1、题组层级快练题组层级快练(七十二七十二) 1有不同的语文书 9 本，不同的数学书 7 本，不同的英语书 5 本，从中选出不属于同一学科的书 2 本，则不同的选法有( ) A21 种 B315 种 C143 种 D153 种 答案 C 解析 可分三类： 一类：语文、数学各 1 本，共有 9763 种； 二类：语文、英语各 1 本，共有 9545 种； 三类：数学、英语各 1 本，共有 7535 种； 共有 634535143 种不同选法 25 名应届毕业生报考 3 所高校，每人报且仅报 1 所院校，则不同的报名方法的种数是( ) A35 B53 CA23 DC35 答案 A 解析 第 n 名应届
2、毕业生报考的方法有 3 种(n1,2,3,4,5)，根据分步计算原理，不同的报名方法共有 3333335(种) 3.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色， 则不同的着色方法共有( ) A24 种 B30 种 C36 种 D48 种 答案 D 解析 共有 432248(种)，故选 D. 4高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去 何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( ) A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 答案 C 解析 自由选择去四个工厂有 43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁
3、三个工厂有 33种方法， 故不同的分配方案有 433337 种 5某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了 2 个新节目如要将这 2 个节目 插入原节目单中，那么不同插法的种类为( ) A42 B30 C20 D12 答案 A 解析 将新增的 2 个节目分别插入原定的 5 个节目中，插入第一个有 6 种插法，插入第 2 个时有 7 个 空，共 7 种插法，所以共 6742(种) 6.(2014 沧州七校联考)已知如图的每个开关都有闭合、 不闭合两种可能， 因此 5 个开关共有 25种可能， 在这 25种可能中，电路从 P 到 Q 接通的情况有( ) A30 种 B10 种
4、C16 种 D24 种 (提示：按有几个开关闭合分类) 答案 C 解析 5 个开关闭合有 1 种接通方式；4 个开关闭合有 5 种接通方式；3 个开关闭合有 8 种接通方式； 2 个开关闭合有 2 种接通方式，故共有 158216 种 7某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到 “9999”共 10 000 个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优 惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A2 000 B4 096 C5 904 D8 320 答案 C 解析 若卡号后四位数没有4且没有7， 这样的卡的个数为844 096， 优惠卡的
5、个数为10 0004 096 5 904 个，故选 C. 8某大楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一 种颜色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁在每个闪烁 中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒如果要实现所有不同的闪烁， 那么需要的时间至少是( ) A1 205 秒 B1 200 秒 C1 195 秒 D1 190 秒 答案 C 解析 要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少，只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍而 所有的闪烁共有 A55120 个；因为在每个闪烁中，每秒
6、钟有且仅有一个彩灯闪亮，即每个闪烁的时长为 5 秒，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒，所以要实现所有不同的闪烁，需要的时间至少是 120(55) 51 195 秒 9.(2015 山东日照模拟)将 1,2,3，9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每 一列从上到下分别依次增大当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法为( ) A6 种 B12 种 C18 种 D24 种 答案 A 解析 因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9 只有一种填法，5 只能填在右上角 或左下角，5 填好后之相邻的空格可填 6,7,8 任一个，余下两个数字按从小到大只
7、有一种方法共有 23 6 种结果，故选 A. 10若从集合 P 到集合 Qa，b，c所有的不同映射共有 81 个，则从集合 Q 到集合 P 所有的不同映 射共有( ) A32 个 B27 个 C81 个 D64 个 答案 D 解析 可设 P 集合中元素的个数为 x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得 PQ 的映射种数 为 3x81，可得 x4.反过来，可得 QP 的映射种数为 4364. 11(2015 江南十校)已知 I1,2,3，A，B 是集合 I 的两个非空子集，且 A 中所有数的和大于 B 中所 有数的和，则集合 A，B 共有( ) A12 对 B15 对 C18 对 D20 对
8、答案 D 解析 依题意，当 A，B 均有一个元素时，有 3 对；当 B 有一个元素，A 有两个元素时，有 8 对；当 B 有一个元素，A 有三个元素时，有 3 对；当 B 有两个元素，A 有三个元素时，有 3 对；当 A，B 均有两 个元素时，有 3 对；共 20 对，选择 D. 12现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值日，共有 5 个人，每个人都可以值多天或不值班， 但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有_种不同的排法 答案 1 280 解析 完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行： 第一天有 5 种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有
9、 4 种不同排法，依次类推，第三、 四、五天都有 4 种不同排法，所以共有 544441 280 种不同的排法 13有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法 种数是_ 答案 12 解析 先选上衣，从 4 件上衣中选一件有 4 种，第二步选长裤，从 3 条长裤中选一条有 3 种，由分步 乘法原理可知有 4312 种配法 14(2015 济宁模拟)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选 法共有_种 答案 24 解析 分步完成，首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门，有 4 种方法，其次甲从剩下的 3 门课程
10、中 任选 1 门，有 3 种方法，最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门，有 2 种方法，于是，甲、乙所选的课程中 恰有 1 门相同的选法共有 43224 种 15直线方程 AxBy0，若从 0,1,2,3,5,7 这 6 个数字中任取两个不同的数作为 A，B 的值，则可表示 _条不同的直线 答案 22 解析 分成三类：A0，B0；A0，B0 和 A0，B0，前两类各表示 1 条直线；第三类先取 A 有 5 种取法，再取 B 有 4 种取法，故 5420 种 所以可以表示 22 条不同的直线 16若从正方体的 6 个表面中取 3 个面，使其中两个面没有公共点，则共有_种不同的取法 答案 12
11、 解析 分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有 3 种取法；第二步再取另外一个平面，有 4 种 取法，由分步计数原理共有 3412 种取法 17由 1 到 200 的自然数中，各数位上都不含 8 的有_个 答案 162 解析 一位数 8 个，两位数 8972 个 3 位数 1 有 9981 个， 另外 2 1 个(即 200)， 共有 872811162 个 18标号为 A，B，C 的三个口袋，A 袋中有 1 个红色小球，B 袋中有 2 个不同的白色小球，C 袋中有 3 个不同的黄色小球，现从中取出 2 个小球 (1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？ (2)若取出的两个球颜色相同，有
12、多少种取法？ 答案 (1)11 (2)4 解析 (1)若两个球颜色不同，则应在 A，B 袋中各取一个或 A，C 袋中各取一个，或 B，C 袋中各取 一个 应有 12132311 种 (2)若两个球颜色相同，则应在 B 或 C 袋中取出 2 个 应有 134 种 19三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形的个数是多少？ 答案 36 个 解析 设较小的两边长为 x、y 且 xy， 则 xy11， xy11， x、yN*. 当 x1 时，y11； 当 x2 时，y10,11； 当 x3 时，y9,10,11； 当 x4 时，y8,9,10,11； 当 x5 时，y7,8,9,10,11； 当
13、x6 时，y6,7,8,9,10,11； 当 x7 时，y7,8,9,10,11； 当 x11 时，y11. 所以不同三角形的个数为 1234565432136 个 1现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选 法的种数是( ) A56 B65 C.565432 2 D65432 答案 A 解析 因为每位同学均有 5 种讲座可供选择，所以 6 位同学共有 55555556种选法 2.用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂 法共有( ) A400 种 B460 种 C480 种 D496
14、种 答案 C 解析 用 4 种颜色涂有 A46种；用 3 种颜色涂，则 A，B，C 不同色，A，D 同色，共有 A36种，共有 A46A36480 种 3将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名 教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有( ) A12 种 B10 种 C9 种 D8 种 答案 A 解析 2 名教师各在 1 个小组，给其中 1 名教师选 2 名学生，有 C24种选法，另 2 名学生分配给另 1 名 教师，然后将 2 个小组安排到甲、乙两地，有 A22种方案，故不同的安排方案共有 C24A2212 种，故选 A. 4有
15、A，B 两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只 会操作 A 种车床，若从三名工人中选 2 名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有( ) A6 种 B5 种 C4 种 D3 种 答案 C 解析 若选甲、乙 2 人，则包括甲操作 A 车床，乙操作 B 车床或甲操作 B 车床，乙操作 A 车床，共 有 2 种选派方法；若选甲、丙 2 人，则只有甲操作 B 车床，丙操作 A 车床这 1 种选派方法；若选乙、丙 2 人，则只有乙操作 B 车床，丙操作 A 车床这 1 种选派方法 共有 2114 种不同的选派方法 5从集合1,2,3，10中，选出由 5 个数组成的
16、子集，使得这 5 个数中的任何两个数的和不等于 11，这样的子集共有_个 答案 32 解析 和为 11 的数共有 5 组：1 与 10,2 与 9,3 与 8,4 与 7,5 与 6，子集中的元素不能取自同一组中的 两个数， 即子集中的元素取自5个组中的一个数 而每个数的取法有2种， 所以子集的个数为22222 2532. 6如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数 解析 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染 色数，用分步乘法原理即可得出结论由题设，四棱锥 SABC
17、D 的顶点 S，A，B 所染的颜色互不相同， 它们共有 54360 种染色方法 当 S，A，B 染好时，不妨设其颜色分别为 1,2,3，若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染色；若 C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2 种染法可见，当 S，A，B 已染 好时，C，D 还有 7 种染法，故不同的染色方法有 607420 种 方法二 以 S，A，B，C，D 顺序分步染色 第一步，S 点染色，有 5 种方法； 第二步，A 点染色，与 S 在同一条棱上，有 4 种方法； 第三步，B 点染色，与 S，A 分别在同一
18、条棱上，有 3 种方法； 第四步，C 点染色，也有 3 种方法，但考虑到 D 点与 S，A，C 相邻，需要针对 A 与 C 是否同色进行 分类，当 A 与 C 同色时，D 点有 3 种染色方法；当 A 与 C 不同色时，因为 C 与 S，B 也不同色，所以 C 点有 2 种染色方法，D 点也有 2 种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有 543(1322)420 种 方法三 按所用颜色种数分类 第一类，5 种颜色全用，共有 A55种不同的方法； 第二类，只有 4 种颜色，则必有某两个顶点同色(A 与 C，或 B 与 D)，共有 2A45种不同的方法； 第三类，只有 3 种颜色，则 A 与 C，B 与 D 必定同色，共有 A35种不同的方法 由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为 A552A45A35420 种
