1、 第 1 页（共 17 页） 2021 年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷（一）年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷（一） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共 9 小题，小题， 每小题每小题 5 分，满分分，满分 45 分。分。 1 （5 分） 设全集 3U ，2，1， 0， 1， 2，3， 集合 | 13Axx，xZ， 3B ， 0，2，3，则()( U AB ) A 3，3 B0，2 C 1，1 D 3，2，1， 1，3 2 （5 分）已知xR，则“2x ”是“ 2 1
2、x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 3 （5 分）函数 2 4 1 x y x 的图象大致为( ) A B C D 4 （5 分）已知 0.8 1 ( ) 2 a ， 1 2 2 log 3 b ， 0.3 4c ，则a，b，c的大小关系是( ) Aabc Bacb Ccba Dbca 5 （5 分）2020 年是脱贫攻坚战决胜之年，凝心聚力打贏脱贫攻坚战，确保全面建成小康社 会，某县举行扶贫知识政策答题比赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 80 分的进入复赛，某校有 500 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(40，100内
3、， 其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 ， 则 进 入 复 赛 的 人 数 为( ) 第 2 页（共 17 页） A125 B250 C375 D400 6 （5 分）所有棱长都是 3 的直三棱柱 111 ABCABC的六个顶点都在同一球面上，则该球的 表面积是( ) A12 B18 C21 D39 7 （5 分）设函数( )sin()1f xAx，(0A，0，|) 2 的最大值为 2，其图象 相邻两个对称中心之间的距离为 2 ，且( )f x的图象关于直线 12 x 对称，则下列判断正确 的是( ) A函数( )yf x在 6 ， 3 上单调递减 B函数( )yf x的图象关于点
4、( 6 ，0)对称 C函数( )yf x的图象关于直线 5 12 x 对称 D要得到sin21yx的图象，只需将( )f x图象向右平移 3 个单位 8（5 分） 直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线平行，l过抛物线 2 :4C yx 的焦点，交C于A，B两点，若| 5AB ，则E的离心率为( ) A2 B3 C5 D 5 2 9 （5 分）已知定义在R上的函数 2 ,1 ( ) |,1 lnx x f x xx x ，若函数( )( )k xf xax恰有 2 个零 点，则实数a的取值范围为( ) A(， 1) 0(1 e ，) B( 1， 1) 0(
5、1 e ，) C( 1， 11 )0( ee ，) D(， 1 1)0( e ，1) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。把答案填在答题卡中的相应横线分。把答案填在答题卡中的相应横线 第 3 页（共 17 页） 上。上。 10 （5 分）i是虚数单位，复数 8 | 23 i i 11 （5 分）在 5 2 3 (2)x x 的展开式中， 1 x 的系数为 12 （5 分）已知直线:1l ykx与圆 22 :430C xyx 相切，则正实数k的值为 13 （5 分）一个盒子里有 1 个红 1 个绿 4 个黄，共六个相同的球，每次
6、拿一个，共拿三次， 记拿到黄色球的个数为X （1）若取球过程是无放回的，则事件“2X ”的概率是 （2）若取球过程是有放回的，则()E X 14 （5 分）已知(2 )lg xylgxlgy，则 2 2xyxy y 的最小值为 15 （5 分）在平面四边形ABCD中，ABAD，60ABC，150BCD，4ABEB， 4 3 3 BC ，2 3AE ，若点M为边CD上的动点，则AM EM的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 题，共题，共 75 分。解答应写出文字分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。说明，证明过程或演算步骤。 16 （ 14 分 ） 在ABC中 ， 内
7、角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c， 22 (sinsin )sinsinsinABCAB （1）求角C的大小； （2）若3ab，求cos(2)BC的值 17 （15 分）如图，在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，90BAC，点D，E，N分 别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，8PAAC，4AB （1）求证：/ /MN平面BDE； （2）求二面角CEMB的正弦值； （3） 已知点H在棱PA上， 且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 7 21 ， 求线段AH的长 第 4 页（共 17 页） 18 （15 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点
8、为F，离心率 3 2 e ，长轴长为 4 （1）求椭圆的方程； （2） 过点F的直线l与椭圆交于M，N两点 （非长轴端点） ，MO的延长线与椭圆交于P点， 求PMN面积的最大值，并求此时直线l的方程 19 （15 分）等差数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b是等比数列，满足 1 3a ， 1 1b ， 22 10bS， 523 2aba （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 21nn ca ， 2 ( 1)n nn n ca b ，求数列 n c的前2n项和 2n T； （3）求 1 1 ( 1) (65) k n k k kk kb a a 20 （
9、16 分）已知函数( )sinnf xx，( )( x g xlnxme n为正整数，)mR （1）若( )yg x在1x 处的切线垂直于直线 1 2 yx，求实数m的值； （2）当1n 时，设函数 2 ( )1 2 ( )h xxf x ，(0, )x，证明：( )h x仅有 1 个零点； （3）当2n 时，证明： ( ) ( )()1 2 x fx g xxm e 第 5 页（共 17 页） 2021 年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷（一）年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
10、求的，本大题共一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共 9 小题，小题， 每小题每小题 5 分，满分分，满分 45 分。分。 1 （5 分） 设全集 3U ，2，1， 0， 1， 2，3， 集合 | 13Axx，xZ， 3B ， 0，2，3，则()( U AB ) A 3，3 B0，2 C 1，1 D 3，2，1， 1，3 【解答】解： 3U ，2，1，0，1，2，3， 1A ，0，1，2， 3B ，0，2， 3， 2 UB ，1，1，() 1 U AB ，1 故选：C 2 （5 分）已知xR，则“2x ”是“ 2 1 x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不
11、充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【解答】解：由 22 1002 x x xx ， 由2x ，不能够推出 2 1 x ， 由 2 1 x ，能够推出2x ， 故： “2x ”是“ 2 1 x ”的必要不充分条件 故选：B 3 （5 分）函数 2 4 1 x y x 的图象大致为( ) A B 第 6 页（共 17 页） C D 【解答】解： 22 4()4 ()( ) ()11 xx fxf x xx ，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排 除C，D， 当0 x 时，( )0f x ，排除A， 故选：B 4 （5 分）已知 0.8 1 ( ) 2 a ， 1 2 2 log 3 b ，
12、 0.3 4c ，则a，b，c的大小关系是( ) Aabc Bacb Ccba Dbca 【解答】解： 0.80.6 1 2 2 2,2 3 ablogc，且 0.80.60 2221， 11 22 21 1 32 loglog， bca 故选：D 5 （5 分）2020 年是脱贫攻坚战决胜之年，凝心聚力打贏脱贫攻坚战，确保全面建成小康社 会，某县举行扶贫知识政策答题比赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 80 分的进入复赛，某校有 500 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(40，100内， 其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 ， 则 进 入 复 赛 的 人 数
13、 为( ) A125 B250 C375 D400 【解答】解：初赛成绩大于 80 分的进入复赛，某校有 500 名学生参加了初赛， 由频率分布直方图得初赛成绩大于 80 分的频率为： (0.0150.010) 100.25 则进入复赛的人数为：0.25500125 第 7 页（共 17 页） 故选：A 6 （5 分）所有棱长都是 3 的直三棱柱 111 ABCABC的六个顶点都在同一球面上，则该球的 表面积是( ) A12 B18 C21 D39 【解答】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心， 底面中心到顶点的距离为： 23 33 32 ；所以外接球的半径为： 22
14、 321 ( 3)( ) 22 所以外接球的表面积为： 2 21 4 ()21 2 故选：C 7 （5 分）设函数( )sin()1f xAx，(0A，0，|) 2 的最大值为 2，其图象 相邻两个对称中心之间的距离为 2 ，且( )f x的图象关于直线 12 x 对称，则下列判断正确 的是( ) A函数( )yf x在 6 ， 3 上单调递减 B函数( )yf x的图象关于点( 6 ，0)对称 C函数( )yf x的图象关于直线 5 12 x 对称 D要得到sin21yx的图象，只需将( )f x图象向右平移 3 个单位 【解答】解：函数( )sin()1(0f xAxA，0，|) 2 的最
15、大值为12A ， 1A 其图象相邻两个对称中心之间的距离为 12 22 ，2 ( )f x的图象关于直线 12 x 对称， 2 122 k ，即(1) 3 k ，kZ， 故 3 ，( )sin(2)1 3 f xx 当 6 x ， 3 ，20 3 x ，故函数( )yf x在 6 ， 3 上不单调，故A错误； 当 6 x ，求得( )1f x ，故函数( )yf x的图象关于点( 6 ，1)对称，故B错误； 当 5 12 x ， 求得( )0f x ， 为最小值， 故函数( )yf x的图象关于直线 5 12 x 对称， 故C 第 8 页（共 17 页） 正确； 要得到sin21yx的图象，只
16、需将( )f x图象向右平移 6 个单位，故D错误， 故选：C 8（5 分） 直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线平行，l过抛物线 2 :4C yx 的焦点，交C于A，B两点，若| 5AB ，则E的离心率为( ) A2 B3 C5 D 5 2 【解答】解：依题意，点F的坐标为(1,0)，设直线l的方程为1xmy， 联立方程组 2 1 4 xmy yx ，消去x并整理得： 2 440ymy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 4yym， 12 4y y ，则 222 1212 |1()44(1)5ABmyyy ym，解得：
17、 1 2 m ， 直线l的方程为220 xy或220 xy；直线的斜率为：2 直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线平行，可得2ba， 所以 2222 4baca，1e ，解得5e 故选：C 9 （5 分）已知定义在R上的函数 2 ,1 ( ) |,1 lnx x f x xx x ，若函数( )( )k xf xax恰有 2 个零 点，则实数a的取值范围为( ) A(， 1) 0(1 e ，) B( 1， 1) 0(1 e ，) C( 1， 11 )0( ee ，) D(， 1 1)0( e ，1) 【解答】解：作出函数( )f x的图象，如图示： 第
18、9 页（共 17 页） 考虑直线yx，yx ， 1 yx e 与曲线( )f x相切， 由直线yax 与曲线( )yf x的位置关系可得： 当(a ， 1 1)0(e，1)时有两个交点， 即( 1a ， 1) 0(1 e ，)时函数( )yk x恰有两个零点 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。把答案填在答题卡中的相应横线分。把答案填在答题卡中的相应横线 上。上。 10 （5 分）i是虚数单位，复数 8 | 23 i i 5 【解答】解：复数 22 22 8|8|8165 |5 23|23 |13 2( 3) ii
19、ii ， 故答案为：5 11 （5 分）在 5 2 3 (2)x x 的展开式中， 1 x 的系数为 0 【 解 答 】 解 ： 设 5 2 3 (2)x x 的 展 开 式 中 的 通 项 为 1r T ， 则 5 2 55 2 155 2 3 (2)()32 r r rrrrrr r TCxCx x ， 令 5 21 2 r r ，则 * 7 5 rN， 1 x 的系数为 0， 故答案为：0 12（5 分） 已知直线:1l ykx与圆 22 :430C xyx 相切， 则正实数k的值为 4 3 【解答】解：圆 22 430 xyx 的圆心为(2,0)，半径1r ， 因为直线l与圆相切， 则
20、圆心到直线l的距离等于半径 1，所以 2 | 21| 1 1 k k ，解得0k 或 4 3 k ， 因为k为正实数， 所以 4 3 k 故答案为： 4 3 13 （5 分）一个盒子里有 1 个红 1 个绿 4 个黄，共六个相同的球，每次拿一个，共拿三次， 第 10 页（共 17 页） 记拿到黄色球的个数为X （1）若取球过程是无放回的，则事件“2X ”的概率是 3 5 （2）若取球过程是有放回的，则()E X 【解答】解： （1）有题意可知 21 42 3 6 3 (2) 5 C C P X C ； （2）有放回的取球，即X服从二项分布，3n ， 42 423 p ， 2 (3, ) 3 X
21、B， 2 ()32 3 E X， 故答案为： 3 5 ，2 14 （5 分）已知(2 )lg xylgxlgy，则 2 2xyxy y 的最小值为 44 2 【解答】解：因为(2 )()lg xylgxlgylg xy， 所以2xyxy，0 x ，0y ， 所以2xxyy， 21 1 xy ， 则 22 2222122 2222()()22()4 22444 2 xyxyxyxyyyxyxy xyxy yyxyyxyx ， 当且仅当 2xy yx 且， 21 1 xy 时取等号，此时 2 2xyxy y 的最小值44 2 故答案为：44 2 15 （5 分）在平面四边形ABCD中，ABAD，6
22、0ABC，150BCD，4ABEB， 4 3 3 BC ，2 3AE ，若点M为边CD上的动点，则AM EM的最小值为 15 4 【解答】解：因为ABAD，所以以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立如图所示的 平面直角坐标系， 连接CE，则(0,0)A， 因为4ABEB，2 3AE ， 所以(2 3E，0)， 8 3 ( 3 B，0)，所以 2 3 3 BE ， 第 11 页（共 17 页） 因为60ABC， 4 3 3 BC ， 由余弦定理可得2CE ，所以 222 CEBEBC， 所以90BEC，即CEBE，所以(2 3C，2)， 由150BCD，可得60ADC， 过点C作CFAD于点G
23、，则有2 3CFAE，2AFCE， 所以2DF ，所以4AD ， 所以(0,4)D，设DMDC，0，1， 则 02 3 42 M M x y ，所以(2 3M，42 )， 所以(2 3AM EM，42 ) (2 32 3，42 ) 22 12 (1)(42 )162816 ， 当 7 8 时，AM EM取得最小值为 2 7715 16( )2816 884 ， 即AM EM的最小值为 15 4 故答案为： 15 4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 题，共题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 （ 14 分 ）
24、在ABC中 ， 内 角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c， 22 (sinsin )sinsinsinABCAB （1）求角C的大小； 第 12 页（共 17 页） （2）若3ab，求cos(2)BC的值 【解答】解： （1）因为 22 (sinsin )sinsinsinABCAB， 即 222 sinsinsinsinsinABCAB， 由正弦定理得， 222 abcab， 由余弦定理得 1 cos 2 C ， 由C为三角形内角得 3 C ； （2）由（1）得 222 abcab， 因为3ab， 所以7cb， 故 222222 975 7 cos 2142 37 acbbbb
25、B acbb ， 由B为三角形内角得 21 sin 14 B ， 故 2 17511 cos22cos121 19614 BB ， 5 7215 3 sin22sincos2 141414 BBB， 所以 1311135 31 cos(2)cos(2)cos2sin2 3222142147 BCBBB 17 （15 分）如图，在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，90BAC，点D，E，N分 别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，8PAAC，4AB （1）求证：/ /MN平面BDE； （2）求二面角CEMB的正弦值； （3） 已知点H在棱PA上， 且直线NH与直线BE所成角的余弦值为
26、 7 21 ， 求线段AH的长 【解答】 （1）证明：建立空间直角坐标系如图所示， 则(0A，0，0)，(4B，0，0)，(0C，8，0)，(0D，0，4)，(0E，4，4)，(0M，0，2)， 第 13 页（共 17 页） (2N，4，0)，(0P，0，8)， 所以(0,4,0),(4,0, 4)DEDB， 设平面BDE的法向量为( , , )nx y z， 则有 0 0 n DE n DB ，即 40 440 y xz ， 令1z ，则1x ，故(1,0,1)n ， 又(2,4, 2)MN ，所以2 1402 10MN n ， 所以MNn，又MN 平面BDE， 所以/ /MN平面BDE；
27、（2）解：平面BEM的一个法向量为 1 (1,0,0)n ， 又(0, 4, 2),(4,0, 2)EMMB， 设平面EMN的法向量为 2 ( , , )na b c， 则有 2 2 0 0 nEM nMB ，即 420 420 bc ac ， 令2c ，则1a ，1b ，故 2 (1, 1,2)n ， 所以 12 12 12 6 cos, 6| nn n n nn ， 所以 22 1212 630 sin,1,1() 66 n ncosn n ， 故二面角CEMB的正弦值为 30 6 ； （3） 解： 由题意， 设(08)AHhh剟， 则(0H， 0，)h， 所以( 2, 4, )NHh ，
28、( 4,4,4)BE ， 由已知可得， 2 |48|7 |cos,| 21| 204 3 NH BEh NH BE NHBE h ， 整理可得 2 521160hh，解得 16 5 h 或1h ， 所以线段AH的长为 16 5 或 1 第 14 页（共 17 页） 18 （15 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，离心率 3 2 e ，长轴长为 4 （1）求椭圆的方程； （2） 过点F的直线l与椭圆交于M，N两点 （非长轴端点） ，MO的延长线与椭圆交于P点， 求PMN面积的最大值，并求此时直线l的方程 【解答】解： （1）因为椭圆的长轴长为 4， 所以24a
29、，解得2a ， 因为椭圆的离心率 3 2 e ， 所以 3 2 c e a ， 又因为 222 abc， 由解得 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （2）设直线MN的方程为3xmy， 联立 2 2 3 1 4 xmy x y ，得 22 (4)2 310mymy ， 因为0， 12 2 2 3 4 m yy m ， 12 2 1 4 y y m ， 所以 2 22 1212 2 4(1) |1()4 4 m MNmyyy y m ， 所以原点到直线3xmy的距离 2 3 1 d m ， 第 15 页（共 17 页） 所以点P到直线MN的距离 2 2 3 2
30、1 d m ， 所以 2 2 14 31 | 2 24 MNP m SMNd m ， 令 2 1mt ，1t， 则 2 4 34 34 3 2 3 33 2 MNP t S t t t t t ， 当且仅当3t 时，取等号， 所以直线l的方程为230 xy或230 xy 19 （15 分）等差数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b是等比数列，满足 1 3a ， 1 1b ， 22 10bS， 523 2aba （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 21nn ca ， 2 ( 1)n nn n ca b ，求数列 n c的前2n项和 2n T； （3）求
31、1 1 ( 1) (65) k n k k kk kb a a 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 由 1 3a ， 1 1b ， 22 10bS， 523 2aba，可得610qd，34232dqd， 解得2dq， 则32(1)21 n ann， 1 2n n b ； （2） 21 21 nn can ， 2 1 ( 1)(21) ( 2) 2 nn nnn ca bn ， 0 2132124212 1 ()()() 3 25 2(21) ( 2) 2 n nnnn Tccccccaaan ， 由 2 1 (321)2 2 n Snnnn， 设 1
32、2 111 3 ( 2)5 ( 2)(21) ( 2) 222 n n Bn ， 231 111 23 ( 2)5 ( 2)(21) ( 2) 222 n n Bn ， 两式相减可得 231 111 332 ( 2)2 ( 2)2 ( 2) (21) ( 2) 222 nn n Bn 第 16 页（共 17 页） 1 1 41( 2)1 3(21) ( 2) 1( 2)2 n n n ， 化简可得 1 565 ( 2) 918 n n n B ， 所以 21 2 565 2( 2) 918 n n n Tnn ； （3） 111 1 ( 1) (65)( 1) (65)2( 1) 2( 1)2
33、 (21)(23)2123 nnnnnnn n nn nbn a annnn ， 所以 11 1 1 ( 1) (65)122448( 1) 2( 1)2 ()()() 3557792123 knnnn n k k kk kb a ann 1 1( 1)2 323 nn n 20 （16 分）已知函数( )sinnf xx，( )( x g xlnxme n为正整数，)mR （1）若( )yg x在1x 处的切线垂直于直线 1 2 yx，求实数m的值； （2）当1n 时，设函数 2 ( )1 2 ( )h xxf x ，(0, )x，证明：( )h x仅有 1 个零点； （3）当2n 时，证明
34、： ( ) ( )()1 2 x fx g xxm e 【解答】解： （1）由题意，( )yg x在1x 处的切线斜率等于2， 而 1 ( ) x g xme x ，所以 g （1）12me ，解得 3 m e ； （2）证明：要证明( )h x仅有一个零点，需证明 2 ( )1 2sin0h xxx ，(0, )x仅有一个 实根， 因为( )22cos2(cos )h xxxxx， 当, ) 2 x 时，cos0 x ，所以( )0h x，故( )h x在, ) 2 x 上单调递增， 因为 2 2 ( )30, ( )10 24 hh ， 所以存在 0 , ) 2 x 使得 0 ()0h x
35、，即有一个零点， 当(, ) 2 x 时，令( )( )22cosL xh xxx， 又因为(0)20L ，()0 2 L ， 所以存在 1 0,) 2 x ，使得 1 ()0L x， 所以当 1 (0,)xx时，( )0L x ，即( )0h x，故( )h x单调递减， 第 17 页（共 17 页） 当 1 (,) 2 xx 时，( )0L x ，即( )0h x，故( )h x单调递增， 又(0)10h ， 2 ( )30 24 h ， 所以( )h x在(0,) 2 上无零点 综上所述，函数( )f x在(0, )内只有一个零点； （3）证明：当2n 时，( )2sin cossin2
36、fxxxx， 要证 ( ) ( )()1 2 x fx g xxm e ，只需证 sin2 10 2 x x lnxxe ， 令( )sin22H xxx，则( )2cos222(cos) 0H xxxx， 所以( )H x在(0,)上单调递减， 所以( )(0)0H xH，所以sin22xx， 那么要证上述的 sin2 10 2 x x lnxxe ， 只需证10 x xlnxxe ， 令( )1 x F xex，则( )1 x F xe， 当0 x 时，( )0F x，则( )F x单调递减， 当0 x 时，( )0F x，则( )F x单调递增， 故当0 x 时，( )F x取得最小值(0)0F， 所以( ) 0F x ，所以1 x ex ， 因为xlnxR，所以1 x lnx exlnx ， 所以1 x xexlnx，即10 x xlnxxe ， 故 ( ) ( )()1 2 x fx g xxm e
