 的切线,得出ODE90,ADO+BDE90,由ACB90,得 出CAB+CBA90,证出CABADO,得出BDECBA,即可得出结论; (2)证出 CB 是O 的切线,得出 DEEC,推出 ECEB,再由 OAOC,得出 OEAB,即可得出结论 证明: (1)连接 OD,如图所示: DE 是O 的切线, ODE90, ADO+BDE90, ACB90, CAB+CBA90, OAOD, CABADO, BDECBA, EBED, DBE 是等腰三角形; (2)ACB90,AC 是O 的直径, CB 是O 的切线, DE 是O 的切线, DEEC, EBED, ECEB, OAOC, OEA

35、B, COECAB 17. (20202020 湖北恩施州)湖北恩施州)如图,AB是 O的直径,直线AM与O相切于点A,直线BN与O相切于 点B,点C(异于点A)在AM上,点D在O上,且CDCA,延长CD与BN相交于点 E,连接AD 并延长交BN于点F (1)求证:CE是O的切线; (2)求证:BEEF; (3) 如图, 连接EO并延长与O分别相交于点G、H, 连接BH 若6AB,4AC , 求t a nB H E 【答案】 (1)见详解; (2)见详解; (3) 1 3 【解析】 (1)连接 OD,根据等边对等角可知:CAD=CDA,OAD=ODA,再根据切线的性质可知 CAO=CAD+OA

36、D=CDA+ODA=90=ODC,由切线的判定定理可得结论; (2)连接 BD,根据等边对等角可知ODB=OBD,再根据切线的性质可知ODE=OBE=90,由等 量减等量差相等得EDB=EBD,再根据等角对等边得到 ED=EB,然后根据平行线的性质及对顶角相等 可得EDF=EFD,推出 DE=EF,由此得出结论; (3)过 E 点作 ELAM于 L,根据勾股定理可求出 BE的长,即可求出 tanBOE 的值,再利用倍角公式 即可求出 tanBHE的值 【详解】 (1)连接 OD, CDCA, CAD=CDA, OA=OD OAD =ODA, 直线AM与O相切于点A, CAO=CAD+OAD=9

37、0 ODC=CDA+ODA=90 CE是O的切线; (2)连接 BD OD=OB ODB=OBD, CE是O的切线,BF是O的切线, OBD=ODE=90 EDB=EBD ED=EB AMAB,BNAB AMBN CAD=BFD CAD=CDA=EDF BFD=EDF EF=ED BE=EF (3)过 E 点作 ELAM于 L,则四边形 ABEL是矩形, 设 BE=x,则 CL=4-x,CE=4+X (4+x)2=(4-x)2+62 解得:x= 9 4 9 3 4 tan 34 BE BOE OB BOE=2BHE 2 2tan3 tan 1tan4 BHE BOE BHE 解得:tanBHE= 1 3 或-3(-3 不和题意舍去) tanBHE= 1 3 【点睛】 本题主要考查了切线的判定和性质, 等腰三角形的判定和性质, 平行线的判定和性质, 三角函数/, 勾股定理等知识,熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键

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