1、2021 级高三第二次质量检测数学试题级高三第二次质量检测数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 2 log (1)0Axx，22Bxx，则AB ( ) A. (1，2) B. (1，2 C. 2，2) D. (2，2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对数函数的单调性化简集合A，再根据集合的交集运算可的结果. 【详解】由 2 log (1)0 x得01 1x ，即12x，所以 |12Axx， 又22Bxx，所以AB |12xx. 故选：A.
2、【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 设i为虚数单位，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，图中复平面内点Z 表示复数z，则表示复数 (1) iz 的点是( ) A. M B. N C. P D. Q 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意得到2zi，从而得到(1)3izi，即可得到答案. 【详解】由图知：2zi，(1)(1) (2)3iziii， 在复平面内对应的点为3,1，为P点. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，同时考查复数的几何意义，属于简单题. 3. 为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级 1
3、004人中抽取 50人参加测试首 先由简单随机抽样剔除 4名学生，然后剩余的 1000名学生再用系统抽样的方法抽取，则( ) A. 每个学生入选的概率均不相等 B. 每个学生入选的概率可能为 0 C. 每个学生入选的概率都相等，且为 25 502 D. 每个学生入选的概率都相等，且为 1 20 【答案】C 【解析】 【分析】 根据简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样以及概率公式计算可得结果. 【详解】因为简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样，所以每个学生入选的概率都相等，且入选的概率等 于 5025 1004502 . 故选：C 点睛】本题考查了简单随机抽和系统抽样，考查了概率公式，属于基础题.
4、4. 已知tan2，则 2 22 1 sin2cos sin2cos ( ) A. 3 2 B. 5 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 巧用“1”，化弦为切，由已知可得解. 【详解】 222 2222 1 sin2cossin2sincos2cos sin2cossin2cos 2 2 tan2tan2 5 tan2 故选:D 【点睛】本题关键在于化弦为切，属于基础题. 5. 函数 cos ( ) x xa f x e 在 2 x 处取得极值，则( ) A. 1a ，且 2 为极大值点 B. 1a ，且 2 为极小值点 C. 1a，且 2 为极大值点 D. 1a，且 2
5、为极小值点 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导，再根据题意得()0 2 f ，由此求得1a ，再根据导数研究函数的极值 【详解】解： cos ( ) x xa f x e ， sincos ( ) x xxa fx e 2sin 4 x xa e ， 又 ( )f x在 2 x 处取得极值， 2 1 ()0 2 a f e ，得1a ， 2sin1 4 ( ) x x fx e ， 由( )0fx 得，2sin10 4 x ，即 2 sin 42 x ， 3 22, 444 kxkkZ ，即22, 2 kxkkZ ， 同理，由( )0fx 得，22, 2 kxkkZ ， ( ) fx在 2
6、 x 处附近的左侧为负，右侧为正， 函数 ( )f x在 2 x 处取得极小值， 故选：B 【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题 6. 设 0.3 0 2a .， 2 log 3b ， 3 log 4c ，则( ) A. abc B. acb C. cab D. bac 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数函数的性质可判断出a的范围，再利用对数函数的性质判断, b c的范围，从而可得结论 【详解】解：因0.2xy 在R上为减函数，且0.30， 所以 . . 0 30 00 20 21 ，即01a， 因为 2 logyx在(0,)上为增函数，且 3 2 234
7、 ， 所以 3 2 222 log 2log 3log 4 ，得 2 3 log 32 2 ，即 3 2 2 b， 因为 3 logyx在(0,)上为增函数，且 3 2 343 ， 所以 3 2 333 log 3log 4log 3 ，得 3 3 1log 4 2 ，即 3 1 2 c， 所以acb， 故选：B 【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，利用了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题 7. 函数 ( )sin()(0,0,0)f xAxA 的部分图象如图所示，则( ) A. ( )3sin 23 x f x B. 2 ( )3sin 23 x f x C. 3 ( )sin 23
8、 f xx D. 3 ( )sin 23 f xx 【答案】B 【解析】 【分析】 由图像可知3A，因为 3 (0)3sin 2 f，所以 3 或 2 3 ，然后分 3 和 2 3 两种情况结 合函数图像求解的值即可 【详解】解：由图像可知 3A ， 因为 3 (0)3sin 2 f，所以 3 或 2 3 ， 当 3 时， 55 ()3sin()3 333 f ，即 5 sin()1 33 ， 解得 53 2, 332 kkZ ，即 76 , 105 k kZ，没有选项满足题意； 当 2 3 时， 552 ()3sin()3 333 f ，即 52 sin()1 33 ， 解得 523 2,
9、332 kkZ ，即 16 , 25 k kZ， 当0k 时， 1 2 ，此时 2 ( )3sin 23 x f x ， 故选：B 【点睛】此题考查三角函数的图像和性质的应用，考查数形结合的思想，属于基础题 8. 设( ) fx是函数 ( )f x的导函数， 若对任意实数x， 都有 ( )( )( )0 x fxf xf x ， 且( 1 )2020fe， 则不等式( )20200 x xf xe的解集为( ) A. 1,) B. (,1 C. (0，2020 D. (1，2020 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数 ( ) ( ) x xf x g x e ，利用导数可得( )g x为
10、单调递增函数，将原不等式化为( )(1)g xg，根据单调性 可解得结果. 【详解】构造 ( ) ( ) x xf x g x e ， 则 2 ( )( )( ) ( ) xx x xfxf xexf x e g x e ( )( )( ) x xfxf xxf x e ( )( )( ) x x fxf xf x e 0， 所以( )g x为单调递增函数， 又 (1) (1)2020 f g e ，所以不等式( )20200 x xf xe等价于 ( ) 2020 x xf x e 等价于( )(1)g xg，所以 1x，故原不等式的解集为1,)， 故选：A 【点睛】本题考查了构造函数并利用
11、导数得到函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，考查了转化化 归思想，属于中档题. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A. 22 xx y B. 1 yx x C. 2 2 0 0 xx y xx D. 2 ln1yxx 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对各选项对应的函数逐个研究判断，即可求解 【详解】对于 A，设 22 xx f x ，定义域为R， fxf x，而函数2xy 在R上递增，函数 1 2 2 x x y 在R上递减，
12、所以函数22 xx y 在R上递增，满足题意，正确； 对于 B，设 1 f xx x ，定义域为,00,， fxf x，而函数y x 在R上递增， 函数 1 y x 在,0和0,上递减，所以函数 1 yx x 在,0和0,上递增， 在整个定义域上 不是增函数，不符合题意，不正确； 对于 C，作出函数的图象，如图所示： 根据图象可知，满足题意，正确； 对于 D，设 2 ln1xfxx ，定义域为R， ln10f xfx，即 fxf x，根据 复合函数的单调性易知函数 2 ln1xfxx 在0,上递增，而函数 f x为奇函数，所以函数 f x在,0上递增，故函数 2 ln1yxx 在R上递增，满足
13、题意，正确 故选：ACD 【点睛】本题主要考查函数的性质的判断，涉及幂函数，指数函数，对数函数的性质应用，单调性的运算， 奇偶性的判断，属于中档题 10. 某中学高一年级半期考试后将进行新高考首选科目的选择，每位同学必须在“物理”、“历史”中二选 一学校采用分层抽样的方法，抽取了该年级部分男、女学生选科意愿的一份样本，并根据统计结果绘制 如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是( ) A. 该年级男生数量多于女生数量 B. 样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的学生数量 C. 样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数 D. 样本中对历史有意愿的女生
14、人数多于对物理有意愿的女生人数 【答案】BC 【解析】 【分析】 由图 1 可知选项A错误；由图 2可知选项B,C正确, 选项D不正确. 【详解】由图 1 可知女生数量多于男生数量，故选项A错误； 由图 2 可知样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的学生数量，故选项B正确； 由图 2 可知样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数，故选项C正确； 由图 2 样本中对历史有意愿的女生人数少于对物理有意愿的女生人数，故选项D不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查了等高条形图的应用，属于基础题. 11. 下列说法正确的有( ) A. ，使sin()sinsin B. ，有 22
15、 sin()sin()sinsin C. ，使cos()coscos D. ， 有 22 cos()cos()coscos 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据取特值法，易知 A， C正确，D 错误；根据两角和与差的正弦公式展开可知 B正确 【详解】取0，易知 A正确 D错误；取 3 ， 3 ，C正确； 因为sin()sin()(sincoscossin)(sincoscossin) 22222222 sincoscossinsin1 sin1 sinsin 22 sinsin，故 B正确， 故选：ABC 【点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式，余弦公式的理解和应用，属于基础题 12.
16、已知函数 ( )sinf xxx ，xR，则下列说法正确的有( ) A. ( )f x是偶函数 B. ( )f x是周期函数 C. 在区间, 2 上， ( )f x有且只有一个极值点 D. 过(0，0)作( )yf x的切线，有且仅有 3条 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性的定义易知函数( )sinf xxx为偶函数， 所以A正确； 根据周期性的定义可判断B错误； 根据导数判断其单调性，易知 ( )f x有且只有一个极值点，C 正确；根据导数的几何意义求曲线过某点的切 线方程可知 D 正确 【详解】对于 A，因为函数的定义域为R，显然 f xfx，所以函数 ( )f x是偶
17、函数，正确； 对于 B，若存在非零常数T，使得 ()( ) f x Tf x+=，令 2 x ，则sin 222 TT ，即 cos 22 TT ， 令0 x， 则s in0TT ， 因为0T ， 所以sin0T ， 即c o s1T 或cos1T 若 c o s1T ，则 22 T ，解得0T ，舍去；若cos1T ，则 22 T ，解得T，所以若 存在非零常数T，使得 ()( ) f x Tf x+=，则T 即 f xf x， 令 3 2 x ， 则 3 22 ff ， 而 22 f ， 33 22 f ， 不符合题意 故 不存在非零常数T，使得 ()( ) f x Tf x+=，B错误；
18、 对于 C ，( )sinf xxx，xR，( )sincosfxxxx ，( )2cossinfxxxx ， 当, 2 x ，( )2cossin0fxxxx ，故( ) fx单减， 又10 2 f ，( )0f ，故( )0fx 在, 2 上有且仅有一个解， ( )f x有且只有一个极值 点，故 C 正确； 对于 D，设切点横坐标为t，则切线方程为sin(sincos )()ytttttxt， 将 (0，0) 代入，得 2 cos0tt ，解得0t 或 2 tk ，kZ 若0t ，则切线方程为0y ；若 2 tk ，则y x ，D正确 故选：ACD 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，周
19、期性的定义的应用，利用导数的几何意义求曲线过某点的切 线方程，以及利用导数研究函数的极值点，属于中档题 三、填空题三、填空题 13. 已知函数 1 sin 2 ( ) 1 (1) 2 xx f x fxx ，则 2 3 f _ 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 根据函数解析式，由自变量的范围代入相应的解析式即可求出 【详解】因为 2553 sinsin 33332 ff 故答案为： 3 2 【点睛】本题主要考查分段函数求值，涉及诱导公式的应用，属于基础题 14. 已知实数a，b满足|ln | |ln|ab ，ab，则 14 ab 的最小值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 先根据已知条件
20、可得1,0,0abab，再根据基本不等式可求得结果. 【详解】因|ln| |ln|ab且ab，所以lnlnab，即lnln0ab， 所以ln()0ab ， 所以1,0,0abab， 所以 14 ab 4 24 ab ，当且仅当 1 ,2 2 ab时，等号成立， 故答案为：4. 【点睛】本题考查了对数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题. 15. 2020年国庆档上映的影片有夺冠 ， 我和我的家乡 ， 一点就到家 ， 急先锋 ， 木兰横空出世 ， 姜子牙 ，其中后两部为动画片甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六 部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率
21、为_ 【答案】 1 9 【解析】 【分析】 这是一个古典概型，先利用分步计数原理求得甲观看了六部中的两部和乙观看了六部中的一部的基本事件 数，再求得甲、乙两人观看同一部动画片的基本事件数，然后代入公式求解. 【详解】甲观看了六部中的两部共有 2 6 15 C 种， 乙观看了六部中的一部共有 1 6 6 C 种， 则甲、乙两人观影共有15 690 种， 则甲、乙两人观看同一部动画片共有 11 25 2 510 C C 种， 所以甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为 101 909 p ， 故答案为： 1 9 【点睛】本题主要考查组合与分布计数原理，古典概型的概率求法，还考查了分析求解的能力，属于
22、中档 题. 16. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形ABC的斜边AB、直角边BC、AC，M，N分别为AB，AC的中点，点D在以AC为直 径的半圆上已知以直角边AC、BC为直径的半圆的面积之比为 3， 4 sin 5 DAB，则cosDNC _ 【答案】 24 37 50 【解析】 【分析】 设DAB， 从而22 63 DNC ， 再由 4 sin 5 =， 利用二倍角公式得到cos2，sin2， 然后利用两角差的余弦公式由coscos 2 3 DNC 求解. 【详解】设DAB，则 62 ，且22 63 DNC ， 由 4 s
23、in 5 =，得 3 cos 5 ， 7 cos2 25 ， 24 sin2 25 ， 故 13 coscos 2cos2sin2 322 DNC ， 1732424 37 22522550 故答案为： 24 37 50 【点睛】本题主要考查三角恒等变换在几何中应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于 中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数 2 1 ( )3sincoscos 2222 xxx f x (1)求函数 ( )f x的最小正周期； (2)将函数( )yf
24、 x的图象上的各点_；得到函数( )yg x的图象，当, 6 4 x 时，方程 ( )g xa 有解，求实数a的取值范围 在、中选择一个，补在(2)中的横线上，并加以解答. 向左平移 3 2 个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半； 纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 4 个单位 【答案】(1)2；(2)若选， 3 0, 2 a ；若选， 3 0, 2 a 【解析】 【分析】 (1)用正弦余弦的半角公式整理 f x可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； (2)选先平移变换后周期变换可得对应的( )g x，由( )g x的值域可得a范围； 选先周期变换后平移变换得对应的(
25、 )g x，同样由( )g x值域得a的范围. 【详解】(1) 311 ( )sin1 cossin1 2226 f xxxx ，最小正周期为2； (2)选时， 3 sin 211 cos 2 266 g xxx ， 由, 6 4 x ， 得 2 2, 663 x ， 故 1 co s 2,1 62 x ， 3 0, 2 g x ， g xa有解， 故 3 0, 2 a 选时，( )sin 21 1 sin 2 463 g xxx 由, 6 4 x ，得 2 2, 336 x ，故 1 sin 21, 32 x ， 3 ( )0, 2 g x g xa有解，故 3 0, 2 a 【点睛】本题考
26、查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题. 18. 2018年至今，美国对“中兴”、“华为”等中国高科技公司进行疯狂的打压，引发国内“中国芯”研发 热潮，但芯片的生产十分复杂，其中最重要的三种设备，刻蚀机、离子注入机、光刻机所需的核心技术仍 被一些欧美国家垄断国内某知名半导体公司组织多个科研团队，准备在未来 2 年内全力攻关这三项核心技 术已知在规定的 2年内，刻蚀机、离子注入机和光刻机所需的三项核心技术，被科研团队A攻克的概率分 别为 3 4 ， 2 3 ，a，各项技术攻关结果彼此独立按照该公司对科研团队的考核标准，在规定的 2年内，攻 克刻蚀机离子注人机所需的核心技术，
27、每项均可获得 30 分的考核分，攻克光刻机所需的核心技术，可获得 60 分的考核分，若规定时间结束时，某项技术未能被攻克，则扣除该团队考核分 10分已知团队A的初始 分为 0 分，设 2年结束时，团队A的总分为X，求： (1)已知团队A在规定时间内，将三项核心技术都攻克的概率为 1 6 ，求该团队恰能攻克三项核心技术中的一 项的概率； (2)已知 1 2 a ，求总分X不低于 50 分的概率 【答案】(1) 11 36 ；(2) 17 24 【解析】 【分析】 (1)由三项核心技术都攻克的概率求出 1 3 a ，由此能求出恰能攻克三项核心技术中的一项的概率； (2)三项技术都攻克，则120X
28、，若攻克光刻机技术和刻蚀机、离子注入机中的一项，则80X ，若技 术刻蚀机和离子注入机，但未攻克光刻机技术，则50X ，由此可求出结果 【详解】(1)三项核心技术都攻克的概率为 321 436 a，故 1 3 a 恰能攻克三项核心技术中的一项的概率 31212211111 43343343336 ； (2)若三项技术都攻克，则120X ， 3211 (120) 4324 P X ； 若攻克光刻机技术和刻蚀机、离子注入机中的一项， 则80X ， 3111215 (80) 43243224 P X ； 若技术刻蚀机和离子注入机，但未攻克光刻机技术，则50X ， 3211 (50) 4324 P X
29、 ； 所以， 15117 (50) 424424 P X 【点睛】此题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等知识，考查运 算求解能力，属于中档题 19. 已知函数 3 1 ( ) 6 f xxax，( )sing xxx (1)求函数( )g x在0, 上的最值； (2)设( )( )( )h xf xg x在区间(0,)上单调递增，求实数a的取值范围 【答案】(1) min ( )0g x， max ( )g x；(2)0a 【解析】 【分析】 (1)求导由( )1cos0g xx ，得到( )g x在0, 上单调递增求解. (2)根据( )h x在区间(0,)
30、上单调递增，转化为( )0h x 在区间(0, )上恒成立求解. 【详解】(1)( )sing xxx，( )1cos0g xx ， 所以( )g x在0, 上单调递增， 所以 min ( )(0)0g xg， max ( )( )g xg； (2) 3 1 ( )( )( )sin 6 h xf xg xxaxxx， 2 1 ( )cos1 2 h xxxa， 因为( )h x在区间(0,)上单调递增， 所以( )0h x 在区间(0, )上恒成立， ( )sinh xxx ，由(1)知( )sinh xxx 递增， 所以当(0,)x时，( )(0)0h xh ， 所以( )h x 在区间(
31、0,)上单调递增， 所以( )(0)h xha 所以0a 【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算 求解的能力，属于中档题. 20. 某电商平台为提升服务质量，从用户系统中随机选出 300 名客户，对该平台售前服务和售后服务的评价 进行统计，得到一份样本数据，并用以估计所有用户对该平台服务质量的满意度其中售前服务的满意率 为 13 15 ，售后服务的满意率为 2 3 ，对售前服务和售后服务都不满意的客户有 20人 (1)完成下面22列联表，并分析是否有 97.5%的把握认为售前服务满意度与售后服务满意度有关； (2)若用频率代替概率，假定在业
32、务服务协议终止时，对售前服务和售后服务两项都满意的客户保有率为 95%，只对其中一项不满意的客户保有率为 66%，对两项都不满意的客户保有率为 1%，从该运营系统中任 选 3名客户，求在业务服务协议终止时保有客户人数的分布列和期望， 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，na b cd 【答案】(1)列联表见解析，有 97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关；(2)分布列见解析，数 学期望为 12 5 【解析】 【分析】 (1)根据题意填写列联表，计算 2 K ，然后对照临界值得出结论； (2)由题意知 4 3, 5 B ，计算对应的概率值
33、，写出分布列，求出期望值 【详解】(1)由题意知对售前服务满意的有 260 人，对服务不满意的有 100人，得22列联表如下： 经计算得 2 2 300 (180 2080 20)75 5.775.024 200 100 260 4013 K ， 所以有 97.5%的把握认为售前服务满意与售后服务满意有关 (2)在业务服务协议终止时，对售前服务和售后服务都满意的客户保有的概率为 18057 95% 300100 ， 只有一项满意的客户保有的概率为 10022 66% 300100 ， 对二者都不满意的客户保有的概率为 201 15% 300100 所以，从系统中任选一名客户保有的概率为 572
34、2 14 1005 ， 故 4 3, 5 B ，0,1,2,3， 3 11 (0) 5125 P ， 2 1 3 4112 (1) 55125 PC ， 2 2 3 1448 (2) 55125 PC ， 3 464 (3) 5125 P (3)的分布列为： 12486412 0 123 1251251255 E 【点睛】此题考查独立性检验、超几何分布、独立重复试验以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考 查分析问题的能力，属于中档题 21. 在平面直角坐标系中，有定点(0,1)F， ( 5, 1)M ，动点P满足| |PFPM OF (1)求动点P的轨迹的方程； (2)过点(0,4)D作直线
35、，交曲线于两点A，B，以A，B为切点作曲线的切线，交于点P，连接OA， OB，OP ()证明：点P在一条定直线上； ()记 1 S， 2 S分别为 AOP，BOP的面积，求 12 SS的最小值 【答案】(1) 2 4xy；(2)(i)证明见解析；(ii)16 【解析】 【分析】 (1)利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标公式即可化简| |PFPM OF， 求得动点P的轨迹的方程； (2)()由过(0,4)D的直线与曲线相交有两个点，可设直线方程为4ykx，将直线方程与曲线的 方程联立可得 12 4xxk， 12 16x x ，再利用导数的几何意义求出以A，B为切点的切线方程，即可 联立解出点P
36、的坐标， 从而得出点P在一条定直线上； ()根据 12PABOAB SSSS ， 求出弦长AB以 及O，P到直线AB的距离，即可得到其表达式，再根据函数的单调性即可得到 12 SS的最小值 【详解】(1)设点( , )P x y，则(,1)PFxy ，(0,1)OF ， 由| |PFPM OF，得 2 2 11xyy ，整理得： 2 4xy (2)()设AB：4ykx， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 00 ,P x y，则 2 11 4xy， 2 22 4xy，联立直线AB 与抛物线： 2 2 4 4160 4 ykx xkx xy ，所以 12 4xxk， 12 16x x ；
37、 由 2 1 4 yx，求导得 1 2 yx ，切线PA： 1 11 2 x yyxx，即 2 11 24 xx yx， 同理，切线PB： 2 22 24 xx yx， 联立PA，PB可得 12 0 2 2 xx xk ， 12 0 4 4 x x y ， 即( 2 , 4 )Pk ， 所以， 点P在条定直线4y 上 ()因为 222 12 |14 14ABkxxkk，设O，P到直线AB的距离为 1 d， 2 d，则 1 2 4 1 d k ， 2 00 2 22 24 4 11 k kxy d kk ，所以 2 22 1221 22 24 114 |4 14 22 11 PABOAB k S
38、SSSABddkk kk ，即 22 12 442SSkk，其关于 2 k递增，显然，当0k 时，取得最小值 12 min 16SS 【点睛】本题主要考查数量积的坐标表示，向量的模的坐标公式，直线与抛物线的位置关系的应用，导数 几何意义的应用， 以及抛物线中的面积问题的解法，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，综合性强， 属于较难题 22. 函数 2 11 ( ) 2 mx f xex m ，( ) fx为 ( )f x的导函数 (1)若1m，xR，证明：( )()2f xfx； (2)若1m ，且对任意( ,)xe， (6)2( ) ln6 ln mx mxfx x x 恒成立，求实数m的
39、取值范围 【答案】(1)证明见解析；(2) 1, 【解析】 【分析】 (1)由题意可设 2 ( )( )() xx g xf xfxeex ，即可知函数 g x为偶函数， 利用导数再判断函数 g x在0,)上单调递增，即可证出对xR， ( )02g xg； (2)先将原不等式变形可得 22ln ()62(ln )6ln2 mxx mxmxexxe，构造函数 2 ( )62 x h xxxe， 即不等式等价于()(ln )h mxhx，利用导数可知函数 h x在 1,单调递增，即可得到 ln x m x ，再构 造函数 ln ( )() x xxe x ，求出其值域，即可得到实数m的取值范围 【
40、详解】(1)证明： 2 11 ( ) 2 mx f xex m ，( ) mx fxex 令 2 ( )( )() xx g xf xfxeex ， 则( )2 xx g xeex ，( )20 xx g xee， 所以( ) g x 在0,)单调递增，所以 ( )(0)0g xg ，( )g x在0,)单调递增； 所以0,)x时，( )(0)2g xg，因为 g xgx，函数 g x为偶函数， 即有xR时，( )2g x (2) 2 (6)2( ) ln6()62(ln6) ln ln mx mx mxfx xmxmxexxx x 2222ln ()62(ln )6ln2()62(ln )6
41、ln2 mxmxx mxmxexxxmxmxexxe 令 2 ( )62 x h xxxe，则式等价于( )(ln )h mxhx ， ( )2(3)622 xx h xxexe ，当1x 时，( )2(30)32(1) x h xxee 又因为1m ，( ,)xe，所以1mx，ln1x， 所以 ln ()(ln )ln x h mxhxmxxm x ， 令 ln ( )() x xxe x ， 2 1 ln ( ) x x x ，所以( )x在( ,)e 递减， 1 ( )( )xe e ，所以 1 m e 综 上，实数m的取值范围为 1, 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及同构函数思想的应用，意在考查学生的转 化能力，数学运算能力和数学建模能力，综合性较强，属于难题
