专题14 几何最值之胡不归巩固练习(提优)-2021年中考数学几何专项复习(教师版含解析)

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资源描述

1、几何最值之胡不归巩固练习几何最值之胡不归巩固练习(提优提优) 1 如图,抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点,过 B 的直线交抛物线于 E,且 tanEBA,有 一只蚂蚁从 A 出发, 先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处, 再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点处觅食,则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是 s 【解答】 【解析】过点 E 作 x 轴的平行线,再过 D 点作 y 轴的平行线,两线相交于点 H,如图, EHAB, HEBABE, tanHEDtanEBA, 设 DH4m,EH3m,则 DE5m, 蚂蚁从 D 爬到 E 点的时间4(

2、s) 若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位/s,则蚂蚁从 D 爬到 H 点的时间4(s), 蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等, 蚂蚁从 A 出发,先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处,再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从 A 以 1 单位/s 的速度爬到 D 点,再从 D 点以 1 单位/s 速度爬到 H 点的时间, 作 AGEH 于 G,则 ADDHAHAG, ADDH 的最小值为 AQ 的长, 当 y0 时,x22x30,解得 x11,x23,则 A(1,0),B(3,0), 直线 B

3、E 交 y 轴于 C 点,如图, 在 RtOBC 中,tanCBO, OC4,则 C(0,4), 设直线 BE 的解析式为 ykxb, 把 B(3,0),C(0,4)代入得,解得, 直线 BE 的解析式为, 解方程组得或,则 E 点坐标为, , 蚂蚁从 A 爬到 G 点的时间(s), 即蚂蚁从 A 到 E 的最短时间为 2 如图,在ACE 中,CACE,CAE30 ,O 经过点 C,且圆的直径 AB 在线段 AE 上 (1)证明:CE 是O 的切线; (2)若ACE 中 AE 边上的高为 h,试用含 h 的代数式表示O 的直径 AB; (3)设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点),连接

4、 OD,当CDOD 的最小值为 6 时,求O 的直径 AB 的长 【解答】(1)见解析;(2);(3)AB8 【解析】(1)连接 OC,如图, CACE,CAE30 , ECAE30 ,COE2A60 , OCE90 , CE 是O 的切线; (2)过点 C 作 CHAB 于 H,连接 OC,如图, 由题可得 CHh 在 RtOHC 中,CHOCsinCOH, hOCsin60 OC, OC h, AB2OC h; (3)作 OF 平分AOC,交O 于 F,连接 AF、CF、DF,如图, 则AOFCOF AOC (180 60 )60 OAOFOC, AOF、COF 是等边三角形, AFAOO

5、CFC, 四边形 AOCF 是菱形, 根据对称性可得 DFDO 过点 D 作 DHOC 于 H, OAOC,OCAOAC30 , DHDCsinDCHDCsin30 DC, CDODDHFD 根据两点之间线段最短可得: 当 F、D、H 三点共线时,DHFD(即CDOD)最小, 此时 FHOFsinFOH OF6, 则 OF4,AB2OF8 当CDOD 的最小值为 6 时,O 的直径 AB 的长为 8 3. 抛物线与 轴交于点 A、B(A 在 B 的左边),与 轴交于点 C,点 P 是直 线 AC 上方抛物线上的一点,PF 轴于点 F,PF 与线段 AC 交于点 E,将线段 OB 沿 轴左右平移

6、,线段 OB 的对应线段是,当的值最大时, 求四边形周长的最小值, 并求出对应的点 的坐标. 【解答】 【解析】在抛物线中, 令,即,解得, , 令,解得, 设直线 AC 的解析式为,将 A、C 两个点坐标代入得, 解得,直线 AC 的解析式为, 设,PF 轴,且点 E 在直线 AC 上,点 P 在直线 AB 上方的抛物线上, , , , ,CAO30 , 过点 E 作 EHAB 交 y 轴于点 H,则 EHy 轴且CEHCAO30, PFx 轴,FOOH,EHy 轴,四边形 EFOH 为矩形, , 当时,取得最大值,此时, ,PC 轴, PF 轴,CO 轴,四边形 PFOC 为矩形, , 作

7、 C 关于 轴的对称点 D,连接 DB1,则 B1C=B1D, 过 O1作 OQB1D 且 O1Q=B1D,连接 DQ、PQ,PQ 交 轴于点 G.则四边形 O1B1DQ 为平行四边形. 当最小时,四边形的周长最小, 而,当点与 G 重合时,的值最小为 PQ 的长, 点 C、D 关于 轴对称,且, , 的最小值为,即四边形的周长的最小值为, 设直线 PQ 的解析式为, 将 P、Q 坐标代入得,解得, , 令,解得,即. 4如图,已知抛物线 y(x2)(x4)(k 为常数,且 k0)与 x 轴从左至右依次交于 A,B 两点,与 y 轴 交于点 C,经过点 B 的直线 yxb 与抛物线的另一交点为

8、 D (1)若点 D 的横坐标为5,求抛物线的函数表达式; (2)若在第一象限内的抛物线上有点 P,使得以 A,B,P 为顶点的三角形与ABC 相似,求 k 的值; (3)在(1)的条件下,设 F 为线段 BD 上一点(不含端点),连接 AF,一动点 M 从点 A 出发,沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F,再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止,当点 F 的坐标是多少时, 点 M 在整个运动过程中用时最少? 【解答】(1);(2)或;(3)当点 F 坐标为(2,)时,点 M 在整个运动过程中用时最少. 【解析】(1)抛物线 y(x2)(x4), 令 y0,解得

9、 x2 或 x4, A(2,0),B(4,0) 直线经过点 B(4,0), 4b0,解得 b , 直线 BD 解析式为: 当 x5 时,y , D(5,) 点 D(5,)在抛物线 y(x2)(x4)上, (52)(54) , 抛物线的函数表达式为:(x2)(x4) 即 (2)由抛物线解析式,令 x0,得 yk, C(0,k),OCk 因为点 P 在第一象限内的抛物线上,所以ABP 为钝角 因此若两个三角形相似,只可能是ABCAPB 或ABCPAB 若ABCAPB,则有BACPAB,如答图 21 所示 设 P(x,y),过点 P 作 PNx 轴于点 N,则 ONx,PNy tanBACtanPA

10、B,即:, P(x,xk),代入抛物线解析式 y (x2)(x4), 得(x2)(x4)xk,整理得:x26x160, 解得:x8 或 x2(与点 A 重合,舍去), P(8,5k) ABCAPB, ,即, 解得: 若ABCPAB,则有ABCPAB,如答图 22 所示 设 P(x,y),过点 P 作 PNx 轴于点 N,则 ONx,PNy tanABCtanPAB,即:, P(x,x),代入抛物线解析式 y(x2)(x4), 得(x2)(x4)x,整理得:x24x120, 解得:x6 或 x2(与点 A 重合,舍去), P(6,2k) ABCPAB, , , 解得, k0, , 综上所述,或

11、(3)方法一: 如答图 3,由(1)知:D(5,), 如答图 22,过点 D 作 DNx 轴于点 N,则 DN,ON5,BN459, tanDBA, DBA30 过点 D 作 DKx 轴,则KDFDBA30 过点 F 作 FGDK 于点 G,则 FGDF 由题意,动点 M 运动的路径为折线 AFDF,运动时间:tAFDF, tAFFG,即运动的时间值等于折线 AFFG 的长度值 由垂线段最短可知,折线 AFFG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段 过点 A 作 AHDK 于点 H,则 t最小AH,AH 与直线 BD 的交点,即为所求之 F 点 A 点横坐标为2,直线 BD 解析式为

12、:, , F(2,) 综上所述,当点 F 坐标为(2,)时,点 M 在整个运动过程中用时最少 方法二: 作 DKAB,AHDK,AH 交直线 BD 于点 F, DBA30 , BDH30 , FHDFsin30 , 当且仅当 AHDK 时,AFFH 最小, 点 M 在整个运动中用时为:, lBD:, FXAX2, F(2,) 5 (1)如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 4,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个动点,求 PDPC 的最小值和 PDPC 的最大值; (2)如图 2,已知正方形 ABCD 的边长为 9,圆 B 的半径为 6,点 P 是圆 B 上的一个动点,那么 P

13、DPC 的最小值为 ,PDPC 的最大值为 (3)如图 3,已知菱形 ABCD 的边长为 4,B60 ,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个动点,那么 PD PC 的最小值为 ,PDPC 的最大值为 【解答】(1)5,5;(2),;(3), 【解析】(1)如图 1 中,在 BC 上取一点 G,使得 BG1 , ,PBGPBC, PBGCBP, , PGPC, PDPC DPPG, DPPGDG, 当 D、G、P 共线时,PDPC 的值最小,最小值为 PDPC PDPGDG, 当点 P 在 DG 的延长线上时,PDPC 的值最大(如图 2 中),最大值为 DG5 (2)如图 3 中,

14、在 BC 上取一点 G,使得 BG4 , ,PBGPBC, PBGCBP, , , PD DPPG, DPPGDG, 当 D、G、P 共线时,PD的值最小,最小值为 PDPDPGDG, 当点 P 在 DG 的延长线上时,PD的值最大,最大值为 (3)如图 4 中,在 BC 上取一点 G,使得 BG4,作 DFBC 于 F , ,PBGPBC, PBGCBP, , PG, PDDPPG, DPPGDG, 当 D、G、P 共线时,PD的值最小,最小值为 DG, 在 RtCDF 中,DCF60 ,CD4, DFCDsin60,CF2, 在 RtGDF 中,DG, PDPDPGDG, 当点 P 在 D

15、G 的延长线上时,PD的值最大(如图 2 中),最大值为 DG 6 如图 1,抛物线 yax2(a3)x3(a0)与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 B,在 x 轴上有一动点 E(m, 0)(0m4), 过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N, 交抛物线于点 P, 过点 P 作 PMAB 于点 M (1)求 a 的值和直线 AB 的函数表达式; (2)设PMN 的周长为 C1,AEN 的周长为 C2,若,求 m 的值; (3)如图 2, 在(2)条件下, 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE, 旋转角为 (0 90 ), 连接 EA、 EB, 求 EA EB 的

16、最小值 【解答】(1)a,;(2)m2;(3) 【解析】(1)令 y0,则 ax2(a3)x30, (x1)(ax3)0, x1 或, 抛物线 yax2(a3)x3(a0)与 x 轴交于点 A(4,0), 4, a A(4,0),B(0,3), 设直线 AB 解析式为 ykxb,则,解得, 直线 AB 解析式为 (2)如图 1 中, PMAB,PEOA, PMNAEN,PNMANE, PNMANE, , NEOB, , AN (4m), 抛物线解析式为, , ,解得 m2 (3)如图 2 中,在 y 轴上 取一点 M使得 OM ,连接 AM,在 AM上取一点 E使得 OEOE OE2,OMOB 34, OE2OMOB, ,BOEMOE, MOEEOB, , MEBE, AEBEAEEMAM,此时 AEBE最小(两点间线段最短,A、M、E共线时), 最小值AM

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