1、2020 年浙江省金衢十二校联考中考数学模拟试卷（年浙江省金衢十二校联考中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 12020 的倒数是（ ） A2020 B C D 232的结果等于（ ） A9 B9 C1 D6 3不等式组的解集为（ ） A6x8 B6x8 C2x4 D2x8 4已知一组数据 5，4，x，3，9 的平均数为 5，则这组数据的中位数是（ ） A3 B4 C5 D6 5今年我市参加中考的学生约为 56000 人，56000 用科学记数法表示为（ ） A56103 B5.6104 C0.56105 D5.610 4
2、6下列四个代数式：，x0，中，无论 x 取何实数，都有意义的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7如果把 1、3、6、10这样的数称为“三角形数” ，而把 1、4、9、16这样的数称为“正方形数” 从 图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中， 符合这一规律的是（ ） A133+10 B259+16 C4918+31 D3615+21 8如图，甲乙两楼相距 30 米，乙楼高度为 36 米，自甲楼顶 A 处看乙楼楼顶 B 处仰角为 30，则甲楼高 度为（ ） A11 米 B （3615）米 C15米 D （3610）米 9如图，在四
3、边形 ABCD 中，ABCD，AC、BD 是对角线，E、F、G、H 分别是 AD、BD、BC、AC 的中 点，连接 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFGH 的形状是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 10如图，已知点 A 是双曲线 y（x0）上的一点，过 A 画 ABx 轴，垂足为 B，点 P 从点 B 处出发， 沿 x 轴匀速向右运动 t 秒（t0） ，同时点 Q 从点 A 处出发，以与 P 点相同的速度沿双曲线向右运动 t 秒 （t0） ，连接 OQ，PQ，得OPQ，则OPQ 的面积随着 t 的增大而（ ） A增大 B减小 C不变 D先增大再减小 二、填空题（每小题二、填空
4、题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）分解因式：x22x+1 12 （4 分）在ABC 中C90，AB5，BC4，则 tanA 13 （4 分）在两个暗盒中，各自装有编号为 1，2，3 的三个球，球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中 各取一个球，两球上的编号的积为奇数的概率为 14 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，BDADAC，E 为 CD 的中点若CAE18，则 B 为 15 （4 分）如图，D、E、F、G 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，BDAE，DGEFAC，若 S四边形DEFG 2（SBDG+S四边形ACFE） ，则 BD：DE 1
5、6 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，A30，BC2，线段 BC 的中垂线分别交 BC、AB 于 点 D、E，P 是直线 DE 上的一个动点 （1）点 P 离ABC 的外心的最近距离是 ； （2）当PACPBC 时，PD 三、解答题（三、解答题（8 小题共小题共 66 分）分） 17 （6 分）计算：|2|+201902sin30 18 （6 分）先化简，再求值： （），其中 a1 19 （6 分）每年 5 月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列 活动为了解师生的心理健康状况，对全体 2000 名师生进行了心理测评，随机抽取 20 名师生的测评分
6、 数进行了以下数据的整理与分析： 数据收集：抽取的 20 名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，96，98，84，65， 73，54，83，76，70，85，83，63，92，90 数据整理：将收集的数据进行分组并评价等级： 分数 x 90 x100 80 x90 70 x80 60 x70 x60 人数 5 a 5 2 1 等级 A B C D E 数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： 依据统计信息回答问题 （1）统计表中的 a （2）心理测评等级 C 等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 （3）学校决定对 E 等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需
7、要参加团 队心理辅导？ 20 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+m 的图象与反比例函数 y（x0）的图象交 于 A、B 两点，已知 A（1，2） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 B 点的坐标； （3）连接 AO、BO，求AOB 的面积 21 （8 分）如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，BC9，求 BE 的长 22 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，1） ，取一点 B（b，0） ，连接 AB，
8、做 线段 AB 的垂直平分线 l1，过点 B 作 x 轴的垂线 l2，记 l1，l2的交点为 P （1）当 b3 时，在图 1 中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）小慧多次取不同数值 b，得出相应的点 P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点 P 竟然 在一条曲线 L 上设点 P 的坐标为（x，y） ，试求 y 与 x 之间的关系式； （3）设点 P 到 x 轴，y 轴的距离分别是 d1，d2，当 d1+d25 时，求点 P 的坐标 23 （10 分）如图，已知 AC 是半径为 2 的O 的一条弦，且 AC2，点 B 是O 上不与 A、C 重合的一 个动点， （1）
9、请计算ABC 的面积的最大值； （2）当点 B 在优弧上，BACACB 时，ABC 的平分线交 AC 于 D，且 ODBD，请计算 AD 的长； （3）在（2）条件下，请探究线段 AB、BC、BD 之间的数量关系 24 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx+b 与抛物线 ya（x2）2相交于 A，B 两点（点 A 在对称轴的左侧） ，交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D （1）当 b2 时点 B 的横坐标是 4 求抛物线的解析式及点 A 的坐标； 如图 2，若点 M 是抛物线上的一点，且在直线 AB 的下方，过 M 点作 MHAB，垂足为 H 点，过 M 点作 MQy 轴交直
10、线 AB 于 N，求MHN 的周长的最大值； （2）如图 3，若点 E 的坐标为（2，4） ，点 C 绕点 O 顺时针方向旋转 90得到点 F，以 F 为直角顶点， FE 为直角边作等腰直角EFG，求 b 为何值时，直线 CD 与EFG 的一边所在的直线平行 2020 年浙江省金衢十二校联考中考数学模拟试卷（年浙江省金衢十二校联考中考数学模拟试卷（5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 12020 的倒数是（ ） A2020 B C D 【分析】根据倒数之积等于 1 可得答案 【解答】解：2020 的倒数是
11、 故选：C 232的结果等于（ ） A9 B9 C1 D6 【分析】根据有理数的乘方法则进行计算便可 【解答】解：原式339， 故选：B 3不等式组的解集为（ ） A6x8 B6x8 C2x4 D2x8 【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解 【解答】解： 由得 x6， 由得 x8， 不等式组的解集为 6x8， 故选：B 4已知一组数据 5，4，x，3，9 的平均数为 5，则这组数据的中位数是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】先根据平均数的定义求出 x 的值，再把这组数据从小到大排列，然后找到位于中间位置的数即 可 【解答】解：5，4，x，3，9 的平均数为 5， （5+4+x+3
12、+9）55， 解得：x4， 把这组数据从小到大排列为：3，4，4，5，9， 则这组数据的中位数是 4； 故选：B 5今年我市参加中考的学生约为 56000 人，56000 用科学记数法表示为（ ） A56103 B5.6104 C0.56105 D5.610 4 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，10 的指数 n原来的整 数位数1 【解答】解：将 56000 用科学记数法表示为：5.6104 故选：B 6下列四个代数式：，x0，中，无论 x 取何实数，都有意义的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，
13、立方根的性质可得答案 【解答】解：，无论 x 取何实数，都有意义，共 2 个， 故选：B 7如果把 1、3、6、10这样的数称为“三角形数” ，而把 1、4、9、16这样的数称为“正方形数” 从 图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中， 符合这一规律的是（ ） A133+10 B259+16 C4918+31 D3615+21 【分析】本题考查探究、归纳的数学思想方法题中明确指出：任何一个大于 1 的“正方形数”都可以 看作两个相邻“三角形数”之和由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式 表示为： （n+1）2，两个三角形
14、数分别表示为 n（n+1）和 （n+1） （n+2） ，所以由正方形数可以推得 n 的值，然后求得三角形数的值 【解答】解：根据规律：正方形数可以用代数式表示为： （n+1）2， 两个三角形数分别表示为 n（n+1）和 （n+1） （n+2） ， 只有 D、3615+21 符合， 故选：D 8如图，甲乙两楼相距 30 米，乙楼高度为 36 米，自甲楼顶 A 处看乙楼楼顶 B 处仰角为 30，则甲楼高 度为（ ） A11 米 B （3615）米 C15米 D （3610）米 【分析】分析题意可得：过点 A 作 AEBD，交 BD 于点 E；可构造 RtABE，利用已知条件可求 BE； 而乙楼高
15、ACEDBDBE 【解答】解：过点 A 作 AEBD，交 BD 于点 E， 在 RtABE 中，AE30 米，BAE30， BE30tan3010（米） ， ACEDBDBE（3610） （米） 甲楼高为（3610）米 故选：D 9如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AC、BD 是对角线，E、F、G、H 分别是 AD、BD、BC、AC 的中 点，连接 EF、FG、GH、HE，则四边形 EFGH 的形状是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 【分析】根据三角形的中位线定理可得，EH 平行且等于 CD 的一半，FG 平行且等于 CD 的一半，根据 等量代换和平行于同一条直线的两直线平
16、行，得到 EH 和 FG 平行且相等，所以 EFGH 为平行四边形， 又因为 EF 等于 AB 的一半且 ABCD，所以得到所证四边形的邻边 EH 与 EF 相等，所以四边形 EFGH 为菱形 【解答】解：E、F、G、H 分别是 AD、BD、BC、AC 的中点， 在ADC 中，EH 为ADC 的中位线，所以 EHCD 且 EHCD；同理 FGCD 且 FGCD，同 理可得 EFAB， 则 EHFG 且 EHFG， 四边形 EFGH 为平行四边形，又 ABCD，所以 EFEH， 四边形 EFGH 为菱形 故选：C 10如图，已知点 A 是双曲线 y（x0）上的一点，过 A 画 ABx 轴，垂足为
17、 B，点 P 从点 B 处出发， 沿 x 轴匀速向右运动 t 秒（t0） ，同时点 Q 从点 A 处出发，以与 P 点相同的速度沿双曲线向右运动 t 秒 （t0） ，连接 OQ，PQ，得OPQ，则OPQ 的面积随着 t 的增大而（ ） A增大 B减小 C不变 D先增大再减小 【分析】点 P、Q 向右运动时，OPQ 的高 QM 总在三角形的内部，即 SOPQSOQM，而 SOQMS OAB2 是定值，在向右运动的过程中，MP 增长的速度要大于 QM 减小的速度，因此 SPQM逐渐增大， 得出答案 【解答】解：设运动 t 秒后点 P 在 x 轴上，点 Q 在双曲线上，如图，过点 Q 作 QMx 轴
18、，垂足为 M， 根据移动速度和距离可知，点 M 一定点 P 的左侧， 即，MQ 一定在OPQ 的内部，SOPQSOQM， SOQMSOAB|k|2， SOPQ2， 在向右运动的过程中，MP 增长的速度要大于 QM 减小的速度，因此 SPQM逐渐增大， 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）分解因式：x22x+1 （x1）2 【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可 【解答】解：x22x+1（x1）2 12 （4 分）在ABC 中C90，AB5，BC4，则 tanA 【分析】根据勾股定理求出 AC 的长度，再根据正切计算即可得解 【解答
19、】解：如图，C90，AB5，BC4， AC3， tanA 故答案为： 13 （4 分）在两个暗盒中，各自装有编号为 1，2，3 的三个球，球除编号外无其它区别，则在两个暗盒中 各取一个球，两球上的编号的积为奇数的概率为 【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出两球上的编号的积为奇数的结果数，然后根据概 率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中两球上的编号的积为奇数的结果数为 4， 所以两球上的编号的积为奇数的概率 故答案为： 14 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，BDADAC，E 为 CD 的中点若CAE18，则 B 为 36 【
20、分析】先判断出AEC90，进而求出ADCC74，最后用等腰三角形的外角的性质即可得 出结论 【解答】解：ADAC，点 E 是 CD 中点， AECD， AEC90， C90CAE72， ADAC， ADCC72， ADBD， 2BADC72， B36， 故答案为：36 15 （4 分）如图，D、E、F、G 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，BDAE，DGEFAC，若 S四边形DEFG 2（SBDG+S四边形ACFE） ，则 BD：DE 1：4 【分析】设 BDa，DEb，SBDGm，利用平行得到BDGBEFBAC，再由相似三角形面积的 比等于相似比的平方，用 m 表示出 S四边形DEFG
21、，S四边形ACFE，再利用已知的关系式，得出关于 a，b 的方 程，解方程即可得出结论 【解答】解：设 BDa，DEb，SBDGm DGEF BDGBEF DGAC， BDGBAC S四边形ACFESBACSBEF S四边形DEFG2（SBDG+S四边形ACFE） ， 2+m a2+2ab+b2a22（4a2+4ab+b2a22abb2+a2） 8a2+2abb20 解得：a a或 ab（不合题意，舍去） ab 即 BDDE BD：DE1：4 故答案为 1：4 16 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，A30，BC2，线段 BC 的中垂线分别交 BC、AB 于 点 D、E，P 是直线
22、DE 上的一个动点 （1）点 P 离ABC 的外心的最近距离是 0 ； （2）当PACPBC 时，PD 或或 【分析】 （1）由三角形的外心的性质可得出答案； （2）当点 P 在ABC 内部时，过点 A 作 AFDE 于点 F，证明AFPPDB，得出，设 PD x，则 PFDFPD2x，则，解方程即可得出答案；当点 P 在ABC 外部时，如图 2，同理可得出AFPPDB，求出 DP 的值即可 【解答】解： （1）线段 BC 的中垂线分别交 BC、AB 于点 D、E， ABC 的外心在直线 DE 上， P 是直线 DE 上的一个动点， 点 P 离ABC 的外心的最近距离是 0， 故答案为：0 （
23、2）当点 P 在ABC 内部时，如图 1， 过点 A 作 AFDE 于点 F， 则四边形 AFDC 是矩形， ACDF，AFCD， C90，A30，BC2， AC2， D 是 CB 的中点， CDBD1， ACDEDB90， DFAC， PACAPF， PACPBC， APFPBC， AFPPDB90， AFPPDB， ， 设 PDx，则 PFDFPD2x， ， 解得，x， DP或 当点 P 在ABC 外部时，如图 2， 过点 A 作 AFPD 于点 F， 同理可得AFPPDB， ， 设 PDx，则 PFDF+PD2+x， ， 解得，x2， （x2 舍去） DP2 故答案为：2或或+ 三、解答
24、题（三、解答题（8 小题共小题共 66 分）分） 17 （6 分）计算：|2|+201902sin30 【分析】先计算绝对值、算术平方根、零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得 【解答】解：|2|+201902sin30 2+312 2+311 3 18 （6 分）先化简，再求值： （），其中 a1 【分析】原式括号中第一项约分后利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到 最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 当 a1 时，原式 19 （6 分）每年 5 月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列 活
25、动为了解师生的心理健康状况，对全体 2000 名师生进行了心理测评，随机抽取 20 名师生的测评分 数进行了以下数据的整理与分析： 数据收集：抽取的 20 名师生测评分数如下 85，82，94，72，78，89，96，98，84，65， 73，54，83，76，70，85，83，63，92，90 数据整理：将收集的数据进行分组并评价等级： 分数 x 90 x100 80 x90 70 x80 60 x70 x60 人数 5 a 5 2 1 等级 A B C D E 数据分析：绘制成不完整的扇形统计图： 依据统计信息回答问题 （1）统计表中的 a 7 （2）心理测评等级 C 等的师生人数所占扇形
26、的圆心角度数为 90 （3）学校决定对 E 等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团 队心理辅导？ 【分析】 （1）根据 D 组人数以及百分比求出总人数，再求出 a 即可 （2）根据圆心角360百分比计算即可 （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可 【解答】解： （1）总人数210%20（人） ，a2035%7， 故答案为 7 （2）C 所占的圆心角36090， 故答案为 90 （3）2000100（人） ， 答：估计有 100 名师生需要参加团队心理辅导 20 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+m 的图象与反比例函数 y（x0）的图象交 于
27、 A、B 两点，已知 A（1，2） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 B 点的坐标； （3）连接 AO、BO，求AOB 的面积 【分析】 （1）把 A 点坐标分别代入 yx+m 与 y（x0）中求出 m、k，从而得到一次函数解析式 和反比例函数解析式； （2）解方程组得到 B 点坐标； （3）设直线 yx+3 与 x 轴交于 C，易得 C（3，0） ，根据三角形的面积公式，利用 SAOBSAOCS BOC进行计算 【解答】解： （1）将 A（1，2）代入 yx+m 与 y（x0）中得 21+m，2k， m3，k2， 一次函数的解析式为 yx+3，反比例函数的解析式为 y； （2
28、）解方程组得或， B（2，1） ； （3）设直线 yx+3 与 x 轴交于 C，易得 C（3，0） ， SAOBSAOCSBOC3231 21 （8 分）如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，BC9，求 BE 的长 【分析】（1） 连接 OD， 根据圆周角定理得到ADO+ODB90， 而CDACBD， CBDODB， 于是CDA+ADO90； （2）根据已知条件得到CDACBD，由相似三角形的性质得到比例式求得 CD，由切线的性质得到 BEDE，BEBC 根据勾股定理列
29、方程即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD， OBOD， OBDBDO， CDACBD， CDAODB， 又AB 是O 的直径， ADB90， ADO+ODB90， ADO+CDA90， 即CDO90， ODCD， OD 是O 半径， CD 是O 的切线； （2）解：CC，CDACBD， CDACBD， ， ，BC9， CD6， CE，BE 是O 的切线， BEDE，BEBC， BE2+BC2EC2，即 BE2+92（6+BE）2， 解得：BE 22 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，1） ，取一点 B（b，0） ，连接 AB，做 线段 AB 的
30、垂直平分线 l1，过点 B 作 x 轴的垂线 l2，记 l1，l2的交点为 P （1）当 b3 时，在图 1 中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）小慧多次取不同数值 b，得出相应的点 P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点 P 竟然 在一条曲线 L 上设点 P 的坐标为（x，y） ，试求 y 与 x 之间的关系式； （3）设点 P 到 x 轴，y 轴的距离分别是 d1，d2，当 d1+d25 时，求点 P 的坐标 【分析】 （1）利用尺规作出线段 AB 的垂直平分线，过点 B 作出 x 轴的垂线即可 （2）分 x0 或 x0 两种情形利用勾股定理求出 x 与 y
31、的关系即可解决问题 （3）由题意得 d1+d2x2+|x|，列出方程即可解决问题 【解答】解： （1）线段 AB 的垂直平分线 l1，过点 B 作 x 轴的垂线 l2，直线 l1与l2的交点为 P，如图所示， （2）当 x0 时，如图 2 中，连接 AP，作 PEy 轴于 E l1垂直平分 AB， PAPBy， 在 RtAPE 中，EPBOx，AEOEOAy1，PAy， y2x2+（y1）2， yx2+， 当 x0 时，点 P（x，y）同样满足 yx2+， 曲线 l 就是二次函数 yx2+ （3）d1x2+，d2|x|， d1+d2x2+|x|， d1+d25，则x2+|x|5， 当 x0 时
32、，原方程化为x2+x50，解得 x1 或（1 舍弃） ， 当 x0 时，原方程化为x2+x50，解得 x1或（1+舍弃） ， 点 P 坐标（1，6）或（1，6） 23 （10 分）如图，已知 AC 是半径为 2 的O 的一条弦，且 AC2，点 B 是O 上不与 A、C 重合的一 个动点， （1）请计算ABC 的面积的最大值； （2）当点 B 在优弧上，BACACB 时，ABC 的平分线交 AC 于 D，且 ODBD，请计算 AD 的长； （3）在（2）条件下，请探究线段 AB、BC、BD 之间的数量关系 【分析】 （1）如图 1 中，当点 B 在优弧 AC 的中点时，ABC 的面积的最大，连接
33、 AB，BC，OB，延长 BO 交 AC 于 H求出 BH 即可解决问题 （2）如图 2 中，延长 BD 交O 于 E，连接 OE 交 AC 于 F，连接 OC通过计算证明ODF 是等腰直角 三角形即可解决问题 （3）如图 3，连接 AE、CE，由已知得 AECE，AEC120，将EAB 绕点 E 顺时针旋转 120得 ECF，证明 BFAB+BC，BFBE，BE2BD，推出 BF2BD 即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，当点 B 在优弧 AC 的中点时，ABC 的面积的最大，连接 AB，BC，OB， 延长 BO 交 AC 于 H ， BHAC， AHHC， OH1， BHOB+
34、OH2+13， ABC 的最大面积ACBH233 （2）如图 2 中，延长 BD 交O 于 E，连接 OE 交 AC 于 F，连接 OC 由 BD 平分ABC 可得，E 为弧 AC 中点， OEAC， AFCF OF1EF， DF 垂直平分 OE， 又ODBD， ODE 是等腰直角三角形， DFOE1， AD （3）如图 3，连接 AE、CE，由已知得 AECE，AEC120，将EAB 绕点 E 顺时针旋转 120得 ECF， BAEECF，BAE+BCE180， ECF+BCE180， BFBC+CF， ABCF， BFAB+BC， BEFE，BEFAEC120， BFBE， ODBD， B
35、E2BD， BF2BD， BA+BC2BD 24 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 yx+b 与抛物线 ya（x2）2相交于 A，B 两点（点 A 在对称轴的左侧） ，交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D （1）当 b2 时点 B 的横坐标是 4 求抛物线的解析式及点 A 的坐标； 如图 2，若点 M 是抛物线上的一点，且在直线 AB 的下方，过 M 点作 MHAB，垂足为 H 点，过 M 点作 MQy 轴交直线 AB 于 N，求MHN 的周长的最大值； （2）如图 3，若点 E 的坐标为（2，4） ，点 C 绕点 O 顺时针方向旋转 90得到点 F，以 F 为直角顶点， FE
36、 为直角边作等腰直角EFG，求 b 为何值时，直线 CD 与EFG 的一边所在的直线平行 【分析】 （1）先根据直线 yx+2 求出点 B 的坐标，再代入抛物线解析式求出 a 的值，即可得到抛 物线解析式，通过解方程可求出点 A 的坐标； 先求出直线 yx+2 与 x 轴，y 轴的交点 C，D 坐标，再证明CODMHN，应用相似三角形性质 求得MHN 的周长与 MN 的关系式，设 M（m，m24m+4） ，即可得到MHN 的周长关于 m 的函数关 系式，应用二次函数的性质即可求得答案； （2） 先讨论当 b0 时的结论， 先通过全等三角形性质及待定系数法求出EFG 的三边所在直线解析式， 分别
37、根据各边与直线 CD 平行时，一次项系数相等求出对应的 b 值，再讨论当 b0 时的结论 【解答】解： （1）当 b2 时，yx+2， 点 B 在直线 yx+2 上，且点 B 的横坐标是 4， y4+24， B（4，4） ， 抛物线 ya（x2）2经过点 B， a（42）24， 解得：a1， 抛物线解析式为：yx24x+4， 直线 yx+2 与抛物线 yx24x+4 交于点 A，B， x24x+4x+2， 解得：x1，x24（舍去） ， 当 x时，y+2， A（，） ， 直线 yx+2 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D， C（4，0） ，D（0，2） ， OC4，OD2， MNy 轴，
38、MNHODC， MHAB，ODOC， CODMHN90， CODMHN， ， 在 RtOCD 中，CD2， ， NHMN，MHMN， CMHNMN+MH+NH MN+MN+MN （1+）MN， 设 M（m，m24m+4） ， MNy 轴交 y 轴于 N， N（m，m+2） ， MNm+2（m24m+4） m2+m2 （m）2+， CMHN（1+） （m）2+， 当 m时，CMHN最大值（1+）； （2）如图 3，当 b0 时，C（2b，0） ， F（0，2b） ， OF2b， EFG 是等腰直角三角形， GFEF，EFG90， 过点 E 作 EPy 轴于 P，过点 G 作 GKy 轴于 K，
39、FKGEPF90， EFP+GFKEFP+FEP90， GFKFEP， GFKFEP（AAS） ， FKPE，FPGK， 点 E 的坐标为（2，4） ， PE2，P（0，4） ， OP4， FP2b4， GKFP2b4， FKPE2， OKOFFK2b2， G（2b+4，2b2） ， 设直线 GF 的解析式为：ymx+n， G（2b+4，2b2） ，F（0，2b） ， ， 解得：， 直线 GF 的解析式为：yx+2b， 设直线 GE 的解析式为：ym1x+n1， G（2b+4，2b2） ，E（2，4） ， ， 解得：， 直线 GE 的解析式为：yx+， 设直线 EF 的解析式为：ym2x+n2
40、， E（2，4） ，F（0，2b） ， ， 解得：， 直线 GE 的解析式为：y（2b）x+2b， 当 GFAB，yx+b 时， 解得：b4； 当 GEAB，yx+b 时， 解得：b； 当 EFAB，yx+b 时，2b， 解得：b； 当 b0 时，如图 3，过点 E 作 EPy 轴于 P，过点 G 作 GKy 轴于 K， EFG 是等腰直角三角形， GFEF，EFG90， EPy 轴，GKy 轴， FKGEPF90， EFP+GFKEFP+FEP90， GFKFEP， GFKFEP（AAS） ， 由题意，得：C（2b，0） ，OFOC2b， F（0，2b） ， E（2，4） ， PE2，P（0，4） ， OP4， FP42b， GKFP42b， FKPE2， OKFKOF2（2b）2b+2， G（2b4，2b+2） ， 利用待定系数法可求得直线 EG 的解析式为：yx+2b， EFG 的三边中只可能有 EGCD， ， b1； 综上所述，b4 或或或1
