1、2021 年山东省济南市历城区中考数学调研试卷（年山东省济南市历城区中考数学调研试卷（3 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1在4、0、4 这四个数中，最小的数是（ ） A4 B0 C D4 2如图所示的几何体，其主视图是（ ） A B C D 3将数据 55750000 用科学记数法表示为（ ） A5.575106 B5.575108 C5.575107 D55.75106 4有理数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aab Bba Ca+b0 Dab0 5如图，将一块三角
2、尺的直角顶点放在直尺的一边上，当155时，2 的度数为（ ） A25 B35 C45 D55 6下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 7如图是济南市一周内日最高气温的折线统计图，关于这 7 天的日最高气温的说法正确的是（ ） A最高气温是 28 B众数是 28 C中位数是 24 D平均数是 26 8下列计算或运算中，正确的是（ ） Aa6a2a3 B （2a2）38a3 C （a3） （3+a）a29 D （ab）2a2b2 9 如图， 已知O 的半径是 2， 点 A、 B、 C 在O 上， 若四边形 OABC 为菱形， 则图中阴影部分面积为 （ ） A2
3、 B C2 D 10如图，直线 ykx+b（k0）经过点 P（1，1） ，当 kx+bx，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 11如图，在ABC 中，B15，C30，MN 是 AB 的垂直平分线，PQ 是 AC 的垂直平分线，已 知 SANQ，则 BC 的长为（ ） A B3+ C3 D2+2 12已知函数 yx2+2ax，当 x2 时，函数值随 x 增大而增大，且对任意的 1x1a+1 和 1x2a+1， x1、x2相应的函数值 y1、y2总满足|y1y2|16，则实数 a 的取值范围是（ ） A2a5 B3a5 Ca2 D2a3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大
4、题共 6 个小题每小题个小题每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13分解因式：9x2y2 14如图，转盘中 6 个小扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域 的概率为 15一个多边形的每一个外角都等于 40，则该多边形的内角和等于 16当 x 时，整式与 x5 的值互为相反数 17一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，则它的长比宽多 步 18如图，矩形 ABCD 的边 DC 在 x 轴上，点 B 在反比例函数 y的图象上，点 E 是 AD 边上靠近点 A 的 三等分点，连接 CE 交 y 轴于点 F，则CDF 的面积为 三、
5、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算：+（sin752021）0（） 14cos30 20 （6 分）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解 21 （6 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 DA、BC 延长线于点 E、F求证：AECF 22 （8 分）为加强未成年人思想道德建设某校在学生中开展了“日行一孝”活动活动设置了四个爱心 项目：A 项我为父母过生日，B 项我为父母洗洗脚，C 项我当一天小管家，D 项
6、我与父母谈谈 心，要求每个学生必须且只能选择一项参加为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生 进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 ，补全图 1 中的条形统计图 （2）在图 2 的扇形统计图中，B 项所占的百分比为 m%，则 m 的值为 ，C 项所在扇形的圆心角 的度数为 度 （3）该校参加活动的学生共 1200 人，请估计该校参加 D 项的学生有多少人？ 23 （8 分）如图，在 RtMBC 中，ABC90，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，AE 与过点 D 的切线 互相垂直，垂足为 E （1）
7、求证：AD 平分BAE； （2）若 CD，BC3，求线段 AB 的长度 24 （10 分）某车行去年 A 型车的销售总额为 6 万元，今年每辆车的售价比去年减少 400 元若卖出的数量 相同，销售总额将比去年减少 20% （1）求今年 A 型车每辆车的售价 （2）该车行计划新进一批 A 型车和 B 型车共 45 辆，已知 A、B 型车的进货价格分别是 1100 元、1400 元，今年 B 型车的销售价格是 2000 元，要求 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货 才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？ 25 （10 分）如图，矩形 OABC 中，OC4，OA3，分别以
8、OC、OA 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系，反比例函数 y（x0）的图象经过点 B （1）求反比例函数的解析式； （2） 一次函数 yax2 的图象与 y 轴交于点 D， 与反比例函数 y （x0） 的图象交于点 E， 且ADE 的面积等于 5，求一次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，将直线 DE 沿 x 轴每秒 1 个单位的速度向右平移，设运动时间为 t 秒，平移后的 直线与反比例函数 y（x0）的图象交于点 F，与 x 轴交于点 G，t 为何值时，GFDE？ 26 （12 分）如图 1，正方形 OABC 与正方形 ODEF 放置在直线 l 上，连接 AD
9、、CF，此时 ADCF，AD CF 成立 （1）正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断 AD 与 CF 还相等吗？若成立，请证 明，若不成立，请说明理由 （2）正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，当点 E 旋转至 OC 边上时，如图 3，连接 AD 并延长，交 CF 于 点 G，求证：ADCF （3）当 AO4，OD时，正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，当点 E 旋转至直线 AO 上时，直线 AD 与直线 OC 的交点为 G，求线段 CG 的长 27 （12 分） 如图， 若一次函数 y3x3 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 C 两点， 点 B
10、的坐标为 （3， 0） ， 二次函数 yax2+bx3 的图象过 A、B、C 三点 （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，若点 P 在直线 BC 下方的抛物线上运动，过 P 点作 PFBC，交线段 BC 于点 F，在点 P 运动过程中，线段 PF 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 （3）点 P 在 y 轴右侧的抛物线上运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 BC 交于点 D，若PCD+ACO 45，请在备用图上画出示意图，并直接写出点 P 的坐标 2021 年山东省济南市历城区中考数学调研试卷（年山东省济南市历城区中考数学调研试卷（3 月份）月份） 参考答案与试
11、题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1在4、0、4 这四个数中，最小的数是（ ） A4 B0 C D4 【分析】根据实数比较大小的方法：正数大于零，零大于负数进行比较即可 【解答】解：2.236， 404， 最小的数是4 故选：D 2如图所示的几何体，其主视图是（ ） A B C D 【分析】根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案 【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形， 故选：A 3将数据 55750000 用科学记数法表示为（ ） A5.575106 B5.57
12、5108 C5.575107 D55.75106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：557500005.575107 故选：C 4有理数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aab Bba Ca+b0 Dab0 【分析】本题主要考查有理数的乘法，数轴，有理数的加法，根据数轴上点的特征可得 a0b，且|a| |b|，据此逐项判断可求解 【解答】解：
13、由数轴可知：a0b，且|a|b|，故 A 选项错误； ba，故 B 选项错误； a+b0，故 C 选项错误； ab0，故 D 选项正确 故选：D 5如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当155时，2 的度数为（ ） A25 B35 C45 D55 【分析】先根据余角的定义求出3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论 【解答】解：155， 3905535 直尺的两边互相平行， 2335 故选：B 6下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B
14、、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确 故选：D 7如图是济南市一周内日最高气温的折线统计图，关于这 7 天的日最高气温的说法正确的是（ ） A最高气温是 28 B众数是 28 C中位数是 24 D平均数是 26 【分析】先根据折线统计图，将这 7 天的最高气温从小到大排列，再依据众数、中位数和平均数的概念 分别求解即可得出答案 【解答】解：由折线统计图知这 7 天的最高气温为：20、22、24、26、28、28、30， 最高气温为 30，故 A 选项错误； 众数是 28，故 B
15、选项正确； 中位数为 26，故 C 选项错误； 平均数为（） ，故 D 选项错误； 故选：B 8下列计算或运算中，正确的是（ ） Aa6a2a3 B （2a2）38a3 C （a3） （3+a）a29 D （ab）2a2b2 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得 【解答】解：A、a6a2a4，此选项错误； B、 （2a2）38a6，此选项错误； C、 （a3） （3+a）a29，此选项正确； D、 （ab）2a22ab+b2，此选项错误； 故选：C 9 如图， 已知O 的半径是 2， 点 A、 B、 C 在O 上， 若四边形 OABC 为菱形，
16、则图中阴影部分面积为 （ ） A2 B C2 D 【分析】连接 OB 和 AC 交于点 D，根据菱形及直角三角形的性质先求出 AC 的长及AOC 的度数，然 后求出菱形 ABCO 及扇形 AOC 的面积，则由 S扇形AOCS菱形ABCO可得答案 【解答】解：连接 OB 和 AC 交于点 D，如图所示： 圆的半径为 2， OBOAOC2， 又四边形 OABC 是菱形， OBAC，ODOB1， 在 RtCOD 中利用勾股定理可知：CD，AC2CD2， sinCOD， COD60，AOC2COD120， S菱形ABCOOBAC222， S扇形AOC， 则图中阴影部分面积为 S扇形AOCS菱形ABCO
17、2， 故选：C 10如图，直线 ykx+b（k0）经过点 P（1，1） ，当 kx+bx，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】将 P（1，1）代入 ykx+b（k0） ，可得 k1b，再将 kx+bx 变形整理，得bx+b0， 求解即可 【解答】解：由题意，将 P（1，1）代入 ykx+b（k0） ， 可得 k+b1，即 k1b， 整理 kx+bx 得， （k1）x+b0， bx+b0， 由图象可知 b0， x10， x1， 故选：A 11如图，在ABC 中，B15，C30，MN 是 AB 的垂直平分线，PQ 是 AC 的垂直平分线，已 知 SANQ，则 BC
18、的长为（ ） A B3+ C3 D2+2 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 AQCQ，BNAN，根据等腰三角形的性质和已知条件得出 BANB15，CAQC30，根据三角形外角性质得出ANQB+BAN30，AQN C+CAQ60，求出NAQ90，再根据三角形的面积求出 AQ，最后求出 BC 即可 【解答】解：MN 是 AB 的垂直平分线，PQ 是 AC 的垂直平分线， AQCQ，BNAN， B15，C30， BANB15，CAQC30， ANQB+BAN15+1530，AQNC+CAQ30+3060， NAQ180ANQAQN90， NQ2AQ，ANAQ， SANQ， AQAQ， 解得：AQ
19、1（负数舍去） ， 即 CQAQ1，ANBNAQ，NQ2AQ2， BCBN+NQ+CQ+2+13+， 故选：B 12已知函数 yx2+2ax，当 x2 时，函数值随 x 增大而增大，且对任意的 1x1a+1 和 1x2a+1， x1、x2相应的函数值 y1、y2总满足|y1y2|16，则实数 a 的取值范围是（ ） A2a5 B3a5 Ca2 D2a3 【分析】对任意的 1x1a+1 和 1x2a+1，x1，x2相应的函数值 y1，y2总满足|y1y2|16，只需最大 值与最小值的差小于等于 16 即可，进而求解 【解答】解：函数的对称轴为 xa，而 x2 时，函数值随 x 增大而减小，故 a
20、2； 1x1a+1 和 1x2a+1， xa 时，开口向下，函数的最大值a2， 故函数的最大值在 x1 和 xa+1 中产生， 则 x1，xa+1 那个距 xa 远，函数就在那一边取得最大值， a2， a11，而 a+1a1， 1 距离 a 更远， x1 时，函数取得最小值为：1+2a， 对任意的 1x1a+1 和 1x2a+1，x1，x2相应的函数值 y1，y2总满足|y1y2|16， 只需最大值与最小值的差小于等于 4 即可， ，a2（1+2a）16， （a1）216， 解得4a14，而 a2， 2a5， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题每小题个小题每小题 4
21、 分，共分，共 24 分）分） 13分解因式：9x2y2 （3x+y） （3xy） 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【解答】解：原式（3x+y） （3xy） ， 故答案为： （3x+y） （3xy） 14如图，转盘中 6 个小扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域 的概率为 【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色 区域的概率 【解答】解：圆被等分成 6 份，其中红色部分占 2 份， 落在阴影区域的概率， 故答案为 15一个多边形的每一个外角都等于 40，则该多边形的内角和等于 1260 【分析】先利用
22、36040求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n2） 180计算即可求 解 【解答】解：多边形的边数是：360409， 则内角和是： （92） 1801260 故答案是：1260 16当 x 3 时，整式与 x5 的值互为相反数 【分析】首先根据题意，可得：+（x5）0；然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 为 1，求出 x 的值是多少即可 【解答】解：+（x5）0， 去分母，可得：x+1+2（x5）0， 去括号，可得：x+1+2x100， 移项，合并同类项，可得：3x9， 系数化为 1，可得：x3， 当 x3 时，整式与 x5 的值互为相反数 故答案为：3 17一块矩形田地的
23、面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，则它的长比宽多 12 步 【分析】设矩形田地的长为 x 步，则宽为（60 x）步，根据矩形田地的面积为 864 平方步，即可得出关 于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，由长宽可确定 x 的值，进而可得出（60 x）的长，再利 用（长宽）即可求出结论 【解答】解：设矩形田地的长为 x 步，则宽为（60 x）步， 依题意得：x（60 x）864， 整理得：x260 x+8640， 解得：x136，x224 x60 x， x30， x36， 60 x24， 362412（步） 故答案为：12 18如图，矩形 ABCD 的边 DC 在
24、x 轴上，点 B 在反比例函数 y的图象上，点 E 是 AD 边上靠近点 A 的 三等分点，连接 CE 交 y 轴于点 F，则CDF 的面积为 1 【分析】设矩形的边长 ABCDa，ADBCb，即可得到 B（，b） ，得到 OC，根据题意得到 DEb，通过证得FOCEDC，求得 OF，然后根据三角形面积公式即可求得 【解答】解：设矩形的边长 ABCDa，ADBCb， 点 B 在反比例函数 y的图象上， B（，b） ， OC， 点 E 是 AD 边上靠近点 A 的三等分点， DEb， ADy 轴， FOCEDC， ， OFCDOCED， OFab， OF， SCDFCDOFa1 故答案为：1 三
25、、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算：+（sin752021）0（） 14cos30 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向 右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解：+（sin752021）0（） 14cos30 2+134 222 2 20 （6 分）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解 【分析】先解不等式，去括号，移项，系数化为 1，再解不等式，取分母，移项，然后找出不等式 组的解集 【
26、解答】解： 解不等式得，x2， 解不等式得，x1， 不等式组的解集为2x1 不等式组的最大整数解为：x0 21 （6 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 DA、BC 延长线于点 E、F求证：AECF 【分析】利用平行四边形的性质得出 AOCO，ADBC，进而得出EAOFCO，再利用 ASA 求出 AOECOF，即可得出答案 【解答】证明：ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， AOCO，ADBC， EAOFCO， 在AOE 和COF 中， ， AOECOF（ASA） ， AECF 22 （8 分）为加强未成年人思想道德建设某校在学生中开展了
27、“日行一孝”活动活动设置了四个爱心 项目：A 项我为父母过生日，B 项我为父母洗洗脚，C 项我当一天小管家，D 项我与父母谈谈 心，要求每个学生必须且只能选择一项参加为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生 进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 200 ，补全图 1 中的条形统计图 （2）在图 2 的扇形统计图中，B 项所占的百分比为 m%，则 m 的值为 20 ，C 项所在扇形的圆心角 的度数为 162 度 （3）该校参加活动的学生共 1200 人，请估计该校参加 D 项的学生有多少人？ 【分析】 （1
28、）根据题意可以求得调查的总人数，从而可以求得 B 的人数，进而可以将条形统计图补充完 整； （2）根据统计图可以得到调查的总人数，也可以得到 C 部分所占的圆心角； （3）根据统计图可以求得 1200 人参加 D 项的学生的人数 【解答】解： （1）这次抽样调查的样本容量是（人） ，B 的人数 20090601040， 如图所示： （2） B 项所占的百分比为 m%， 则 m%的值为， C 项所在扇形的圆心角 的度数为 360 45%162； （3）1200 人参加 D 项的学生的人数为（人） ； 故答案为：200；20；162 23 （8 分）如图，在 RtMBC 中，ABC90，以 AB
29、为直径的O 交 AC 于点 D，AE 与过点 D 的切线 互相垂直，垂足为 E （1）求证：AD 平分BAE； （2）若 CD，BC3，求线段 AB 的长度 【分析】（1） 连接 OD， 如图， 根据切线的性质得到 ODDE， 则可判断 ODAE， 从而得到1ODA， 然后利用2ODA 得到12； （2）连接 BD，证明CDBCBA，得出比例线段，则求出 AC5，由勾股定理可求出答案 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图， DE 为切线， ODDE， DEAE， ODAE， 1ODA， OAOD， 2ODA， 12， AD 平分BAE； （2）解：连接 BD，如图， AB 为直径， ADB9
30、0， 2+ABD90，3+ABD90， 23， DCBBCA， CDBCBA， ， ， AC5， AB4 24 （10 分）某车行去年 A 型车的销售总额为 6 万元，今年每辆车的售价比去年减少 400 元若卖出的数量 相同，销售总额将比去年减少 20% （1）求今年 A 型车每辆车的售价 （2）该车行计划新进一批 A 型车和 B 型车共 45 辆，已知 A、B 型车的进货价格分别是 1100 元、1400 元，今年 B 型车的销售价格是 2000 元，要求 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货 才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】 （1）设今年 A 型车每
31、辆售价为 x 元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据数量总价单价， 即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，销售利润为 y 元，则新进 B 型车（45a）辆，根据销售利润单辆利润 销售数量，即可得出 y 关于 a 的函数关系式，由 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，即可得 出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设今年 A 型车每辆售价为 x 元，则去年每辆售价为（x+400）元， 根据题意得：， 解得：x1600， 经检验，x1600 是原分式方
32、程的解， 今年 A 型车每辆车售价为 1600 元 （2）设今年新进 A 型车 a 辆，销售利润为 y 元，则新进 B 型车（45a）辆， 根据题意得：y（16001100）a+（20001400） （45a）100a+27000 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 45a2a，解得：a15 1000， y 随 a 的增大而减小， 当 a15 时，y 取最大值，最大值10015+2700025500，此时 45a30 答：购进 15 辆 A 型车、30 辆 B 型车时销售利润最大，最大利润是 25500 元 25 （10 分）如图，矩形 OABC 中，OC4，OA3，分别以 OC、
33、OA 所在的直线为 x 轴、y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系，反比例函数 y（x0）的图象经过点 B （1）求反比例函数的解析式； （2） 一次函数 yax2 的图象与 y 轴交于点 D， 与反比例函数 y （x0） 的图象交于点 E， 且ADE 的面积等于 5，求一次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，将直线 DE 沿 x 轴每秒 1 个单位的速度向右平移，设运动时间为 t 秒，平移后的 直线与反比例函数 y（x0）的图象交于点 F，与 x 轴交于点 G，t 为何值时，GFDE？ 【分析】 （1）根据已知求出 B 的坐标，然后代入反比例函数关系式即可得到结果； （2）首先求出 AD
34、 的长度，然后根据ADE 的面积等于 5 求出 E 的横坐标，再代入反比例函数关系式 即可求出 E 的纵坐标，再代入一次函数关系式即可得到结果； （3）首先过点 F 作 FNx 轴于点 N，过点 E 作 EHy 轴于点 H，然后证明DEH 和FGN 相似，根 据比例式得出 GN 和 FN，最后利用 t 设出 F 的坐标代入反比例函数关系式即可得到结果 【解答】解： （1）OC4，OA3， B（4，3） ， 将其代入反比例函数关系式得： ， m12， 反比例函数的解析式为 y； （2）一次函数 yax2 的图像与 y 轴交于点 D， 点 D（0，2） ， AD3（2）5， 设 E（x，y） ，
35、ADE 的面积等于 5， ， x2， 点 E 在反比例函数 y图象上， E（2，6） ， E（2，6）在一次函数 yax2 上， 62a2， a4， 一次函数的解析式为：y4x2； （3）如图，过点 F 作 FNx 轴于点 N，过点 E 作 EHy 轴于点 H， E（2，6） ， EH2，OH6， HD2+68， 由平移得：FGDE， EMNFGN， EHx 轴， DEHFGN， 又EHDFNG90， DEHFGN， ， GN，FN2， 设点 F 坐标（t+，2） ， 代入反比例函数关系式得， 2t+312， t 26 （12 分）如图 1，正方形 OABC 与正方形 ODEF 放置在直线 l
36、 上，连接 AD、CF，此时 ADCF，AD CF成 立 （1）正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断 AD 与 CF 还相等吗？若成立，请证 明，若不成立，请说明理由 （2）正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，当点 E 旋转至 OC 边上时，如图 3，连接 AD 并延长，交 CF 于 点 G，求证：ADCF （3）当 AO4，OD时，正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，当点 E 旋转至直线 AO 上时，直线 AD 与直线 OC 的交点为 G，求线段 CG 的长 【分析】 （1）根据正方形的性质，可得 OA 与 OC 的关系，OD 与 OF 的关系，AOC
37、与DOF 的关系， 根据等式的性质，可得AOD 与COF 的关系，根据 SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质， 可得证明结论； （2）根据全等三角形的性质、对顶角的性质，可得三角形的两个对应角相等，可得三角形相似，根据相 似三角形的性质，可得证明结论； （3）分两种情形：点 E 在 OA 的延长线上或落在线段 OA 上分别求解根据勾股定理，可得 OE 的长， 根据根据正方形的性质，可得 OM、OD、OE 的关系，根据线段的和差，可得 AM 的长，根据同一个角 的正切的两种表达方式，可得 OG 的长，再根据线段的和差，可得答案 【解答】 （1）解：结论：ADCF 理由：如图 2 中， 在
38、正方形 ABCO 和正方形 ODEF 中，AOCO，ODOF，AOCDOF90， AOC+CODDOF+COD， （等式的性质） 即AODCOF， 在AOD 和COF 中， ， AODCOF（SAS） ， ADCF（全等三角形的对应边相等） （2）证明：如图 3，设 AG 与 CO 交于点 H AODCOF（SAS） （已证） OCFDAO（全等三角形的对应角相等） CHGAHO（对顶角相等） ， CGHHOA90（相似三角形的对应角相等） ADCF （3）解：当点 E 在 AO 的延长线上时，如图 31 中，连接 DF 交 OE 于 M，则 DFOE，DMOM OE， 正方形 ODEF 的边
39、长为， OEOD2， DMOMOE1， AMAO+OM4+15， 在 RtADM 中，tanDAM tanGAOtanDAM， OGOA CGOCOG4 当点 E 落在线段 OA 上时，如图 32 中， 同法可得 OGOQ， CGOC+OG， 综上所述，CG 的长为或 27 （12 分） 如图， 若一次函数 y3x3 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 C 两点， 点 B 的坐标为 （3， 0） ， 二次函数 yax2+bx3 的图象过 A、B、C 三点 （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，若点 P 在直线 BC 下方的抛物线上运动，过 P 点作 PFBC，交线段 BC 于点 F
40、，在点 P 运动过程中，线段 PF 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 （3）点 P 在 y 轴右侧的抛物线上运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 BC 交于点 D，若PCD+ACO 45，请在备用图上画出示意图，并直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）函数 y3x3 的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，C 两点，则点 A、C 的坐标分别为（1， 0） 、 （0，3） ，将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）先利用待定系数法求直线 BC 的解析式，设 P（m，m22m3） ，过点 P 作 PTy 轴交直线 BC 于 点 T，则 T（m，m3）
41、 ，可得 PT，再证明PTFBCO，运用相似三角形性质得出 PF，再运用二次 函数最值求解即可； （3）分两种情况：当点 P 在直线 BC 下方的抛物线上时，过点 P 作 PMy 轴于点 M，证明PCM CAO， 再利用相似三角形性质列方程求解即可； 当点 P 在直线 BC 上方的抛物线上时， 过点 P 作 PM y 轴于点 M，证明PCMACO，再利用相似三角形性质列方程求解即可 【解答】解： （1）在 y3x3 中，令 x0，得 y3， C（0，3） ， 令 y0，得3x30， 解得：x1， A（1，0） ， 二次函数 yax2+bx3 的图象过点 A（1，0） ，B（3，0） ， ， 解
42、得：， 二次函数的表达式为：yx22x3； （2）设直线 BC 的解析式为 ykx+c， B（3，0） ，C（0，3） ， ， 解得：， 直线 BC 的解析式为 yx3， 在 RtBOC 中，OBOC3，BC3， 设 P（m，m22m3） ，过点 P 作 PTy 轴交直线 BC 于点 T，则 T（m，m3） ， PTm3（m22m3）m2+3m， PFBC， PFTBOC90， PTy 轴， PTFBCO， PTFBCO， ，即：， PF（m2+3m）（m）2+， 当 m时，PF 取得最大值； （3）设 P（t，t22t3） ，分以下两种情况： 当点 P 在直线 BC 下方的抛物线上时，如图
43、2，过点 P 作 PMy 轴于点 M， 则 M（0，t22t3） ， CMt22t3（3）t22t，PMt， PCD+ACO45，BCD45， ACP90， PCM+ACOCAO+ACO90， PCMCAO， PMCAOC90， PCMCAO， ， ， 3t27t0， 解得：t10（舍去） ，t2， 当 t时，t22t3（）223， P（，） ； 当点 P 在直线 BC 上方的抛物线上时，如图 3，过点 P 作 PMy 轴于点 M， 则 M（0，t22t3） ， CMt22t3（3）t22t，PMt， PCD+ACO45，PCD+PCM45， PCMACO， PMCAOC90， PCMACO， ， ， t25t0， 解得：t10（舍去） ，t25， 当 t5 时，t22t35225312， P（5，12） ， 综上所述，点 P 的坐标为（，）或（5，12）
