1、2021 届高三上期第三次月考数学测试试题届高三上期第三次月考数学测试试题 本卷满分本卷满分 150分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟. 注意事项：注意事项： 1.答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上.写在本试卷上及草稿纸上无效写在本试卷上及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分
2、，每个小题只有一个正确选项分，每个小题只有一个正确选项. 1. 复数 z满足 2 1 i z i ，则复数z的虚部为( ) A. 1 B. 1 C. i D. i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算化简 2 1 1 i i i ，再利用复数的代数形式求出结果. 【详解】解： 2 12 12 1 1112 iiiii zi iii ， 则复数z的虚部为 1 故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算. 复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式 2.
3、已知集合 2 2,Ax xxZ ，则A的真子集共有( )个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】 写出集合 1,0,1A ，即可确定真子集的个数. 【详解】因为 2 2, 1,0,1Ax xxZ ，所以其真子集个数为 3 217 . 故选：D. 【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题. 3. 已知某圆锥的母线长为 4，底面圆的半径为 2，则圆锥的全面积为( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面 积，再求得圆锥的底
4、面积，侧面积与底面积的和就是全面积 【详解】底面周长是：22=4， 则侧面积是： 1 448 2 ， 底面积是：22=4， 则全面积是：8+4=12 故选 B 【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 4. 为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数 值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了 1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英 国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗
5、星的星等与亮度满足 1221 2.5 lglgmmEE，其中星等为 k m的星的亮度为(1,2) k E k .已知“心宿二”的星等是 1.00，“天 津四”的星等是 1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的( )倍.(当|x较小时， 2 101 2.32.7 x xx ) A. 1.27 B. 1.26 C. 1.23 D. 1.22 【答案】B 【解析】 【分析】 把已知数据代入公式计算 1 2 E E 【详解】由题意 21 1 1.252.5(lglg)EE， 1 2 lg0.1 E E , 0.12 1 2 1012.3 0.12.7 0.11.2571.26 E E 故选：B
6、【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思 想解决问题 5. 向量, a b满足| | 1a ，a与b的夹角为 3 ，则|ab的取值范围为( ) A. 1,) B. 0,) C. 1 , 2 D. 3 , 2 【答案】D 【解析】 【分析】 把|ab用数量积表示后结合函数的性质得出结论 【详解】 2 2222 |()21 2 1cos 3 ababaa bbbb 2 1bb 2 13 442 3 b ， 所以 3 | 2 ab 1 | 2 b 时取得最小值 故选：D 【点睛】 本题考查平面向量的模， 解题关键是把模用向量的数量积表示， 然后结合二
7、次函数性质得出结论 6. 已知三棱锥PABC， 过点P作PO面 ,ABC O为 ABC中的一点， ,PAPB PBPC ，PCPA， 则点O为ABC的( ) A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】D 【解析】 【分析】 连接 AO 并延长交 BC 于一点 E，连接 PO，由于 PA，PB，PC 两两垂直可以得到 PA面 PBC，而 BC面 PBC， 可得 BCPA， 由 PO平面 ABC 于 O， BC面 ABC， POBC， 可得 BCAE， 同理可以证明 COAB， 又 BOAC 故 O 是 ABC 的垂心 【详解】连接 AO 并延长交 BC 于一点 E，连接 PO，由于
8、 PA，PB，PC 两两垂直可以得到 PA面 PBC，而 BC 面 PBC，BCPA， PO平面 ABC 于 O，BC面 ABC，POBC，BC平面 APE，AE面 APE，BCAE； 同理可以证明 COAB，又 BOAC O 是 ABC 的垂心 故选 D 【点睛】 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查 7. 设sin 5 a ， 2 log3b ， 2 3 1 4 c ，则( ) A. acb B. bac C. cab D. cba 【答案】C 【解析】 【分析】 借助中间量1和 1 2 比较大小即可 【详解】解：由对数函数 2 logyx 在0,单
9、调递增的性质得： 22 log3log21b ， 由指数函数 1 2 x y 在R单调递减的性质得： 24 1 33 111 422 1 2 c ， 由三角函数 sinyx 在0, 2 上单调递增的性质得 1 sinsin 562 a . 所以cab. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键 在于借助中间量1和 1 2 ，尤其在比较a与c的大小时，将c变形得 24 33 11 42 c ，进而与 1 2 比较大小 是重中之核心步骤. 8. 已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个确定的球面上，且6BABC ， 2 ABC ，若三
10、棱 锥PABC体积的最大值为 3，则其外接球的半径为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意分析知三棱锥PABC体积的最大时， P， O， O 共线且OP 面ABC， P在大于半球的的球面上， 根据棱锥体积公式求得|O P ，进而应用勾股定理求外接球的半径. 【详解】由题意知： AC中点 O 为面ABC外接圆圆心，若外接球球心为 O，半径为 R，三棱锥PABC体 积的最大时，P，O， O 共线且 O 在 P， O 之间， 1 | 3 3 P ABCABC VSO P ， 1 | | 3 2 ABC SBABC，即| 3O P， | |3 2 AC
11、O C，所以 2 2222 |33O COCOORR，解得2R ， 故选：A 【点睛】关键点点睛：理解三棱锥PABC体积的最大时 P的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结 合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径. 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0分分. 9. 设 m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误 的是( ) A.
12、若,/mnm n，则/ B. 若,mnm，则n C. 若 ,mn? ，则mn D. 若/ ,mn ，则/m n 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间平行、垂直判定与性质，即可知 选项的正误. 【详解】A：,/mnm n，、不一定平行，错误. B： ,mnm，n不一定垂直于，错误. C：由线面垂直的性质： ,mn? ，则必有mn，正确. D：/ , ,mn ，m、n 不一定平行，错误. 故选：ABD 10. 下列函数中，在(0,1)内是减函数的是( ) A. | | 1 2 x y B. 2 1 2 logyx C. 1 21 y x
13、 D. 2 log sinyx 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可. 【详解】A： 1 ( ) 2 t y 为减函数，|tx在(0,1)上为增函数，所以 | | 1 2 x y 为减函数； B： 1 2 logyt 为减函数， 2 tx在(0,1)上为增函数，所以 2 1 2 logyx 为减函数； C： 1 y t 为减函数，21tx在(0,1)上为增函数，所以 1 21 y x 为减函数； D： 2 logyt为增函数，sintx在(0,1)上为增函数，所以 2 log sinyx为增函数； 故选：ABC 【点睛】结论点睛：对于复合
14、函数的单调性有如下结论 1、内外层函数同增或同减为增函数； 2、内外层函数一增一减为减函数； 11. 下列关于函数 1 ( )2sin 26 f xx 的图像或性质的说法中，正确的为( ) A. 函数 ( )f x的图像关于直线 8 3 x 对称 B. 将函数 ( )f x的图像向右平移 3 个单位所得图像的函数为 1 2sin 23 yx C. 函数 ( )f x在区间 5 , 33 上单调递增 D. 若( )f xa，则 1 cos 232 a x 【答案】AD 【解析】 【分析】令 1 262 xk 得到对称轴，即可判断 A；根据平移变换知识可判断 B；求出其单调增区间 即可判断 C；利
15、用配角法即可判断 D. 【详解】对于 A，令 1 262 xk ()kZ，解得 2 2() 3 xkkZ ，当1k 时，得 8 3 x ， 故 A 正确； 对于 B，将函数 ( )f x的图像向右平移 3 个单位，得 11 2sin()2sin 2362 yxx ，故 B错误； 对于 C，令 1 22() 2262 kxkkZ 42 44() 33 kxkkZ ，故 C 错误； 对于 D，若 1 2sin() 26 xa ，则 11 cos()sin() 23223 xx 1 sin() 262 a x ，故 D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：函数sin(0,0)yAxB A的性质： (
16、1) maxmin = +yA ByAB，. (2)周期 2 .T (3)由 2 xkkZ求对称轴 (4)由 2 2 22 kxkkZ求增区间；由 3 2 2 22 kxkkZ求减区间. 12. 定义在(0, )上的函数( )f x的导函数为 ( ) fx，且 ( ) ( ) f x fx x ，则对任意 1 x、 2 (0,)x ，其中 12 xx，则下列不等式中一定成立的有( ) A. 1212 f xxf xf x B. 21 1212 12 xx fxfxfxfx xx C. 11 22(1) xx ff D. 1212 f x xf xf x 【答案】ABC 【解析】 【分析】 构造
17、 ( ) ( ) f x g x x ，由 ( ) ( ) f x fx x 有( )0g x ，即( )g x在(0,)上单调递减，根据各选项的不等式，结 合( )g x的单调性即可判断正误. 【详解】由 ( ) ( ) f x fx x 知： ( )( ) 0 xfxf x x ， 令 ( ) ( ) f x g x x ，则 2 0 xfxf x gx x ， ( )g x在(0,)上单调递减，即 122112 121212 ( )()( )() 0 () g xg xx f xx f x xxx x xx 当 12 0 xx时， 2112 ( )()x f xx f x；当 12 0
18、xx时， 2112 ( )()x f xx f x； A： 121 ()( )g xxg x， 122 ()()g xxg x有 1 121 12 ()( ) x f xxf x xx ， 2 122 12 ()() x f xxf x xx ， 所以 1212 f xxf xf x； B:由上得 21121212 ( )()()()x f xxxx f xxx成立，整理有 21 1212 12 xx fxfxfxfx xx ； C：由 1 21 x ，所以 1 1 1 (2 )(1) (2 )(1) 21 x x x ff gg，整理得 11 22(1) xx ff； D：令 12 1x x
19、且 12 1xx 时， 2 1 1 x x ， 121 1 1 ( ) ()( ) ()g x g xf xf x ， 12 ()(1)(1)g x xgf， 有 121 ()( )g x xg x， 122 ()()g x xg x，所以无法确定 1212 (), ( ) ()g x xg x g x的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由 ( ) ( ) f x fx x 形式得到 ( )( ) 0 xfxf x x ， 1、构造函数： ( ) ( ) f x g x x ，即 ( )( ) ( ) xfxf x g x x . 2、确定单调性：由已知( ) 0g x ，即可知( )g
20、 x在(0,)上单调递减. 3、结合( )g x单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立. 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5分，共分，共 20 分，各题答案必须填写在答题卡相应的分，各题答案必须填写在答题卡相应的 位置上位置上. 13. 若一个球的体积为 32 3 ，则该球的表面积为_ 【答案】16 【解析】 由题意， 根据球的体积公式 3 4 3 VR， 则 3 43 2 33 R ， 解得2R ， 又根据球的表面积公式 2 4SR， 所以该球的表面积为 2 4216S . 14. 设向量a，b不平行，向量ab 与 2ab 平行，则实数_
21、 【答案】 1 2 【解析】 因为向量 ab 与 2ab 平行，所以 2abk ab（），则1 2 , k k ， 所以 1 2 考点：向量共线 15. 一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型： 数字 1 出现在第 1行； 数字 2， 3 出现在第 2行； 数字 6，5，4(从左至右)出现在第 3 行；数字 7，8，9，10出现在第 4 行，依此类推，则第 21行从左至右 的第 4 个数字应是_. 【答案】228 【解析】 【分析】 由题知，第 n 行有 n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前 20 行共有 20(120) 12320210 2 L个数字， 第
22、 21行最左端的数为210 21231， 从左到右第 4个数字 为 228 【详解】观察数据可知，第 n行有 n个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大， 则前 20行共有 20(120) 12320210 2 L个数字， 第 21 行最左端的数为210 21231，所以第 21行从左到右第 4 个数字为 228 故答案为：228. 【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前 n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学 生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型 16. 已知等比数列 n a的公比为 q，且 1 01a， 2020 1a，则
23、q的取值范围为_；能使不等式 12 12 111 0 m m aaa aaa 成立的最大正整数m_. 【答案】 (1). (1,) (2). 4039 【解析】 【分析】 根据已知求得 1 a的表达式， 由此求得q的取值范围.根据 12 12 111 0 m m aaa aaa 成立列 不等式，化简求得m的取值范围，从而求得最大正整数m. 【详解】由已知 2019 11 2019 1 1a qa q ， 结合 1 01a知 2019 1 01 q ，解得1q ， 故 q的取值范围为(1,). 由于 n a是等比数列，所以 1 n a 是首项为 1 1 a ，公比为 1 q 的等比数列. 要使
24、12 12 111 0 m m aaa aaa 成立 则 12 12 111 m m aaa aaa 即 1 1 11 1 1 1 1 1 m m aq aq q q ， 将 1 2019 1 a q 代入整理得： 4039 4039 m qqm 故最大正整数4039m. 故答案为：(1,)；4039 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n项和公式，属于中档题. 四、解答题：本大题四、解答题：本大题 6 个小题，共个小题，共 70 分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并 写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程写出必要的文
25、字说明、演算步骤或推理过程. 17. 在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是等腰梯形，M 是线段AB的中点， 11 60 ,22,2,6DABABCDDDC M. (1)求证： 1 /C M平面 11 A ADD； (2)求异面直线 CM与 1 DD所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 1 4 . 【解析】 【分析】 (1)易得 1111 /,C DMA C DMA，则四边形 11 AMC D为平行四边形，得到 11 /C M D A，再利用线面平行的 判定定理证明. (2)由/CM DA，将异面直线CM与 1 DD成的角，转化为 DA与 1 DD相交所成的角，
26、然后在 1 ADD，利 用余弦定理求解. 【详解】(1)因为四边形ABCD是等腰梯形，且2ABCD， 所以/AB DC.又由 M 是AB的中点， 因此/CD MA且CDMA. 如图所示： 连接 1 AD，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，因为 1111 /,CD C D CDC D， 可得 1111 /,C DMA C DMA， 所以四边形 11 AMC D为平行四边形. 因此 11 /C M D A，又 1 C M 平面 11 A ADD， 1 D A平面 11 A ADD， 所以 1 /C M平面 11 A ADD. (2)因为/CM DA， 所以异面直线CM与 1 DD成的角，即
27、为 DA与 1 DD相交所成的直角或锐角， 在 1 ADD中， 1 6C M ，所以 11 6,1,2ADADDD， 由余弦定理可得： 222 11 1 1 1 cos 24 ADDDAD ADD AD DD ， 所以异面直线CM和 1 DD余弦值为 1 4 . 【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线 面平行的判定定理(a，b，aba)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时 注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(， a，aa) 18. 已知数列 n a满足： 1
28、3a ，且对任意的n N，都有 1， 1 , nn a a 成等差数列. (1)证明数列1 n a 等比数列； (2)已知数列 n b前 n 和为 n S，条件：1 (21) nn ban，条件： 1 1 n n n b a ，请在条件中仅 选择一个条件作为已知条件 来求数列 n b前 n 和 n S. 【答案】(1)证明见解析；(2)答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】 (1)由条件得 1 21 nn aa ，利用等比数列定义可得证. (2)选条件得(21)2n n bn，选条件得 1 (1) ( ) 2 n n bn利用错位相减法可得解. 【详解】(1)由条件可知 1 12 nn
29、aa ， 即 1 21 nn aa ， 1 121 nn aa ，且 1 12a 1 n a 是以 1 12a 为首项，2q =为公比的等比数列， 12n n a ，21 n n anN (2)条件：1 (21)(21)2n nn bann， 123 3 25 27 2(21) 2n n Sn 2341 23 25 27 2(21) 2n n Sn 利用错位相减法: 12341 3 22 22 22 22 2(21) 2 nn n Sn 1 1 8(1 2) 6(21) 2 1 2 n n n Sn 化简得 1 2(21)2 n n SnnN 条件： 11 (1) ( ) 12 n n n n
30、 bn a 23 1111 234(1) 2222 n n Sn 2341 11111 234(1) 22222 n n Sn 利用错位相减法: 2341 111111 1(1) 222222 n nn Sn 1 1 11 1 ( ) 11 42 1(1) 1 22 1 2 n n n Sn 化简得 1 3(3)( ) 2 n n snnN 【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列 n a是等差数列， n b是等比数列，求数列 nn a b的前n项 和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列 n b的公比，然后作差求解; 在写“ n S”与“ n qS” 的表达式时应特别注意将两式“错
31、项对齐”以便下一步准确写出“ nn SqS”的表达式 19. 已知椭圆 C的两个焦点分别为 12 ( 1,0),(1,0)FF，短轴的两个端点分别为 12 ,B B.且 12 2BB . (1)求椭圆 C的标准方程； (2)过点 2 F的直线 l与椭圆 C相交于 P，Q 两点，且 11 FPFQ，求直线 l的方程. 【答案】(1) 2 2 1 2 x y；(2)710 xy ，或710 xy . 【解析】 【分析】 (1)由题干条件可得c和b的值，进而求出 2 a的值，从而求出椭圆方程； (2)首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得 2 2 1212 22 21 4
32、 , 2121 k k xxxx kk ，又 11 0FP FQ，向量坐标化可得 222 1 21211 1110kx xkxxkFP FQ uuu r uuu r ，代入 1212 ,xx x x，化简，即可求出k的取值， 从而求出直线方程. 【详解】解(1)由条件可知：1c，又 12 2BB ，所以1b，则 2 2a ， 所以椭圆 C的方程为 2 2 1 2 x y (2)当直线 l的斜率不存在时，其方程为1x ，不符合题意； 当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 (1)yk x ， 2 2 (1) 1 2 yk x x y 得 2222 214210kxk xk ， 2 810k
33、， 设 1122 ,P x yQ x y，则 2 2 1212 22 21 4 , 2121 k k xxxx kk ， 111122 1,1,FPxyFQxy， 11 0FP FQ， 即 222 12121212 111110 xxy ykx xkxxk ， 即 2 2 222 22 21 4 11 ()10 2121 k k kkk kk 化简得： 2 2 0 1 17 2 k k 解得 2 17 , 77 kk . 故直线 l的方程为710 xy ，或710 xy . 【点睛】方法点睛：(1)将向量转化为坐标的关系； (2)联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积； (3)将两根之和和两根
34、之积代入坐标关系中，解出k. 20. 已知( ) cossin3cos 222 xxx f x ，记ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c. (1)求( )f B的取值范围； (2)当4a， 4 3 3 b ，且 ( )f B取(1)中的最大值时，求 ABC的面积. 【答案】(1) 3 0,1 2 ；(2) 8 3 3 或 4 3 3 【解析】 【分析】 (1)利用公式对函数化简，根据 B角的范围，求函数值域. (2)由(1)求出 B的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果. 【详解】(1) 2 ( )cossin3cossincos3cos 222222 xxxxx
35、x f x 13(cos1)3 sinsin 2232 x xx 因为 B为三角形的内角，所以(0, )B 所以 4 , 333 B ，所以 3 ( )0,1 2 f B (2) 34 ( )1,sin1, 23333 f BBB ， , 326 BB ， 由正弦定理得： 4 3 43 3 sin 1 sinsinsin2 2 ab A ABA ()0, 3 AA ，或 2 3 A ， 若 3 A ，则 2 C ， 18 3 sin 23 ABC SabC 若 2 3 A，则 6 C， 14 3 sin 23 ABC SabC 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学
36、知识，考查了数学运算能力和 逻辑推理能力，属于中档题目. 21. 在直三棱柱 111 ABCABC中， 11 2,120 ,ABACAABACD D分别是线段 11 ,BC BC 的中点， 过线段AD的中点P作BC的平行线，分别 交,AB AC于点,M N (1)证明：平面 1 AMN 平面 11 ADD A； (2)求二面角 1 AAMN的余弦值 【答案】(1)证明见解析；(2) 15 5 . 【解析】 【分析】 (1)根据线面垂直的判定定理即可证明 MN平面 ADD1A1；又MN 平面 A1MN， 所以平面 A1MN平面 ADD1A1； (2)建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利
37、用向量法进行求解即可 【详解】(1)证明：AB=AC，D 是 BC 的中点， BCAD， M，N 分别为 AB，AC 的中点， MNBC， MNAD， AA1平面 ABC,MN 平面 ABC， AA1MN， AD,AA1平面 ADD1A1，且 ADAA1=A， MN平面 ADD1A1， 又MN 平面 A1MN， 所以平面 A1MN平面 ADD1A1； (2)设 AA1=1， 如图：过 A1作 A1EBC， 建立以 A1为坐标原点，A1E，A1D1，A1A 分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系如图： 则 A1(0，0，0)，A(0，0，1)， P 是 AD 的中点， M，N 分别为 AB，AC
38、 的中点 则 3 1 ,1 22 M ， 3 1 ,1 22 N ， 则 1 3 1 ,1 22 AM ， 1 0,0,1A A， 3,0,0NM ， 设平面 AA1M 的法向量为, ,mx y z， 则 1 0 0 m AM m A A ，得 31 0 22 0 xyz z , 令1x ，则3y ，则1,3,0m ， 同理设平面 A1MN 的法向量为, ,nx y z， 则 1 0 0 n AM n NM ，得 31 0 22 30 xyz x ， 令2y ，则1z ，则0,2, 1n ， 则 2 315 cos, 525 m n m n m n ， 二面角 A-A1M-N 是锐二面角， 二
39、面角 A-A1M-N 的余弦值是 15 5 【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解， 综合性较强，运算量较大 22. 已知 2 1 ( )(1) 2 x f xeaxb x.其中常数2.71828e. (1)当2,4ab时，求 ( )f x在1,2上的最大值； (2)若对任意0,( )af x均有两个极值点 1212 ,x xxx， ()求实数 b的取值范围； ()当ae时，证明： 12 f xf xe. 【答案】(1) max ( )1f xe ；(2)()1b；()证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)由题得 2 ( )4(1) x f
40、 xexx，( )24 x fxex，( )2 x fxe，由 1,2x ，可得( )0fx ， 即( ) fx在1,2上单增，且 2 (2)80fe ，即 ( )0fx ，可知 ( )f x 在1,2上单减，求得 max ( )(1)1f xfe . (2)()利用两次求导可得(,ln )xa 时，( ) fx单减； (ln ,)xa时， ( ) fx单增，再由 ( )f x有两 个极值点，知(ln )ln0faaaab ，即lnbaaa恒成立，构造函数( )lng aaaa，利用导 数求其最大值，可得实数 b 的取值范围； ()设( )( )(2),(1)h xfxfxx ，求导可得( )
41、h x在(,1)单增，得到 ( )(2)fxfx ，可得 11 2fxfx， 12 2fxfx，结合( ) fx在(1, )上单增，可得 12 2f xfx，得到 22 22 122222 222 xx f xf xfxf xeeexexe ，构造 22 ( )22 xx M xeeexexe ，( 1)x ，再利用导数证明 2 (1)M xMe，即可得到 12 f xf xe 【详解】(1)由2,4ab得， 2 ( )4(1) x f xexx， 求导( )24 x fxex，( )2 x fxe， 1,2x， 2 , x ee e，20 x e，即 ( )0fx ( )fx 在1,2上单增
42、，且 2 (2)80fe ， 即1,2x ，( )0fx ，( )f x在1,2上单减， max ( )(1)1f xfe . (2)()求导( ) x fxeaxb， 因对任意0,( )af x均有两个极值点 12 ,x x，所以( )0fx 有两个根， 求二阶导( ) x fxea，令 ( )0fx ，得lnxa 当(,ln )xa 时，( )0fx ，( ) fx单减；当 (ln ,)xa时，( )0fx ，( ) fx单增， 由( )0fx 有两个根 12 ,x x，知(ln )ln0faaaab ， 即lnbaaa对任意0a都成立，设( )lng aaaa，求导( )lng aa ，
43、 令( )0g a ，得1a ， 当(0,1)x时，( )0g a ，( )g a单增；当(1,)x时，( )0g a ，( )g a单减， max ( )1)1gg a，1b 又0,( ) b a b fexfx a Q， 所以实数 b 的取值范围是：1b. ()当a e 时，( ) x fxeexb，( ) x fxee， 令( )0fx ，得1x 当(,1)x 时，( )0fx ，( ) fx单减；当 (1,)x时，( )0fx ，( ) fx单增， 又 12 ,x x是( )0fx 两根，且 12 xx ， 12 1,1xx， 1 21x 设( )( )(2),(1)h xfxfxx
44、， 即 22 (2)2( )2,(1) xxxx eexbeexbeeexe xh x ， 则 2 ( )2220 xx h xeeeee ( )h x 在(,1)单增，( )(1)0h xh，即( )(2)fxfx 又 1 1,x ， 11 2fxfx， 12 2fxfx 又( )fx 在(1,)上单增， 12 2xx ，即 122 2xxx， 又 ( )f x在 12 ,x x上单减， 12 2f xfx 22 22 122222 222 xx f xf xfxf xeeexexe 令 22 ( )22 xx M xeeexexe ，( 1)x 则 2 ( )22 xx M xeeexe
45、， 2 ( )20 xx Mxeee ( )M x 在(1,)单增，且(1)0 M ， ( )0M x ，故( )M x在(1,)单增 又 2 1x ， 2 (1)M xMe，即 12 f xf xe 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式 的方法： 若证明 f xg x，( , )xa b， 可以构造函数 F xf xg x， 如果 0Fx ， 则 F x 在( , ) a b上是减函数，同时若 0F a ，由减函数的定义可知( , )xa b时，有 0F x ，即证明了 f xg x，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于 难题.
