1、题组层级快练题组层级快练(六十八六十八) 1若过抛物线 y2x2的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2( ) A2 B1 2 C4 D 1 16 答案 D 解析 由 y2x2,得 x21 2y.其焦点坐标为 F(0, 1 8),取直线 y 1 8,则其与 y2x 2交于 A(1 4, 1 8),B( 1 4, 1 8),x1x2( 1 4) ( 1 4) 1 16. 2设离心率为 e 的双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则 直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( ) Ak
2、2e21 Bk2e21 De2k21 答案 C 解析 l 与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是b ak b a,即 k 21,故 选 C. 3已知椭圆 x22y24,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A3 2 B2 3 C. 30 3 D.3 2 6 答案 C 解析 设 y1k(x1),ykx1k. 代入椭圆方程,得 x22(kx1k)24. (2k21)x24k(1k)x2(1k)240. 由 x1x24kk1 2k21 2,得 k1 2,x1x2 1 3. (x1x2)2(x1x2)24x1x244 3 8 3. |AB|11 4 2 6 3 30 3 . 4已知抛物线 y2x2上
3、的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 yxm 对称,且 x1x21 2,那么 m 的 值等于( ) A.3 2 B.5 2 C2 D3 答案 A 解析 因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 y2x2上,所以 y12x21,y22x22,两式相减,得 y1y2 2(x1x2)(x1x2),不妨设 x10.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x242k 2 k2 , x1x21. 又因为AF BF 0,所以(x11)(x21)y1y20,(x11)(x21)k2(x11)(x21)0, (1k2)x1x2(k21)(x1x2)k210.把 x1x242k 2
4、 k2 , x1x21, 代入并整理,得 k21 2.又 k0,所以 k 2 2 , 故选 B. 7已知抛物线 y28x,过动点 M(a,0),且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 A,B,|AB|8, 则实数 a 的取值范围是_ 答案 20, 20,b0)的左、右焦点,若双曲线左支上存 在一点 P 与点 F2关于直线 yb ax 对称,则该双曲线的离心率为_ 答案 5 解析 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 ybx a 对称,则 PF1PF2.又|PF2| |PF1| b a,联 立|PF2|PF1|2a,|PF2|2|PF1|2(2c)2,可得 b3a2b
5、2c2a.所以 b2a,e 5. 10抛物线 y24x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点 (1)若AF 2FB ,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值 答案 (1) 2 2 (2)4 解析 (1)依题意知 F(1,0),设直线 AB 的方程为 xmy1. 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x,得 y24my40. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 y1y24m,y1y24. 因为AF 2FB ,所以 y12y2. 联立和,消去 y1,y2,得 m 2 4
6、 . 所以直线 AB 的斜率是 2 2. (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等,所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB. 因为 2SAOB21 2 |OF| |y1y2| y1y224y1y24 1m2, 所以当 m0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4. 11.(2015 四川成都七中适应性训练)如图所示,设抛物线 C1:y24x 的准线与 x 轴交于点 F1,焦点 F2. 椭圆 C2以 F1和 F2为焦点,离心率 e1 2.设 P 是 C1与 C2的一个交点 (1)求椭圆 C2的方程;
7、(2)直线 l 过 C2的右焦点 F2,交 C1于 A1,A2两点,且|A1A2|等于PF1F2的周长,求直线 l 的方程 答案 (1)x 2 4 y2 31 (2)y 2(x1)或 y 2(x1) 解析 (1)由条件,F1(1,0),F2(1,0)是椭圆 C2的两焦点,故半焦距为 1,再由离心率为1 2知长半轴长 为 2,从而 C2的方程为x 2 4 y2 31. (2)由(1)可知PF1F2的周长|PF1|PF2|F1F2|6.又 C1:y24x,而 F2(1,0) 若 l 垂直于 x 轴,易得|A1A2|4,矛盾,故 l 不垂直于 x 轴,可设其方程为 yk(x1),与 C1方程联 立可
8、得 k2x2(2k24)xk20,从而|A1A2| k21|x1x2| k21 2k2424k4 k2 4k 21 k2 .令|A1A2|6 可解出 k22,故 l 的方程为 y 2(x1)或 y 2(x1) 12 (2014 陕西文)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点(0, 3), 离心率为 1 2, 左、 右焦点分别为 F1(c,0), F2(c,0) (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:y1 2xm 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2为直径的圆交于 C,D 两点,且满足 |AB| |CD| 5 3 4 ,求直线 l 的方程 答案 (1)x 2 4 y2 31 (
9、2)y1 2x 3 3 或 y1 2x 3 3 思路 (1)构造关于 a,b,c 的方程组;(2)利用直线与圆的位置关系得|CD|,直线的方程与椭圆方程联 立得方程组,利用根与系数的关系得|AB|,构造关于 m 的方程求 m,进而得出直线 l 的方程 解析 (1)由题设知 b 3, c a 1 2, b2a2c2, 解得 a2, b 3, c1. 椭圆的方程为x 2 4 y2 31. (2)由题设,以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y21, 圆心到直线 l 的距离 d2|m| 5 . 由 d1,得|m| 5 2 .(*) |CD|2 1d2214 5m 22 5 54m2. 设 A(x1,y
10、1),B(x2,y2), 由 y1 2xm, x2 4 y2 31, 得 x2mxm230. 由根与系数的关系可得 x1x2m,x1x2m23. |AB| 1 1 2 2 m24m23 15 2 4m2. 由|AB| |CD| 5 3 4 ,得 4m2 54m21,解得 m 3 3 ,满足(*) 直线 l 的方程为 y1 2x 3 3 或 y1 2x 3 3 . 13(2014 辽宁理)圆 x2y24 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最 小时,切点为 P(如图)双曲线 C1:x 2 a2 y2 b21 过点 P 且离心率为 3. (1)求 C1的方程; (2)
11、椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点,直线 l 过 C2的右焦点且与 C2交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程 答案 (1)x2y 2 21 (2)x(3 6 2 1)y 30 或 x( 6 2 1)y 30 思路 (1)先求切线方程,再利用条件列出方程组求解字母的值;(2)利用关系设出椭圆方程,再利用直 线与椭圆的位置关系求解 解析 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00), 则切线斜率为x0 y0,切线方程为 yy0 x0 y0(xx0), 即 x0 xy0y4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S1 2 4 x0 4 y0
12、 8 x0y0. 由 x20y2042x0y0知当且仅当 x0y0 2时,x0y0有最大值,即 S 有最小值,因此点 P 的坐标为( 2, 2) 由题意知 2 a2 2 b21, a2b23a2, 解得 a21, b22. 故 C1的方程为 x2y 2 21. (2)由(1)知 C2的焦点坐标为( 3,0),( 3,0), 由此设 C2的方程为 x2 3b21 y2 b211,其中 b10. 由 P( 2, 2)在 C2上,得 2 3b21 2 b211. 解得 b213,因此 C2的方程为x 2 6 y2 31. 显然,l 不是直线 y0. 设 l 的方程为 xmy 3,点 A(x1,y1)
13、,B(x2,y2), 由 xmy 3, x2 6 y2 31, 得(m22)y22 3my30. 又 y1,y2是方程的根,因此 y1y22 3m m22, y1y2 3 m22. 由 x1my1 3,x2my2 3,得 x1x2my1y22 3 4 3 m22, x1x2m2y1y2 3my1y2366m 2 m22 . 因为AP ( 2x1, 2y1),BP ( 2x2, 2y2), 由题意知AP BP 0, 所以 x1x2 2(x1x2)y1y2 2(y1y2)40. 将代入整理,得 2m22 6m4 6110. 解得 m3 6 2 1 或 m 6 2 1. 因此直线 l 的方程为 x(3 6 2 1)y 30 或 x( 6 2 1)y 30.