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2021届重庆市渝北区高三上学期阶段性测试数学试题(教师版)

1、2021 级高三阶段性检测数学试题级高三阶段性检测数学试题 一、单选题:本大题共一、单选题:本大题共 8 小题,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的小题,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 与角2021终边相同的角是( ) A. 221 B. 2021 C. 221 D. 139 【答案】A 【解析】 【分析】 根据终边相同的角相差360的整数倍,逐个判断即可. 【详解】2021360 =5 o 余221,故 A 正确,B、 C、 D中的角均不与角2021终边相同. 故选:A. 【点睛】本题考查了终边相同角的概念,考查了简单的计算,属于概念题,本题属于基

2、础题. 2. 已知 i为虚数单位,若 2 1 mi i 是纯虚数,则实数 m的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. 2 D. 1 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0且虚部不为 0列式求解 【详解】解: 2(2 )(1)22 1(1)(1)22 mimiimm i iii 是纯虚数, 2 0 2 2 0 2 m m ,即2m 故选:C 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题 3. 我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求音量大小的单位是分贝(dB), 对于一个强度为I的声波,其音量的大小可由

3、如下公式计算: 0 10lg I I (其中 0 I是人耳能听到的声音 的最低声波强度),则60dB的声音强度 1 I是50dB的声音强度 2 I的( ) A. 7 6 倍 B. 7 6 10 倍 C. 10 倍 D. 7 ln 6 倍 【答案】C 【解析】 【分析】 由题设中的定义,将音量值代入 0 10 I lg I ,计算出声音强度 1 I与声音强度 2 I的值,再计算出即可求出倍 数 【详解】解:由题意,令 1 0 6010 I lg I ,解得, 6 10 10II,令 2 0 5010 I lg I ,解得, 5 20 10II, 所以 1 2 10 I I 故选:C 【点睛】本题

4、考查对数的计算与对数性质在实际中的应用,熟练掌握对数运算性质是解答的关键,属于基 础题. 4. 小涛、小江、小玉与本校另外 2名同学一同参加中国诗词大会的决赛,5人坐成一排,若小涛与小 江、小玉都相邻,则不同坐法的总数为( ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 首先将小涛与小江、小玉捆绑在一起,其中小涛在小江与小玉之间,再与其他两个人全排列,按照分步乘 法计算原理计算可得; 【详解】解:将小涛与小江、小玉捆绑在一起,与其他两个人全排列,其中小涛位于小江、小玉之间,按 照分步乘法计算原理可得 32 32 12AA 故选:B 【点睛】本题考查捆绑法解决排

5、列组合问题,属于基础题. 5. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一, 他从几何问题出发, 引进微积分概念.在研究切线时认识到, 求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值,以及当此差值变成无限小时它们的比值,这也 正是导数的几何意义设 fx 是函数 f x的导函数,若 0fx ,且对 1 x, 2 xR,且 12 xx总有 12 12 22 f xf xxx f ,则下列选项正确的是( ) A. 2ff ef B. 2ffef C. 1212ffff D. 2211ffff 【答案】D 【解析】 【分析】 由 0fx ,得 f x在R上单调递增,并且由 f x的图象是向上凸,进而判

6、断选项. 【详解】由 0fx ,得 f x在R上单调递增,因为2e,所以 2ff ef, 故 A 不正确; 对 1 x, 2 xR,且 12 xx,总有 12 12 22 f xf xxx f ,可得函数的图象是向上凸,可用如图的 图象来表示, 由 fx 表示函数图象上各点处的切线的斜率,由函数图象可知, 随着x的增大, f x的图象越来越平缓,即切线的斜率越来越小, 所以 2ffef ,故 B不正确; 21 21 2 1 AB ff ffk ,表示点 1,1f与点 22f , ,连线的斜率, 由图可知 21 AB fkf,所以 D 正确,C不正确. 故选:D. 【点睛】本题考查以数学文化为背

7、景,导数的几何意义,根据函数的单调性比较函数值的大小,属于中档 题型. 6. 函数 2 ln1f xxkx 的图象不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 假设函数为奇函数和偶函数时,分别根据图象求得k的值,即可得答案; 【详解】因为 A、B选项中,图像关于原点对称, 所以 f x为奇函数, 0f xfx, 即 22 ln1ln10,xkxxkx 22222 ln1ln1,10 xk xkx , 所以1k 当 1,kf x的图像为选项 A; 当 1,kf x的图像为选项 B 而 C、D选项中,图像关于y轴对称, 所以 f x为偶函数, f xfx, 即 22 ln

8、1ln1,0 xkxxkxkx ,所以0k 当 0,0kf x,故 f x的图像为选项 D, 故 f x的图像不可能为 C 故选:C 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推 理能力、运算求解能力. 7. 已知函数 3 lnf xxmx在区间2,3上不是单调函数,则m的取值范围是( ) A. , 81 B. 24, C. 81, 24 D. 81, 【答案】C 【解析】 【分析】 求得 3 2 3 30 mxm fxxx xx ,然后分0m ,0m两种情况讨论,得到 f x的单调性,然后 可建立不等式求解. 【详解】由 3 lnf xxmx可

9、得 3 2 3 30 mxm fxxx xx , 当0m 时, 0fx , f x在0,上单调递增,不满足题意; 当0m时,由 0fx 得 3 3 m x ,由 0fx得3 0 3 m x 所以 f x在 3 0, 3 m 上单调递减,在 3 , 3 m 上单调递增, 要使得函数 3 lnf xxmx在区间2,3上不是单调函数, 则有 3 23 3 m ,解得:8124m . 故选:C 【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性,考查了分类讨论的思想. 8. 已知函数 f x对任意xR都有 422f xf xf,1yf x的图象关于点1,0对称, 则20201f ( ) A. 0 B. 2

10、C. 1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 由1yf x的图象关于点1,0对称有 f x关于点(0,0)对称: f x是奇函数;函数 f x对任意 xR都有 422f xf xf, 即 ( 0 ) 0f 且(2)0f可证 f x是周期函数, 进而利用奇函数、 周期性即可求20201f的值 【详解】1yf x的图象关于点1,0对称,知: f x关于点(0,0)对称 即 f x在xR上是奇函数,故有()( )fxf x 且(0)0f 由 422f xf xf,有: (0)( 4)2 (2) (4)(0)2 (2) fff fff 可得(2)0f (4)( )(4)4)(4)( )f xf

11、xfxf xf x ( )(8)f xf x,即 f x是周期为 8的函数 而(2020)(8 2524)(4)fff,又(4)0f 20201 1f 故选:D 【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性、周期性,利用奇偶性和周期性求函数值,注意1yf x的 图象关于点1,0对称即是 f x关于点(0,0)对称,奇函数 f x在xR上都有意义即有(0)0f等奇 函数的性质应用 二、多选题:本大题共二、多选题:本大题共 4 小题,分在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的小题,分在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的 9. 下列函数中,既是偶函数又是区间(0, )上增函数的有( ) A.

12、| | 2 x y B. 2 3 yx C. 2 1yx D. 3 yx 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义,f(x)f(x)进行判断,再根据解析式判断单调性; 【详解】A、令 | | ( )2 x yf x ,则 f(x) | 2 x | | 2 x f(x),为偶函数,但在(0,+)上,2 x y 是 减函数,故错误; B、令 2 3 ( )yf xx ,f(x) 22 33 () xx ,是偶函数,且在区间(0,)上是增函数,故 B正确; C、令 2 ( )1yf xx,f(x)(x)2+1x2+1f(x),且在区间(0, )上是增函数,故 C正确; D、令 3 ( )y

13、f xx,f(x) 3 ()xx3f(x),是奇函数,故 D错误; 故选 BC 【点睛】此题主要考查函数的奇偶性,偶函数的性质,关键是对基本初等函数的性质要熟悉,是基础题; 10. 若 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx,则下列结论中正确的是( ) A. 0 1a B. 12345 2aaaaa C. 5 012345 3aaaaaa D. 012345 1aaaaaa-+-+-= - 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据赋值法,分别令0 x,1x ,1x,可判断 ABC;根据二项展开式的通项公式,判断出对应项系 数的正负,即可判断 D 选项. 【详解】因为

14、 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx, 令0 x,则 5 0 11a ,故 A 正确; 令1x 代入 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx, 得 012345 1aaaaaa,所以 123450 12aaaaaa ,故 B错; 令1x代入 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx, 得 012 5 345 3aaaaaa,故 C 正确; 因为二项式 5 1 2x的展开式的第1r 项为 15( 2) rrr r TCx , 所以当r为奇数时, 5( 2) rr C为负数;即0 i a (其中i为奇数), 所以

15、 012345012345 1aaaaaaaaaaaa;故 D正确. 故选:ACD. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,熟记二项式定理,灵活运用赋值法求解即可,属于常考题型. 11. 若方程 22 1 31 xy tt 所表示的曲线为C,则下面四个选项中正确的是( ) A. 若13t ,则C为椭圆 B. 若C为椭圆,且长轴在 y轴上,则1 2t C. 若C为双曲线,则3t 或1t D. 若C是双曲线,则其离心率有12e 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据选项逐个分析可得答案, 选项A中2t 时, 曲线C为圆; 选项B可得23t ; 选项C可得3t 或1t ; 选项 D可得1 2e .

16、【详解】对于选项 A,当2t 时,曲线C化为 22 1xy,此时C为圆,故 A 不正确; 对于选项 B,若C为椭圆,且长轴在y轴上,则130tt ,解得23t ,故 B 不正确; 对于选项 C,若C为双曲线,则310tt,解得3t 或1t ,故 C 正确; 对于选项 D,若C是双曲线,则3t 或1t , 当3t 时, 2 242 21,2 11 t e tt ,此时离心率1 2e . 当1t 时, 2 422 21,2 33 t e tt ,此时离心率1 2e ;故 D 正确. 故选:CD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的识别,明确各类曲线方程的特点是求解本题的关键,侧重考查数学运算 的核心素

17、养. 12. 已知logxa y,logybx, y cx , x dy,其中x、y为正数且1x , 1y ,则( ) A. 对任意的x和y,都有cd B. 存在x和y,使得ab C. a,b,c,d中大于 1的数有奇数个 D. 存在x和y,使得a bcd 【答案】BD 【解析】 【分析】 应用特殊值法:2xy有cd、ab且a,b,c,d中大于 1 的数有偶数个;2,3xy有 bacd, 4,3xy 由此即可判断选项正误 【详解】由x、y为正数且1x ,1y ,若令2xy,则1ab,4cd 根据选项中描述,知:A、C 错误,B 正确 当x y 时,分类讨论如下 若x y :2,3xy,有 32

18、 2839cd ,而 32 log 21log 32ba ,即bacd 若x y : 取4 ,3xy, 4 log 3(0,1)a , 3 log 41b , 3 644c , 4 813d 满足a bcd, 故 D 正确 故选:BD 【点睛】本题考查了对数、指数比较大小,利用特殊值法排除错误选项即可 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,把答案填写在答题卡相应位置上小题,把答案填写在答题卡相应位置上 13. 已知,2, 3 tan 4 ,则cos_ 【答案】 4 5 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的关系,直接计算即可. 【详解】由,2,且 3 tan 4 , 可知在第四象

19、限, 可取在终边上一点为(4, 3), 由任意角三角函数公式 22 44 cos= 5 4( 3) x r , 故答案为: 4 5 . 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及计算,在计算正余弦和正切函数互化时,可以利用任意角三 角函数终边上的点进行计算,属于简单题. 14. 已知一个扇形的周长为8cm,则当该扇形的半径r _cm时,面积最大. 【答案】2 【解析】 【分析】 首先设出扇形的半径和弧长,建立关系式,结合二次函数的图象与性质求解最值即可. 【详解】设扇形的半径为r,弧长为l,则28rl+ =, 扇形的面积为 2 11 82 22 rlr rr 2 4(2)4rr , 所以当2r

20、=时,面积最大为4. 故答案为 2 【点睛】该题考查的是有关扇形的面积的最值的问题,涉及到的知识点有扇形的周长,扇形的面积,二次 函数的最值,属于简单题目. 15. 已知点P是抛物线 2 4yx上动点,且点P在第一象限,F是抛物线的焦点,点A的坐标为1,0, 当 PF PA 取最小值时,直线AP的方程为_ 【答案】10 xy 【解析】 【分析】 由1,0A 在准线上,过抛物线上点P作PD垂直与准线,得到cos PD PAF PA ,得出 PAF最大时即过点A的直线与抛物线相切,设出切线方程为 (1)yk x ,结合判别式,即可求解. 【详解】由题意,抛物线的方程 2 4yx可得焦点 (1,0)

21、F ,1,0A 在准线上, 过抛物线上的点P作PD垂直与准线交于D点, 由抛物线的定义,可得PFPD, 在 PAD 中,coscos PD DPAPAF PA , 所以 PD PA 最小时,则cosPAF最小,此时PAF最大, 而PAF最大时即过点A的直线与抛物线相切, 设过1,0A 与抛物线相切的直线方程为(1)yk x, 联立方程组 2 (1) 4 yk x yx ,整理得 2 4 40yy k , 则 2 4 ()4 40 k ,解得1k , 又由点P在第一象限,所以1k , 所以直线AP的方程为 1yx ,即10 xy . 故答案为:10 xy . 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及

22、标准方程,以及直线与抛物线的位置关系的应用,其中解答中熟 记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键,着重考查推理与运算能力. 16. 函数 f x对于任意xR, 均满足 2f xfx, 3,0 1 32,0 xx f x xx , 若存在实数a,b,c, d abcd满足 f af bf cf d,则2bacd的取值范围是_ 【答案】 8 ,1 9 【解析】 【分析】 首先得到函数的对称性,从而求出函数解析式、画出函数图象,根据对称性可得badc,令 tbadc,则 2 4 , 3 3 t ,再根据二次函数的性质计算可得; 【详解】解:由函数 ( )f x对于任意xR,均满足(

23、)(2)f xfx ,可知 ( )f x的对称轴方程为 1x 因为 3,0 1 32,0 xx f x xx ,所以 3 3 ,01 32,0 2,12 83 ,2 xx xx f x xx x x 函数图象如图所示: 因为存在实数a,b,c,d abcd, 满足 01f af bf cf d, 3 32(01)abb, 所以badc,令tbadc , 则 32 12 ,10,0,1) 33 tbabbtbb 恒成立, 所以 2 4 , 3 3 t , 所以 28 2211,1 9 bacdttt 故答案为: 8 ,1 9 【点睛】本题考查函数方程的综合应用,函数的对称性的应用,属于中档题.

24、四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知tan3,求值: (1) cossin cossin (2) 2 3 2sin3sinsin 2 【答案】(1) 1 2 ;(2) 9 10 【解析】 【分析】 (1)分子、分母同除cos,将弦化切,再代入计算可得; (2)由诱导公式及 22 sincos1,将弦化切,再代入计算可得; 【详解】解:(1)因为tan3 所以 cossin1tan1 31 cossin1tan1 32 (2) 2 3 2sin3sinsin 2 2 2sin3sincos 2 22 2sin3sinc

25、os sincos 2 2 2tan3tan 1tan 2 2 2 33 39 1103 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题. 18. 已知函数 x f xeax,aR,e是自然对数的底数 (1)若函数 f x在1x 处取得极值,求 f x的单调区间: (2)记函数 f x在区间 0,1上的最小值为 h a,求 h a 【答案】(1)函数 f x在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增;(2) ln ,1, , 1,1 aaa ae h aea ae a 【解析】 【分析】 (1)先求出导函数( ) fx,再利用 20 f 即可求出a的值,从而求出( )f x的单调区间

26、 (2)求出导函数( ) fx,通过讨论a的范围, 求出函数 ( )f x的单调区间,从而求出函数( )f x的最小值即可 【详解】解:(1)函数( ) x f xeax,xR, ( ) x fxea, 函数 ( )f x在 1x 处取得极值, 10 f ,ae , ( ) x f xee , 当(,1)x 时,( )0fx ,函数 ( )f x单调递减;当(1,)x时,( )0fx ,函数 ( )f x单调递增, 综上可得,函数 f x在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增; (2)( ) x fxea, 当0a时,( )0fx 恒成立,即函数 ( )f x在0,1上单调递增, 函数(

27、)f x在0,1上 最小值为 (0)1fh a , 当0a时,令( )0fx 得到lnxa, 若ln0a,即01a 时,在0,1上,( )0fx ,函数 ( )f x在0,1上单调递增,函数( )f x在0, 1上的最小值为 (0)1fh a , 若ln1a,即a e时,在0,1上,( )0fx ,函数 ( )f x在0,1上单调递减,函数( )f x在0,1上 的最小值为 1 eah af , 若0ln1a,即1ae时,在0,ln )a上,( )0fx ,在(lna,1上,( )0fx , 即函数 ( )f x在0,ln )a上单调递减,在(lna,1上单调递增, 函数( )f x在0,1上

28、的最小值为 lnlnh afaaaa , 综上所述, ln ,1, , 1,1 aaa ae h aea ae a 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值,属于中档题 19. 如图,四棱台 1111 ABCDABC D中,底面ABCD是菱形, 1 CC 底面ABCD,且 BAD60 , 111 4CDCCC D,E是棱 1 BB的中点. (1)求证: 1 AABD; (2)求直线 1 AA与平面 11 AEC所成线面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 6 7 35 . 【解析】 【分析】 (1)由 1 CC 底面ABCD,得 1 CCBD,再由底面ABCD是菱形,得B

29、DAC,利用直线与平面垂直 的判定可得BD 平面 1 ACC,进一步得到 1 BDAA; (2)设AC交BD于点O,依题意, 11/ / ACOC且 11 ACOC ,得到 1 AO 底面ABCD以O为原点,OA、 OB、 1 OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系求出平面 11 EAC的一个法向量与 1 AA的 坐标,再由两向量所成角的余弦值求解直线 1 AA与平面 11 AEC所成线面角的正弦值 【详解】(1)因为 1 CC 底面ABCD,所以 1 CCBD 因为底面ABCD是菱形,所以BDAC 又 1 ACCCC,所以BD 平面 1 ACC 又由四棱台 1111 ABCDA

30、BC D知, 1 A,A, 1 C,C四点共面 所以 1 BDAA (2)如图,设AC交BD于点O,依题意, 11/ / ACOC且 11 ACOC , 11 / /AOCC ,且 11 AOCC , 又由已知 1 CC 底面ABCD,得 1 AO 底面ABCD 以O为原点,OA、OB、 1 OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图 设AC交BD于点O,依题意, 11/ ACOC且 11= ACOC,所以 11 =AO CC 则2 3,0,0A, 1 0,0,4A , 1 2 3,0,4C ,0,2,0B , 由 11 1 2 ABAB,得 1 3,1,4B 因为E是棱 1

31、BB中点,所以 3 3 ,2 22 E 所以 1 33 ,2 22 EA , 11 2 3,0,0AC , 1 2 3,0,4AA 设 , ,nx y z 为平面 11 EAC的法向量 则 11 1 2 30 33 20 22 n ACx n EAxyz ,取3z ,得0,4,3n 设直线 1 AA与平面 11 AEC所成线面角为,则 1 1 6 7 sin 35 AA n AAn 所以直线 1 AA与平面 11 AEC所成线面角的正弦值 6 7 35 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用,考查空间想象 能力与思维能力,考查利用空间向量求解空间角,是中

32、档题 20. 某市 2017 年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿,使房价快速走高,为抑制房价过快上涨, 政府从 2018 年 2 月开始采用实物补偿方式(以房换房),3 月份开始房价得到很好的抑制,房价渐渐回落, 以下是 2018 年 2 月后该市新建住宅销售均价的数据: 月份x 3 4 5 6 7 y(百元价格/平方米) 83 82 80 78 77 (1)研究发现,3 月至 7 月的各月均价y(百元/平方米)与月份x之间具有较强的线性相关关系,求y(百元 价格/平方米)关于月份x的线性回归方程 ybxa; (2)用iy表示用(1)中所求线性回归方程得到的与 i x对应的销售均价的估

33、计值,3 月份至 7 月份销售均价 估计值iy与实际相应月份销售均价 i y差的绝对值记为 i , 即 iii yy,1,2,3,4,5i 现从 5 个数据 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中任取 2 个,记取到的 2 个数据和为,求的分布列和数学期望E 注意几点:可供选择的数据 5 1 1984 i i i y x , 5 2 1 135 i i x ; 参考公式:回归方程系数公式 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx , a ybx; 【答案】(1)1.688yx (2)见解析 【解析】 【分析】 (1)由表格中的数据,求得5x 80y ,根据公式求得 1.

34、6b ,进而得到88a ,即可求得y关于x的 回归方程 (2)利用(1)中的回归方程, 求得 12346 83.2,81.6,8078.4,76 8,.yyyyy , 得到随机变量 i 的值, 进而求得的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8,求出相应的概率,列出分布列,利用公式,即可求解数学期望 【详解】(1)由表格中的数据,可得 34567 5 5 x 8382807877 80 5 y , 所以 2 19845 5 80 1.6 1355 5 b ,则801.588 6a , 所以y关于x的回归方程1.688yx (2)利用(1)中的回归方程1.688yx , 可得 112233445

35、6 3,83.2,4,81.6,5,806,78.4,7,76,.8xyxyxyxyxy , 所以 12345 0.2,0.4,0,0.4,0.2, 所以的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8, 则 2 5 21 (0.2) 5 P C , 2 5 33 (0.4) 10 P C , 2 5 42 (0.6) 5 P C , 2 5 11 (0.8) 10 P C , 所以随机变量的分布列为: 0.2 0.4 0.6 0.8 P 1 5 3 10 2 5 1 10 期望 132112 0.20.40.60.8 51051025 E 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解,以及离散型随机变

36、量的分布列与数学期望的计算,其中解 答中认真审题,求得随机变量的取值,准确计算相应的概率是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问 题的能力,属于中档试题 21. 在直角坐标系内,点 A,B的坐标分别为2,0,2,0,P是坐标平面内的动点,且直线PA,PB的 斜率之积等于 1 4 .设点 P的轨迹为 C. (1)求轨迹 C的方程; (2)某同学对轨迹 C 的性质进行探究后发现:若过点1,0且倾斜角不为 0 的直线l与轨迹 C相交于 M,N 两点,则直线AM,BN的交点 Q在一条定直线上.此结论是否正确?若正确,请给予证明,并求出定直线 方程;若不正确,请说明理由. 【答案】(1) 2 2 10

37、4 x yy;(2)正确,证明见解析,直线4x . 【解析】 【分析】 (1)设点 P坐标为, x y,利用直接法,列方程即可求解. (2)根据题意,可设直线MN的方程为:1xmy,将直线与椭圆方程联立,整理可得 22 4230mymy,利用韦达定理可得 12 2 2 4 m yy m , 12 2 3 4 y y m ,直线AM的方程与 直线BN的方程,直线AM,BN的交点 00 ,Q x y的坐标满足: 21 00 12 2 22 2 yx xx yx ,整理可得 0 4x ,即证. 【详解】(1)设点 P 的坐标为, x y, 由 1 224 yy xx ,得 22 44yx,即 2 2

38、 10 4 x yy . 故轨迹 C 的方程为: 2 2 10 4 x yy (2)根据题意,可设直线MN的方程为:1xmy, 由 2 2 1 1 4 xmy x y ,消去 x 并整理得 22 4230mymy 其中, 222 412416480mmm . 设 11 ,M x y, 22 ,N x y,则 12 2 2 4 m yy m , 12 2 3 4 y y m . 因直线l的倾斜角不为 0,故 1 x, 2 x不等于 2( 1 y, 2 y不为 0), 从而可设直线AM的方程为 1 1 2 2 y yx x , 直线BN的方程为 2 2 2 2 y yx x , 所以,直线AM,B

39、N的交点 00 ,Q x y的坐标满足: 21 00 12 2 22 2 yx xx yx 而 2121 122 1212121 233 21 yxymymy yy yxymymy yy 2 1 22 1 2 1 1 2 32 3 934 44 3 3 34 4 mm y mmy mm m mmy y m , 因此, 0 4x ,即点 Q在直线4x上. 所以,探究发现的结论是正确的. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识;考查运算求解能力和创新意识; 考查化归与转化等思想方法,属于中档题. 22. 已知 2 1 21 ln1f xxxk xx x ,其中kR, 1 f

40、 x g x x (1)当1k 时,求 g x的单调区间,并证明: 0f x ; (2)若对任意的0 x且1x 时, 0f x 恒成立,求实数k的取值范围 【答案】(1) 增区间为0,1和1,,无减区间,证明见解析;(2) , 1 . 【解析】 【分析】 (1)代入1k ,求出 1 2lng xxx x ,通过导数即可求出单调区间.由单调性求 g x的取值范围,分 0,1x,1x ,1,x三种情况求 f x的取值范围,即可证明. (2) 令 2 1 2ln x h xxk x , 令 2 2xk xx k, 通过讨论1k ,0k ,10k 三种情况, 结合二次函数的性质,求出函数的单调性,从而

41、判断不等式是否能恒成立. 【详解】(1)当1k 时, 2 1 12ln x f xxx x ,定义域为0,, 则 1 2ln,0 1 f x g xxxx xx 且1x ,则 2 21 10gx xx , 所以 g x在0,1和 1,上单调递增,即增区间为0,1和1,. 当1x 时,2ln1 1 10 , 当0,1x时, 0g x ,当1,x时, 0g x , 由 1f xxg x,则当0,1x时, 0f x ,当1,x时, 0f x , 当1x 时, 0f x ,综上所述, 0f x . (2) 2 1 12ln x f xxxk x ,令 2 1 2ln x h xxk x , 可知 10

42、h, 2 2 2 ,0 kxxk h xx x ,令 2 2xkxxk, 当1k 时,由二次函数的性质可得 0h x , h x单调递减,又 10h, 所以当0,1x时, 0h x ,当1,x时, 0h x ,可知此时 0f x 成立; 当0k 时,由二次函数的性质可得 0h x ,则 h x单调递增,又 10h, 所以当0,1x时, 0h x ,当1,x时, 0h x , 可知此时 0f x 不恒成立; 当10k 时,由 10, 2 2xkxxk对称轴 1 1x a , 那么 x在区间 1 1, a 上大于 0,即 0h x 在 1 1, a 恒成立, 所以 h x在 1 1, a 上单调递增,此时 10h xh,则 0f x 不符合题意. 综上所述,实数k的取值范围为, 1 . 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性,考查了运用导数解决恒成立问题.本题第一问的关键是对 g x进行化简整理.