新课标版数学(理)高三总复习:题组层级快练69

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1、题组层级快练题组层级快练(六十九六十九) 1到两定点 A(0,0),B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是( ) A椭圆 BAB 所在的直线 C线段 AB D无轨迹 答案 C 解析 |AB|5,到 A,B 两点距离之和为 5 的点的轨迹是线段 AB. 2若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y40 的距离小 2,则 P 的轨迹方程为( ) Ay28x By28x Cx28y Dx28y 答案 C 解析 由题意知 P 到 F(0,2)的距离比它到 y40 的距离小 2,因此 P 到 F(0,2)的距离与到直线 y2 0 的距离相等,故 P 的轨迹是以 F 为焦点,y2 为准线的抛物线,

2、所以 P 的轨迹方程为 x28y. 3在ABC 中,已知 A(1,0),C(1,0),且|BC|,|CA|,|AB|成等差数列,则顶点 B 的轨迹方程是( ) A.x 2 3 y2 41 B.x 2 3 y2 41(x 3) C.x 2 4 y2 31 D.x 2 4 y2 31(x 2) 答案 D 解析 |BC|,|CA|,|AB|成等差数列, |BC|BA|2|CA|4. 点 B 的轨迹是以 A,C 为焦点,半焦距 c1,长轴长 2a4 的椭圆又 B 是三角形的顶点,A,B, C 三点不能共线,故所求的轨迹方程为x 2 4 y2 31,且 y0. 4已知点 F(1,0),直线 l:x1,点

3、 B 是 l 上的动点若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直 平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 答案 D 解析 连接 MF,由中垂线性质,知|MB|MF|. 即 M 到定点 F 的距离与它到直线 x1 距离相等 点 M 的轨迹是抛物线D 正确 5设椭圆与双曲线有共同的焦点 F1(1,0),F2(1,0),且椭圆长轴是双曲线实轴的 2 倍,则椭圆与双 曲线的交点轨迹是( ) A双曲线 B一个圆 C两个圆 D两条抛物线 答案 C 解析 由 |PF1|PF2|4a, |PF1|PF2|2a, 得到|PF1|3|PF2|或|PF2|3|PF1|,

4、所以是两个圆 6经过抛物线 y22px 焦点的弦的中点的轨迹是( ) A抛物线 B椭圆 C双曲线 D直线 答案 A 解析 点差法 kAB 2p y1y2 2p 2ykMF y xp 2 化简得抛物线 7(2015 北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点 D, E 分别在线段 OC,AB 上运动,且|OD|BE|,设 AD 与 OE 交于点 G,则点 G 的轨迹方程是( ) Ayx(1x)(0 x1) Bxy(1y)(0y1) Cyx2(0 x1) Dy1x2(0 x1) 答案 A 解析 设 D(0,),E(1,1),01,所以

5、线段 AD 的方程为 xy 1(0 x1),线段 OE 的方程为 y(1)x(0 x1), 联立方程组 xy 1,0 x1, y1x,0 x1, ( 为参数), 消去参数 得点 G 的轨迹方程为 y x(1x)(0 x1),故 A 正确 8(2015 衡水调研卷)双曲线 M:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)实轴的两个顶点为 A,B,点 P 为双曲线 M 上 除 A,B 外的一个动点,若 QAPA 且 QBPB,则动点 Q 的运动轨迹为( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 答案 C 解析 A(a,0),B(a,0),设 Q(x,y),P(x0,y0),kAP y0 x0a,kBP y

6、0 x0a,kAQ y xa,kBQ y xa,由 QAPA 且 QBPB,得 kAPkAQ y0 x0a y xa1,kBPkBQ y0 x0a y xa1.两式相乘即得轨迹为双曲线 9长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x,y 轴上移动,动点 C(x,y)满足AC 2CB ,则动点 C 的轨 迹方程_ 答案 x21 4y 21 解析 设 A(a,0),B(0,b),则 a2b29.又 C(x,y),则由AC 2CB ,得(xa,y)2(x,by) 即 xa2x, y2b2y, 即 a3x, b3 2y, 代入 a2b29,并整理,得 x21 4y 21. 10若过抛物线 y24

7、x 的焦点作直线与其交于 M,N 两点,作平行四边形 MONP,则点 P 的轨迹方 程为_ 答案 y24(x2) 解析 设直线方程为 yk(x1),点 M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),由OM NP ,得(x1,y1)(xx2, yy2)得 x1x2x,y1y2y. 由 ykx1, y24x, 联立得 xx1x22k 24 k2 . yy1y24k k2,消去参数 k,得 y 24(x2) 11已知ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|3,则顶点 A 的轨迹方程为_ 答案 (x10)2y236(y0) 解析 方法一:直接法设 A(x,y),y0,

8、则 D(x 2, y 2) |CD|x 25 2y 2 43. 化简,得(x10)2y236.由于 A,B,C 三点构成三角形,所以 A 不能落在 x 轴上,即 y0. 方法二:定义法如图,设 A(x,y),D 为 AB 的中点,过 A 作 AECD 交 x 轴于 E. |CD|3, |AE|6, 则 E(10,0), A 到 E 的距离为常数 6.A 的轨迹为以 E 为圆心, 6 为半径的圆, 即(x10)2y236.又 A,B,C 不共线,故 A 点纵坐标 y0,故 A 点轨迹方程为(x10)2y236(y0) 12已知抛物线 y2nx(n0)与双曲线x 2 8 y 2 m1 有一个相同的

9、焦点,则动点(m,n)的轨迹方程是 _ 答案 n216(m8)(n0) 解析 抛物线的焦点为(n 4,0),在双曲线中,8mc 2(n 4) 2,n0,即 n216(m8)(n0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点); 当10 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点); 当 1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 为半径的圆除去点(1,0),(1,0); 当 3. 所以 x02y12y1. 化简,得曲线 的方程为 x24y. (2)同方法一 16(2014 湖北)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴

10、的距离多 1.记点 M 的 轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公 共点时 k 的相应取值范围 答案 (1)y2 4x,x0, 0,x0. (2)略 思路 (1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程,注意分 x0,x0 两种 情况讨论,最后写成分段函数的形式;(2)先求出直线 l 的方程,然后联立直线 l 与抛物线的方程,消去 x, 得到关于 y 的方程,分 k0,k0 两种情况讨论;当 k0 时,设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0)进而按 ,x0

11、与 0 的大小关系再分情况讨论 解析 (1)设点 M(x,y),依题意得|MF|x|1, 即 x12y2|x|1. 化简整理,得 y22(|x|x) 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2 4x,x0, 0,x0. (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y24x,C2:y0(x0) 依题意,可设直线 l 的方程为 y1k(x2) 由方程组 y1kx2, y24x, 可得 ky24y4(2k1)0. 当 k0 时,此时 y1.把 y1 代入轨迹 C 的方程,得 x1 4. 故此时直线 l:y1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 1 4,1 . 当 k0 时,方程的判别式为 16(2k2k1) 设直

12、线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则 由 y1k(x2),令 y0,得 x02k1 k . 若 0, x00, 由解得 k1 2. 即当 k(,1) 1 2, 时,直线 l 与 C1没有公共点,与 C2有一个公共点,故此时直线 l 与 轨迹 C 恰好有一个公共点 若 0, x00, x00, 由解得 k 1,1 2 ,或1 2k0, x00, 由解得1k1 2,或 0k 1 2. 即当 k 1,1 2 0,1 2 时,直线 l 与 C1有两个公共点,与 C2有一个公共点,故此时直线 l 与轨 迹 C 恰好有三个公共点 综上可知, 当 k(, 1) 1 2, 0时, 直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 当 k 1 2,0 1,1 2 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k 1,1 2 0,1 2 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有 三个公共点

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