1、2021 年北京市海淀区年北京市海淀区三校联考三校联考中考数学模拟试卷（中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1芝麻被称为“八谷之冠” ，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用经 测算，一粒芝麻的质量约为 0.00000201kg，将 0.00000201 用科学记数法表示为（ ） A2.0110 8 B0.20110 7 C2.0110 6 D20.110 5 2下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
2、A B C D 3如果一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，则这个多边形是（ ） A三角形 B四边形 C六边形 D八边形 4数轴上 A，B 两点（不与原点 O 重合）分别表示有理数 x1，x2，AB 的中点为 P，若 x1x20，且|x1| |x2|，则关于原点 O 的位置，下列说法正确的是（ ） A点 O 在点 A 的左侧 B点 O 在点 P 的右侧 C点 O 与点 P 重合 D点 O 在线段 AP 上 5现有下列命题：若 5x25，则 52x50； 若 ab，则；若 x2y2，则 xy，其 中真命题有（ ）个 A3 B2 C1 D0 6一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有
3、一个数字，分别是2，1，0，1卡片除数字 不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为 0 的概率是（ ） A B C D 7如图是由一些相同的小正方体组合成的几何体的三视图，则小正方体的个数是（ ） A4 B5 C6 D7 8图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词 Ai出现在书 Bj中时，aij1，否则 aij0 （i，j 为正整数） 例如：当关键词 A1出现在书 B4中时，a141，否则 a140根据上述规定，某读者 去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（ ） A当 a21+a51+a613 时，选择 B1这本书
4、 B只有当 a2j+a5j+a6j0 时，才不能选择 Bj这本书 C当 a2j，a5j，a6j全是 1 时，选择 Bj这本书 D当 a22+a52+a623 时，不选择 B2这本书 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是 10在正方形网格中，A、B、C、D、E 均为格点，则BACDAE 11如果实数 m，n 满足方程组，那么（m2n）2021 12与2 最接近的自然数是 13若关于的 x 方程 x3+3bx+a0 有一个根为2，则 6ba 的值为 14如图，O 是ABC 的外接圆，若ACO40，则B 的度数
5、为 15小明调查了他所在年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如下频数分布表： 身高/厘米 150 x155 155x160 160 x165 165x170 170 x175 合计 频数 班级 1 班 1 8 12 14 5 40 2 班 10 15 10 3 2 40 3 班 5 10 10 8 7 40 在调查过程中， 随机抽取某班学生， 抽到 （填 “1 班” 、 “2 班” 或 “3 班” ） 的 “身高不低于 155cm” 可能性最大 16某段高速公路全长 250 千米，交警部门在高速公路上距入口 3 千米处设立了限速标志牌，并在以后每 隔 5 千米处设置一块限速标志牌；此外交警
6、部门还在距离入口 10 千米处设置了摄像头，并在以后每隔 28 千米处都设置一个摄像头（如图） ，则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志 牌和摄像头 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 72 分，第分，第 17-21 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 22-25 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 26 题题 7 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）分） 17 （5 分）计算： |1|+（2021+）02sin60+（） 1 18 （5 分）已知 x2+8x70，求（x+2） （x2）4x（x1）+（2x+1）2的值 19 （5 分）列方程解应用题
7、： 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂” ，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因为传承优 秀传统文化，某校为各班购进三国演义和水浒传连环画若干套，其中每套三国演义连环画 的价格比每套水浒传连环画的价格贵 60 元，用 4800 元购买水浒传连环画的套数是用 3600 元购 买三国演义连环画套数的 2 倍，求每套水浒传连环画的价格 20 （5 分）下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为 30”的尺规作图过程 已知：直线 l 及直线 l 上一点，如图 1 求作：ABC，使得ACB90，ABC30 作法：如图 2 在直线 l 上取点 D； 分别以点 A，D 为圆心，AD 长为半
8、径画弧，两弧交于点 B，E（B 在 E 的上方） ； 作直线 BE，交直线 l 于点 C； 连接 AB ABC 就是所求作的三角形 根据小明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： 证明：连接 BD，EA，ED BABDAD， ABD 是等边三角形 BAD60 BABDEA ， 四边形 AEDB 是菱形 BEAD（ ） （填推理的依据） ACB90 ABC+BAD90（ ） （填推理的依据） ABC30 21 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2ax+a10 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于 2，
9、求 a 的取值范围 22 （6 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC、BD 交于点 O，AC 平分BAD， 过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB5，BD6，求 CE 的长 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 yx+2 与函数 y （x0） 的图象交于点 A （3， m） （1）求 m，k 的值； （2）已知点 P（n，n） （n0） ，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交直线 yx+2 于点 M，交函数 y（x 0）的图象于点 N 当 n1 时，判断线段 PM 与 PN
10、的数量关系，并说明理由； 若 PM+PN4，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 24 （6 分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京市和张家口市举行为了调查学生对冬奥知 识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了 20 名学生的成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息 七年级 20 名学生成绩的频数分布表如下： 七年级学生样本成绩频数分布表 成绩 m（分） 频数（人数） 50m60 1 60m70 2 70m80 3 80m90 8 90m100 6 合计 20 七年级 20 名学生成绩在 80
11、m90 这一组的具体成绩是： 87 88 88 88 89 89 89 89 七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示： 平均数 中位数 众数 七年级 84 n 89 八年级 84.2 85 85 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）表中 n 的值为 （2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是 87 分，在他所属年级抽取的学生中排在前 10 名，根据表中数 据判断该学生所在年级，并说明理由 （3）七年级共有学生 180 名，若将不低于 80 分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数 25 （6 分）如图，已知直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，交O 于点 P，直线
12、AB 与O 相切于点 B，连 接 BP 并延长，交直线 l 于点 C （1）求证：ABAC； （2）若 PC2，OA5，求线段 PB 的长 26 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax24ax+4 （1）抛物线的对称轴是直线 x ； （2）若抛物线的顶点在 x 轴上，求该抛物线的解析式； （3）若 a0，对于抛物线上的两点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，当 t1x1t+1，x24 时，均满足 y1 y2，请结合函数图象，直接写出 t 的取值范围 27 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转得到线段 AE， 且满
13、足BAE+BAC180，连接 CE 交线段 AD 于点 F，连接 BE，设ABE （1）若 60， 依题意补全图 1； 用等式表示线段 FA，FC，FE 之间的数量关系，并证明； （ 2 ） 若 0 90 ， 直 接 用 含 的 等 式 表 示 FA ， FC ， FE 之 间 的 数 量 关 系 为 28 （8 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的半径为 r 的C 与图形 W，给出如下的定义： P 是图形 W 上的任意一点，射线 CP 与C 交于点 Q，线段 PQ 的长度记作 m（P，C） 特别地，当点 P 与圆心 C 重合时，规定 m（P，C）r；当点 P 与点 Q 重合时，规定 m（P，
14、C）0；m（P，C） 的最小值称 d 为图形 W 与C 的“绝对距离” （1）当O 的半径为 2 时，已知点 D（0，1） ，E（3，0） ，F（1，0） m （D， O） m （E， O） （填 “” ， “” 或 “” ） ； ODF 与O 的 “绝对距离” d ； 点 A、B 都在直线 ykx+1 上，G 是线段 AB 上一动点，若 m（G，O）m（D，O） ，求线段 AB 长度的最大值； （2）T 的圆心为 T（t，0） ，半径为 r，直线 yx+与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N当 1r 4 时，线段 MN 与T 的“绝对距离”d1，直接写出 t 的取值范围 参考答案与试题解析参考
15、答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）第分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1芝麻被称为“八谷之冠” ，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用经 测算，一粒芝麻的质量约为 0.00000201kg，将 0.00000201 用科学记数法表示为（ ） A2.0110 8 B0.20110 7 C2.0110 6 D20.110 5 【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂
16、，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000002012.0110 6 故选：C 2下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C 3如果一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，则这个多边形是（ ） A三角形 B四边形 C六边形 D八边形 【分析】n 边形的内角和可以表示成（n2） 180，外角和为 360，根据题意列方
17、程求解 【解答】解：设多边形的边数为 n，依题意，得 （n2） 1803360， 解得 n8， 故选：D 4数轴上 A，B 两点（不与原点 O 重合）分别表示有理数 x1，x2，AB 的中点为 P，若 x1x20，且|x1| |x2|，则关于原点 O 的位置，下列说法正确的是（ ） A点 O 在点 A 的左侧 B点 O 在点 P 的右侧 C点 O 与点 P 重合 D点 O 在线段 AP 上 【分析】根据中点坐标公式可得 P 表示的数是（x1+x2） ，再根据 x1x20，且|x1|x2|，可得 A 表示 的数是负数，可得 P 表示的数是负数，从而求解 【解答】解：AB 的中点为 P， P 表示
18、的数是（x1+x2） ， x1x20，且|x1|x2|， A 表示的数是负数， P 表示的数是负数， 点 O 在点 P 的右侧 故选：B 5现有下列命题：若 5x25，则 52x50； 若 ab，则；若 x2y2，则 xy，其 中真命题有（ ）个 A3 B2 C1 D0 【分析】根据幂的乘方、不等式的性质和平方判断即可 【解答】解：若 5x25，则 52x625，原命题是假命题； 若 ab，则，是真命题； 若 x2y2，则 xy 或 xy，原命题是假命题； 故选：C 6一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，1卡片除数字 不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡
19、片，抽取的两张卡片上数字之积为 0 的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得 【解答】解：画树状图如下： 由图知，共有 12 种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为 0 的有 6 种结果， 抽取的两张卡片上数字之积为 0 的概率为， 故选：A 7如图是由一些相同的小正方体组合成的几何体的三视图，则小正方体的个数是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有 2 行 3 列，故可得出该几何体 的小正方体的个数 【解答】解：综合三视图，我们可得出， 这个几何体的底层
20、应该有 4 个小正方体，第二层应该有 1 个小正方体， 因此搭成这个几何体的小正方体的个数为 4+15（个） ， 故选：B 8图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词 Ai出现在书 Bj中时，aij1，否则 aij0 （i，j 为正整数） 例如：当关键词 A1出现在书 B4中时，a141，否则 a140根据上述规定，某读者 去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（ ） A当 a21+a51+a613 时，选择 B1这本书 B只有当 a2j+a5j+a6j0 时，才不能选择 Bj这本书 C当 a2j，a5j，a6j全是 1 时，选择 Bj这本书
21、 D当 a22+a52+a623 时，不选择 B2这本书 【分析】根据题意 aij的值要么为 1，要么为 0，当关键词 Ai出现在书 Bj中时，元素 aij1，否则 aij0 （i，j 为正整数） ，按照此规定对每个选项分析推理即可 【解答】解：根据题意 aij的值要么为 1，要么为 0， A、a21+a51+a613，说明 a211，a511，a611，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书 B1中， 而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，故 A 表述正确； B、当 a22+a52+a623 时，则 a22、a52、a62时必有值为 0 的，即关键词“A2，A5，A6
22、”不同时具有， 从而不选择 B2这本书，故 B 表述错误； C、当 a2j，a5j，a6j全是 1 时，则 a2j1，a5j1，a6j1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书 Bj中， 则选择 Bj这本书，故 C 表述正确； D、根据前述分析可知，只有当 a22+a52+a623 时，才能选择 B2这本书，而 a22+a52+a62的值可能为 0、 1、2、3， 故 D 表述正确 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是 x3 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等
23、式得到答案 【解答】解：由题意得，2x60， 解得，x3， 故答案为：x3 10在正方形网格中，A、B、C、D、E 均为格点，则BACDAE 45 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用勾股定理的逆定理，可以判断AEF 的形状，从而可 以求得BACDAE 的度数 【解答】解：连接 AF、EF， 则CABFAD， FADDAEFAE， BACDAEFAE， 设小正方形的边长为 1， 则 AF，EF，AE， AF2+EF2AE2， AFE 是等腰直角三角形， FAE45， 即BACDAE45， 故答案为：45 11如果实数 m，n 满足方程组，那么（m2n）2021 1 【分析】用方程减去方
24、程，可得 m2n1，再根据有理数的乘方的定义计算即可 【解答】解：， 得：m2n1， （m2n）2021（1）20211 故答案为：1 12与2 最接近的自然数是 2 【分析】根据 3.54，可求 1.522，依此可得与2 最接近的自然数 【解答】解：3.54， 1.522， 与2 最接近的自然数是 2 故答案为：2 13若关于的 x 方程 x3+3bx+a0 有一个根为2，则 6ba 的值为 8 【分析】把 x2 代入方程，从而得到 6ba 的值 【解答】解：把 x2 代入关于的 x 方程 x3+3bax+a0 得86b+a0， 所以 6ba8 故答案为8 14如图，O 是ABC 的外接圆，
25、若ACO40，则B 的度数为 50 【分析】先根据 OAOC，ACO40可得出OAC40，故可得出AOC 的度数，再由圆周角定 理即可得出结论 【解答】解：连接 OA，如图， ACO40，OAOC， CAOACO40， AOC100， B50 故答案为：50 15小明调查了他所在年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如下频数分布表： 身高/厘米 频数 班级 150 x155 155x160 160 x165 165x170 170 x175 合计 1 班 1 8 12 14 5 40 2 班 10 15 10 3 2 40 3 班 5 10 10 8 7 40 在调查过程中， 随机抽取某班学
26、生， 抽到 1 班 （填 “1 班” 、 “2 班” 或 “3 班” ） 的 “身高不低于 155cm” 可能性最大 【分析】先计算出三个班中“身高不低于 155cm”的人数占总人数的比例，比较大小即可得 【解答】解：1 班中“身高不低于 155cm”的人数占总人数的比例为； 2 班中“身高不低于 155cm”的人数占总人数的比例为， 3 班中“身高不低于 155cm”的人数占总人数的比例为， 由知抽到 1 班的“身高不低于 155cm”可能性最大 故答案为：1 班 16某段高速公路全长 250 千米，交警部门在高速公路上距入口 3 千米处设立了限速标志牌，并在以后每 隔 5 千米处设置一块限
27、速标志牌；此外交警部门还在距离入口 10 千米处设置了摄像头，并在以后每隔 28 千米处都设置一个摄像头（如图） ，则在此段高速公路上，离入口 （140n+38） （n 为自然数） 千米 处刚好同时设置有标志牌和摄像头 【分析】设第 x 个标志牌和第 y 个摄像头离入口的距离相同，根据标志牌和摄像头离入口的距离相同， 即可得出关于 x，y 的二元一次方程，解之可得出 x，结合 x，y 均为正整数，可得出 y5n+2 （n 为自然数） ，再将其代入 10+28（y1）中，即可求出结论 【解答】解：设第 x 个标志牌和第 y 个摄像头离入口的距离相同， 依题意得：3+5（x1）10+28（y1）
28、， x 又x，y 均为正整数， y5n+2（n 为自然数） ， 10+28（y1）140n+38 故答案为： （140n+38） （n 为自然数） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 72 分，第分，第 17-21 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 22-25 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 26 题题 7 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）分） 17 （5 分）计算： |1|+（2021+）02sin60+（） 1 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左 向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解
29、：|1|+（2021+）02sin60+（） 1 1+12+2 +2 2 18 （5 分）已知 x2+8x70，求（x+2） （x2）4x（x1）+（2x+1）2的值 【分析】首先利用整式的乘法和完全平方公式计算，化简后，再把 x2+8x70 变化得出 x2+8x7 整体 代入求得数值即可 【解答】解：原式x244x2+4x+4x2+4x+1 x2+8x3， 由 x2+8x70，得：x2+8x7， 原式734 19 （5 分）列方程解应用题： 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂” ，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因为传承优 秀传统文化，某校为各班购进三国演义和水浒传连环画若干套，其
30、中每套三国演义连环画 的价格比每套水浒传连环画的价格贵 60 元，用 4800 元购买水浒传连环画的套数是用 3600 元购 买三国演义连环画套数的 2 倍，求每套水浒传连环画的价格 【分析】设每套水浒传连环画的价格是 x 元则三国演义连环画的价格是（x+60）元根据“用 4800 元购买水浒传连环画的套数是用 3600 元购买三国演义连环画套数的 2 倍”列出方程并解 答注意要验根 【解答】解：设每套水浒传连环画的价格为 x 元，则每套三国演义连环画的价格为（x+60）元 由题意，得2 解得 x120 经检验，x120 是原方程的解，且符合题意 答：每套水浒传连环画的价格为 120 元 20
31、 （5 分）下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为 30”的尺规作图过程 已知：直线 l 及直线 l 上一点，如图 1 求作：ABC，使得ACB90，ABC30 作法：如图 2 在直线 l 上取点 D； 分别以点 A，D 为圆心，AD 长为半径画弧，两弧交于点 B，E（B 在 E 的上方） ； 作直线 BE，交直线 l 于点 C； 连接 AB ABC 就是所求作的三角形 根据小明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： 证明：连接 BD，EA，ED BABDAD， ABD 是等边三角形 BAD60 BABDEA DE ，
32、 四边形 AEDB 是菱形 BEAD（ 菱形的性质 ） （填推理的依据） ACB90 ABC+BAD90（ 直角三角形两锐角互余 ） （填推理的依据） ABC30 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 （2）利用菱形的判定和性质证明即可 【解答】解： （1）如图，ABC 即为所求作 （2）证明：连接 BD，EA，ED BABDAD， ABD 是等边三角形， BAD60， BABDEADE， 四边形 AEDB 是菱形， BEAD（菱形的性质） ， ACB90， ABC+BAD90（直角三角形两锐角互余） ， ABC30 故答案为：DE，菱形的性质，直角三角形两锐角互余 21 （5 分）已知关于
33、x 的一元二次方程 x2ax+a10 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于 2，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出0，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别是 x1，x2，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系求 得 a 的取值范围 【解答】 （1）证明：（a）24（a1）（a2）20， 无论 a 为何值，方程总有两个实数根； （2）设方程的两个根分别是 x1，x2， 解方程得 x， x1a1，x21 由题意可知 a12，即 a3 a 的取值范围为 a3 22 （6 分）如图，在四边形 ABCD 中
34、，ABDC，ABAD，对角线 AC、BD 交于点 O，AC 平分BAD， 过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB5，BD6，求 CE 的长 【分析】 （1）先判断出OABDCA，进而判断出DACDCA，得出 CDADAB，即可得出结 论； （2）由菱形的性质得 OAOC，BDAC，OBODBD3，由勾股定理求出 OA4，则 AC2OA 8，再由菱形 ABCD 的面积即可得出答案 【解答】 （1）证明：ABCD， OABDCA， AC 为DAB 的平分线， OABDAC， DCADAC， CDAD， ABCD， 四边形 ABCD
35、 是平行四边形， ADAB， ABCD 是菱形； （2）解：四边形 ABCD 是菱形， OAOC，BDAC，OBODBD3， OA4， AC2OA8， 菱形 ABCD 的面积ACBD8624， CEAB， 菱形 ABCD 的面积ABCE5CE24， CE 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 yx+2 与函数 y （x0） 的图象交于点 A （3， m） （1）求 m，k 的值； （2）已知点 P（n，n） （n0） ，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交直线 yx+2 于点 M，交函数 y（x 0）的图象于点 N 当 n1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说
36、明理由； 若 PM+PN4，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 【分析】 （1）图象交于点 A（3，m） ，代入可求 m，k； （2）求出 M、N 坐标和 PM、PN 长度即可答案， 求 PM+PN4 时 n 的值，再观察图象可得答案 【解答】解： （1）直线 yx+2 与函数 y（x0）的图象交于点 A（3，m） ， ， 解得 m1，k3， （2）n1 时，P（1，1） ， 过点 P 作平行于 y 轴的直线，交直线 yx+2 于点 M，交函数 y， （x0）的图象于点 N， M（1，1） ，N（1，3） ， PM2，PN2， PMPN； 如答图， 由知：n1 时，P（1，1） ，PM2
37、，PN2，此时 PM+PN4， 点 P（n，n） （n0）在直线 yx 上，而直线 yx 是将直线 yx+2 向下移动 2 个单位得到的， M、P 的横坐标相等时，PM2， 若 PM+PN4，则 PN2，此时 PMPN，M 与 N 重合， 由解得或（因 n0，舍去） ， n3 时，PMPN2，PM+PN4， 由图可知3n1 时，PM+PN4， 故答案为：3n1 24 （6 分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京市和张家口市举行为了调查学生对冬奥知 识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了 20 名学生的成绩（百分制） ，并对数据（
38、成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息 七年级 20 名学生成绩的频数分布表如下： 七年级学生样本成绩频数分布表 成绩 m（分） 频数（人数） 50m60 1 60m70 2 70m80 3 80m90 8 90m100 6 合计 20 七年级 20 名学生成绩在 80m90 这一组的具体成绩是： 87 88 88 88 89 89 89 89 七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示： 平均数 中位数 众数 七年级 84 n 89 八年级 84.2 85 85 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）表中 n 的值为 88.5 （2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是
39、87 分，在他所属年级抽取的学生中排在前 10 名，根据表中数 据判断该学生所在年级，并说明理由 （3）七年级共有学生 180 名，若将不低于 80 分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数 【分析】 （1）根据表格中的数据，可以求得 n 的值； （2）根据表格中的数据，可以判断该生所在的年级，然后根据表格中的数据，即可说明理由； （3）根据表格中的数据，可以计算出七年级成绩优秀的学生人数 【解答】解： （1）由表格中的数据可得， n（88+89）288.5， 故答案为：88.5； （2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是 87 分，在他所属年级抽取的学生中排在前 10 名，根据表中数
40、据判断该学生所在年级是八年级， 理由：七年级中位数是 88.5，8788.5， 如果该学生在七年级，排名是后 10 名，不合题意； 八年级中位数是 85，8587， 如果该学生在八年级，排名是前 10 名，符合题意； 由上可得，在学生样本成绩中，某学生的成绩是 87 分，在他所属年级抽取的学生中排在前 10 名，根据 表中数据判断该学生所在年级是八年级； （3）180126（人） ， 答：七年级成绩优秀的学生有 126 人 25 （6 分）如图，已知直线 l 与O 相离，OAl 于点 A，交O 于点 P，直线 AB 与O 相切于点 B，连 接 BP 并延长，交直线 l 于点 C （1）求证：A
41、BAC； （2）若 PC2，OA5，求线段 PB 的长 【分析】 （1）根据切线的性质得到ABO90，然后证明ABCACB，从而得到 ABAC； （2）设O 的半径为 r，则 OBOPr，PA5r，利用勾股定理得到 52r2（2）2（5r）2， 解得 r3，所以 OP3，PA2，过 O 点作 OHPB，如图，根据垂径定理得到 PHBH，再证明OPH CPA，利用相似比求出 PH，从而得到 BP 的长 【解答】 （1）证明：直线 AB 与O 相切于点 B， OBAB， ABO90， OAAC， OAC90， OBC+ABC90，ACP+APC90， 而APCOPBOBP， ABCACB， ABA
42、C； （2）解：设O 的半径为 r，则 OBOPr，PA5r， 在 RtOAB 中，AB252r2， 在 RtPAC 中，AC2（2）2（5r）2， ABAC， 52r2（2）2（5r）2，解得 r3， OP3，PA2， 过 O 点作 OHPB，如图，则 PHBH， OPHAPC，OHPCAP， OPHCPA， ，即，解得 PH， PB2PH 26 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax24ax+4 （1）抛物线的对称轴是直线 x 2 ； （2）若抛物线的顶点在 x 轴上，求该抛物线的解析式； （3）若 a0，对于抛物线上的两点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，当
43、t1x1t+1，x24 时，均满足 y1 y2，请结合函数图象，直接写出 t 的取值范围 【分析】 （1）根据抛物线对称轴公式：x，即可得到答案； （2）将 x2 代入抛物线解析式得 y4a+4 即为顶点纵坐标，然后令 y0 得到 a 的值； （3） 由于 a0， 抛物线对称轴为 x2， 且图象过点 （0， 4） ， 根据图象及已知构建不等式即可求得答案 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为：x2， 故答案为：2； （2）当 x2 时，y4a8a+44a+4， 抛物线顶点在 x 轴上， y4a+40， a1； （3）如图： 抛物线对称轴为 x2， 当 x0 和 x4 时，y4， x24，a0，
44、y1y2， ， 1t3 27 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转得到线段 AE， 且满足BAE+BAC180，连接 CE 交线段 AD 于点 F，连接 BE，设ABE （1）若 60， 依题意补全图 1； 用等式表示线段 FA，FC，FE 之间的数量关系，并证明； （2）若 090，直接用含 的等式表示 FA，FC，FE 之间的数量关系为 2FAcos+FC FE 【分析】 （1）由题意补全即可； 在 FE 上截取 GEFC，连接 AG，由旋转的性质得 ABAE，易证ABE 是等边三角形，得BAE 60，由 SAS 证得AEGACF，得
45、 AGFA，EAGCAFBAF，证AGF 是等边三角形，得 GFFA，即可得出结果； （2）在 FE 上截取 MEFC，连接 AM，过点 A 作 ANEC 于 N，由旋转的性质得 ABAE，由 SAS 证 得AEMACF，得 AMFA，EAMCAFBAF，求出AMFAFM，则 MNFNFA cos，即可得出结果 【解答】解： （1）依题意补全图 1 如下： 线段 FA，FC，FE 之间的数量关系为：FA+FCFE，理由如下： 在 FE 上截取 GEFC，连接 AG，如图 2 所示： 由旋转的性质得：ABAE， ABE60， ABE 是等边三角形， BAE60， ABAC，ADBC， AEAC，
46、CAFBAF， AEGACF， 在AEG 和ACF 中， ， AEGACF（SAS） ， AGFA，EAGCAF， EAGBAF， EABEAG+BAG60， BAF+BAG60，即GAF60， AGF 是等边三角形， GFFA， FA+FCGF+EGFE； （2）FA，FC，FE 之间的数量关系为：2FAcos+FCFE，理由如下： 在 FE 上截取 MEFC，连接 AM，过点 A 作 ANEC 于 N，如图 3 所示： 由旋转的性质得：ABAE， ABAC，ADBC， AEAC，CAFBAF， AEGACF， 在AEM 和ACF 中， ， AEMACF（SAS） ， AMFA，EAMCAF
47、BAF， ABAE， AEBABE， EAB1802， EABEAM+BAM1802， MAFBAF+BAM1802， AMFA， AMFAFM， ANEC， MNFNFAcos， 2FAcos+FCMN+FN+MEFE， 故答案为：2FAcos+FCFE 28 （8 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的半径为 r 的C 与图形 W，给出如下的定义： P 是图形 W 上的任意一点，射线 CP 与C 交于点 Q，线段 PQ 的长度记作 m（P，C） 特别地，当点 P 与圆心 C 重合时，规定 m（P，C）r；当点 P 与点 Q 重合时，规定 m（P，C）0；m（P，C） 的最小值称 d 为图形 W 与C 的“绝对距离” （1）当O 的半径为 2 时，已知点 D（0，1） ，E（3，0） ，F（1，0） m（D，O） 1 m（E，O） （填“” ， “”或“” ） ；ODF 与O 的“绝对距离”d 1 ； 点 A、B 都在直线 ykx+1 上，G 是线段 AB 上一动点，若 m（G，O）m（D，O） ，求线段 AB 长度的最大值； （2）T 的圆心为 T（t，0） ，半径为 r，直线 yx+与 x 轴、y 轴分别交于点 M、N当 1r 4 时，线段 MN 与T 的“绝对距离”d1，直接写出 t 的取值范围 【分析】
