1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（天津卷） 第第 I 卷卷 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么()( )( )P ABP AP B 如果事件 A、B 相互独立，那么()( ) ( )P ABP A P B 球的体积公式 3 1 3 VR，其中 R 表示球的半径 圆锥的体积公式 1 3 VSh，其中 S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合 1,0,11,3,5 ,0,2,4ABC ，则()ABC（ ） A. 0 B. 0,1,3,5
2、C. 0,1,2,4 D. 0,2,3,4 【答案】C 2. 已知aR，则“6a ”是“ 2 36a ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件 【答案】A 3. 函数 2 ln | 2 x y x 的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4. 从某网格平台推荐影视作品中抽取400部， 统计其评分分数据， 将所得400个评分数据分为8组： 66,70、70,74、94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间82,86内的 影视作品数量是（ ） A. 20 B. 40 C. 64 D. 80 【答案】D 5. 设
3、 0.3 21 2 log 0.3,log 0.4,0.4abc ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A. abc B. cab C. bca D. acb 【答案】D 6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 32 3 ，两个圆锥的高之比为 1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 12 【答案】B 7. 若2510 ab ，则 11 ab （ ） A. 1 B. lg7 C. 1 D. 7 log 10 【答案】C 8. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点与抛物线 2 2(0)ypx p的焦点重合
4、，抛物线的准线 交双曲线于 A， B 两点， 交双曲线的渐近线于 C、 D 两点， 若2 |CDAB 则双曲线的离心率为 （ ） A 2 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】A 9. 设aR，函数 22 cos(22). ( ) 2(1)5, xaxa f x xaxaxa ，若 ( )f x在区间(0,)内恰有 6 个零点， 则 a 的取值范围是（ ） A. 95 11 2, 42 4 B. 5711 ,2, 42 4 C. 911 2,3 44 D. 11 ,2,3 44 7 【答案】A 第第 II 卷卷 二、填空题，本大题共二、填空题，本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共
5、分，共 30 分，试题中包含两个空的，答对分，试题中包含两个空的，答对 1 个的给个的给 3 分，全分，全 部答对部答对的给的给 5 分分 10. i是虚数单位，复数 92i 2i _ 【答案】4i 11. 在 6 3 1 2x x 展开式中， 6 x的系数是_ 【答案】160 12. 若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆 2 2 11xy相切于点B，则AB _ 【答案】 3 13. 若0 , 0ab，则 2 1 a b a b 的最小值为_ 【答案】2 2 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则 本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概
6、率分别为 5 6 和 1 5 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影 响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_，3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为_ 【答案】 . 2 3 . 20 27 15. 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D 为线段 BC 上的动点，DEAB且交 AB 于点 E/DF AB且 交 AC 于点 F,则|2|BEDF的值为_；()DEDFDA的最小值为_ 【答案】 . 1 . 11 20 三、解答题，本大题共三、解答题，本大题共 5 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤 16. 在
7、ABC，角 , , A B C所对的边分别为, ,a b c，已知sin :sin:sin2:1: 2ABC ， 2b （I）求 a 的值； （II）求cosC的值； （III）求 sin 2 6 C 的值 解： （I）因为sin :sin:sin2:1: 2ABC ，由正弦定理可得 : :2:1: 2a b c ， 2b ，2 2,2ac； （II）由余弦定理可得 222 8243 cos 242 2 22 abc C ab ； （III） 3 cos 4 C ， 2 7 sin1 cos 4 CC， 733 7 sin22sincos2 448 CCC， 2 91 cos22cos121
8、168 CC ， 所以 sin 2sin2coscos2sin 666 CCC 3 73113 21 1 828216 . 17. 如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点 （I）求证： 1 / /D F平面 11 AEC； （II）求直线 1 AC与平面 11 AEC所成角的正弦值 （III）求二面角 11 AACE 的正弦值 （I）证明：以A为原点， 1 ,AB AD AA分别为 , ,x y z轴，建立如图空间直角坐标系， 则0,0,0A, 1 0,0,2A,2,0,0B,2,2,0C,0,2,0D, 1 2,2,2C,
9、 1 0,2,2D， 因为 E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点，所以2,1,0E，1,2,0F， 所以 1 1,0, 2D F , 11 2,2,0AC , 1 2,1, 2AE , 设平面 11 AEC的一个法向量为 111 ,mx y z， 则 11 1111 11 2 0 2 2 0 2 mxy mxy A AEz C ，令 1 2x ，则 2, 2,1m ， 因为 1 220mDF，所以 1 mDF ， 因为 1 D F 平面 11 AEC，所以 1 / /D F平面 11 AEC； （II）解：由（1）得， 1 2,2,2AC ， 设直线 1 AC与平面 11 AEC所成
10、角为， 则 1 1 1 23 sincos, 93 2 3 m A C AC m m C A ； （III）解：由正方体的特征可得，平面 11 AAC的一个法向量为2, 2,0DB ， 则 82 2 cos, 33 2 2 DB m DB m DBm ， 所以二面角 11 AACE 的正弦值为 2 1 1 cos, 3 DB m. 18. 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 2 5 5 ，且5BF （1）求椭圆的方程； （2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于 点P若/MP BF，求直线l的方程 解：
11、 （1）易知点,0F c、0,Bb，故 22 5BFcba， 因为椭圆的离心率为 2 5 5 c e a ，故2c ， 22 1bac ， 因此，椭圆的方程为 2 2 1 5 x y； （2）设点 00 ,M x y为椭圆 2 2 1 5 x y上一点， 先证明直线MN的方程为 0 0 1 5 x x y y， 联立 0 0 2 2 1 5 1 5 x x y y x y ，消去y并整理得 22 00 20 xx xx， 22 00 440 xx ， 因此，椭圆 2 2 1 5 x y在点 00 ,M x y处的切线方程为 0 0 1 5 x x y y. 在直线MN的方程中，令0 x，可得
12、0 1 y y ，由题意可知 0 0y ，即点 0 1 0,N y ， 直线BF的斜率为 1 2 BF b k c ，所以，直线PN的方程为 0 1 2yx y ， 在直线PN的方程中，令 0y ，可得 0 1 2 x y ，即点 0 1 ,0 2 P y ， 因为/MP BF，则 MPBF kk，即 2 00 00 0 0 21 1 212 2 yy x y x y ， 整理可得 2 00 50 xy， 所以， 00 5xy ，因为 2 22 0 00 61 5 x yy， 0 0y，故 0 6 6 y ， 0 5 6 6 x ， 所以，直线l的方程为 66 1 66 xy，即60 xy .
13、 19. 已知 n a是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 n b是公比大于 0 的等比数列， 132 4,48bbb （I）求 n a和 n b的通项公式； （II）记 * 2 1 , nn n c b bnN， （i）证明 2 2nn cc是等比数列； （ii）证明 * 1 1 2 2 2 2 n k k k k k a n cc a N （I）解：因为 n a是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 所以 1281 8 7 8264 2 aaaa ，所以 1 1a ， 所以 1 2121, n nnaan N； 设等比数列 n b的公比为,0q q ， 所以 22 1
14、321 484qbbbqqbq，解得4q （负值舍去） ， 所以 1 1 4 , nn n bbqn N； （II） （i）证明：由题意，2 2 1 4 4 1 nn n n n b cb ， 所以 2 2 2 24 2 11 442 4 44 nnn nn nn cc ， 所以 2 2 0 nn cc，且 2 122 2 2 1 2 4 4 2 4 nn n n n n cc cc ， 所以数列 2 2nn cc是等比数列； （ii）证明：由题意知， 22 1 22 2 2 21 21414 2 42 22 2 n n nn n nn nnann cc a ， 所以 2 1 221 2 42
15、1 2 222 22 n n n nn n n annan cc ， 所以 1 1 11 2 2 1 22 n k k n k k kk k ak cc a ， 设 10121 1 123 22222 n n kn k kn T ， 则 123 1123 22222 n n n T ， 两式相减得 21 1 11 111122 12 1 2222222 1 2 n n nnnn nnn T ， 所以 1 2 4 2 n n n T ， 所以 1 11 11 2 2 112 42 2 2222 nn k kn kk k k k akn cc a . 20. 已知0a，函数( ) exf xaxx
16、 （I）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程： （II）证明 ( )f x存在唯一的极值点 （III）若存在 a，使得 ( )f xab 对任意xR成立，求实数 b 的取值范围 （I）解：( )(1)exfxax，则(0)1fa ， 又(0)0f，则切线方程为(1) ,(0)yax a； （II）证明：令( )(1)0 x fxaxe，则(1) x axe， 令( )(1)exg xx，则( )(2)exg xx， 当(, 2)x 时，( )0g x ， g x单调递减；当( 2,)x 时，( )0g x ， g x单调递增， 当x时， 0g x ，10g ，当x 时， 0g x
17、 ，画出 g x大致图像如下： 所以当0a时，y a 与 yg x仅有一个交点，令 g ma，则1m，且( )( )0f mag m ， 当(,)xm 时，( )ag x，则( )0fx ， f x单调递增， 当,xm时，( )ag x，则( )0fx ， f x单调递减， xm 为 f x的极大值点，故 ( )f x存在唯一的极值点； （III）解：由（II）知 max ( )( )f xf m，此时1(1)e , m amm ， 所以 2 max ( )( )1 e(1), m f xaf mammm ， 令 2 ( )1 e (1), x h xxxx ， 若存在 a，使得 ( )f xab 对任意xR成立，等价于存在( 1,)x ， 使得( )h xb，即 min ( )bh x， 2 ( )2 e(1)(2)e xx h xxxxx ，1x ， 当( 1,1)x 时，( )0h x ， h x单调递减， 当(1,)x时，( )0h x ， h x单调递增， 所以 min ( )(1)eh xh ，故eb， 所以实数 b 的取值范围, e .
