1、2021 年浙江省绍兴市越城区五校中考数学模拟试卷（年浙江省绍兴市越城区五校中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、单选题（本题有一、单选题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1若实数 a 的相反数是2，则 a 等于（ ） A2 B2 C D0 2下列把 2034000 记成科学记数法正确的是（ ） A2.034106 B20.34105 C0.2034106 D2.034103 3在一只不透明的口袋中放入红球 5 个，黑球 1 个，黄球 n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别搅 匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数 n 是
2、（ ） A3 B4 C5 D6 4一组数据 3，4，4，5，若添加一个数 4，则发生变化的统计量是（ ） A平均数 B众数 C中位数 D方差 5如图，点 A，B，C 是O 上的三点，若BOC50，则A 的度数是（ ） A25 B20 C80 D100 6分式化简后的结果为（ ） A B C D 7一把 5m 长的梯子 AB 斜靠在墙上，梯子倾斜角 的正切值为，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜 角改为 30，则梯子下滑的距离 AA的长度是（ ） Am Bm Cm Dm 8已知 a 是方程 x24x的实数根，则直线 yax+2a 的图象大致是（ ） A B C D 9如图，已知钝角ABC，依下列步
3、骤尺规作图，并保留作图痕迹 步骤 1：以 C 为圆心，CA 为半径画弧； 步骤 2：以 B 为圆心，BA 为半径画弧，交弧于点 D； 步骤 3：连接 AD，交 BC 延长线于点 H 下列叙述正确的是（ ） ABH 垂直平分线段 AD BAC 平分BAD CSABCBCAH DABAD 10对于题目“一段抛物线 L：yx（x3）+c（0 x3）与直线 l：yx+2 有唯一公共点，若 c 为整数， 确定所有 c 的值， ”甲的结果是 c1，乙的结果是 c3 或 4，则（ ） A甲的结果正确 B乙的结果正确 C甲、乙的结果合在一起才正确 D甲、乙的结果合在一起也不正确 二、填空题（本题有二、填空题（
4、本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分解因式：4x21 12 （5 分）如图，已知 AEBD，1130，228，则C 的度数为 13 （5 分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯 子外面的部分至少有 cm 14 （5 分）如图，在ABC 中，ACBC4，C90，点 D 在 BC 上，且 CD3DB，将ABC 折 叠，使点 A 与点 D 重合，EF 为折痕，则 tanBED 的值是 15 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，BC4，BA5，点 D 在边 AC 上的一动点，过点 D 作
5、DE AB 交边 BC 于点 E， 过点 B 作 BFBC 交 DE 的延长线于点 F， 分别以 DE， EF 为对角线画矩形 CDGE 和矩形 HEBF，则在 D 从 A 到 C 的运动过程中，当矩形 CDGE 和矩形 HEBF 的面积和最小时，则 EF 的 长度为 16 （5 分）如图 1，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4求作菱形 DEFG，使点 D 在边 AC 上， 点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上小明发现所作的四边形 DEFG 是菱形，于是小明进一步探索，发 现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化，当菱形的个数只有 1 个时 CD 的长的取值范围
6、为 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，第小题，第 17-20 小题每题小题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22，23 题每题题每题 12 分，第分，第 24 小题小题 14 分，共分，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算：（2）0+（） 2 （2）解分式方程：+4 18 （8 分） 快递公司为提高快递分拣的速度， 决定购买机器人来代替人工分拣 已知购买甲型机器人 1 台， 乙型机器人 2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 24 万元 （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2） 已知甲型和
7、乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件， 该公司计划购买这两种型号 的机器人共 8 台， 总费用不超过 41 万元， 并且使这 8 台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8300 件， 则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？ 19 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC将ABC 沿着 BC 方向平移得到DEF，其中点 E 在边 BC 上， DE 与 AC 相交于点 O （1）求证：OEC 为等腰三角形； （2）连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由 20 （8 分）已知：如图，在平面直角坐标系中，
8、直线 AB 分别与 x，y 轴交于点 B，A，与反比例函数的图象 分别交于点 C，D，CEx 轴于点 E，tanABO，OB8，OE4 （1）求 BC 的长； （2）求反比例函数的解析式； （3）连接 ED，求 tanBED 21 （10 分）ABC 内接于O，BAC 的平分线交O 于 D，交 BC 于 E（BEEC） ，过点 D 作O 的切 线 DF，交 AB 的延长线于 F （1）求证：DFBC； （2）连接 OF，若 tanBAC，BD，DF8，求 OF 的长 22 （12 分）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计这个图案由四个全等的直角三角形和一 个小正方形拼接而成的大正方形
9、，设小正方形的边长 m，直角三角形较短边长 n，且 n2m4，大正方 形的面积为 S （1）求 S 关于 m 的函数关系式 （2）若小正方形边长不大于 3，当大正方形面积最大时，求 m 的值 23 （12 分）我们定义：连接凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线” （1）概念理解：如图 1，四边形 ABCD 中，F 为 CD 的中点，ADB90，E 是 AB 边上一点，满足 DEAE，试判断 EF 是否为四边形 ABCD 的准中位线，并说明理由 （2）问题探究：如图 2，ABC 中，ACB90，AC6，BC8，动点 E 以每秒 1 个单位的速度， 从点 A 出发向点 C 运动，动点
10、F 以每秒 6 个单位的速度，从点 C 出发沿射线 CB 运动，当点 E 运动至点 C 时，两点同时停止运动D 为线段 AB 上任意一点，连接并延长 CD，射线 CD 与点 A，B，E，F 构成 的四边形的两边分别相交于点 M，N，设运动时间为 t问 t 为何值时，MN 为点 A，B，E，F 构成的四 边形的准中位线 （3）应用拓展：如图 3，EF 为四边形 ABCD 的准中位线，ABCD，延长 FE 分别与 BA，CD 的延长线 交于点 M，N，请找出图中与M 相等的角并证明 24 （14 分）如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴
11、，建立 平面直角坐标系，已知 OA8，OC10，将矩形 OABC 绕点 O 逆时针方向旋转 （0180）得到 矩形 ODEF （1）当点 E 恰好落在 y 轴上时，如图 1，求点 E 的坐标 （2）连接 AC，当点 D 恰好落在对角线 AC 上时，如图 2，连接 EC，EO， 求证：ECDODC； 求点 E 的坐标 （3）在旋转过程中，点 M 是直线 OD 与直线 BC 的交点，点 N 是直线 EF 与直线 BC 的交点，若 BM BN，请直接写出点 N 的坐标 2021 年浙江省绍兴市越城区五校中考数学模拟试卷（年浙江省绍兴市越城区五校中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参
12、考答案与试题解析 一、单选题（本题有一、单选题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1若实数 a 的相反数是2，则 a 等于（ ） A2 B2 C D0 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可求出 a 的值 【解答】解：2 的相反数是2， a2 故选：A 2下列把 2034000 记成科学记数法正确的是（ ） A2.034106 B20.34105 C0.2034106 D2.034103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，
13、n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：数字 2034000 科学记数法可表示为 2.034106 故选：A 3在一只不透明的口袋中放入红球 5 个，黑球 1 个，黄球 n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别搅 匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数 n 是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据概率公式列出关于 n 的分式方程，解方程即可得 【解答】解：根据题意可得， 解得：n3， 经检验 n3 是分式方程的解， 即放入口袋中的黄球总数 n3， 故选：A 4一组数据 3，4，4，5，
14、若添加一个数 4，则发生变化的统计量是（ ） A平均数 B众数 C中位数 D方差 【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可 【解答】解：原数据的 3，4，5，4 的平均数为4，中位数为 4，众数为 4，方差为（3 4）2+（44）22+（54）20.5； 新数据 3，4，4，4，5 的平均数为4，中位数为 4，众数为 4，方差为（34）2+（4 4）23+（54）20.4； 所以发生变化的是方差， 故选：D 5如图，点 A，B，C 是O 上的三点，若BOC50，则A 的度数是（ ） A25 B20 C80 D100 【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所
15、对的圆心角的一半，得ABOC25 【解答】解：BOC50， ABOC25 故选：A 6分式化简后的结果为（ ） A B C D 【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式 相加减的法则计算 【解答】解： 故选：B 7一把 5m 长的梯子 AB 斜靠在墙上，梯子倾斜角 的正切值为，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜 角改为 30，则梯子下滑的距离 AA的长度是（ ） Am Bm Cm Dm 【分析】 设 AC3k， BC4k， 根据勾股定理得到 AB5k5， 求得 AC3 米， BC4 米， 根据直角三角形的性质健康得到结论 【解答】解：如图，梯子倾斜
16、角 的正切值为， 设 AC3k，BC4k， AB5k5， k1， AC3 米，BC4 米， ABAB5，ABC30， ACAB， AAACAC3米， 故梯子下滑的距离 AA的长度是米， 故选：D 8已知 a 是方程 x24x的实数根，则直线 yax+2a 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】方程 x24x的实数根，实际就是抛物线 y1x24x，与双曲线 y2交点的横坐标，通过 画两个函数的图象，确定 a 的取值范围，再根据 a 的取值范围确定直线所经过的象限，从而确定位置， 做出选择 【解答】解：设 y1x24x，y2， 抛物线 y1x24x，与双曲线 y2的图象如图所示： 方程 x2
17、4x的实数根，实际就是抛物线 y1x24x，与双曲线 y2交点的横坐标， 抛物线 y1x24x，与 x 轴的交点为 O（0，0） ，A（4，0） ， 由两个图象可得，交点 B 的横坐标一定要大于 4，即：a4， 当 a4 时，2a0，直线 yax+2a 的图象过一、三、四象限， 故选：A 9如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹 步骤 1：以 C 为圆心，CA 为半径画弧； 步骤 2：以 B 为圆心，BA 为半径画弧，交弧于点 D； 步骤 3：连接 AD，交 BC 延长线于点 H 下列叙述正确的是（ ） ABH 垂直平分线段 AD BAC 平分BAD CSABCBCAH DA
18、BAD 【分析】根据已知条件可知直线 BC 是线段 AD 的垂直平分线，由此一一判定即可 【解答】解：A、正确如图连接 CD、BD， CACD，BABD， 点 C、点 B 在线段 AD 的垂直平分线上， 直线 BC 是线段 AD 的垂直平分线， 故 A 正确 B、错误CA 不一定平分BAD C、错误应该是 SABCBCAH D、错误根据条件 AB 不一定等于 AD 故选：A 10对于题目“一段抛物线 L：yx（x3）+c（0 x3）与直线 l：yx+2 有唯一公共点，若 c 为整数， 确定所有 c 的值， ”甲的结果是 c1，乙的结果是 c3 或 4，则（ ） A甲的结果正确 B乙的结果正确
19、C甲、乙的结果合在一起才正确 D甲、乙的结果合在一起也不正确 【分析】分两种情况进行讨论，当抛物线与直线相切，0 求得 c1，当抛物线与直线不相切， 但在 0 x3 上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得 c3，4，5，故 c3，4，5 【解答】解：抛物线 L：yx（x3）+c（0 x3）与直线 l：yx+2 有唯一公共点 如图 1，抛物线与直线相切， 联立解析式 得 x22x+2c0 （2）24（2c）0 解得：c1， 当 c1 时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去； 如图 2，抛物线与直线不相切，但在 0 x3 上只有一个交点 此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物
20、线上 c 的最小值2，但取不到，c 的最大值5，能取到 2c5 又c 为整数 c3，4，5 综上，c1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确， 故选：D 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分解因式：4x21 （2x+1） （2x1） 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可平方差公式：a2b2（a+b） （ab） 【解答】解：4x21（2x+1） （2x1） 故答案为： （2x+1） （2x1） 12 （5 分）如图，已知 AEBD，1130，228，则C 的度数为 22 【分析】由 AEBD，可求得CBD 的度
21、数，又由CBD2（对顶角相等） ，求得CDB 的度数，再 利用三角形的内角和等于 180，即可求得答案 【解答】解：AEBD，1130，228， CBD1130，CDB228， C180CBDCDB1801302822 故答案为：22 13 （5 分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯 子外面的部分至少有 5 cm 【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案 【解答】解：由题意可得： 杯子内的筷子长度为：15， 则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155（cm） 故答案为：5 14 （5 分）如图，在ABC 中，ACB
22、C4，C90，点 D 在 BC 上，且 CD3DB，将ABC 折 叠，使点 A 与点 D 重合，EF 为折痕，则 tanBED 的值是 【分析】先根据翻折变换的性质得到DEFAEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可 得到BEDCDF，设 CFx，DFFA4x，再根据勾股定理即可求解 【解答】解：DEF 是AEF 翻折而成， DEFAEF，AEDF， ABC 是等腰直角三角形， EDF45， 由三角形外角性质得CDF+45BED+45， BEDCDF， ACBC4，CD3DB， CD3，DB， 设 CFx， DFFA4x， 在 RtCDF 中，由勾股定理得， CF2+CD2DF2， 即
23、 x2+（3）2（4x）2， 解得 x， tanBEDtanCDF 故答案为 15 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，BC4，BA5，点 D 在边 AC 上的一动点，过点 D 作 DE AB 交边 BC 于点 E， 过点 B 作 BFBC 交 DE 的延长线于点 F， 分别以 DE， EF 为对角线画矩形 CDGE 和矩形 HEBF，则在 D 从 A 到 C 的运动过程中，当矩形 CDGE 和矩形 HEBF 的面积和最小时，则 EF 的 长度为 【分析】利用勾股定理求得 AC3，设 DCx，则 AD3x，利用平行线分线段成比例定理求得 CE 进而求得 BE4，然后根据 S阴S矩形CD
24、GE+S矩形HEBF得到 S阴x28x+12，根据二次函数的 性质即可求得 CD，进而求得 BE 和 BF，然后根据勾股定理求得即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，BC4，BA5， AC3， 设 DCx，则 AD3x， DFAB， ，即， CE BE4， 矩形 CDGE 和矩形 HEBF， ADBF， 四边形 ABFD 是平行四边形， BFAD3x， 则 S阴S矩形CDGE+S矩形HEBFDCCE+BEBFxx+（3x） （4x）x28x+12， 0，当 x时，有最小值， DC，有最小值， BE42，BF3， EF， 即矩形 CDGE 和矩形 HEBF 的面积和最小时，则 EF 的长
25、度为 故答案为 16 （5 分）如图 1，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4求作菱形 DEFG，使点 D 在边 AC 上， 点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边 BC 上小明发现所作的四边形 DEFG 是菱形，于是小明进一步探索，发 现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化，当菱形的个数只有 1 个时 CD 的长的取值范围为 或 【分析】由题意可知，当以点 D 为圆心，DG 长为半径的圆与线段 AB 有 1 个交点时，可作出的菱形的 个数只有 1 个；分两种情况，当D 与线段 AB 相切时，D 与线段 AB 只有一个交点；当D 的 半径即 DG 的长度在 AD 和 BG 之
26、间时，D 与线段 AB 只有一个交点，求出临界状态即可 【解答】解：如图，由题意可知四边形 AEFG 是菱形，设 DGx，则 DEx， DGAB， ，即， CDx，CGx，AD3x，GB4x， 当 DEAB 时，DEAC90， ADEABC， ，即， 解得 x， CD 当 DADE 时，DAx， ACAD+CD， 3x+x，解得 x， CD 当 DEGB 时，x4x， 解得，x， CD 故答案为：或 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，第小题，第 17-20 小题每题小题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22，23 题每题题每题 12 分，第分，第 24 小题
27、小题 14 分，共分，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算：（2）0+（） 2 （2）解分式方程：+4 【分析】 （1）本题涉及二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂 3 个考点在计算时，需要针对每个考 点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 （2）观察可得方程最简公分母为（x1） ，将方程去分母转化为整式方程即可求解 【解答】解： （1）（2）0+（） 2 1+4 +3； （2）方程两边同乘（x1） ， 得：x24（x1） ， 整理得：3x2， 解得：x， 经检验 x是原方程的解， 故原方程的解为 x 18 （8 分） 快递公司为提高快递分拣的速度， 决定购买机器人来代
28、替人工分拣 已知购买甲型机器人 1 台， 乙型机器人 2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 24 万元 （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2） 已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件， 该公司计划购买这两种型号 的机器人共 8 台， 总费用不超过 41 万元， 并且使这 8 台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8300 件， 则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？ 【分析】 （1）利用二元一次方程组解决问题； （2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值 【解答
29、】解： （1）设甲型机器人每台价格是 x 万元，乙型机器人每台价格是 y 万元，根据题意得 解这个方程组得： 答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是 6 万元、4 万元 （2）设该公可购买甲型机器人 a 台，乙型机器人（8a）台，根据题意得 解这个不等式组得 a 为正整数 a 的取值为 2，3，4， 该公司有 3 种购买方案，分别是 购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台 购买甲型机器人 3 台，乙型机器人 5 台 购买甲型机器人 4 台，乙型机器人 4 台 设该公司的购买费用为 w 万元，则 w6a+4（8a）2a+32 k20 w 随 a 的增大而增大 当 a2 时，w 最小，w最小
30、22+3236（万元） 该公司购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台这个方案费用最低，最低费用是 36 万元 19 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC将ABC 沿着 BC 方向平移得到DEF，其中点 E 在边 BC 上， DE 与 AC 相交于点 O （1）求证：OEC 为等腰三角形； （2）连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得出BACB，根据平移得出 ABDE，求出BDEC，再 求出ACBDEC 即可； （2）求出四边形 AECD 是平行四边形，再求出四边形 AECD 是矩形即可 【解答】 （1）
31、证明：ABAC， BACB， ABC 平移得到DEF， ABDE， BDEC， ACBDEC， OEOC， 即OEC 为等腰三角形； （2）解：当 E 为 BC 的中点时，四边形 AECD 是矩形， 理由是：ABAC，E 为 BC 的中点， AEBC，BEEC， ABC 平移得到DEF， BEAD，BEAD， ADEC，ADEC， 四边形 AECD 是平行四边形， AEBC， 四边形 AECD 是矩形 20 （8 分）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别与 x，y 轴交于点 B，A，与反比例函数的图象 分别交于点 C，D，CEx 轴于点 E，tanABO，OB8，OE4 （1）求
32、BC 的长； （2）求反比例函数的解析式； （3）连接 ED，求 tanBED 【分析】 （1）根据 tanABO，求出 CE，利用勾股定理即可求解 （2）将 C 坐标代入即可求解 （3）先求出点 A 坐标，即可求出直线 AC 解析式，联立解析式即可求出点 D 坐标，即可求解 【解答】解： （1）OB8，OE4， BE4+812 CEx 轴于点 CE6 BC6 （2）由（1）得点 C 的坐标为 C（4，6） 设反比例函数的解析式为 将点 C 的坐标代入，得 m24， 该反比例函数的解析式为 y （3）在 RtABO 中， 得 AO4 即点 A 坐标为（0，4） 设直线 AC 的解析式为 ykx
33、+b 将 A（0，4） ，B（8，0）代入解析式得 解得 直线 AC 的解析式为 yx+4 联立得点 D 坐标为（12，2） 则 EFOF+OE16，DF2 连接 DE，过 D 点作 DFx 轴于点 F， 在 RtDEF 中， 21 （10 分）ABC 内接于O，BAC 的平分线交O 于 D，交 BC 于 E（BEEC） ，过点 D 作O 的切 线 DF，交 AB 的延长线于 F （1）求证：DFBC； （2）连接 OF，若 tanBAC，BD，DF8，求 OF 的长 【分析】 （1）根据切线的性质得：ODDF，由角平分线得BADCAD，则所对的弧相等，由垂径 定理得：ODBC，从而得结论；
34、（2）先得BODBAC，根据 tanBOD2，设 ONx，BN2x，利用勾股定理解决问 题 【解答】 （1）证明：连接 OD， DF 是O 的切线， ODDF， AD 平分BAC， BADCAD， ， ODBC， DFBC； （2）解：连接 OB， ， BODBAC， 由（1）知 ODBC， tanBOD， tanBAC2， ， 设 ONx，BN2x， 由勾股定理得：OB3x， OD3x， DN3xx2x， RtBDN 中，BN2+DN2BD2， ， x2 或2（舍） ， OBOD3x6， RtOFD 中，由勾股定理得：OF10 22 （12 分）某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计
35、这个图案由四个全等的直角三角形和一 个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长 m，直角三角形较短边长 n，且 n2m4，大正方 形的面积为 S （1）求 S 关于 m 的函数关系式 （2）若小正方形边长不大于 3，当大正方形面积最大时，求 m 的值 【分析】 （1）分别用 m 和 n 表示出直角三角形的两条直角边长，再根据 n2m4 将 n 换成 m，然后用 勾股定理得出 S 的表达式并求得 m 的取值范围即可； （2）将（1）中二次函数的表达式配方，根据二次函数的性质及 m 的取值范围可得答案 【解答】解： （1）小正方形的边长 m，直角三角形较短边长 n， 直角三角形较长边长为 m+
36、n， 由勾股定理得：S（m+n）2+n2， n2m4， S（m+2m4）2+（2m4）2， 13m240m+32 n2m40， m2 S 关于 m 的函数关系式为 S13m240m+32（m2） （2）S13m240m+32（2m3） ， S13+ 时，S 随 x 的增大而增大， m3 时，S 取最大 m3 23 （12 分）我们定义：连接凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线” （1）概念理解：如图 1，四边形 ABCD 中，F 为 CD 的中点，ADB90，E 是 AB 边上一点，满足 DEAE，试判断 EF 是否为四边形 ABCD 的准中位线，并说明理由 （2）问题探究：如图
37、2，ABC 中，ACB90，AC6，BC8，动点 E 以每秒 1 个单位的速度， 从点 A 出发向点 C 运动，动点 F 以每秒 6 个单位的速度，从点 C 出发沿射线 CB 运动，当点 E 运动至点 C 时，两点同时停止运动D 为线段 AB 上任意一点，连接并延长 CD，射线 CD 与点 A，B，E，F 构成 的四边形的两边分别相交于点 M，N，设运动时间为 t问 t 为何值时，MN 为点 A，B，E，F 构成的四 边形的准中位线 （3）应用拓展：如图 3，EF 为四边形 ABCD 的准中位线，ABCD，延长 FE 分别与 BA，CD 的延长线 交于点 M，N，请找出图中与M 相等的角并证明
38、 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到EDAEAD，根据余角的性质得到EDBABD，得到 AEBE，于是得到结论； （2）当 MN 为点 A，B，F，E 构成的四边形的准中位线时，如图，当 0t时，当t6 时，根据题意列方程即可得到结论； （3）连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 EH，FH，根据三角形的中位线定理得到 EHAB，EHAB， 求得MHEF，又根据三角形的中位线定理得到 FHCD，FHCD，求得CNFHFE，于是 得到结论 【解答】解： （1）DEAE， EDAEAD， EDA+EDB90，EAD+ABD90， EDBABD， DEBE， AEBE， F 为 CD 的中点
39、， EF 为四边形 ABCD 的准中位线； （2）当 MN 为点 A，B，F，E 构成的四边形的准中位线时， 如图，当 0t时，则需满足 EFAB 且 M（D）为 AB 的中点， ， 解得：t； 当t6 时，需满足 BEAF 且 M 为 AF 的中点， ， 解得：t2 或 t4， 综上所述，当 t或 t2 或 t4 时，MN 为点 A，B，E，F 构成的四边形的准中位线； （3）MCNF， 理由：连接 BD，取 BD 的中点 H，连接 EH，FH， E，H 分别为 AD，BD 的中点， EHAB，EHAB， MHEF， F，H 分别为 BC，BD 的中点， FHCD，FHCD， CNFHFE，
40、 ABCD， HEHF， HEFHFE， MCNF 24 （14 分）如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴，建立 平面直角坐标系，已知 OA8，OC10，将矩形 OABC 绕点 O 逆时针方向旋转 （0180）得到 矩形 ODEF （1）当点 E 恰好落在 y 轴上时，如图 1，求点 E 的坐标 （2）连接 AC，当点 D 恰好落在对角线 AC 上时，如图 2，连接 EC，EO， 求证：ECDODC； 求点 E 的坐标 （3）在旋转过程中，点 M 是直线 OD 与直线 BC 的交点，点 N 是直线 EF 与直线 BC 的交点，若 B
41、M BN，请直接写出点 N 的坐标 【分析】 （1）由旋转的性质可得 OFOC10，EFBC8，FOCB90，由勾股定理可求 OE 的长，即可求点 E 坐标； （2） 连接 BO 交 AC 于点 H， 由旋转的性质可得 DEABOC， OEBO， ODOA， ABODEO， EDOBAO90，BOAEOD，可得ACODEO，由“AAS”可证ECDODC； 通过证明点 B，点 E 关于 OC 对称，可求点 E 坐标； （3）分两种情况讨论，由面积法可求 OMMN，由勾股定理可求 x 的值，即可求点 N 坐标 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形 OABC8，OCAB10，OCB90 将矩
42、形 OABC 绕点 O 逆时针方向旋转 （0180）得到矩形 ODEF OFOC10，EFBC8，FOCB90 OE2 点 E（0，） （2）如图，连接 BO 交 AC 于点 H， 四边形 ABCD 是矩形， ACOB，AHOH， OAHAOH，且BAOCOA90， ABOACO， 将矩形 OABC 绕点 O 逆时针方向旋转 （0180）得到矩形 ODEF DEABOC，OEBO，ODOA，ABODEO，EDOBAO90，BOAEOD， ACODEO， OAOD，HAHO， BOADAO，DAOODA， BOAODAEOD， EOAC， CDEOEDOCD，且 DEOC，DECCOD ECDO
43、DC（AAS） ECDODC ECODOABC8， ECO90 ECO+BCO180 点 E，点 C，点 B 共线 ECBC，OCBC 点 B，点 E 关于 OC 对称，且 B（8，10） 点 E（8，10） （3）如图，当点 M 在点 B 右侧，连接 ON，过点 N 作 NGOD 于 G， BMBN， 设 BMx，则 BN2x，MN3x， NGOD，FEDEDO90 四边形 NEDG 是矩形 NGDE10ABCO SOMNMNOCOMNG OMMN3x， OC2+CM2OM2， 100+（x+8）29x2， x （负值舍去） BN2+ NCBNBC6， 点 N（6，10） 如图，若点 M 在点 B 左侧，连接 ON，过点 N 作 NGOD 于 G， BMBN， 设 BMx，则 BN2x，MNx， NGOD，FEDEDO90 四边形 NEDG 是矩形 NGDE10ABCO SOMNMNOCOMNG OMMNx， OC2+CM2OM2， 100+（x8）2x2， x BN2 NCBNBC 点 N（，10） 综上所述：点 N（6，10） ， （，10）
