1、矩形存在性问题巩固练习矩形存在性问题巩固练习(提优提优) 1 在平面直角坐标系中，ACO 为直角三角形，ACO90，将线段 AO 绕着点 O 顺时针旋转 90得 线段 OB，连接 AB，作 BDx 轴于 D，点 A(3，1) (1)如图 1，求线段 AB 的长度 (2)如图 2，若点 M 为线段 AB 的中点，作射线 CM 交 DB 的延长线于 K，动点 P 从 C 出发，沿射线 CM 以 每秒 2 个单位长度的速度运动，连接 OM设POM 的面积为 S，运动的时间为 t 秒，请用含 t 的代数式表 示 S； (3)在(2)的条件下，已知点 N 为平面内一点，请问动点 P 在运动的过程中是否存
2、在点 P，使得以 P、O、B、 N 为顶点且以 BO 为一边的四边形为矩形？若存在，请直接写出 t 的值及点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由 【解答】(1)；(2)S；(3)存在 P 点，使得以 P、O、B、N 为顶点且以 BO 为一边 的四边形为矩形，当 t时，或当 ts 时， 【解析】(1)由旋转得：OAOB，AOB90， C(3，0)，OC3，AC1， 由勾股定理得：， 由旋转得：OBOA，AOB90， ； (2)AOB90， AOCBOD90， BDx 轴于 D，BDO90， OBDBOD90，AOCOBD， 在AOC 和OBD 中， ，AOCOBD(AAS)， ACOD1，OCB
3、D3，B(1，3)， M 是 AB 的中点，A(3，1)，B(1，3)，M(1，2)， 如图，过 M 作 MEx 轴于 E，则 OE1，MECE2， MCE45， 设直线 CM 的解析式为：ykxb， 把点 C(3，0)，M(1，2)代入得：， 解得：k1，b3，直线 CM 的解析式为：yx3， 由题意得：CP2t，则 P 的纵坐标为， 当3t1 时，P 在线段 CM 上，如图所示： SSCMOSPCO； 当 t1 时，P 在线段 CM 的延长线上，如图所示： SSPOCSCOM； (3)存在， 理由如下：分两种情况讨论： 点 P 为直线 OA 与 CM 的交点时，如图， A(3，1)，直线
4、OA 的解析式为：， 解方程组 得：，； 由平移得：，即， 点 P 的纵坐标为，； 作 BPOB 交 CM 于 P，如图所示： 则OBP90， AOB90，BPOA， 设直线 BP 的解析式为：， 把点 B(1，3)代入得：， 直线 BP 的解析式为：， 解方程组 ，得，； 由平移得：，即， 点 P 的纵坐标为， ； 综上所述： 存在P点， 使得以P、 O、 B、 N为顶点且以BO为一边的四边形为矩形， 当t时， 或当 ts 时， 2 如图抛物与 x 轴交于A， B两点(点A在点B 的左侧)， 与 y 轴交于点C C， D 两点关于抛物线对称轴对称，连接 BD 交 y 轴于点 E，抛物线对称轴
5、交 x 轴于点 F (1)点 P 为线段 BD 上方抛物线上的一点，连接 PD，PE点 M 是 y 轴上一点，过点 M 作 MNy 轴交抛物 线对称轴于点 N当PDE 面积最大时，求 PMMNNF 的最小值； (2)如图2， 在(1)中PMMNNF取得最小值时， 将PME绕点P顺时针旋转120后得到PME， 点 G 是 MN 的中点，连接 MG 交抛物线的对称轴于点 H，过点 H 作直线 lPM，点 R 是直线 l 上一点， 在平面直角坐标系中是否存在一点 S，使以点 M，点 G，点 R，点 S 为顶点的四边形是矩形？若存在，直 接写出点 S 的坐标，若不存在，请说明理由 【解答】(1)；(2
6、)， 【解析】(1)在抛物线中，令 x0，得：y，令 y0，得：x13，x2 1 A(3，0)，B(1，0)，C(0，) ， 抛物线对称轴为：直线 x1，D(2，)， 设直线 BD 解析式为 ykxb，将 B(1，0)，D(2，)代入得，解得：， 直线 BD 解析式为，E(0，)， 过点 P 作 PGx 轴于 G 交 BD 于 H，作 PQBD 于 Q，连接 CD，如图所示： 设， ， PGy 轴PHDDEC， C、D 关于直线 x1 对称， DCEPQE90DCEEQP ，即：PQDEDCPH， ， ， 当时，SPDE的最大值，此时， 过点 F 作SPN60，过 N 作FNS30，FSN90
7、， NSNFcosFNSNFcos30NF，过 M 作 MKNS，且 MKNS， 当 P、M、K 三点共线时，PMMK 最小， PMCKMEFNS30 PM2PL1，LM，MKNSNF，MN1 PMMNNF 的最小值11， (2)如图 2，由(1)知：， 可求得直线 PM 解析式为：， PML30，PLM90，LPM60 MPM120，PMPM1 M、P、L 三点共线， 点 G 是 MN 的中点， ，待定系数法可求得直线 MG 的解析式为：， 令 x1，得，直线 lPM 且过点 H， 直线 l 的解析式为：，设，以点 M，点 G，点 R，点 S 为顶点的四边形是矩 形 可以分两种情形：MG 为
8、边或 MG 为对角线 MG 为边，RMG90时 MR2MH2RH2，即： 解得： ，由平移可得， MG 为边，MGR90时，GR2HG2HR2， 解得： ，由平移可得； MG 为对角线，MRG90 MR2RG2MG2， 无解； 综上所述，点 S 的坐标为：， 3 如图 1，在平面直角坐标系中，ABOB8，ABO90，yOC45，射线 OC 以每秒 2 个单位 长度的速度向右平行移动，当射线 OC 经过点 B 时停止运动，设平行移动 x 秒后，射线 OC 扫过 RtABO 的面积为 S，射线平移到 OC，且 OC与 OA 相交于点 G (1)求 S 关于 x 的函数关系式； (2)当 x 为何值
9、时，以 G、O、B 为顶点的三角形为等腰三角形； (3)当 x3 时，在直线 OC是否存在点 P，使得POB 绕着某一边的中点旋转 180后得到一个矩形？ 若存在，求 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)SOG2x2(0 x4)；(2)x4 时，以 G、O、B 为顶点的三角形为等腰三角形；(3)点 P 的坐 标为(0，6)、(8，2)、，. 【解析】(1)ABOB8，ABO90，AOB45，yOA45， yOC45，AOC90，OOG 是等腰直角三角形， 由平移知，OO2x， 在 RtOOG 中，OGOGOOx， SOG2x2(0 x4)； (2)由(1)知，OOG 是等腰直角三角
10、形，OO2x， G(x，x)，O(0，0)，B(8，0) OB8，OGx， 以 G、O、B 为顶点的三角形为等腰三角形； 当 OBOG 时，8x，x4(舍) 当 OBBG 时， 8，x0(舍)或 x8(舍)， 当 OGBG 时， x4，即：x4 时，以 G、O、B 为顶点的三角形为等腰三角形； (3)存在， 理由：如图所示，由(2)知，G(x，x)， 当 x3 时，OO6，O(6，0)，G(3，3)， 直线 OC的解析式为 yx6， 直线 OC上的点 P，使得POB 绕着某一边的中点旋转 180后得到一个矩形， POB 是直角三角形， 当POB90时，P1(0，6)， 当PBO90时，令 x8
11、，则 y862，P2(8，2)， 当OPB90时，点 P 是以 OB 为直径的圆与 OC的交点， 设 P(m，m6)， B(8，0)，OB 的中点 M(4，0)， ， AB 是POB 是直角三角形的斜边， PMAB4， 4， m210m180， ， ， 即：POB 绕着某一边的中点旋转 180后得到一个矩形时，点 P 的坐标为(0，6)、(8，2)、 ， 4 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A(6，0)，B(0，8)，点 C 的坐标为(0， m)， 过点 C 作 CEAB 于点 E， 点 D 为 x 轴上的一动点， 连接 CD， DE， 以 CD， DE 为
12、边作平行四边形 CDEF (1)当 0m8 时，求 CE 的长(用含 m 的代数式表示)； (2)当 m3 时， 是否存在点 D， 使平行四边形 CDEF 的顶点 F 恰好落在 y 轴上？若存在， 求出点 D 的坐标； 若不存在，请说明理由； (3)点 D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形 CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的 m 的值 【解答】(1)；(2)(，0)；(3)m 的值是或 0 或或 【解析】解：(1)A(6，0)，B(0，8) OA6，OB8AB10， CEBAOB90， 又OBAEBC， BCEBAO， ，即， ； (2)m3， BC8m5，CE3BE4，
13、 AEABBE6 点 F 落在 y 轴上，如图所示： DEBO，EDABOA， ，即，OD， 点 D 的坐标为(，0) (3)取 CE 的中点 P，过 P 作 PGy 轴于点 G 则 ()当 m0 时， 当 0m8 时，如图 3，易证GCPBAO， cosGCPcosBAO， CGCPcosGCP， OGOCCG 根据题意得，得：OGCP， ，解得：； 当 m8 时，OGCP，显然不存在满足条件的 m 的值 ()当 m0 时，即点 C 与原点 O 重合(如图 4) ()当 m0 时， 当点 E 与点 A 重合时，(如图 5)， 易证COAAOB， ，即，解得： 当点 E 与点 A 不重合时，(
14、如图 6) OGOCCG， 由题意得：OGCP， ，解得， 综上所述，m 的值是或 0 或或 5 已知如图， 直线ykxb与x轴、 y轴分别交于点A、 B， 与直线y3x交于点C， 且 0，将直线 ykxb 沿直线 y3x 折叠，与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E (1)求直线 ykxb 的解析式及点 C 的坐标； (2)求BCE 的面积； (3)若点 P 是直线 y3x 上的一个动点，在平面内是否存在一点 Q，使以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出点 P、点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)，C(2，6)；(2)SBCE；(3)P，Q或 P
15、，Q . 【解析】(1)0， OA6，OB， A(6，0)，B(0，)， ，解得， 直线 AB 的解析式为， 点 C 是直线 AB 与 OC：y3x的交点， 联立解得， C(2，6)； (2)过点 O 作直线 MNOC 交直线 AB 于 M，直线 CE 于 N，如图所示： 直线 OC 的解析式为 y3x， 直线 MN 的解析式为， 直线 AB 的解析式为， 联立解得， 由折叠知，M，N 关于原点对称， C(2，6)，直线 CE 的解析式为， E(0，)， SBCEBE|xC|； (3)当 AC 为矩形的边时，APAC， 直线 AC 的解析式为， 直线 AP 的解析式为 点 P 在直线 y3x上
16、， 联立解得， C(2，6)，PC 的中点， 四边形 APQC 是矩形， M 是 AQ 的中点，Q； 当 AC 为矩形的对角线时，APOC， 直线 OC 的解析式为 y3x， 直线 AP的解析式为， 点 P在直线 OC 上， 点 P的坐标满足 y3x，联立解得， A(6，0)，C(2，6)， AC 的中点坐标 M(2，3)， 四边形 APCQ是矩形， M是 PQ的中点， 即：满足条件的点 P，Q或 P，Q 6 已知直线与反比例函数图象交于 A，B 两点，点 A 坐标为(4，m)，点 P 是反比例 函数图象上的一动点，过 P、O 作直线 OP，与反比例函数图象的另一交点为 Q (1)求 k 的值
17、； (2)如图 1，若点 P 的纵坐标为 8，求四边形 APBQ 的面积； (3)点 P 在运动过程中，是否存在以点 P 为顶点的矩形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 【解答】(1)k8；(2)60；(3)P 点坐标为(2，4)(2，4) 【解析】解：(1)将 x4 代入得：y2，故 A(4，2)， 把 A 点坐标代入可得 k8； (2)过 P 作 PDx 轴，作 AEx 轴，如图所示： 将 y8 代入反比例函数解析式得：x1，即 P(1，8)， DO1，PD8， A(4，2)，EO4，AE2， SAOPSPODS梯形AEDCSAOE， 又由双曲线的对称性可知，四边形 A
18、PBQ 为平行四边形， S平行四边形APBQ4SAOP41560， (3)当点 P 在第一象限时，分别过点 A、P 作 x 轴，y 轴的垂线 AM、PN，如图所示： 四边形 APBQ 为矩形，AOOP， 由双曲线关于一、三象限角平分线对称， OAM 与OPN 关于一、三象限角平分线对称， OAMOPN， ONOM4，PNAM2， 点 P 的坐标为(2，4)， 同理可得，当点 P 在第三象限时，点 P 坐标为(2，4)， 综上，P 点坐标为(2，4)(2，4) 7 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，抛物线 yx22mxn(m0、n0)的顶点为 D，与 y 轴的交点为 C，过
19、点 C 作 CAx 轴交抛物线于点 A，在 AC 延长线上取点 B，使 BCAC，连接 OA，OB，BD 和 AD (1)若点 A 的坐标是(2，1) 求 m，n 的值； 试判断四边形 AOBD 的形状，并说明理由； (2)若四边形 AOBD 是平行四边形，求 m 与 n 的关系； (3)是否存在 n，使得四边形 AOBD 是矩形？若存在，请直接写出 n 的值；若不存在，请说明理由 【解答】(1)，平行四边形；(2)nm2；(3)n2. 【解析】(1)ACx 轴，A 点坐标为(2，1) 点 C 的坐标是(0，1) 把 A、C 两点的坐标代入 yx22mxn 得， ，解得； 四边形 AOBD 是
20、平行四边形；理由如下： 由得抛物线的解析式为 yx22x1， 顶点 D 的坐标为(1，2)， 过 D 点作 DEAB 于点 E，如图所示： 则 DEOC1，AE1， AC2，BCAC1，AEBC ACx 轴，AEDBCO90， AEDBCO， ADBODAEOBC，ADBO， 四边形 AOBD 是平行四边形 (2)过 D 点作 DEAB 于点 E，如图所示： AEAC， 四边形 AOBD 是平行四边形，ADOB， ACx 轴，BCO90，AEDBCO， AEDBCO，DEOC， D 的纵坐标等于 A 的纵坐标的 2 倍， yx22mxn(xm)2m2n， D(m，m2n)，A， 代入 yx22mxn 得，4m24m2n，解得 nm2 (3)存在； 要使四边形 AOBD 是矩形；则需AOBBCO90， ABOOBC，ABOOBC， ， 又ABACBC3BC，OBBC， 在 RtOBC 中，根据勾股定理可得：OCBC，ACOC， C 点是抛物线与 y 轴交点，OCn， A 点坐标为(n，n)， 顶点横坐标 m， 顶点 D 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍，为 2n， 顶点 D 的坐标为(，2n) 将 D 点代入可得 2n()22()2n， 解得：n12，n20(舍去)，n2
