1、2021 年河北省石家庄市新华区中考数学模拟试卷年河北省石家庄市新华区中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 个小题，共个小题，共 42 分分110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分在每小题给出的四分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1下面四个图形中，12 一定成立的是（ ） A B C D 2如果 a 与 b 互为相反数，下列各式中错误的是（ ） Aa+b0 B|a|b| Cab D 3如图，有 A，B，C 三个地点，且 ABBC，从 A 地测得 B 地的方位角是北偏东 43，那么从
2、C 地测 B 地的方位角是（ ） A南偏东 47 B南偏西 43 C北偏东 43 D北偏西 47 4用四舍五入法对 0.06045 取近似值，错误的是（ ） A0.1（精确到 0.1） B0.06（精确到百分位） C0.061（精确到千分位） D0.0605（精确到 0.0001） 5如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A B C D 6长江比黄河长 836km，黄河长度的 6 倍比长江长度的 5 倍多 1284km，设长江长度为 xkm，则下列方程中 正确的是（ ） A5x6（x836）1284 B6x5（x+836）1284 C6（x+836）5x1284
3、D6（x836）5x1284 7如图，在ABC 中，ABACBC小丽按照下列方法作图： 作BAC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D； 作 AC 的垂直平分线，交 AD 于点 E 根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ） A点 E 是ABC 的外心 B点 E 是ABC 的内心 C点 E 在B 的平分线上 D点 E 到 AC、BC 边的距离相等 8某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则 佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ） A B C D 9 如图， 矩形 ABCD 的中心位于直角坐标系的坐标原点 O， 其面积为 8，
4、反比例函数 y的图象经过点 D， 则 m 的值为（ ） A2 B4 C6 D8 10三个全等三角形按如图的形式摆放，则1+2+3 的度数是（ ） A90 B120 C135 D180 11 （2 分）已知关于 x 的一元二次方程（k1）x2+2x+10 没有实数解，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 且 k1 12 （2 分）如图，AB 为O 的直径，C 为半圆的中点，D 为O 上的一点，且 C、D 两点分别在 AB 的异 侧，则D 的度数为（ ） A30 B45 C60 D75 13 （2 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x1，且
5、经过点 P（3，0） ，则 ab+c 的值 为（ ） A0 B1 C1 D2 14 （2 分） 如图， 在ABC 中， C90， BAC60， 用尺规作图， 作BAC 的平分线交 BC 于点 D， 则下列说法中： 若连接 PM，PN，则AMPANP； ADC60； 点 D 在 AB 的中垂线上； SDAC：SABC1：3 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 15 （2 分）把直线 yx3 向上平移 m 个单位后，与直线 y2x+4 的交点在第二象限，则 m 可以取得的 整数值有（ ） A1 个 B3 个 C4 个 D5 个 16 （2 分）如图，DE 是边长为 4 的等边ABC 的
6、中位线，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 A 出 发，沿折线 ADDE 向点 E 运动；同时动点 Q 以相同的速度，从点 B 出发，沿 BC 向点 C 运动，当点 P 到达终点时，点 Q 同时停止运动设运动时间为 ts，B、D、P、Q 四点围成图形的面积 S 与时间 t 之间 的函数图象是（ ） A B C D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 3 个小题，共个小题，共 12 分分 1718 小题各小题各 3 分；分；19 小题有小题有 3 个空，每空个空，每空 2 分）分） 17如果一个数的倒数是 2021，则这个数为 18x1 是方程的解，a 的值为 19 （6 分）如
7、图，正方形 ABCD 的边长为 3，连接 BD，P、Q 两点分别在 AD、CD 的延长线上，且满足 PBQ45 （1）BD 的长为 ； （2）当 BD 平分PBQ 时，DP、DQ 的数量关系为 ； （3）当 BD 不平分PBQ 时，DPDQ 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20 （8 分）嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，请你帮助嘉琪完成这一过程 （1）计算：（9+2）2（92）2（25）9； （2）化简：（a+2）2（a2）2（25）a； （3）请写出嘉琪
8、发现的结论 21 （8 分）某学校为了了解九年级学生的体育成绩，对九年级全体 800 名学生进行了男生 1000 米跑（女生 800 米跑） ，立定跳远，掷实心球三个项目的测试，每个项目满分 10 分，共 30 分从中抽取了部分学生 的成绩进行了统计（统计均为整数） ，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，回答下列问题： 分数段 频数 频率 10.514.5 1 0.02 14.518.5 5 0.1 18.522.5 6 0.12 22.526.5 m 0.46 26.530.5 15 n （1）这次抽取了 名学生的体育成绩进行统计，其中：m ，n （2）补全频数分布直方图； （3）学
9、生成绩的中位数落在哪个分数段？ （4）如果 23 分（包括 23 分）以上为良好，估测该学校体育成绩良好的学生大约有多少人 22 （9 分）已知：如图，ABCD 中，E 为 DC 的中点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，连接 AF （1）求证：ADCF； （2）嘉琪说： “添加一个条件，能使四边形 ACFD 是矩形” ，你是否同意嘉琪的观点，如果同意，请添 加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由 23 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：ykx+b 经过第一象限的点 A（1，2）和点 B（m，n） （m 1） ，且 mn2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C
10、，ABC 的面积为 2 （1）求 B 点的坐标； （2）求直线 l1的函数表达式； （3）直线 l2：yax 经过线段 AB 上一点 P（P 不与 A、B 重合） ，求 a 的取值范围 24 （10 分）如图，在 RtOAB 中，AOB90，OAOB4，以点 O 为圆心、2 为半径画圆，过点 A 作O 的切线，切点为 P，连接 OP将 OP 绕点 O 按逆时针方向旋转到 OH 时，连接 AH，BH设旋转 角为 （0360） （1）当 90时，求证：BH 是O 的切线； （2）当 BH 与O 相切时，求旋转角 和点 H 运动路径的长； （3）当AHB 面积最大时，请直接写出此时点 H 到 AB
11、的距离 25 （10 分）某商店试销一种成本为 10 元/件的工艺品，设售价为 x（元/件） ，每天销量为 y（件） 经市场 调查得知：y 与（x70）成正比例，且当 x20 时，y500 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x 为何值时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）物价部门规定，该工艺品售价最高不能超过 35 元/件，那么售价定为多少时，商店试销该工艺品每 天获得的利润最大？ 26 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4动点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单 位长度的速度沿 ACCBBA 方向绕行ABC 一周，动直
12、线 l 从 AC 开始，以每秒 1 个单位长度的速度 向右平移，分别交 AB、BC 于 D、E 两点当点 P 运动到点 A 时，直线 l 也停止运动 （1）求点 P 到 AB 的最大距离； （2）当点 P 在 AC 上运动时， 求 tanPDE 的值； 把PDE 绕点 E 顺时针方向旋转，当点 P 的对应点 P落在 ED 上时，ED 的对应线段 ED恰好与 AB 垂直，求此时 t 的值 （3）当点 P 关于直线 DE 的对称点为 F 时，四边形 PEFD 能否成为菱形？若能，直接写出 t 的值；若不 能，请说明理由 2021 年河北省石家庄市新华区中考数学模拟试卷年河北省石家庄市新华区中考数学
13、模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 个小题，共个小题，共 42 分分110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分在每小题给出的四分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1下面四个图形中，12 一定成立的是（ ） A B C D 【分析】根据对顶角、邻补角、平行线的性质及三角形的外角性质，可判断； 【解答】解：A、1、2 是邻补角，1+2180；故本选项错误； B、1、2 是对顶角，根据其定义；故本选项正确； C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角
14、相等；故本选项错误； D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误 故选：B 2如果 a 与 b 互为相反数，下列各式中错误的是（ ） Aa+b0 B|a|b| Cab D 【分析】互为相反数的性质：两数互为相反数，它们的和为 0 【解答】解：由相反数的性质知：a+b0，ab，A、C 正确； 由于相反数是一对符号相反，但绝对值相等的数，所以|a|b|，B 正确 故选：D 3如图，有 A，B，C 三个地点，且 ABBC，从 A 地测得 B 地的方位角是北偏东 43，那么从 C 地测 B 地的方位角是（ ） A南偏东 47 B南偏西 43 C北偏东 43 D北偏西 47 【分析】根据
15、方向角的概念和平行线的性质求解，即可得出从 C 地测 B 地的方位角 【解答】解：AFDE， ABEFAB43， ABBC， ABC90， CBD47， BDCG， BCG47， 从 C 地测 B 地的方位角是南偏东 47 故选：A 4用四舍五入法对 0.06045 取近似值，错误的是（ ） A0.1（精确到 0.1） B0.06（精确到百分位） C0.061（精确到千分位） D0.0605（精确到 0.0001） 【分析】取近似数的时候，即精确到哪一位，只需对下一位的数字四舍五入即可得出结论 【解答】解：A0.06045 精确到 0.1 为 0.1，此选项正确，不符合题意； B0.06045
16、 精确到百分位为 0.06，此选项正确，不符合题意； C0.06045 精确到千分位为 0.060，此选项错误，符合题意； D0.06045 精确到 0.0001 为 0.0605，此选项正确，不符合题意； 故选：C 5如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A B C D 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数 和个数，进而得出答案 【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一 列只有一行，说明俯视图中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此几何体如图所示： 故选：B
17、6长江比黄河长 836km，黄河长度的 6 倍比长江长度的 5 倍多 1284km，设长江长度为 xkm，则下列方程中 正确的是（ ） A5x6（x836）1284 B6x5（x+836）1284 C6（x+836）5x1284 D6（x836）5x1284 【分析】根据长江比黄河长 836km，设长江长度为 xkm，即可得到黄河的长度为（x834）km，再根据 黄河长度的 6 倍比长江长度的 5 倍多 1284km，可以列出相应的方程，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， 6（x836）5x1284， 故选：D 7如图，在ABC 中，ABACBC小丽按照下列方法作图： 作BAC 的角平
18、分线 AD，交 BC 于点 D； 作 AC 的垂直平分线，交 AD 于点 E 根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ） A点 E 是ABC 的外心 B点 E 是ABC 的内心 C点 E 在B 的平分线上 D点 E 到 AC、BC 边的距离相等 【分析】根据三角形外心的定义判断即可 【解答】解：如图，由作图可知，点 E 是ABC 的三边的垂直平分线的交点，是ABC 的外心 故选：A 8某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则 佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ） A B C D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求
19、得所有等可能的结果，可求得佳佳和琪琪恰好从同 一个入口进入该公园的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有 16 种等可能结果， 其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有 4 种等可能结 果， 所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为， 故选：B 9 如图， 矩形 ABCD 的中心位于直角坐标系的坐标原点 O， 其面积为 8， 反比例函数 y的图象经过点 D， 则 m 的值为（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形 OCAD 的面积是 8，设 D（x，y） ，根据 4xy 8，可得 xy2，再根
20、据反比例函数系数 k 的几何意义即可求出该反比例函数的表达式 【解答】解：矩形的中心为直角坐标系的原点 O，矩形 OCAD 的面积是 8， 设 D（x，y） ，则 4xy8， xy2， 反比例函数的解析式为 y， m2 故选：A 10三个全等三角形按如图的形式摆放，则1+2+3 的度数是（ ） A90 B120 C135 D180 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出4+9+6180， 5+7+8180，进而得出答案 【解答】解：如图所示： 由图形可得：1+4+5+8+6+2+3+9+7540， 三个全等三角形， 4+9+6180， 又5+7+8180， 1+
21、2+3+180+180540， 1+2+3 的度数是 180 故选：D 11 （2 分）已知关于 x 的一元二次方程（k1）x2+2x+10 没有实数解，则 k 的取值范围是（ ） Ak2 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 且 k1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k10 且224（k1）0，然后求出两 个不等式解的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k10 且224（k1）0， 解得 k2 故选：A 12 （2 分）如图，AB 为O 的直径，C 为半圆的中点，D 为O 上的一点，且 C、D 两点分别在 AB 的异 侧，则D 的度数为（ ） A30 B45 C60 D75
22、【分析】连接 BD，由圆周角定理得ADB90，再证，然后由圆周角定理求解即可 【解答】解：连接 BD，如图所示： AB 为O 的直径， ADB90， C 为半圆的中点， ， ADCBDCADB45， 故选：B 13 （2 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x1，且经过点 P（3，0） ，则 ab+c 的值 为（ ） A0 B1 C1 D2 【分析】由“对称轴是直线 x1，且经过点 P（3，0） ”可知抛物线与 x 轴的另一个交点是（1，0） ， 代入抛物线方程即可解得 【解答】解：因为对称轴是 x1 且经过点 P（3，0） 所以抛物线与 x 轴的另一个交点是（1，0）
23、 代入抛物线解析式 yax2+bx+c 中，得 ab+c0 故选：A 14 （2 分） 如图， 在ABC 中， C90， BAC60， 用尺规作图， 作BAC 的平分线交 BC 于点 D， 则下列说法中： 若连接 PM，PN，则AMPANP； ADC60； 点 D 在 AB 的中垂线上； SDAC：SABC1：3 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据作法得到 AMAN，MPNP，则可根据”SSS“对进行判断；利用AMPANP 得到 DACDAB30，利用互余可计算出ADC 的度数，则可对进行判断； 证明BADB 得到 DADB，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对
24、进行判断；根据含 30度的直角三角形三边的关系得到AD2CD， 则BC3CD， 然后根据三角形面积公式可对进行判断 【解答】解：由作法得 AMAN，MPNP， 而 AP 为公共边， AMPANP（SSS） ；所以正确； DACDAB30， ADC90CAD60，所以正确； B90BAC30， BADB， DADB， 点 D 在 AB 的中垂线上；所以正确； 在 RtACD 中，AD2CD， 而 ADBD， BC3CD， SDAC：SABC1：3所以正确 故选：D 15 （2 分）把直线 yx3 向上平移 m 个单位后，与直线 y2x+4 的交点在第二象限，则 m 可以取得的 整数值有（ ） A
25、1 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】直线 yx3 向上平移 m 个单位后可得：yx3+m，求出直线 yx3+m 与直线 y 2x+4 的交点，再由此点在第二象限可得出 m 的取值范围 【解答】解：直线 yx3 向上平移 m 个单位后可得：yx3+m， 联立两直线解析式得：， 解得：， 交点在第二象限， ， 解得：1m7 m 取整数有 5 个解 故选：D 16 （2 分）如图，DE 是边长为 4 的等边ABC 的中位线，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 A 出 发，沿折线 ADDE 向点 E 运动；同时动点 Q 以相同的速度，从点 B 出发，沿 BC 向点 C 运动，当点
26、P 到达终点时，点 Q 同时停止运动设运动时间为 ts，B、D、P、Q 四点围成图形的面积 S 与时间 t 之间 的函数图象是（ ） A B C D 【分析】分两种情况进行讨论：当 0t2 时，点 P 在 AD 上，根据三角形的面积公式可知BPQ 的 面积 SBQBPsinB，代入数据求出 S 与 t 之间的函数解析式；当 2t4 时，点 P 在 DE 上， 根据图形的面积公式可知梯形 BDPQ 的面积 S （DP+BQ） BDsinB，代入数据求出 S 与 t 之间的函 数解析式，从而判断出函数图象而得解 【解答】解：DE 是边长为 4 的等边ABC 的中位线， ADDBDE2，AB4，B6
27、0 分两种情况：当 0t2 时，点 P 在 AD 上， APBQt， BPABAP4t， BPQ 的面积 SBQBPsinB （4t） ， 当 2t4 时，点 P 在 DE 上， DPt2，BQt， 梯形 BDPQ 的面积（DP+BQ） BDsinB（t2+t）2， 纵观各选项，只有 C 选项图形符合 故选：C 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 3 个小题，共个小题，共 12 分分 1718 小题各小题各 3 分；分；19 小题有小题有 3 个空，每空个空，每空 2 分）分） 17如果一个数的倒数是 2021，则这个数为 【分析】根据倒数的定义，直接得出结果 【解答】解：20211，
28、2021 的倒数是， 这个数是 故答案为： 18x1 是方程的解，a 的值为 5 【分析】将 x1 代入原方程即可求出 a 的值 【解答】解：将 x1 代入原方程，得， 解得 a5 故答案为：5 19 （6 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，连接 BD，P、Q 两点分别在 AD、CD 的延长线上，且满足 PBQ45 （1）BD 的长为 3 ； （2）当 BD 平分PBQ 时，DP、DQ 的数量关系为 PDQD ； （3）当 BD 不平分PBQ 时，DPDQ 18 【分析】 （1）根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论； （2）当 BD 平分PBQ 时，证明ABPCBQ 和QBDPBD，
29、可得结论； （3）当 BD 不平分PBQ 时，证明BQDPBD，列比例式可得结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， ABAD3，A90， BD3， 故答案为：3； （2）解：当 BD 平分PBQ 时， PBQ45， QBDPBD22.5， 四边形 ABCD 是正方形， ABBC，AC90，ABDCBD45， ABPCBQ22.5+4567.5， 在ABP 和CBQ 中， ， ABPCBQ（ASA） ， BPBQ， 在QBD 和PBD 中， ， QBDPBD（SAS） ， PDQD， 故答案为：PDQD； （3）当 BD 不平分PBQ 时， ABCQ， ABQCQB， QBD+D
30、BPQBD+ABQ45， DBPABQCQB， BDQADQ+ADB90+45135， BDPCDP+BDC90+45135， BDQBDP， BQDPBD， ， PDQDBD232+3218， 故答案为：18 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20 （8 分）嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，请你帮助嘉琪完成这一过程 （1）计算：（9+2）2（92）2（25）9； （2）化简：（a+2）2（a2）2（25）a； （3）请写出嘉琪发现的结论 【分析】 （1）根
31、据平方差公式以及有理数的混合运算顺序计算即可； （2）根据平方差公式化简计算即可； （3）结合（1） （2）的结果看得结论 【解答】解： （1）原式（11272）（25）9 （117） （11+7）（25）9 418（25）9 200； （2）原式（a+2）（a2）（a+2）+（a2）（25）a 42a（25）a 200； （3）无论 a 取什么值，（a+2）2（a2）2（25）a 均等于200 21 （8 分）某学校为了了解九年级学生的体育成绩，对九年级全体 800 名学生进行了男生 1000 米跑（女生 800 米跑） ，立定跳远，掷实心球三个项目的测试，每个项目满分 10 分，共 30
32、分从中抽取了部分学生 的成绩进行了统计（统计均为整数） ，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，回答下列问题： 分数段 频数 频率 10.514.5 1 0.02 14.518.5 5 0.1 18.522.5 6 0.12 22.526.5 m 0.46 26.530.5 15 n （1）这次抽取了 50 名学生的体育成绩进行统计，其中：m 23 ，n 0.3 （2）补全频数分布直方图； （3）学生成绩的中位数落在哪个分数段？ （4）如果 23 分（包括 23 分）以上为良好，估测该学校体育成绩良好的学生大约有多少人 【分析】 （1）由于 10.514.5 这一小组的频数为 1，频率为
33、 0.02，由此求出样本总数，即样本容量，则 m 样本容量0.46，n15样本容量； （2）根据（1）中所求是数据可补全频数分布直方图； （3）根据样本容量和各个小组的人数可以确定样本成绩的中位数落在哪一小组内； （4）首先确定样本中 23 分（包括 23 分）以上的频率，然后利用样本估计总体的思想即可估计该校体育 成绩良好的学生约有多少人 【解答】解： （1）这次抽取的学生总数为：10.0250， m500.4623，n15500.3； （2）如图： （3）各小组的频数分别为：1、5、6、23、15， 而中位数是 50 个成绩从小到大排列后第 25 个数据和第 26 个数据的平均数， 中位数
34、落在第四小组即 22.526.5 这一小组内； （4）800（0.46+0.3）608（人） ， 答：该学校体育成绩良好的学生大约有 608 人 故答案为 50，23，0.3 22 （9 分）已知：如图，ABCD 中，E 为 DC 的中点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，连接 AF （1）求证：ADCF； （2）嘉琪说： “添加一个条件，能使四边形 ACFD 是矩形” ，你是否同意嘉琪的观点，如果同意，请添 加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由 【分析】 （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出 ADCF 即可； （2）根据矩形的判定解答即可 【解答】证明
35、： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC DAECFE，ADEFCE， E 为 DC 的中点， EDEC ADEFCE（AAS） ， ADCF （2）答：同意 当 DCAF 时，四边形 ACFD 是矩形 理由如下： ADCF，ADCF， 四边形 ACFD 是平行四边形 DCAF， 四边形 ACFD 是矩形 23 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：ykx+b 经过第一象限的点 A（1，2）和点 B（m，n） （m 1） ，且 mn2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C，ABC 的面积为 2 （1）求 B 点的坐标； （2）求直线 l1的函数表达式； （3）直
36、线 l2：yax 经过线段 AB 上一点 P（P 不与 A、B 重合） ，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据 A、B 点坐标可得 BCm，BC 上的高为 h2n，再根据ABC 的面积为 2 可算出 m 的值，进而得到 n 的值，然后可得 B 点坐标； （2）把 A、B 两点坐标代入 ykx+b，再解方程组可得 b、k 的值，进而得到函数表达式； （3）将 A（1，2）B（3，）分别代入 yax 求出 a 的值，即可得到 a 的取值范围 【解答】解： （1）点 A（1，2） ，B（m，n） （m1） ， ABC 中，BCm，BC 上的高为 h2n， SABCm（2n）m（2）m12， m3
37、， n， B 点的坐标（3，） ； （2）直线 l1经过 A、B 两点， ， 解得， 直线 l1的函数表达式为 yx+； （3）将 A（1，2）代入 yax 得：2a， a2， 将 B（3，）代入3a， a， a 的取值范围是a2 24 （10 分）如图，在 RtOAB 中，AOB90，OAOB4，以点 O 为圆心、2 为半径画圆，过点 A 作O 的切线，切点为 P，连接 OP将 OP 绕点 O 按逆时针方向旋转到 OH 时，连接 AH，BH设旋转 角为 （0360） （1）当 90时，求证：BH 是O 的切线； （2）当 BH 与O 相切时，求旋转角 和点 H 运动路径的长； （3）当AHB
38、 面积最大时，请直接写出此时点 H 到 AB 的距离 【分析】 （1）根据题意易证AOPBOH，所以OPAOHB，又OPA90，进而即可证明结 论； （2）过点 B 作O 的切线 BC，BD，然后分情况讨论，当点 H 与点 C 重合时或当点 H 与点 D 重合时， 即可得出答案； （3）当 H 与 AB 的距离最大时，AHB 面积最大，进而可以求得答案 【解答】解： （1）证明：90，AOB90， AOPBOH， 又 OAOB4，OPOH， 在AOP 和BOH 中， ， AOPBOH（SAS） ， OPAOHB， AP 是O 的切线， OPA90，OHB90， 即 OHBH 于点 H， BH
39、是O 的切线； （2）如图，过点 B 作O 的切线 BC，BD， 切点分别为 C，D，连接 OC，OD，则有 OCBC，ODBD， OC2，OB4， ， BOC60， 同理BOD60， 当点 H 与点 C 重合时，由（1）知：90， OHB90 圆弧 PH 的长为； 当点 H 与点 D 重合时，POC+BOC+BOD90+260210， 圆弧 PH 的长为， 当 BH 与O 相切时，旋转角 90或 210，点 H 运动路径的长为 或； （3）SAHBABh， h 表示点 H 到直线 AB 的距离，作 ONAB 于点 N，H 在圆 O 上， 在 RtONB 中，OBN45，OB4， ON4cos
40、452， hminONr2， hmax2+2， 当AHB 面积最大时，点 H 到 AB 的距离为 2 25 （10 分）某商店试销一种成本为 10 元/件的工艺品，设售价为 x（元/件） ，每天销量为 y（件） 经市场 调查得知：y 与（x70）成正比例，且当 x20 时，y500 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x 为何值时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）物价部门规定，该工艺品售价最高不能超过 35 元/件，那么售价定为多少时，商店试销该工艺品每 天获得的利润最大？ 【分析】 （1）设 yk（x70） ，将 x20，y500 代入 yk（x7
41、0） ，即可得到结论； （2） 设商店试销该工艺品每天获得的利润为 W （元） ， 根据题意得到 W （x10） y （x10）（10 x+700） ， 配方法求得 W10（x40）2+9000，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）根据二次函数的性质即可得到结论 【解答】解： （1）设 yk（x70） ， 当 x20 时，y500， 500k（2070） ， k10， y10（x70） ， 即 y10 x+700； （2）设商店试销该工艺品每天获得的利润为 W（元） ， 则 W（x10）y（x10） （10 x+700） ， 即 W10 x2+800 x7000， W10（x40）2+90
42、00， 当 x40 元/件时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是 9000 元； （3）W10（x40）2+9000，且100， 当 x40 时，W 随 x 的增大而增大， 又x35， 当 x35 元/件时，商店试销该工艺品每天获得的利润最大 26 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4动点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单 位长度的速度沿 ACCBBA 方向绕行ABC 一周，动直线 l 从 AC 开始，以每秒 1 个单位长度的速度 向右平移，分别交 AB、BC 于 D、E 两点当点 P 运动到点 A 时，直线 l 也停止运动 （1）求点 P 到 AB
43、 的最大距离； （2）当点 P 在 AC 上运动时， 求 tanPDE 的值； 把PDE 绕点 E 顺时针方向旋转，当点 P 的对应点 P落在 ED 上时，ED 的对应线段 ED恰好与 AB 垂直，求此时 t 的值 （3）当点 P 关于直线 DE 的对称点为 F 时，四边形 PEFD 能否成为菱形？若能，直接写出 t 的值；若不 能，请说明理由 【分析】 （1）当点 P 与点 C 重合时，点 P 到 AB 的距离最大，由三角形面积求解即可； （2）当点 P 在 AC 上运动时，设运动时间为 ts，则有 AP3t，CEt，由平行线的性质得PDE APD，过点 D 作 DGAC 于点 G，则四边形
44、 CEDG 是矩形，得 DGCEt，PGAPAG3tAG， 再由锐角三角函数定义求出 PGt，即可求解； 证出BEDA，CEPBED，再证CEPCAB，得，即可求解； （3） 当 PF 也垂直平分 DE 时， 四边形 PEFD 为菱形 证DBEABC， 得， 求出， 再分情况讨论即可 【解答】解： （1）当点 P 与点 C 重合时，点 P 到 AB 的距离最大， 设 RtABC 斜边 AB 上的高 h， ACB90，AC3，BC4， AB5， ABC 的面积ABhACBC， h， 即点 P 到 AB 的最大距离是； （2）当点 P 在 AC 上运动时， 设运动时间为 ts，则有 AP3t，CE
45、t， 直线 lAC， PDEAPD， 如图 1，过点 D 作 DGAC 于点 G，则四边形 CEDG 是矩形， DGCEt，PGAPAG3tAG， tanA， ， AGt， PG3ttt， ， 即； EDAB， BED+B90， A+B90， BEDA， 直线 lAC， 直线 lBC， CEP+PED90，PED+BED90， 由旋转的性质，得：PEDPED， CEPBED， CEPA， 又ECPACB， CEPCAB， ， 即， 解得：； （3）四边形 PEFD 能成为菱形，理由如下： 点 F 是点 P 关于直线 DE 的对称点， DE 垂直平分 PF， 当 PF 也垂直平分 DE 时，四边形 PEFD 为菱形 直线 lAC， DBEABC， ， 即， ， 当点 P 在 AC 上时，连接 PF，如图 2 所示： 若 PF 垂直平分 DE，则有DE33t， （4t）33t， 解得：； 当点 P 在 BC 上时，P、F、E 三点都在 x 轴上，构不成四边形； 当点 P 在 BA 上时， 若点 P 在直线 l 的右侧，连接 PF，如图 3 所示： 类比可得：， 解得：； 若点 P 在直线 l 的左侧，P、E、F、D 四点构不成凸四边形； 综上所述，当 t 为或时，四边形 PEFD 为菱形
