1、几何最值之胡不归巩固练习几何最值之胡不归巩固练习(提优提优) 1 如图，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tanEBA，有 一只蚂蚁从 A 出发， 先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处， 再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是 s 【解答】 【解析】过点 E 作 x 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线相交于点 H，如图， EHAB， HEBABE， tanHEDtanEBA， 设 DH4m，EH3m，则 DE5m， 蚂蚁从 D 爬到 E 点的时间4(
2、s) 若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位/s，则蚂蚁从 D 爬到 H 点的时间4(s)， 蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等， 蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从 A 以 1 单位/s 的速度爬到 D 点，再从 D 点以 1 单位/s 速度爬到 H 点的时间， 作 AGEH 于 G，则 ADDHAHAG， ADDH 的最小值为 AQ 的长， 当 y0 时，x22x30，解得 x11，x23，则 A(1，0)，B(3，0)， 直线 B
3、E 交 y 轴于 C 点，如图， 在 RtOBC 中，tanCBO， OC4，则 C(0，4)， 设直线 BE 的解析式为 ykxb， 把 B(3，0)，C(0，4)代入得，解得， 直线 BE 的解析式为， 解方程组得或，则 E 点坐标为， ， 蚂蚁从 A 爬到 G 点的时间(s)， 即蚂蚁从 A 到 E 的最短时间为 2 如图，在ACE 中，CACE，CAE30 ，O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上 (1)证明：CE 是O 的切线； (2)若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示O 的直径 AB； (3)设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点)，连接
4、 OD，当CDOD 的最小值为 6 时，求O 的直径 AB 的长 【解答】(1)见解析；(2)；(3)AB8 【解析】(1)连接 OC，如图， CACE，CAE30 ， ECAE30 ，COE2A60 ， OCE90 ， CE 是O 的切线； (2)过点 C 作 CHAB 于 H，连接 OC，如图， 由题可得 CHh 在 RtOHC 中，CHOCsinCOH， hOCsin60 OC， OC h， AB2OC h； (3)作 OF 平分AOC，交O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图， 则AOFCOF AOC (180 60 )60 OAOFOC， AOF、COF 是等边三角形， AFAOO
5、CFC， 四边形 AOCF 是菱形， 根据对称性可得 DFDO 过点 D 作 DHOC 于 H， OAOC，OCAOAC30 ， DHDCsinDCHDCsin30 DC， CDODDHFD 根据两点之间线段最短可得： 当 F、D、H 三点共线时，DHFD(即CDOD)最小， 此时 FHOFsinFOH OF6， 则 OF4，AB2OF8 当CDOD 的最小值为 6 时，O 的直径 AB 的长为 8 3. 抛物线与 轴交于点 A、B(A 在 B 的左边)，与 轴交于点 C，点 P 是直 线 AC 上方抛物线上的一点，PF 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E，将线段 OB 沿 轴左右平移
6、，线段 OB 的对应线段是，当的值最大时， 求四边形周长的最小值， 并求出对应的点 的坐标. 【解答】 【解析】在抛物线中， 令，即，解得， ， 令，解得， 设直线 AC 的解析式为，将 A、C 两个点坐标代入得， 解得，直线 AC 的解析式为， 设，PF 轴，且点 E 在直线 AC 上，点 P 在直线 AB 上方的抛物线上， ， ， ， ，CAO30 ， 过点 E 作 EHAB 交 y 轴于点 H，则 EHy 轴且CEHCAO30， PFx 轴，FOOH，EHy 轴，四边形 EFOH 为矩形， ， 当时，取得最大值，此时， ，PC 轴， PF 轴，CO 轴，四边形 PFOC 为矩形， ， 作
7、 C 关于 轴的对称点 D，连接 DB1，则 B1C=B1D， 过 O1作 OQB1D 且 O1Q=B1D，连接 DQ、PQ,PQ 交 轴于点 G.则四边形 O1B1DQ 为平行四边形. 当最小时，四边形的周长最小， 而，当点与 G 重合时，的值最小为 PQ 的长， 点 C、D 关于 轴对称，且， ， 的最小值为，即四边形的周长的最小值为， 设直线 PQ 的解析式为， 将 P、Q 坐标代入得，解得， ， 令，解得，即. 4如图，已知抛物线 y(x2)(x4)(k 为常数，且 k0)与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴 交于点 C，经过点 B 的直线 yxb 与抛物线的另一交点为
8、 D (1)若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数表达式； (2)若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 k 的值； (3)在(1)的条件下，设 F 为线段 BD 上一点(不含端点)，连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时， 点 M 在整个运动过程中用时最少？ 【解答】(1)；(2)或；(3)当点 F 坐标为(2，)时，点 M 在整个运动过程中用时最少. 【解析】(1)抛物线 y(x2)(x4)， 令 y0，解得
9、 x2 或 x4， A(2，0)，B(4，0) 直线经过点 B(4，0)， 4b0，解得 b ， 直线 BD 解析式为： 当 x5 时，y ， D(5，) 点 D(5，)在抛物线 y(x2)(x4)上， (52)(54) ， 抛物线的函数表达式为：(x2)(x4) 即 (2)由抛物线解析式，令 x0，得 yk， C(0，k)，OCk 因为点 P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP 为钝角 因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB 或ABCPAB 若ABCAPB，则有BACPAB，如答图 21 所示 设 P(x，y)，过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ONx，PNy tanBACtanPA
10、B，即：， P(x，xk)，代入抛物线解析式 y (x2)(x4)， 得(x2)(x4)xk，整理得：x26x160， 解得：x8 或 x2(与点 A 重合，舍去)， P(8，5k) ABCAPB， ，即， 解得： 若ABCPAB，则有ABCPAB，如答图 22 所示 设 P(x，y)，过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ONx，PNy tanABCtanPAB，即：， P(x，x)，代入抛物线解析式 y(x2)(x4)， 得(x2)(x4)x，整理得：x24x120， 解得：x6 或 x2(与点 A 重合，舍去)， P(6，2k) ABCPAB， ， ， 解得， k0， ， 综上所述，或
11、(3)方法一： 如答图 3，由(1)知：D(5，)， 如答图 22，过点 D 作 DNx 轴于点 N，则 DN，ON5，BN459， tanDBA， DBA30 过点 D 作 DKx 轴，则KDFDBA30 过点 F 作 FGDK 于点 G，则 FGDF 由题意，动点 M 运动的路径为折线 AFDF，运动时间：tAFDF， tAFFG，即运动的时间值等于折线 AFFG 的长度值 由垂线段最短可知，折线 AFFG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段 过点 A 作 AHDK 于点 H，则 t最小AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点 A 点横坐标为2，直线 BD 解析式为
12、：， ， F(2，) 综上所述，当点 F 坐标为(2，)时，点 M 在整个运动过程中用时最少 方法二： 作 DKAB，AHDK，AH 交直线 BD 于点 F， DBA30 ， BDH30 ， FHDFsin30 ， 当且仅当 AHDK 时，AFFH 最小， 点 M 在整个运动中用时为：， lBD：， FXAX2， F(2，) 5 (1)如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求 PDPC 的最小值和 PDPC 的最大值； (2)如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 P
13、DPC 的最小值为 ，PDPC 的最大值为 (3)如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B60 ，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD PC 的最小值为 ，PDPC 的最大值为 【解答】(1)5，5；(2)，；(3)， 【解析】(1)如图 1 中，在 BC 上取一点 G，使得 BG1 ， ，PBGPBC， PBGCBP， ， PGPC， PDPC DPPG， DPPGDG， 当 D、G、P 共线时，PDPC 的值最小，最小值为 PDPC PDPGDG， 当点 P 在 DG 的延长线上时，PDPC 的值最大(如图 2 中)，最大值为 DG5 (2)如图 3 中，
14、在 BC 上取一点 G，使得 BG4 ， ，PBGPBC， PBGCBP， ， ， PD DPPG， DPPGDG， 当 D、G、P 共线时，PD的值最小，最小值为 PDPDPGDG， 当点 P 在 DG 的延长线上时，PD的值最大，最大值为 (3)如图 4 中，在 BC 上取一点 G，使得 BG4，作 DFBC 于 F ， ，PBGPBC， PBGCBP， ， PG， PDDPPG， DPPGDG， 当 D、G、P 共线时，PD的值最小，最小值为 DG， 在 RtCDF 中，DCF60 ，CD4， DFCDsin60，CF2， 在 RtGDF 中，DG， PDPDPGDG， 当点 P 在 D
15、G 的延长线上时，PD的值最大(如图 2 中)，最大值为 DG 6 如图 1，抛物线 yax2(a3)x3(a0)与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E(m， 0)(0m4)， 过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N， 交抛物线于点 P， 过点 P 作 PMAB 于点 M (1)求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； (2)设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若，求 m 的值； (3)如图 2， 在(2)条件下， 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为 (0 90 )， 连接 EA、 EB， 求 EA EB 的
16、最小值 【解答】(1)a，；(2)m2；(3) 【解析】(1)令 y0，则 ax2(a3)x30， (x1)(ax3)0， x1 或， 抛物线 yax2(a3)x3(a0)与 x 轴交于点 A(4，0)， 4， a A(4，0)，B(0，3)， 设直线 AB 解析式为 ykxb，则，解得， 直线 AB 解析式为 (2)如图 1 中， PMAB，PEOA， PMNAEN，PNMANE， PNMANE， ， NEOB， ， AN (4m)， 抛物线解析式为， ， ，解得 m2 (3)如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M使得 OM ，连接 AM，在 AM上取一点 E使得 OEOE OE2，OMOB 34， OE2OMOB， ，BOEMOE， MOEEOB， ， MEBE， AEBEAEEMAM，此时 AEBE最小(两点间线段最短，A、M、E共线时)， 最小值AM