1、2021 级高三阶段性检测数学试题级高三阶段性检测数学试题 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 与角2021终边相同的角是( ) A. 221 B. 2021 C. 221 D. 139 【答案】A 【解析】 【分析】 根据终边相同的角相差360的整数倍，逐个判断即可. 【详解】2021360 =5 o 余221，故 A 正确，B、 C、 D中的角均不与角2021终边相同. 故选：A. 【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基
2、础题. 2. 已知 i为虚数单位，若 2 1 mi i 是纯虚数，则实数 m的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. 2 D. 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0且虚部不为 0列式求解 【详解】解： 2(2 )(1)22 1(1)(1)22 mimiimm i iii 是纯虚数， 2 0 2 2 0 2 m m ，即2m 故选：C 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题 3. 我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求音量大小的单位是分贝(dB)， 对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由
3、如下公式计算： 0 10lg I I (其中 0 I是人耳能听到的声音 的最低声波强度)，则60dB的声音强度 1 I是50dB的声音强度 2 I的( ) A. 7 6 倍 B. 7 6 10 倍 C. 10 倍 D. 7 ln 6 倍 【答案】C 【解析】 【分析】 由题设中的定义，将音量值代入 0 10 I lg I ，计算出声音强度 1 I与声音强度 2 I的值，再计算出即可求出倍 数 【详解】解：由题意，令 1 0 6010 I lg I ，解得， 6 10 10II，令 2 0 5010 I lg I ，解得， 5 20 10II， 所以 1 2 10 I I 故选：C 【点睛】本题
4、考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键，属于基 础题. 4. 小涛、小江、小玉与本校另外 2名同学一同参加中国诗词大会的决赛，5人坐成一排，若小涛与小 江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为( ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 首先将小涛与小江、小玉捆绑在一起，其中小涛在小江与小玉之间，再与其他两个人全排列，按照分步乘 法计算原理计算可得； 【详解】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按 照分步乘法计算原理可得 32 32 12AA 故选：B 【点睛】本题考查捆绑法解决排
5、列组合问题，属于基础题. 5. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一， 他从几何问题出发， 引进微积分概念.在研究切线时认识到， 求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也 正是导数的几何意义设 fx 是函数 f x的导函数，若 0fx ，且对 1 x， 2 xR，且 12 xx总有 12 12 22 f xf xxx f ，则下列选项正确的是( ) A. 2ff ef B. 2ffef C. 1212ffff D. 2211ffff 【答案】D 【解析】 【分析】 由 0fx ，得 f x在R上单调递增，并且由 f x的图象是向上凸，进而判
6、断选项. 【详解】由 0fx ，得 f x在R上单调递增，因为2e，所以 2ff ef， 故 A 不正确； 对 1 x， 2 xR，且 12 xx，总有 12 12 22 f xf xxx f ，可得函数的图象是向上凸，可用如图的 图象来表示， 由 fx 表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x的增大， f x的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以 2ffef ，故 B不正确； 21 21 2 1 AB ff ffk ，表示点 1,1f与点 22f , ,连线的斜率， 由图可知 21 AB fkf，所以 D 正确，C不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查以数学文化为背
7、景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档 题型. 6. 函数 2 ln1f xxkx 的图象不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 假设函数为奇函数和偶函数时，分别根据图象求得k的值，即可得答案； 【详解】因为 A、B选项中，图像关于原点对称， 所以 f x为奇函数， 0f xfx， 即 22 ln1ln10,xkxxkx 22222 ln1ln1,10 xk xkx ， 所以1k 当 1,kf x的图像为选项 A； 当 1,kf x的图像为选项 B 而 C、D选项中，图像关于y轴对称， 所以 f x为偶函数， f xfx， 即 22 ln
8、1ln1,0 xkxxkxkx ，所以0k 当 0,0kf x，故 f x的图像为选项 D， 故 f x的图像不可能为 C 故选：C 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推 理能力、运算求解能力. 7. 已知函数 3 lnf xxmx在区间2,3上不是单调函数，则m的取值范围是( ) A. , 81 B. 24, C. 81, 24 D. 81, 【答案】C 【解析】 【分析】 求得 3 2 3 30 mxm fxxx xx ，然后分0m ,0m两种情况讨论，得到 f x的单调性，然后 可建立不等式求解. 【详解】由 3 lnf xxmx可
9、得 3 2 3 30 mxm fxxx xx ， 当0m 时， 0fx ， f x在0,上单调递增，不满足题意； 当0m时，由 0fx 得 3 3 m x ，由 0fx得3 0 3 m x 所以 f x在 3 0, 3 m 上单调递减，在 3 , 3 m 上单调递增， 要使得函数 3 lnf xxmx在区间2,3上不是单调函数， 则有 3 23 3 m ，解得：8124m . 故选：C 【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想. 8. 已知函数 f x对任意xR都有 422f xf xf，1yf x的图象关于点1,0对称， 则20201f ( ) A. 0 B. 2
10、C. 1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 由1yf x的图象关于点1,0对称有 f x关于点(0,0)对称： f x是奇函数；函数 f x对任意 xR都有 422f xf xf， 即 ( 0 ) 0f 且(2)0f可证 f x是周期函数， 进而利用奇函数、 周期性即可求20201f的值 【详解】1yf x的图象关于点1,0对称，知： f x关于点(0,0)对称 即 f x在xR上是奇函数，故有()( )fxf x 且(0)0f 由 422f xf xf，有： (0)( 4)2 (2) (4)(0)2 (2) fff fff 可得(2)0f (4)( )(4)4)(4)( )f xf
11、xfxf xf x ( )(8)f xf x，即 f x是周期为 8的函数 而(2020)(8 2524)(4)fff，又(4)0f 20201 1f 故选：D 【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性、周期性，利用奇偶性和周期性求函数值，注意1yf x的 图象关于点1,0对称即是 f x关于点(0,0)对称，奇函数 f x在xR上都有意义即有(0)0f等奇 函数的性质应用 二、多选题：本大题共二、多选题：本大题共 4 小题，分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的小题，分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的 9. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0, )上增函数的有( ) A.
12、| | 2 x y B. 2 3 yx C. 2 1yx D. 3 yx 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义，f(x)f(x)进行判断，再根据解析式判断单调性； 【详解】A、令 | | ( )2 x yf x ，则 f(x) | 2 x | | 2 x f(x)，为偶函数，但在(0，+)上，2 x y 是 减函数，故错误； B、令 2 3 ( )yf xx ，f(x) 22 33 () xx ，是偶函数，且在区间(0,)上是增函数，故 B正确； C、令 2 ( )1yf xx，f(x)(x)2+1x2+1f(x)，且在区间(0, )上是增函数，故 C正确； D、令 3 ( )y
13、f xx，f(x) 3 ()xx3f(x)，是奇函数，故 D错误； 故选 BC 【点睛】此题主要考查函数的奇偶性，偶函数的性质，关键是对基本初等函数的性质要熟悉，是基础题； 10. 若 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx，则下列结论中正确的是( ) A. 0 1a B. 12345 2aaaaa C. 5 012345 3aaaaaa D. 012345 1aaaaaa-+-+-= - 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据赋值法，分别令0 x，1x ，1x，可判断 ABC；根据二项展开式的通项公式，判断出对应项系 数的正负，即可判断 D 选项. 【详解】因为
14、 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx， 令0 x，则 5 0 11a ，故 A 正确； 令1x 代入 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx， 得 012345 1aaaaaa，所以 123450 12aaaaaa ，故 B错； 令1x代入 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx， 得 012 5 345 3aaaaaa，故 C 正确； 因为二项式 5 1 2x的展开式的第1r 项为 15( 2) rrr r TCx ， 所以当r为奇数时， 5( 2) rr C为负数；即0 i a (其中i为奇数)， 所以
15、 012345012345 1aaaaaaaaaaaa；故 D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属于常考题型. 11. 若方程 22 1 31 xy tt 所表示的曲线为C，则下面四个选项中正确的是( ) A. 若13t ，则C为椭圆 B. 若C为椭圆，且长轴在 y轴上，则1 2t C. 若C为双曲线，则3t 或1t D. 若C是双曲线，则其离心率有12e 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据选项逐个分析可得答案， 选项A中2t 时， 曲线C为圆； 选项B可得23t ； 选项C可得3t 或1t ； 选项 D可得1 2e .
16、【详解】对于选项 A，当2t 时，曲线C化为 22 1xy，此时C为圆，故 A 不正确； 对于选项 B，若C为椭圆，且长轴在y轴上，则130tt ，解得23t ，故 B 不正确； 对于选项 C，若C为双曲线，则310tt，解得3t 或1t ，故 C 正确； 对于选项 D，若C是双曲线，则3t 或1t ， 当3t 时， 2 242 21,2 11 t e tt ，此时离心率1 2e . 当1t 时， 2 422 21,2 33 t e tt ，此时离心率1 2e ;故 D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的识别，明确各类曲线方程的特点是求解本题的关键，侧重考查数学运算 的核心素
17、养. 12. 已知logxa y，logybx， y cx ， x dy，其中x、y为正数且1x ， 1y ，则( ) A. 对任意的x和y，都有cd B. 存在x和y，使得ab C. a，b，c，d中大于 1的数有奇数个 D. 存在x和y，使得a bcd 【答案】BD 【解析】 【分析】 应用特殊值法：2xy有cd、ab且a，b，c，d中大于 1 的数有偶数个；2,3xy有 bacd， 4,3xy 由此即可判断选项正误 【详解】由x、y为正数且1x ，1y ，若令2xy，则1ab，4cd 根据选项中描述，知：A、C 错误，B 正确 当x y 时，分类讨论如下 若x y ：2,3xy，有 32
18、 2839cd ，而 32 log 21log 32ba ，即bacd 若x y ： 取4 ,3xy， 4 log 3(0,1)a ， 3 log 41b ， 3 644c ， 4 813d 满足a bcd， 故 D 正确 故选：BD 【点睛】本题考查了对数、指数比较大小，利用特殊值法排除错误选项即可 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，把答案填写在答题卡相应位置上小题，把答案填写在答题卡相应位置上 13. 已知,2， 3 tan 4 ，则cos_ 【答案】 4 5 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的关系，直接计算即可. 【详解】由,2，且 3 tan 4 ， 可知在第四象
19、限， 可取在终边上一点为(4, 3)， 由任意角三角函数公式 22 44 cos= 5 4( 3) x r ， 故答案为： 4 5 . 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及计算，在计算正余弦和正切函数互化时，可以利用任意角三 角函数终边上的点进行计算，属于简单题. 14. 已知一个扇形的周长为8cm，则当该扇形的半径r _cm时，面积最大. 【答案】2 【解析】 【分析】 首先设出扇形的半径和弧长，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可. 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，则28rl+ =， 扇形的面积为 2 11 82 22 rlr rr 2 4(2)4rr ， 所以当2r
20、=时，面积最大为4. 故答案为 2 【点睛】该题考查的是有关扇形的面积的最值的问题，涉及到的知识点有扇形的周长，扇形的面积，二次 函数的最值，属于简单题目. 15. 已知点P是抛物线 2 4yx上动点，且点P在第一象限，F是抛物线的焦点，点A的坐标为1,0， 当 PF PA 取最小值时，直线AP的方程为_ 【答案】10 xy 【解析】 【分析】 由1,0A 在准线上，过抛物线上点P作PD垂直与准线，得到cos PD PAF PA ，得出 PAF最大时即过点A的直线与抛物线相切，设出切线方程为 (1)yk x ，结合判别式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的方程 2 4yx可得焦点 (1,0)
21、F ，1,0A 在准线上， 过抛物线上的点P作PD垂直与准线交于D点， 由抛物线的定义，可得PFPD， 在 PAD 中，coscos PD DPAPAF PA ， 所以 PD PA 最小时，则cosPAF最小，此时PAF最大， 而PAF最大时即过点A的直线与抛物线相切， 设过1,0A 与抛物线相切的直线方程为(1)yk x， 联立方程组 2 (1) 4 yk x yx ，整理得 2 4 40yy k ， 则 2 4 ()4 40 k ，解得1k ， 又由点P在第一象限，所以1k ， 所以直线AP的方程为 1yx ，即10 xy . 故答案为：10 xy . 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及
22、标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟 记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16. 函数 f x对于任意xR， 均满足 2f xfx， 3,0 1 32,0 xx f x xx ， 若存在实数a，b，c， d abcd满足 f af bf cf d，则2bacd的取值范围是_ 【答案】 8 ,1 9 【解析】 【分析】 首先得到函数的对称性，从而求出函数解析式、画出函数图象，根据对称性可得badc，令 tbadc，则 2 4 , 3 3 t ，再根据二次函数的性质计算可得； 【详解】解：由函数 ( )f x对于任意xR，均满足(
23、)(2)f xfx ，可知 ( )f x的对称轴方程为 1x 因为 3,0 1 32,0 xx f x xx ，所以 3 3 ,01 32,0 2,12 83 ,2 xx xx f x xx x x 函数图象如图所示： 因为存在实数a，b，c，d abcd, 满足 01f af bf cf d, 3 32(01)abb, 所以badc，令tbadc ， 则 32 12 ,10,0,1) 33 tbabbtbb 恒成立， 所以 2 4 , 3 3 t ， 所以 28 2211,1 9 bacdttt 故答案为： 8 ,1 9 【点睛】本题考查函数方程的综合应用，函数的对称性的应用，属于中档题.
24、四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知tan3，求值： (1) cossin cossin (2) 2 3 2sin3sinsin 2 【答案】(1) 1 2 ；(2) 9 10 【解析】 【分析】 (1)分子、分母同除cos，将弦化切，再代入计算可得； (2)由诱导公式及 22 sincos1，将弦化切，再代入计算可得； 【详解】解：(1)因为tan3 所以 cossin1tan1 31 cossin1tan1 32 (2) 2 3 2sin3sinsin 2 2 2sin3sincos 2 22 2sin3sinc
25、os sincos 2 2 2tan3tan 1tan 2 2 2 33 39 1103 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 18. 已知函数 x f xeax，aR，e是自然对数的底数 (1)若函数 f x在1x 处取得极值，求 f x的单调区间： (2)记函数 f x在区间 0,1上的最小值为 h a，求 h a 【答案】(1)函数 f x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；(2) ln ,1, , 1,1 aaa ae h aea ae a 【解析】 【分析】 (1)先求出导函数( ) fx，再利用 20 f 即可求出a的值，从而求出( )f x的单调区间
26、 (2)求出导函数( ) fx，通过讨论a的范围， 求出函数 ( )f x的单调区间，从而求出函数( )f x的最小值即可 【详解】解：(1)函数( ) x f xeax，xR， ( ) x fxea， 函数 ( )f x在 1x 处取得极值， 10 f ，ae ， ( ) x f xee ， 当(,1)x 时，( )0fx ，函数 ( )f x单调递减；当(1,)x时，( )0fx ，函数 ( )f x单调递增， 综上可得，函数 f x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增； (2)( ) x fxea， 当0a时，( )0fx 恒成立，即函数 ( )f x在0，1上单调递增， 函数(
27、)f x在0，1上 最小值为 (0)1fh a ， 当0a时，令( )0fx 得到lnxa， 若ln0a，即01a 时，在0，1上，( )0fx ，函数 ( )f x在0，1上单调递增，函数( )f x在0， 1上的最小值为 (0)1fh a ， 若ln1a，即a e时，在0，1上，( )0fx ，函数 ( )f x在0，1上单调递减，函数( )f x在0，1上 的最小值为 1 eah af ， 若0ln1a，即1ae时，在0，ln )a上，( )0fx ，在(lna，1上，( )0fx ， 即函数 ( )f x在0，ln )a上单调递减，在(lna，1上单调递增， 函数( )f x在0，1上
28、的最小值为 lnlnh afaaaa ， 综上所述， ln ,1, , 1,1 aaa ae h aea ae a 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题 19. 如图，四棱台 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是菱形， 1 CC 底面ABCD，且 BAD60 ， 111 4CDCCC D，E是棱 1 BB的中点. (1)求证： 1 AABD； (2)求直线 1 AA与平面 11 AEC所成线面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 6 7 35 . 【解析】 【分析】 (1)由 1 CC 底面ABCD，得 1 CCBD，再由底面ABCD是菱形，得B
29、DAC，利用直线与平面垂直 的判定可得BD 平面 1 ACC，进一步得到 1 BDAA； (2)设AC交BD于点O，依题意， 11/ / ACOC且 11 ACOC ，得到 1 AO 底面ABCD以O为原点，OA、 OB、 1 OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系求出平面 11 EAC的一个法向量与 1 AA的 坐标，再由两向量所成角的余弦值求解直线 1 AA与平面 11 AEC所成线面角的正弦值 【详解】(1)因为 1 CC 底面ABCD，所以 1 CCBD 因为底面ABCD是菱形，所以BDAC 又 1 ACCCC，所以BD 平面 1 ACC 又由四棱台 1111 ABCDA
30、BC D知， 1 A，A， 1 C，C四点共面 所以 1 BDAA (2)如图，设AC交BD于点O，依题意， 11/ / ACOC且 11 ACOC ， 11 / /AOCC ，且 11 AOCC ， 又由已知 1 CC 底面ABCD，得 1 AO 底面ABCD 以O为原点，OA、OB、 1 OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图 设AC交BD于点O，依题意， 11/ ACOC且 11= ACOC，所以 11 =AO CC 则2 3,0,0A， 1 0,0,4A ， 1 2 3,0,4C ，0,2,0B ， 由 11 1 2 ABAB，得 1 3,1,4B 因为E是棱 1
31、BB中点，所以 3 3 ,2 22 E 所以 1 33 ,2 22 EA ， 11 2 3,0,0AC ， 1 2 3,0,4AA 设 , ,nx y z 为平面 11 EAC的法向量 则 11 1 2 30 33 20 22 n ACx n EAxyz ，取3z ，得0,4,3n 设直线 1 AA与平面 11 AEC所成线面角为，则 1 1 6 7 sin 35 AA n AAn 所以直线 1 AA与平面 11 AEC所成线面角的正弦值 6 7 35 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象 能力与思维能力，考查利用空间向量求解空间角，是中
32、档题 20. 某市 2017 年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨， 政府从 2018 年 2 月开始采用实物补偿方式(以房换房)，3 月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落， 以下是 2018 年 2 月后该市新建住宅销售均价的数据： 月份x 3 4 5 6 7 y(百元价格/平方米) 83 82 80 78 77 (1)研究发现，3 月至 7 月的各月均价y(百元/平方米)与月份x之间具有较强的线性相关关系，求y(百元 价格/平方米)关于月份x的线性回归方程 ybxa； (2)用iy表示用(1)中所求线性回归方程得到的与 i x对应的销售均价的估
33、计值，3 月份至 7 月份销售均价 估计值iy与实际相应月份销售均价 i y差的绝对值记为 i ， 即 iii yy，1,2,3,4,5i 现从 5 个数据 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 中任取 2 个，记取到的 2 个数据和为，求的分布列和数学期望E 注意几点：可供选择的数据 5 1 1984 i i i y x ， 5 2 1 135 i i x ； 参考公式：回归方程系数公式 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx； 【答案】(1)1.688yx (2)见解析 【解析】 【分析】 (1)由表格中的数据，求得5x 80y ，根据公式求得 1.
34、6b ，进而得到88a ，即可求得y关于x的 回归方程 (2)利用(1)中的回归方程， 求得 12346 83.2,81.6,8078.4,76 8,.yyyyy ， 得到随机变量 i 的值， 进而求得的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8，求出相应的概率，列出分布列，利用公式，即可求解数学期望 【详解】(1)由表格中的数据，可得 34567 5 5 x 8382807877 80 5 y ， 所以 2 19845 5 80 1.6 1355 5 b ，则801.588 6a ， 所以y关于x的回归方程1.688yx (2)利用(1)中的回归方程1.688yx ， 可得 112233445
35、6 3,83.2,4,81.6,5,806,78.4,7,76,.8xyxyxyxyxy ， 所以 12345 0.2,0.4,0,0.4,0.2， 所以的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8， 则 2 5 21 (0.2) 5 P C ， 2 5 33 (0.4) 10 P C ， 2 5 42 (0.6) 5 P C ， 2 5 11 (0.8) 10 P C ， 所以随机变量的分布列为： 0.2 0.4 0.6 0.8 P 1 5 3 10 2 5 1 10 期望 132112 0.20.40.60.8 51051025 E 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及离散型随机变
36、量的分布列与数学期望的计算，其中解 答中认真审题，求得随机变量的取值，准确计算相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问 题的能力，属于中档试题 21. 在直角坐标系内，点 A，B的坐标分别为2,0，2,0，P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的 斜率之积等于 1 4 .设点 P的轨迹为 C. (1)求轨迹 C的方程； (2)某同学对轨迹 C 的性质进行探究后发现：若过点1,0且倾斜角不为 0 的直线l与轨迹 C相交于 M，N 两点，则直线AM，BN的交点 Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线 方程；若不正确，请说明理由. 【答案】(1) 2 2 10
37、4 x yy；(2)正确，证明见解析，直线4x . 【解析】 【分析】 (1)设点 P坐标为, x y，利用直接法，列方程即可求解. (2)根据题意，可设直线MN的方程为：1xmy，将直线与椭圆方程联立，整理可得 22 4230mymy，利用韦达定理可得 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ，直线AM的方程与 直线BN的方程，直线AM，BN的交点 00 ,Q x y的坐标满足： 21 00 12 2 22 2 yx xx yx ，整理可得 0 4x ，即证. 【详解】(1)设点 P 的坐标为, x y， 由 1 224 yy xx ，得 22 44yx，即 2 2
38、 10 4 x yy . 故轨迹 C 的方程为： 2 2 10 4 x yy (2)根据题意，可设直线MN的方程为：1xmy， 由 2 2 1 1 4 xmy x y ，消去 x 并整理得 22 4230mymy 其中， 222 412416480mmm . 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m . 因直线l的倾斜角不为 0，故 1 x， 2 x不等于 2( 1 y， 2 y不为 0)， 从而可设直线AM的方程为 1 1 2 2 y yx x ， 直线BN的方程为 2 2 2 2 y yx x ， 所以，直线AM，B
39、N的交点 00 ,Q x y的坐标满足： 21 00 12 2 22 2 yx xx yx 而 2121 122 1212121 233 21 yxymymy yy yxymymy yy 2 1 22 1 2 1 1 2 32 3 934 44 3 3 34 4 mm y mmy mm m mmy y m ， 因此， 0 4x ，即点 Q在直线4x上. 所以，探究发现的结论是正确的. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识； 考查化归与转化等思想方法，属于中档题. 22. 已知 2 1 21 ln1f xxxk xx x ，其中kR， 1 f
40、 x g x x (1)当1k 时，求 g x的单调区间，并证明： 0f x ； (2)若对任意的0 x且1x 时， 0f x 恒成立，求实数k的取值范围 【答案】(1) 增区间为0,1和1,，无减区间，证明见解析；(2) , 1 . 【解析】 【分析】 (1)代入1k ，求出 1 2lng xxx x ，通过导数即可求出单调区间.由单调性求 g x的取值范围，分 0,1x，1x ，1,x三种情况求 f x的取值范围，即可证明. (2) 令 2 1 2ln x h xxk x ， 令 2 2xk xx k， 通过讨论1k ，0k ，10k 三种情况， 结合二次函数的性质，求出函数的单调性，从而
41、判断不等式是否能恒成立. 【详解】(1)当1k 时， 2 1 12ln x f xxx x ，定义域为0,， 则 1 2ln,0 1 f x g xxxx xx 且1x ，则 2 21 10gx xx ， 所以 g x在0,1和 1,上单调递增，即增区间为0,1和1,. 当1x 时，2ln1 1 10 ， 当0,1x时， 0g x ，当1,x时， 0g x ， 由 1f xxg x，则当0,1x时， 0f x ，当1,x时， 0f x ， 当1x 时， 0f x ，综上所述， 0f x . (2) 2 1 12ln x f xxxk x ，令 2 1 2ln x h xxk x ， 可知 10
42、h， 2 2 2 ,0 kxxk h xx x ，令 2 2xkxxk， 当1k 时，由二次函数的性质可得 0h x ， h x单调递减，又 10h， 所以当0,1x时， 0h x ，当1,x时， 0h x ，可知此时 0f x 成立； 当0k 时，由二次函数的性质可得 0h x ，则 h x单调递增，又 10h， 所以当0,1x时， 0h x ，当1,x时， 0h x ， 可知此时 0f x 不恒成立； 当10k 时，由 10, 2 2xkxxk对称轴 1 1x a ， 那么 x在区间 1 1, a 上大于 0，即 0h x 在 1 1, a 恒成立， 所以 h x在 1 1, a 上单调递增，此时 10h xh，则 0f x 不符合题意. 综上所述，实数k的取值范围为, 1 . 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了运用导数解决恒成立问题.本题第一问的关键是对 g x进行化简整理.
