2021年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷(含答案解析)

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1、 第 1 页(共 17 页) 2021 年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷(一)年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷(一) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,本大题共一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,本大题共 9 小题,小题, 每小题每小题 5 分,满分分,满分 45 分。分。 1 (5 分) 设全集 3U ,2,1, 0, 1, 2,3, 集合 | 13Axx,xZ, 3B , 0,2,3,则()( U AB ) A 3,3 B0,2 C 1,1 D 3,2,1, 1,3 2 (5 分)已知xR,则“2x ”是“ 2 1

2、x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 3 (5 分)函数 2 4 1 x y x 的图象大致为( ) A B C D 4 (5 分)已知 0.8 1 ( ) 2 a , 1 2 2 log 3 b , 0.3 4c ,则a,b,c的大小关系是( ) Aabc Bacb Ccba Dbca 5 (5 分)2020 年是脱贫攻坚战决胜之年,凝心聚力打贏脱贫攻坚战,确保全面建成小康社 会,某县举行扶贫知识政策答题比赛,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于 80 分的进入复赛,某校有 500 名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(40,100内

3、, 其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 , 则 进 入 复 赛 的 人 数 为( ) 第 2 页(共 17 页) A125 B250 C375 D400 6 (5 分)所有棱长都是 3 的直三棱柱 111 ABCABC的六个顶点都在同一球面上,则该球的 表面积是( ) A12 B18 C21 D39 7 (5 分)设函数( )sin()1f xAx,(0A,0,|) 2 的最大值为 2,其图象 相邻两个对称中心之间的距离为 2 ,且( )f x的图象关于直线 12 x 对称,则下列判断正确 的是( ) A函数( )yf x在 6 , 3 上单调递减 B函数( )yf x的图象关于点

4、( 6 ,0)对称 C函数( )yf x的图象关于直线 5 12 x 对称 D要得到sin21yx的图象,只需将( )f x图象向右平移 3 个单位 8(5 分) 直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线平行,l过抛物线 2 :4C yx 的焦点,交C于A,B两点,若| 5AB ,则E的离心率为( ) A2 B3 C5 D 5 2 9 (5 分)已知定义在R上的函数 2 ,1 ( ) |,1 lnx x f x xx x ,若函数( )( )k xf xax恰有 2 个零 点,则实数a的取值范围为( ) A(, 1) 0(1 e ,) B( 1, 1) 0(

5、1 e ,) C( 1, 11 )0( ee ,) D(, 1 1)0( e ,1) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 30 分。把答案填在答题卡中的相应横线分。把答案填在答题卡中的相应横线 第 3 页(共 17 页) 上。上。 10 (5 分)i是虚数单位,复数 8 | 23 i i 11 (5 分)在 5 2 3 (2)x x 的展开式中, 1 x 的系数为 12 (5 分)已知直线:1l ykx与圆 22 :430C xyx 相切,则正实数k的值为 13 (5 分)一个盒子里有 1 个红 1 个绿 4 个黄,共六个相同的球,每次

6、拿一个,共拿三次, 记拿到黄色球的个数为X (1)若取球过程是无放回的,则事件“2X ”的概率是 (2)若取球过程是有放回的,则()E X 14 (5 分)已知(2 )lg xylgxlgy,则 2 2xyxy y 的最小值为 15 (5 分)在平面四边形ABCD中,ABAD,60ABC,150BCD,4ABEB, 4 3 3 BC ,2 3AE ,若点M为边CD上的动点,则AM EM的最小值为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 题,共题,共 75 分。解答应写出文字分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。说明,证明过程或演算步骤。 16 ( 14 分 ) 在ABC中 , 内

7、角A,B,C所 对 的 边 分 别 为a,b,c, 22 (sinsin )sinsinsinABCAB (1)求角C的大小; (2)若3ab,求cos(2)BC的值 17 (15 分)如图,在三棱锥PABC中,PA 底面ABC,90BAC,点D,E,N分 别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,8PAAC,4AB (1)求证:/ /MN平面BDE; (2)求二面角CEMB的正弦值; (3) 已知点H在棱PA上, 且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 7 21 , 求线段AH的长 第 4 页(共 17 页) 18 (15 分)已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点

8、为F,离心率 3 2 e ,长轴长为 4 (1)求椭圆的方程; (2) 过点F的直线l与椭圆交于M,N两点 (非长轴端点) ,MO的延长线与椭圆交于P点, 求PMN面积的最大值,并求此时直线l的方程 19 (15 分)等差数列 n a的前n项和为 n S,数列 n b是等比数列,满足 1 3a , 1 1b , 22 10bS, 523 2aba (1)求数列 n a和 n b的通项公式; (2)若数列 n c满足 21nn ca , 2 ( 1)n nn n ca b ,求数列 n c的前2n项和 2n T; (3)求 1 1 ( 1) (65) k n k k kk kb a a 20 (

9、16 分)已知函数( )sinnf xx,( )( x g xlnxme n为正整数,)mR (1)若( )yg x在1x 处的切线垂直于直线 1 2 yx,求实数m的值; (2)当1n 时,设函数 2 ( )1 2 ( )h xxf x ,(0, )x,证明:( )h x仅有 1 个零点; (3)当2n 时,证明: ( ) ( )()1 2 x fx g xxm e 第 5 页(共 17 页) 2021 年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷(一)年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷(一) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

10、求的,本大题共一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,本大题共 9 小题,小题, 每小题每小题 5 分,满分分,满分 45 分。分。 1 (5 分) 设全集 3U ,2,1, 0, 1, 2,3, 集合 | 13Axx,xZ, 3B , 0,2,3,则()( U AB ) A 3,3 B0,2 C 1,1 D 3,2,1, 1,3 【解答】解: 3U ,2,1,0,1,2,3, 1A ,0,1,2, 3B ,0,2, 3, 2 UB ,1,1,() 1 U AB ,1 故选:C 2 (5 分)已知xR,则“2x ”是“ 2 1 x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不

11、充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要 【解答】解:由 22 1002 x x xx , 由2x ,不能够推出 2 1 x , 由 2 1 x ,能够推出2x , 故: “2x ”是“ 2 1 x ”的必要不充分条件 故选:B 3 (5 分)函数 2 4 1 x y x 的图象大致为( ) A B 第 6 页(共 17 页) C D 【解答】解: 22 4()4 ()( ) ()11 xx fxf x xx ,则函数是奇函数,图象关于原点对称,排 除C,D, 当0 x 时,( )0f x ,排除A, 故选:B 4 (5 分)已知 0.8 1 ( ) 2 a , 1 2 2 log 3 b ,

12、 0.3 4c ,则a,b,c的大小关系是( ) Aabc Bacb Ccba Dbca 【解答】解: 0.80.6 1 2 2 2,2 3 ablogc,且 0.80.60 2221, 11 22 21 1 32 loglog, bca 故选:D 5 (5 分)2020 年是脱贫攻坚战决胜之年,凝心聚力打贏脱贫攻坚战,确保全面建成小康社 会,某县举行扶贫知识政策答题比赛,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于 80 分的进入复赛,某校有 500 名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(40,100内, 其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 , 则 进 入 复 赛 的 人 数

13、 为( ) A125 B250 C375 D400 【解答】解:初赛成绩大于 80 分的进入复赛,某校有 500 名学生参加了初赛, 由频率分布直方图得初赛成绩大于 80 分的频率为: (0.0150.010) 100.25 则进入复赛的人数为:0.25500125 第 7 页(共 17 页) 故选:A 6 (5 分)所有棱长都是 3 的直三棱柱 111 ABCABC的六个顶点都在同一球面上,则该球的 表面积是( ) A12 B18 C21 D39 【解答】解:由题意可知:正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心, 底面中心到顶点的距离为: 23 33 32 ;所以外接球的半径为: 22

14、 321 ( 3)( ) 22 所以外接球的表面积为: 2 21 4 ()21 2 故选:C 7 (5 分)设函数( )sin()1f xAx,(0A,0,|) 2 的最大值为 2,其图象 相邻两个对称中心之间的距离为 2 ,且( )f x的图象关于直线 12 x 对称,则下列判断正确 的是( ) A函数( )yf x在 6 , 3 上单调递减 B函数( )yf x的图象关于点( 6 ,0)对称 C函数( )yf x的图象关于直线 5 12 x 对称 D要得到sin21yx的图象,只需将( )f x图象向右平移 3 个单位 【解答】解:函数( )sin()1(0f xAxA,0,|) 2 的最

15、大值为12A , 1A 其图象相邻两个对称中心之间的距离为 12 22 ,2 ( )f x的图象关于直线 12 x 对称, 2 122 k ,即(1) 3 k ,kZ, 故 3 ,( )sin(2)1 3 f xx 当 6 x , 3 ,20 3 x ,故函数( )yf x在 6 , 3 上不单调,故A错误; 当 6 x ,求得( )1f x ,故函数( )yf x的图象关于点( 6 ,1)对称,故B错误; 当 5 12 x , 求得( )0f x , 为最小值, 故函数( )yf x的图象关于直线 5 12 x 对称, 故C 第 8 页(共 17 页) 正确; 要得到sin21yx的图象,只

16、需将( )f x图象向右平移 6 个单位,故D错误, 故选:C 8(5 分) 直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线平行,l过抛物线 2 :4C yx 的焦点,交C于A,B两点,若| 5AB ,则E的离心率为( ) A2 B3 C5 D 5 2 【解答】解:依题意,点F的坐标为(1,0),设直线l的方程为1xmy, 联立方程组 2 1 4 xmy yx ,消去x并整理得: 2 440ymy,设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 则 12 4yym, 12 4y y ,则 222 1212 |1()44(1)5ABmyyy ym,解得:

17、 1 2 m , 直线l的方程为220 xy或220 xy;直线的斜率为:2 直线l与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一条渐近线平行,可得2ba, 所以 2222 4baca,1e ,解得5e 故选:C 9 (5 分)已知定义在R上的函数 2 ,1 ( ) |,1 lnx x f x xx x ,若函数( )( )k xf xax恰有 2 个零 点,则实数a的取值范围为( ) A(, 1) 0(1 e ,) B( 1, 1) 0(1 e ,) C( 1, 11 )0( ee ,) D(, 1 1)0( e ,1) 【解答】解:作出函数( )f x的图象,如图示: 第

18、9 页(共 17 页) 考虑直线yx,yx , 1 yx e 与曲线( )f x相切, 由直线yax 与曲线( )yf x的位置关系可得: 当(a , 1 1)0(e,1)时有两个交点, 即( 1a , 1) 0(1 e ,)时函数( )yk x恰有两个零点 故选:B 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 30 分。把答案填在答题卡中的相应横线分。把答案填在答题卡中的相应横线 上。上。 10 (5 分)i是虚数单位,复数 8 | 23 i i 5 【解答】解:复数 22 22 8|8|8165 |5 23|23 |13 2( 3) ii

19、ii , 故答案为:5 11 (5 分)在 5 2 3 (2)x x 的展开式中, 1 x 的系数为 0 【 解 答 】 解 : 设 5 2 3 (2)x x 的 展 开 式 中 的 通 项 为 1r T , 则 5 2 55 2 155 2 3 (2)()32 r r rrrrrr r TCxCx x , 令 5 21 2 r r ,则 * 7 5 rN, 1 x 的系数为 0, 故答案为:0 12(5 分) 已知直线:1l ykx与圆 22 :430C xyx 相切, 则正实数k的值为 4 3 【解答】解:圆 22 430 xyx 的圆心为(2,0),半径1r , 因为直线l与圆相切, 则

20、圆心到直线l的距离等于半径 1,所以 2 | 21| 1 1 k k ,解得0k 或 4 3 k , 因为k为正实数, 所以 4 3 k 故答案为: 4 3 13 (5 分)一个盒子里有 1 个红 1 个绿 4 个黄,共六个相同的球,每次拿一个,共拿三次, 第 10 页(共 17 页) 记拿到黄色球的个数为X (1)若取球过程是无放回的,则事件“2X ”的概率是 3 5 (2)若取球过程是有放回的,则()E X 【解答】解: (1)有题意可知 21 42 3 6 3 (2) 5 C C P X C ; (2)有放回的取球,即X服从二项分布,3n , 42 423 p , 2 (3, ) 3 X

21、B, 2 ()32 3 E X, 故答案为: 3 5 ,2 14 (5 分)已知(2 )lg xylgxlgy,则 2 2xyxy y 的最小值为 44 2 【解答】解:因为(2 )()lg xylgxlgylg xy, 所以2xyxy,0 x ,0y , 所以2xxyy, 21 1 xy , 则 22 2222122 2222()()22()4 22444 2 xyxyxyxyyyxyxy xyxy yyxyyxyx , 当且仅当 2xy yx 且, 21 1 xy 时取等号,此时 2 2xyxy y 的最小值44 2 故答案为:44 2 15 (5 分)在平面四边形ABCD中,ABAD,6

22、0ABC,150BCD,4ABEB, 4 3 3 BC ,2 3AE ,若点M为边CD上的动点,则AM EM的最小值为 15 4 【解答】解:因为ABAD,所以以A为原点,AB,AD分别为x,y轴建立如图所示的 平面直角坐标系, 连接CE,则(0,0)A, 因为4ABEB,2 3AE , 所以(2 3E,0), 8 3 ( 3 B,0),所以 2 3 3 BE , 第 11 页(共 17 页) 因为60ABC, 4 3 3 BC , 由余弦定理可得2CE ,所以 222 CEBEBC, 所以90BEC,即CEBE,所以(2 3C,2), 由150BCD,可得60ADC, 过点C作CFAD于点G

23、,则有2 3CFAE,2AFCE, 所以2DF ,所以4AD , 所以(0,4)D,设DMDC,0,1, 则 02 3 42 M M x y ,所以(2 3M,42 ), 所以(2 3AM EM,42 ) (2 32 3,42 ) 22 12 (1)(42 )162816 , 当 7 8 时,AM EM取得最小值为 2 7715 16( )2816 884 , 即AM EM的最小值为 15 4 故答案为: 15 4 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 题,共题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16 ( 14 分 )

24、在ABC中 , 内 角A,B,C所 对 的 边 分 别 为a,b,c, 22 (sinsin )sinsinsinABCAB (1)求角C的大小; 第 12 页(共 17 页) (2)若3ab,求cos(2)BC的值 【解答】解: (1)因为 22 (sinsin )sinsinsinABCAB, 即 222 sinsinsinsinsinABCAB, 由正弦定理得, 222 abcab, 由余弦定理得 1 cos 2 C , 由C为三角形内角得 3 C ; (2)由(1)得 222 abcab, 因为3ab, 所以7cb, 故 222222 975 7 cos 2142 37 acbbbb

25、B acbb , 由B为三角形内角得 21 sin 14 B , 故 2 17511 cos22cos121 19614 BB , 5 7215 3 sin22sincos2 141414 BBB, 所以 1311135 31 cos(2)cos(2)cos2sin2 3222142147 BCBBB 17 (15 分)如图,在三棱锥PABC中,PA 底面ABC,90BAC,点D,E,N分 别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,8PAAC,4AB (1)求证:/ /MN平面BDE; (2)求二面角CEMB的正弦值; (3) 已知点H在棱PA上, 且直线NH与直线BE所成角的余弦值为

26、 7 21 , 求线段AH的长 【解答】 (1)证明:建立空间直角坐标系如图所示, 则(0A,0,0),(4B,0,0),(0C,8,0),(0D,0,4),(0E,4,4),(0M,0,2), 第 13 页(共 17 页) (2N,4,0),(0P,0,8), 所以(0,4,0),(4,0, 4)DEDB, 设平面BDE的法向量为( , , )nx y z, 则有 0 0 n DE n DB ,即 40 440 y xz , 令1z ,则1x ,故(1,0,1)n , 又(2,4, 2)MN ,所以2 1402 10MN n , 所以MNn,又MN 平面BDE, 所以/ /MN平面BDE;

27、(2)解:平面BEM的一个法向量为 1 (1,0,0)n , 又(0, 4, 2),(4,0, 2)EMMB, 设平面EMN的法向量为 2 ( , , )na b c, 则有 2 2 0 0 nEM nMB ,即 420 420 bc ac , 令2c ,则1a ,1b ,故 2 (1, 1,2)n , 所以 12 12 12 6 cos, 6| nn n n nn , 所以 22 1212 630 sin,1,1() 66 n ncosn n , 故二面角CEMB的正弦值为 30 6 ; (3) 解: 由题意, 设(08)AHhh剟, 则(0H, 0,)h, 所以( 2, 4, )NHh ,

28、( 4,4,4)BE , 由已知可得, 2 |48|7 |cos,| 21| 204 3 NH BEh NH BE NHBE h , 整理可得 2 521160hh,解得 16 5 h 或1h , 所以线段AH的长为 16 5 或 1 第 14 页(共 17 页) 18 (15 分)已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F,离心率 3 2 e ,长轴长为 4 (1)求椭圆的方程; (2) 过点F的直线l与椭圆交于M,N两点 (非长轴端点) ,MO的延长线与椭圆交于P点, 求PMN面积的最大值,并求此时直线l的方程 【解答】解: (1)因为椭圆的长轴长为 4, 所以24a

29、,解得2a , 因为椭圆的离心率 3 2 e , 所以 3 2 c e a , 又因为 222 abc, 由解得 2 4a , 2 1b , 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y (2)设直线MN的方程为3xmy, 联立 2 2 3 1 4 xmy x y ,得 22 (4)2 310mymy , 因为0, 12 2 2 3 4 m yy m , 12 2 1 4 y y m , 所以 2 22 1212 2 4(1) |1()4 4 m MNmyyy y m , 所以原点到直线3xmy的距离 2 3 1 d m , 第 15 页(共 17 页) 所以点P到直线MN的距离 2 2 3 2

30、1 d m , 所以 2 2 14 31 | 2 24 MNP m SMNd m , 令 2 1mt ,1t, 则 2 4 34 34 3 2 3 33 2 MNP t S t t t t t , 当且仅当3t 时,取等号, 所以直线l的方程为230 xy或230 xy 19 (15 分)等差数列 n a的前n项和为 n S,数列 n b是等比数列,满足 1 3a , 1 1b , 22 10bS, 523 2aba (1)求数列 n a和 n b的通项公式; (2)若数列 n c满足 21nn ca , 2 ( 1)n nn n ca b ,求数列 n c的前2n项和 2n T; (3)求

31、1 1 ( 1) (65) k n k k kk kb a a 【解答】解: (1)设等差数列 n a的公差为d,等比数列 n b的公比为q, 由 1 3a , 1 1b , 22 10bS, 523 2aba,可得610qd,34232dqd, 解得2dq, 则32(1)21 n ann, 1 2n n b ; (2) 21 21 nn can , 2 1 ( 1)(21) ( 2) 2 nn nnn ca bn , 0 2132124212 1 ()()() 3 25 2(21) ( 2) 2 n nnnn Tccccccaaan , 由 2 1 (321)2 2 n Snnnn, 设 1

32、2 111 3 ( 2)5 ( 2)(21) ( 2) 222 n n Bn , 231 111 23 ( 2)5 ( 2)(21) ( 2) 222 n n Bn , 两式相减可得 231 111 332 ( 2)2 ( 2)2 ( 2) (21) ( 2) 222 nn n Bn 第 16 页(共 17 页) 1 1 41( 2)1 3(21) ( 2) 1( 2)2 n n n , 化简可得 1 565 ( 2) 918 n n n B , 所以 21 2 565 2( 2) 918 n n n Tnn ; (3) 111 1 ( 1) (65)( 1) (65)2( 1) 2( 1)2

33、 (21)(23)2123 nnnnnnn n nn nbn a annnn , 所以 11 1 1 ( 1) (65)122448( 1) 2( 1)2 ()()() 3557792123 knnnn n k k kk kb a ann 1 1( 1)2 323 nn n 20 (16 分)已知函数( )sinnf xx,( )( x g xlnxme n为正整数,)mR (1)若( )yg x在1x 处的切线垂直于直线 1 2 yx,求实数m的值; (2)当1n 时,设函数 2 ( )1 2 ( )h xxf x ,(0, )x,证明:( )h x仅有 1 个零点; (3)当2n 时,证明

34、: ( ) ( )()1 2 x fx g xxm e 【解答】解: (1)由题意,( )yg x在1x 处的切线斜率等于2, 而 1 ( ) x g xme x ,所以 g (1)12me ,解得 3 m e ; (2)证明:要证明( )h x仅有一个零点,需证明 2 ( )1 2sin0h xxx ,(0, )x仅有一个 实根, 因为( )22cos2(cos )h xxxxx, 当, ) 2 x 时,cos0 x ,所以( )0h x,故( )h x在, ) 2 x 上单调递增, 因为 2 2 ( )30, ( )10 24 hh , 所以存在 0 , ) 2 x 使得 0 ()0h x

35、,即有一个零点, 当(, ) 2 x 时,令( )( )22cosL xh xxx, 又因为(0)20L ,()0 2 L , 所以存在 1 0,) 2 x ,使得 1 ()0L x, 所以当 1 (0,)xx时,( )0L x ,即( )0h x,故( )h x单调递减, 第 17 页(共 17 页) 当 1 (,) 2 xx 时,( )0L x ,即( )0h x,故( )h x单调递增, 又(0)10h , 2 ( )30 24 h , 所以( )h x在(0,) 2 上无零点 综上所述,函数( )f x在(0, )内只有一个零点; (3)证明:当2n 时,( )2sin cossin2

36、fxxxx, 要证 ( ) ( )()1 2 x fx g xxm e ,只需证 sin2 10 2 x x lnxxe , 令( )sin22H xxx,则( )2cos222(cos) 0H xxxx, 所以( )H x在(0,)上单调递减, 所以( )(0)0H xH,所以sin22xx, 那么要证上述的 sin2 10 2 x x lnxxe , 只需证10 x xlnxxe , 令( )1 x F xex,则( )1 x F xe, 当0 x 时,( )0F x,则( )F x单调递减, 当0 x 时,( )0F x,则( )F x单调递增, 故当0 x 时,( )F x取得最小值(0)0F, 所以( ) 0F x ,所以1 x ex , 因为xlnxR,所以1 x lnx exlnx , 所以1 x xexlnx,即10 x xlnxxe , 故 ( ) ( )()1 2 x fx g xxm e

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