1、2020 年山西省百校大联考中考数学模拟试卷（三）年山西省百校大联考中考数学模拟试卷（三） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分分.共共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求）要求） 1下列各数中是无理数的是（ ） A3.14 B C0.58 D 2下列计算不正确的是（ ） A （1）01 B3ab+2ba5ab C （a3）3a9 D3（a1）33a 3已知 xy，下列四个不等式中，正确的是（ ） Axy B20 x20y Cx19y19 D20 x20y 4据 2019 年年
2、末的抽样调查，太原市常住人口为 446.19 万人，比上年末增加了 4.04 万人，那么上年末人 口用科学记数法表示为（ ） A442.15104人 B4.4619106人 C446.19104人 D4.4215106人 5直线 MN 与 AB、CD 分别相交于点 E，F，ABCDEG 平分BEF 交 CD 于点 G若EGD140， 则CFN 的度数为（ ） A100 B80 C60 D50 6 明代数学家程大位的算法统宗中有一个 “以碗知僧”的问题， “巍巍古寺在山中， 不知寺内几多僧 三 百六十四只碗，恰合用尽不差争三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹请问先生能算者，都来寺内几多 僧？” 其大意
3、为： 山上有一座古寺叫都来寺 在这座寺庙里， 3 个和尚合吃一碗饭， 4 个和尚合分一碗汤， 一共用了 364 只碗请问都来寺里有多少个和尚？此问题中和尚的人数为（ ） A31 B52 C371 D624 7 张华学习了 “数轴上的点与实数是一一对应的关系” 后， 课下便尝试在数轴上找一个表示无理数的点 首 先画一条数轴，原点为 O，点 A 表示的数是 2，然后过点 A 作 ABOA，使 AB3，连接 OB，以 O 为圆 心，OB 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 C，则点 C 所表示的数介于（ ） A1 和2 之间 B2 和3 之间 C3 和4 之间 D4 和5 之间 8如图，在ABC 中AB
4、ACBC4，ABC 的面积是 24，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 点 E，F，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，连接 CM，DM，则 CM+DM 的最小值为 （ ） A6 B10 C12 D13 9已知二次函数 yax2+bx+c（a0）中，函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应值如表所示： x 2 1 0 1 2 y 9 4 1 0 1 若点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在函数图象上则当 0 x11，2x23 时，y1与 y2的大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 10正方形 ABCD 的边 AB 上有一
5、动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG，且边 FG 过点 D在点 E 从点 A 移动 到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积（ ） A先变大后变小 B先变小后变大 C一直变大 D保持不变 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11将 x24y2因式分解为 12在抗击“新型冠状病毒”这场战争中，医护人员不惜一切代价奋战在抗击疫情第一线，被称为“美丽 天使” ，小明将分别标有“美” “丽” “天” “使”汉字的四张卡片（这些卡片除汉字外无其他差别）背面 朝上放在桌子上，混合均匀，然后随机换出一张卡片，不放回；再随机摸出一
6、张卡片则两次摸出的卡 片上的汉字组成“天使”的概率为 13如图，四边形 ABCD 和 ECGF 均为正方形，且点 A，D，F 在半圆的弧上，点 B，C，G 在半圆的直径 上，点 D，E，C 在一条直线上，若半圆的半径为，则阴影部分的面积为 14已知一次函数 y（m+1）x+m2（m1） ，将该函数图象先向下平移 2 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度，平移后的函数图象过点（1，2） ，则 m 的值为 15如图，在平面直角坐标系中，ACE 是以菱形 ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形，AC2，点 C 与点 E 关于 x 轴对称，则过点 C 的反比例函数的表达式是 三、解答题（本大题共
7、三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16 （10 分） （1）计算：（1）20+（2） 39tan30； （2）先化简，再求值：1，其中 a5，b6 17 （7 分）如图，已知ABC 的边 BC 在直线 MN 上，若将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 C 落在 直线 MN 上的 C处，得到ABC （1）请用尺规作图作出ABC，并标明字母； （保留作图痕迹，不写作法） （2）若ACB118，则BCB 18 （8 分）某校教科研中心对本校学生参加课外兴趣小组活动情况进行随机抽样调查，
8、教科研中心根据调 查数据制作了本校学生参加课外兴趣小组活动情况的两幅统计图（不完整） 请据图回答： （1）此次调查的总人数是多少？ （2）将图 2 补充完整； （3）求图 1 中表示“写作”兴趣小组对应圆心角的度数； （4）若该校共有 900 名学生，请估计全校“书画”兴趣小组的人数是多少？ 19 （10 分）根据工信部数据显示在新冠肺炎疫情爆发之前我国口罩的日产能是 2000 万只，为全球最 高山西省某口罩生产企业，有两种口罩生产线：一次性平面口罩生产线和 KN95 口罩生产线，每条一 次性平面口罩生产线每小时生产 6000 只，每条 KN95 口罩生产线每小时生产 5000 只，这个企业共
9、有 9 条生产线，每小时可以生产 50000 只口罩 （1）这个企业有一次性平面口罩生产线和 KN95 口罩生产线各多少条？ （2）特殊时期，许多志愿者和企业以不同的形式加入支援武汉，共击疫情的行列，该企业积极响应，新 增加了 30 条生产线，工人三班倒，二十四小时生产为了每天至少可以支援武汉 500 万个口罩，新增加 的 30 条生产线中，至少有多少条是一次性平面口罩生产线？ 20（8 分） 如图， ABC 内接于O， AB 为直径， P 为ABC 内部一点， 且APBBPC135 （1）判断PAB 和PBC 的数量关系，并说明理由； （2）求证：PA2PC； （3）若 AB4，求APC 的
10、面积 21 （8 分） “停课不停学”期间，张老师在台灯顶端安装了一个摄像头，便于网络直播教学如图 1 是放置 在水平桌面上的台灯， 图 2 是其侧而示意图 （台灯底座高度忽略不计） ， 其中 D 点的位置安装有摄像头， 灯臂 AC40cm，灯罩 CD30cm，CAB60，CD 可以绕点 C 上下调节一定的角度，使用过程中张 老师发现：当 CD 与水平线所成的角为 30时，直播效果最佳求此时摄像头 D 到桌面的距离 （参考 数据：1.73） 22 （11 分）综合与实践探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含 60角的直角三角板 ABC 和 A
11、FE 按如图 1 所 示位置放置，且 RtABC 的较短直角边 AB 为 2，现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转 （0 90） ，如图 2，AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P （1）初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角 时，AMC 是等腰三角形； （2）深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中如果连接 AP，CE，那么 AP 所在的直线是线段 CE 的垂直平分线， 请帮他们证明； （3）再探究： 在旋转过程中，当旋转角 30时，求ABC 与AFE 重叠的面积； （4）拓展延伸： 在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直
12、接写出旋转角 的度数；若不能，说明理由 23 （13 分）如图 1二次函数 yx2+6 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求出点 A，B，C 的坐标； （2）连接 AC，求直线 AC 的表达式； （3）如图 2，点 D 为线段 AC 上的一个动点，连接 BD，以点 D 为直角顶点，BD 为直角边，在 x 轴的上 方作等腰直角三角形 BDE，若点 E 在 y 轴上时，求点 D 的坐标； （4）若点 D 在线段 AC 上，点 D 由 A 到 C 运动的过程中，以点 D 为直角顶点，BD 为直角边作等腰直 角三角形 BDE，当抛物线的顶点 C 在
13、等腰直角三角形 BDE 的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写 出顶点 E 的坐标 2020 年山西省百校大联考中考数学模拟试卷（三）年山西省百校大联考中考数学模拟试卷（三） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分分.共共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求）要求） 1下列各数中是无理数的是（ ） A3.14 B C0.58 D 【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数根据无理数的概念 进行解答即可 【解答】解
14、：A、3.14 属于有理数，故本选项不合题意； B、2 是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C、0.58 属于有理数，故本选项不合题意； D、是无理数，故本选项符合题意 故选：D 2下列计算不正确的是（ ） A （1）01 B3ab+2ba5ab C （a3）3a9 D3（a1）33a 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及去括号法则、零指数幂的性质、合并同类项法则分别计算得出 答案 【解答】解：A、 （1）01，正确，不合题意； B、3ab+2ba5ab，正确，不合题意； C、 （a3）3a9，原是计算错误，符合题意； D、3（a1）33a，正确，不合题意； 故选：C 3已知 xy，下列四
15、个不等式中，正确的是（ ） Axy B20 x20y Cx19y19 D20 x20y 【分析】根据不等式的性质解答 【解答】解：A、由 xy 得到xy，故本选项不符合题意 B、由 xy 得到 20 x20y，故本选项符合题意 C、由 xy 得到 x19y19，故本选项不符合题意 D、由 xy 得到20 x20y，故本选项不符合题意 故选：B 4据 2019 年年末的抽样调查，太原市常住人口为 446.19 万人，比上年末增加了 4.04 万人，那么上年末人 口用科学记数法表示为（ ） A442.15104人 B4.4619106人 C446.19104人 D4.4215106人 【分析】科学
16、记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：446.19 万4.04 万442.15 万44215004.4215106 故选：D 5直线 MN 与 AB、CD 分别相交于点 E，F，ABCDEG 平分BEF 交 CD 于点 G若EGD140， 则CFN 的度数为（ ） A100 B80 C60 D50 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出BEG 的度数，再根据角平分线的定义得到FEG，然后
17、利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 【解答】解：ABCD，EGD140， BEG18014040， EG 平分BEF， FEGBEG40， 在EFG 中，CFNEFGEGDFEG14040100 故选：A 6 明代数学家程大位的算法统宗中有一个 “以碗知僧”的问题， “巍巍古寺在山中， 不知寺内几多僧 三 百六十四只碗，恰合用尽不差争三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹请问先生能算者，都来寺内几多 僧？” 其大意为： 山上有一座古寺叫都来寺 在这座寺庙里， 3 个和尚合吃一碗饭， 4 个和尚合分一碗汤， 一共用了 364 只碗请问都来寺里有多少个和尚？此问题中和尚的人数
18、为（ ） A31 B52 C371 D624 【分析】 设都来寺里有 x 个和尚， 根据 “3 个和尚合吃一碗饭， 4 个和尚合分一碗汤， 一共用了 364 只碗” ， 即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设都来寺里有 x 个和尚， 依题意得：+364， 解得：x624 故选：D 7 张华学习了 “数轴上的点与实数是一一对应的关系” 后， 课下便尝试在数轴上找一个表示无理数的点 首 先画一条数轴，原点为 O，点 A 表示的数是 2，然后过点 A 作 ABOA，使 AB3，连接 OB，以 O 为圆 心，OB 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 C，则点 C 所表示的数介于
19、（ ） A1 和2 之间 B2 和3 之间 C3 和4 之间 D4 和5 之间 【分析】根据勾股定理求出 OB，进而确定点 C 所表示的数，再估算即可 【解答】解：由勾股定理得， OB， 所以点 C 所表示的数为， 而 34， 所以43， 故选：C 8如图，在ABC 中ABACBC4，ABC 的面积是 24，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 点 E，F，若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，连接 CM，DM，则 CM+DM 的最小值为 （ ） A6 B10 C12 D13 【分析】连接 AD，由于ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 A
20、DBC，再根据三角形的面积 公式求出 AD 的长，再根据 EF 是线段 AB 的垂直平分线可知，点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，故 AD 的长为 BM+MD 的最小值，由此即可得出结论 【解答】解：连接 AD， ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点 ADBC， SABCBCAD4AD24，解得 AD12， EF 是线段 AB 的垂直平分线， 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A， 连接 AM，则 CM+DMAM+DMAD， 当点 M 在线段 AD 上时，CM+DM 的值最小， AD 的长为 CM+MD 的最小值 故选：C 9已知二次函数 yax2+bx+c（a0）中，
21、函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应值如表所示： x 2 1 0 1 2 y 9 4 1 0 1 若点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在函数图象上则当 0 x11，2x23 时，y1与 y2的大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 【分析】观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线开口向下，然后比较点 A、点 B 离直 线 x1 的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到 y1y2 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x1， 0 x11，2x23， 点 A（x1，y1）到直线 x1 的距离比点 B（x2，y2）到直线 x1 的距离要小， 而抛物线的开口
22、向下， y1y2 故选：A 10正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG，且边 FG 过点 D在点 E 从点 A 移动 到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积（ ） A先变大后变小 B先变小后变大 C一直变大 D保持不变 【分析】连接 DE，CDE 的面积是矩形 CFGE 的一半，也是正方形 ABCD 的一半，则矩形与正方形面 积相等 【解答】解：连接 DE， ， ， 矩形 ECFG 与正方形 ABCD 的面积相等 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11将 x24y2因
23、式分解为 （x+2y） （x2y） 【分析】原式利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式x2（2y）2 （x+2y） （x2y） 故答案为： （x+2y） （x2y） 12在抗击“新型冠状病毒”这场战争中，医护人员不惜一切代价奋战在抗击疫情第一线，被称为“美丽 天使” ，小明将分别标有“美” “丽” “天” “使”汉字的四张卡片（这些卡片除汉字外无其他差别）背面 朝上放在桌子上，混合均匀，然后随机换出一张卡片，不放回；再随机摸出一张卡片则两次摸出的卡 片上的汉字组成“天使”的概率为 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案 【解答】解：列表如下
24、美 丽 天 使 美 （丽，美） （天，美） （使，美） 丽 （美，丽） （天，丽） （使，丽） 天 （美，天） （丽，天） （使，天） 使 （美，使） （丽，使） （天，使） 由表知，共有 12 种等可能结果，其中两次摸出的卡片上的汉字组成“天使”的有 2 种结果， 所以两次摸出的卡片上的汉字组成“天使”的概率为， 故答案为： 13如图，四边形 ABCD 和 ECGF 均为正方形，且点 A，D，F 在半圆的弧上，点 B，C，G 在半圆的直径 上，点 D，E，C 在一条直线上，若半圆的半径为，则阴影部分的面积为 5 【分析】连接 OA，OF，设正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 EFGD 的
25、边长为 b，O 的半径为 R证明 a2+b2R25，即可解决问题 【解答】解：连接 OA，OF，设正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 EFGD 的边长为 b，O 的半径为 R 则 OB，OG， 而 OCBCOBOGCG， 有：ab 得到：+a+b， 两边平方得：R2a2+2+R2b2a2+2ab+b2 整理得：a2+b2+abR2 两边再次平方得：R4（a2+b2）R2+a2b2（a2+b2+ab）22（a2+b2+ab）R2+R4， 整理得：a2+b2R25， 阴影部分的面积555 故答案为：5 14已知一次函数 y（m+1）x+m2（m1） ，将该函数图象先向下平移 2 个单位长度，再
26、向右平移 4 个单位长度，平移后的函数图象过点（1，2） ，则 m 的值为 【分析】根据“上加下减” ， “左加右减”的原则得到平移后的解析式，然后把点（1，2）代入平移后 的解析式即可得到结论 【解答】解：将 y（m+1）x+m2 的图象先向下平移 2 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度， y（m+1） （x4）+m22， 把点（1，2）代入 y（m+1） （x4）+m22 得2（m+1） （14）+m22， 解得：m， 故答案为： 15如图，在平面直角坐标系中，ACE 是以菱形 ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形，AC2，点 C 与点 E 关于 x 轴对称，则过点 C 的反比例
27、函数的表达式是 y 【分析】设 CE 和 x 轴交于 H，根据等边三角形的性质可知 CH，根据菱形的性质和解直角三角形 可求 CD 的长，得到 BC 的长，即可求得 C 的坐标，问题得解 【解答】解：如图， ACE 是以菱形 ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形，AC2， CH， ABODCH30， CD2， BCCD2， 点 C 的坐标是（2，） 过点 C 的反比例函数的表达式是 y， 故答案为：y 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16 （10 分） （1
28、）计算：（1）20+（2） 39tan30； （2）先化简，再求值：1，其中 a5，b6 【分析】 （1）原式利用二次根式性质，乘方的意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算 即可求出值； （2）原式第二项利用除法法则变形，约分后与第一项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到 最简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值 【解答】解： （1）原式319 313 ； （2）原式1 1 ， 当 a5，b6 时，原式6 17 （7 分）如图，已知ABC 的边 BC 在直线 MN 上，若将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 C 落在 直线 MN 上的 C处，得到ABC （1）
29、请用尺规作图作出ABC，并标明字母； （保留作图痕迹，不写作法） （2）若ACB118，则BCB 56 【分析】 （1）以 A 为圆心 AC 长为半径画弧交 BC 于 C，以 A 为圆心 AB 长为半径画弧，再以 C为圆心 BC 的长为半径画弧，两弧交于点 B，连接 AB，BC即可； （2）依据旋转的性质以及角的和差关系，即可得到BCB的度数 【解答】解： （1）如图所示，ABC即为所求； （2）ACB118， ACC62， 由旋转可得，ABCABC， ACBACB118，ACAC， ACCACC62， BCBACBACC1186256， 故答案为：56 18 （8 分）某校教科研中心对本校学
30、生参加课外兴趣小组活动情况进行随机抽样调查，教科研中心根据调 查数据制作了本校学生参加课外兴趣小组活动情况的两幅统计图（不完整） 请据图回答： （1）此次调查的总人数是多少？ （2）将图 2 补充完整； （3）求图 1 中表示“写作”兴趣小组对应圆心角的度数； （4）若该校共有 900 名学生，请估计全校“书画”兴趣小组的人数是多少？ 【分析】 （1） 从两个统计图中可得， 参加 “体育” 小组的有 14 人， 占调查人数的 35%， 可求出得出人数； （2）求出参加“音乐”的人数，即可补全条形统计图； （3）求出参加“写作”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数； （4）求出参加“书画”所
31、占的百分比，即可求出总体 900 人中参加“书画”的人数 【解答】解： （1）1435%40（人） ， 答：本次得出的人数为 40 人； （2）401412410（人） ，补全条形统计图如图所示： （3）36036， 答：图 1 中表示“写作”兴趣小组对应圆心角的度数为 36； （4）900270（人） ， 答：全校 900 人中参加“书画”的大约有 270 人 19 （10 分）根据工信部数据显示在新冠肺炎疫情爆发之前我国口罩的日产能是 2000 万只，为全球最 高山西省某口罩生产企业，有两种口罩生产线：一次性平面口罩生产线和 KN95 口罩生产线，每条一 次性平面口罩生产线每小时生产 60
32、00 只，每条 KN95 口罩生产线每小时生产 5000 只，这个企业共有 9 条生产线，每小时可以生产 50000 只口罩 （1）这个企业有一次性平面口罩生产线和 KN95 口罩生产线各多少条？ （2）特殊时期，许多志愿者和企业以不同的形式加入支援武汉，共击疫情的行列，该企业积极响应，新 增加了 30 条生产线，工人三班倒，二十四小时生产为了每天至少可以支援武汉 500 万个口罩，新增加 的 30 条生产线中，至少有多少条是一次性平面口罩生产线？ 【分析】 （1）可设这个企业有一次性平面口罩生产线 x 条，则 KN95 口罩生产线（9x）条，根据等量 关系：每小时可以生产 50000 只口罩
33、列出方程计算即可求解； （2）可设新增加的 30 条生产线中，有 m 条是一次性平面口罩生产线，根据每天至少可以支援武汉 500 万个口罩，列出不等式计算即可求解 【解答】解： （1）可设这个企业有一次性平面口罩生产线 x 条，则 KN95 口罩生产线（9x）条，依题 意有 6000 x+5000（9x）50000， 解得 x5， 954（条） 故这个企业有一次性平面口罩生产线 5 条，KN95 口罩生产线 4 条； （2）可设新增加的 30 条生产线中，有 m 条是一次性平面口罩生产线，依题意有 240.6（5+m）+0.5（4+30m500， 解得 m8， m 是整数， m 最小为 9 故
34、新增加的 30 条生产线中，至少有 9 条是一次性平面口罩生产线 20（8 分） 如图， ABC 内接于O， AB 为直径， P 为ABC 内部一点， 且APBBPC135 （1）判断PAB 和PBC 的数量关系，并说明理由； （2）求证：PA2PC； （3）若 AB4，求APC 的面积 【分析】 （1）证明ABC45PBA+PBC，而PAB+PBA45，即可求解； （2）证明PABPCB，则，进而求解； （3）由APC 的面积PAPCACcosPACACsinPAC，即可求解 【解答】解： （1）PABPBC，理由： AB 为直径， ACB90， ， ACBC， ABC45PBA+PBC，
35、APB135， PAB+PBA45， PABPBC； （2）PABPBC，APBBPC， PABPCB， ， 在 RtABC 中，ACBC， ， 故 PBPC，PAPB， PA2PC； （3）在 RtABC 中，AB4，则 AC2， tanPAC，则 sinPAC，cosPAC， 则APC 的面积PAPCACcosPACACsinPAC22 21 （8 分） “停课不停学”期间，张老师在台灯顶端安装了一个摄像头，便于网络直播教学如图 1 是放置 在水平桌面上的台灯， 图 2 是其侧而示意图 （台灯底座高度忽略不计） ， 其中 D 点的位置安装有摄像头， 灯臂 AC40cm，灯罩 CD30cm，
36、CAB60，CD 可以绕点 C 上下调节一定的角度，使用过程中张 老师发现：当 CD 与水平线所成的角为 30时，直播效果最佳求此时摄像头 D 到桌面的距离 （参考 数据：1.73） 【分析】过点 C 作 CEAB 于点 E，过点 D 作 DFAB 交 AB 的延长线于点 F，过点 C 作 CMDF 于点 M，根据正弦的定义分别求出 CE、DM，计算得到答案 【解答】解：过点 C 作 CEAB 于点 E，过点 D 作 DFAB 交 AB 的延长线于点 F，过点 C 作 CMDF 于点 M， 则四边形 CEFM 为矩形， MFCE，EFCM， 在 RtAEC 中，CAE60，AC40cm， 则
37、CEACsinCAE4020（cm） ， 在 RtCDM 中，DCM30，CD30cm， 则 DMCDsinDCM3015（cm） ， DFDM+MFDM+CE15+2049.6（cm） ， 答：摄像头 D 到桌面的距离约为 49.6cm 22 （11 分）综合与实践探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含 60角的直角三角板 ABC 和 AFE 按如图 1 所 示位置放置，且 RtABC 的较短直角边 AB 为 2，现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转 （0 90） ，如图 2，AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，
38、BC 与 EF 交于点 P （1）初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角 60或 15 时，AMC 是等腰三角形； （2）深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中如果连接 AP，CE，那么 AP 所在的直线是线段 CE 的垂直平分线， 请帮他们证明； （3）再探究： 在旋转过程中，当旋转角 30时，求ABC 与AFE 重叠的面积； （4）拓展延伸： 在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角 的度数；若不能，说明理由 【分析】 （1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）由题意可知，ABAF，BF，EC，AEAC，根据折叠的性质得到BAMFAN， 根据全等三角
39、形的性质得到 AMAN，PEPC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）根据已知条件得到ABM 是直角三角形，求得 EM，根据全等三角形的性质和三角形的面积 公式即可得到结论； （4）当CNP90时，依据对顶角相等可求得ANF90，然后依据F60可求得FAN 的度 数，由旋转的定义可求得 的度数；当CPN90时由C30，CPN90，可求得CNP 的度数，然后依据对顶角相等可得到ANF 的度数，然后由F60，依据三角形的内角和定理可求 得FAN 的度数，于是可得到 的度数 【解答】解： （1）当 AMCM，即CAMC30时，AMC 是等腰三角形； BAC90， 903060， 当 AMCM
40、，即CAMCMA 时，AMC 是等腰三角形， C30， CAMAMC75， BAC90， 15， 综上所述，当旋转角 60或 15时，AMC 是等腰三角形， 故答案为：60或 15； （2）由题意可知，ABAF，BF，EC，AEAC， 现将 RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转 （090） ， BAMFAN， 在ABM 与AFN 中， ， ABMAFN（ASA） ， AMAN， AEAC， EMCN， EC，MPENPC， MPENPC（AAS） ， PEPC， 点 P 在 CE 的垂直平分线上， AEAC， 点 A 在 CE 的垂直平分线上， AP 所在的直线是线段 CE 的垂直平分线；
41、（3）30，B60， AMB90， ABM 是直角三角形， AB2， BMABsin301，AMABcos30， SABMAMMB1， AEACABtan602，AM， EM， BAEE30，EMP90， AMBEPM（ASA） ， 由（2）可知ABMAFN， SAFNSEFMSABM， SAEFAFAE222， ABC 与AFE 重叠的面积SAEFSAFNSEPM22； （4）如答题图 1 所示：当CNP90时 CNP90， ANF90 又AFN60， FAN180609030 30 如答题图 2 所示：当CPN90时 C30，CPN90， CNP60 ANF60 又F60， FAN60 6
42、0 综上所述，30或 60 23 （13 分）如图 1二次函数 yx2+6 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求出点 A，B，C 的坐标； （2）连接 AC，求直线 AC 的表达式； （3）如图 2，点 D 为线段 AC 上的一个动点，连接 BD，以点 D 为直角顶点，BD 为直角边，在 x 轴的上 方作等腰直角三角形 BDE，若点 E 在 y 轴上时，求点 D 的坐标； （4）若点 D 在线段 AC 上，点 D 由 A 到 C 运动的过程中，以点 D 为直角顶点，BD 为直角边作等腰直 角三角形 BDE，当抛物线的顶点 C 在等腰直角三角
43、形 BDE 的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写 出顶点 E 的坐标 【分析】 （1）令 y0，可得 A，B 两点横坐标；令 x0，得 C 点纵坐标 （2）用待定系数法可求直线 AC 的表达式 （3）过点 D 分别做 DFx 轴于点 F，DGy 轴于 G，易知四边形 DGOF 为矩形再通过证明EDG BDF，得到 DGDF 由 D 在 AC 上可设出 D 点坐标，列出方程求解 （4）首先求出直线 BC 解析式：由（3）得直线 AC 解析式： 当 C 位于斜边 BE 上时，设出点 E 坐标（b，）和点 D 坐标（） ，类比（3）可证 EDNBDQ，所以 ENBQ，DNDQ，建立方程组求解点 E
44、 的坐标； 当 C 位于直角边 DE 上时，根据三角函数知识列出比例式得到方程，求出点 F 的坐标，用待定系数法 得到过点 B、F 的直线解析式，再与直线 AC 解析式方程联立求出点 D 的坐标，最后由 BDDE，建立 方程求解 E 的坐标； 当点 C 与点 D 重合，即点 C 为直角顶点时，作 EGy 轴于点 G证明GECOCB，即可得点 E 坐标， 最后由中点坐标公式得符合题意的另一点 E的坐标 【解答】解： （1）当 x0 时，y6 C 点坐标为（0，6） 当 y0 时， 解得 x14，x24 A 点在 B 点左侧， 点 A 坐标为（4，0） ，点 B 坐标为（4，0） （2）设直线 A
45、C 的表达式为：ykx+b 点 A 坐标为（4，0） ，点 C 坐标为（6，0） 解得 直线 AC 的表达式为 （3）如答图 1，过点 D 分别作 DFx 轴于点 F，DGy 轴于 G. 四边形 DGOF 为矩形，FDG90 BDE 为等腰直角三角形，BD 为直角边 BDED，EDB90 EDBGDBFDGGDB 即EDGBDF 在BDF 和EDG 中， BDFEDG（AAS） DFDG 设点 D 的坐标为（m，） 解得 m， 点 D 的坐标为（） （4）由（2）可得直线 AC 的表达式为 点 D 在直线 AC 上， 设点 D 坐标为（） 设直线 BC 的解析式为：ykx+b 将 B（4，0）
46、 ，C（0，6）代入得 解得 直线 BC 的解析式为 当 C 位于斜边 BE 上时， 点 E 在直线 BC 上， 设点 E 坐标为（b，） 如答图 2 所示. 作 EMx 轴于点 M，DQx 轴于点 Q，DNEM 于点 N 易知四边形 DQMN 为矩形 QDN90 BDE 为等腰直角三角形，BD 为直角边 BDED，EDB90 EDBNDBQDNNDB 即EDNBDQ 在BDQ 和EDN 中， BDQEDN（AAS） DNDQ，ENBQ E 坐标为（b，） ，D 坐标为（） DNba，EN DQ，BQ4a 解得 点 E 的坐标是（） 当点 D 在直角边 DE 上时，BD 交 y 轴于点 F，如
47、答图 3 所示 CDFBOF90，CFDBFO DCFOBF tanDCFtanOBF 即 亦即 OF 点 F 坐标为（0，） 设直线 BF 解析式为 ykx+b 将 B（4，0） ，F（0，）代入得 解得 直线 BF 解析式为 y B、F、D 三点共线， 亦即直线 BD 解析式为 y 联立直线 AC 解析式得 解得 故点 D 坐标为（） BDAC，BDDE， BD2DE2 解得 b 点 E 的坐标为（） 当点 D 与点 C 重合时，即点 C 为直角顶点时 如答图 4 所示.作 EGy 轴于点 G BCE90 ECG+BCO90 又ECG+GEC90 BCOGEC 在GEC 和OCB 中， GECOCB（AAS） GEOC6，GCOB4 点 E 的坐标为（6，10） 由图知点 E 关于点 C 对称的点 E亦满足题意 则由中点坐标公式可得点 E的横坐标为 2066， 纵坐标为 26102 故点 E坐标为（6，2） 综上所述，点 E 的坐标为（）或（）或（6，10）或（6，2）
