1、2021 级高三上期第一次月考数学试题级高三上期第一次月考数学试题 一、单项选择题一、单项选择题 1. 设集合 ln 1Ay yx， 42xBy y，则AB ( ) A. 0,2 B. 0,2 C. 0,2 D. 0,1 【答案】A 【解析】 【分析】 先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合,A B，注意集合中的代表元素，再利用集合 的交集运算求解即可. 【详解】ln 1Ay yxR， 420,2 x By y， 0,2AB . 故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题. 2. 设a， 0,b，A ab ，Bab，则A，B的大小关系是(
2、) A. AB B. AB C. AB D. AB 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意计算做差可得 22 AB ，得到答案. 【详解】由a，0,b，得0Aab，0Bab 2 222 ()20ABababab， 22 AB ，故AB， 故选：B. 【点睛】本题考查了做差法比较大小，意在考查学生的计算能力和推断能力. 3. 已知直线l是曲线2yxx的切线，则l的方程不可能是( ) A. 5210 xy B. 4210 xy C. 13690 xy D. 9440 xy 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数求出曲线2yxx的切线的斜率的取值范围， 然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是
3、 否为曲线2yxx的切线，由此可得出结论. 【详解】对于函数2yxx，定义域为0,，则 1 22 2 y x ， 所以，曲线2yxx的切线l的斜率的取值范围是2,. 对于 A选项，直线5210 xy 的斜率为 5 2 ，令 15 2 22 y x ，解得1x ，此时 3y ， 点1,3在直线5210 xy 上，则直线5210 xy 与曲线2yxx相切； 对于 B选项，直线4210 xy 的斜率为2，该直线不是曲线2yxx的切线； 对于 C选项，直线13690 xy的斜率为 13 2 6 ， 令 113 2 62 y x ，解得9x，此时21y ， 点9,21在直线13690 xy上，所以，直线
4、13690 xy与曲线2yxx相切； 对于 D选项，直线9440 xy的斜率为 9 2 4 ， 令 19 2 42 y x ，解得4x，此时10y ， 点4,10在直线9440 xy上，所以，直线9440 xy与曲线2yxx相切. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题. 4. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成， 设扇形的面积为 1 S ，圆面中剩余部分的面积为 2 S，当 1 S与 2 S的比值为 51 2 时，扇面看上去形状较为 美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) A. (35
5、) B. ( 51) C. ( 51) D. ( 52) 【答案】A 【解析】 【分析】 根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角 【详解】 1 S与 2 S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设 1 S与 2 S所在扇形圆心角分别为, ， 则 51 2 ，又 2 ，解得(35) 故选:A 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易扇形的面积公式： 2 11 22 Srlr，其中是扇形圆 心角的弧度数，l是扇形的弧长 5. 若函数 ,2 log2 , x a axa f x xxa (其中0a，1a )存在零点，则实数a的取值范围是( ) A
6、. 1 ,11,3 2 B. 1,3 C. 2,3 D. 2,3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中所给的函数有零点，结合解析式的特征，求得函数的零点，再根据分段函数的意义再结合式子的 特征求得结果. 【详解】因为xa时，( )log (2) a f xx，所以2a， 若函数若有零点，则log20 a x，解得3x ， 故3a，又2a， 实数a的取值范围是2,3 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据分段函数有零点求参数的取值范围，属于 简单题目. 6. 已知02，函数 sin3cosf xxx，对任意Rx，都有 3 fxf x ，则的 值为( ) A. 1
7、 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 化简函数 yf x的解析式为 2sin 3 fxx ，由题意可知，点 ,0 6 是函数 yf x的一个对 称中心，结合02可求得的值. 【详解】 sin3cos2sin 3 f xxxx ， 根据 3 fxf x ，得 ,0 6 是函数 yf x的一个对称中心， 则2sin0 663 f ，可得sin0 63 ， 02，0 363 ，所以0 63 ，解得2. 故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力， 属于中等题. 7. 函数 2cos sin2f xxx的一个
8、单调减区间是( ) A. , 4 2 B. 0, 6 C. , 2 D. 5 , 6 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数求得函数 yf x的单调递减区间，利用赋值法可得出结果. 【详解】 2cossin2f xxx，该函数的定义域为R， 22 2sin2cos22 1 2sin2sin2 2sinsin1fxxxxxxx 2 sin1 2sin1xx， 1 sin1x ，可得sin10 x ， 令 0fx ，可得2sin10 x ，即 1 sin 2 x ，解得 5 22 66 kxkkZ . 所以，函数 yf x的单调递减区间为 5 2,2 66 kkkZ . 当0k 时，函数 yf
9、x的一个单调递减区间为 5 , 66 ， 5 , 4 266 ， 对任意的kZ， 5 0,2,2 666 kk ， 5 ,2,2 266 kk ， 55 ,2,2 666 kk ， 故函数 yf x的一个单调递减区间为, 4 2 . 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中等题. 8. 设函数 f x在R上存在导数 fx，对任意的Rx，有 2cosf xfxx，且在0,上 有 sinfxx ，则不等式 cossin 2 f xfxxx 的解集是( ) A. , 4 B. , 4 C. , 6 D. , 6 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，由已知得出
10、所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设 cosF xf xx， 2cosf xfxx， 即 c o sc o sf xxxfx，即 F xFx，故 F x是奇函数， 由于函数 f x在R上存在导函数 fx ，所以，函数 f x在R上连续，则函数 F x在R上连续. 在0,上有 sinfxx ， sin0Fxfxx ， 故 F x在0,单调递增， 又 F x是奇函数，且 F x在R上连续， F x在R上单调递增， cossin 2 f xfxxx ， cossincos 222 f xxfxxfxx ， 即 2 F xFx ， 2 xx ，故 4 x ， 故选：
11、B 【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问 题的关键，属于较难题. 二、多项选择题二、多项选择题 9. 已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2 sinsinsinBAC，则角B的值不可能 是( ) A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】CD 【解析】 【分析】 先利用正弦定理得到 2 bac，再利用余弦定理和基本不等式得到 0, 3 B ，即可判断. 【详解】 2 sinsinsinBAC， 由正弦定理得： 2 bac， 22222 21 cos 2222 acbacacacac B acacac ， 当
12、且仅当ac时取等号， 又0B， 故0, 3 B . 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题. 10. 下列说法正确的是( ) A. “ 4 x ”是“tan1x”的充分不必要条件 B. 命题 :p “若ab，则 22 ambm”的否定是真命题 C. 命题“ 0 Rx， 0 0 1 2x x ”的否定形式是“Rx ， 1 2x x ” D. 将函数 cos2f xx x图象向左平移 4 个单位长度得到 g x的图象，则 g x的图象关于点 0, 4 对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】 解方程tan1x，利用集合的包含关系可判断 A 选项的正误
13、；判断命题p的真假，可判断出该命题的否定 的真假，进而可判断 B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断 C 选项的正误；利用图象平移得出函数 yg x的解析式，利用对称性的定义可判断 D 选项的正误. 详解】对于 A 选项，解方程tan1x，可得 4 xkkZ ， 4 , 4 x xkkZ ，所以，“ 4 x ”是“tan1x”的充分不必要条件， A 选项正确； 对于 B选项，当0m时， 22 ambm，则命题 p为假命题，它的否定为真命题，B选项正确； 对于 C选项，命题“ 0 Rx， 0 0 1 2x x ”的否定形式是“Rx ， 1 2x x ”，C选项错误； 对于 D选项，将函数 co
14、s2f xxx的图象向左平移 4 个单位长度， 得到 cos2sin2 444 g xxxxx ， sin2sin2 44 gxxxxx ，则 2 g xgx ， 故函数 yg x的图象关于点0, 4 对称，D 选项正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了充分不必要条件、命题的否定的真假、特称命题的否定的判断， 同时也考查了函数对称性的验证，考查推理能力，属于中等题. 11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构 成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，
15、简单 的讲就是对于满足一定条件的连续函数 f x，存在一个点 0 x，使得 00 f xx，那么我们称该函数为“不 动点”函数，下列为“不动点”函数的是( ) A 2xf xx B. 2 3g xxx C. 21,1 2,1 x x fx x x D. ln1f xx 【答案】BC 【解析】 【分析】 只要解方程 00 ()f xx，观察它有没有实解即可得， 【详解】选项 A，若 00 f xx，则 0 20 x ，该方程无解，故 A中函数不是“不动点”函数； 选项 B，若 00 g xx，则 2 00 230 xx，解得 0 3x 或-1，故 B中函数是“不动点”函数； 选项 C，若 00
16、f xx，则 0 1x ， 0 0 21 x x ，或 0 1x ， 00 2xx，解得 0 1x ，故 C 中函数是：“不 动点”函数； 选项 D，若 00 f xx，则 00 ln1xx ，该方程无解，故 D中函数不是“不动点”函数. 故选：BC. 【点睛】本题考查新定义“不动点”，解题关键是根据新定义把问题转化为方程有无实数解 12. 已知函数 sin coscos sinf xx x，其中 x表示不超过实数 x的最大整数，关于 f x有下述 四个结论，正确的是( ) A. f x的一个周期是2 B. f x是非奇非偶函数 C. f x在(0, )单调递减 D. f x的最大值大于 2
17、【答案】ABD 【解析】 【分析】 先根据周期函数定义判断选项 A，再根据 yx函数的意义，转化 f x为分段函数判断 B 选项，结合三 角函数的图象与性质判断 C，D选项. 【详解】 2sin co(cos in)ssf xxxf xQ， f x的一个周期是2，故 A正确； sin1 1,0 1,0, 2 cos1, 2 1 sin1, 2( ) 3 cos1 sin1, 2 3 cos1,2 2 cos1,0 2 x x x x f x x x x ， ( )f x 是非奇非偶函数，B 正确； 对于 C，(0,) 2 x 时， 1f x ，不增不减，所以 C 错误； 对于 D，0,) 2
18、x ， 2 ( )sin1 1sin111.72 42 f x ，D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题. 三、填空题三、填空题 13. 若幂函数 f x过点2,8,则满足不等式 (3)(1)f afa 的实数a的取值范围是_. 【答案】(,2 【解析】 【分析】 先求得幂函数 f x的解析式，在根据 f x的单调性求得不等式(3)(1)f afa的解集. 【详解】设 f xx，代入点2,8，得28,3 ，所以 3 f xx，所以 f x在R上递增，所以 (3)(1)31f afaaa ，解得2a，所以实数a的取值范围是
19、(,2. 故答案为：(,2 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，属于基础题. 14. 已知1a ，1b，则 loglog 216 ab ba 的最小值是_. 【答案】8 【解析】 【分析】 利用换底公式可得loglog1 ab ba，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为1a ，1b，所以log0,log0 ba ab， 因为 lg log lg loglog1 lg log lg a ab b b b a ba a a b ， 所以， logloglogloglog4log2 4 2162 2162 22 28 ababab bababa ， 当log2 ab 时
20、取“=”. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查指数式的运算、考查了换底公式与基本不等式的应用，属于中档题. 15. 4cos50 tan40_ 【答案】 3 【解析】 【详解】 4sin40 cos40sin40 4cos50tan40 cos40 2cos10sin30 cos10sin10 cos30 cos40 , 31 3cos10sin10 22 cos40 3cos40 3 cos40 ,故答案为3. 考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想. 16. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2b，cos25cos3ABC，点 P是ABC的重心，且 2 7 3 AP ，则
21、c_. 【答案】4 【解析】 【分析】 首先根据余弦二倍角公式得到 1 cos 2 A，设BC边上的中线为AD，得到 7AD ，从而得到 1 2 ADABAC，再平方解方程即可得到答案. 【详解】因为cos25cos3ABC，所以 2 2cos5cos20AA， 所以 1 cos 2 A或cos2A(舍去). 设BC边上的中线为AD，如图所示： 因为 2 7 3 AP ，所以7AD ， 又因为 1 2 ADABAC， 所以 2221 2 4 ADABACAB AC， 所以 22 1 72cos 4 cbbcA， 22 11 722 2 42 cc ， 化简得 2 2240cc，解得4c 或6c
22、(舍去). 故答案为：4 【点睛】本题主要平面向量数量积的应用，同时考查了余弦二倍角公式，属于简单题. 四、解答题四、解答题 17. 已知点2,1P 在角的终边上，且02 . (1)求值： 2sincos 4sincos ； (2)若 3 2 ，且 10 sin 210 ，求 2 的值. 【答案】(1)2；(2) 7 24 . 【解析】 【分析】 先利用同角三角函数的基本关系得到sin,cos,tan；(1)原式分子分母同除cos得到正切，代入已知 量即可得出结果；(2)先利用已知角的范围求得 5 224 ，求出cos 2 ，再利用 22 ，最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果. 【详解】
23、由题意： 5 sin 5 ， 2 5 cos 5 ， 1 tan 2 ，且 2 ， (1) 2sincos2tan1 2 4sincos4tan1 ； (2) 3 2 ， 224 ， 5 224 ， 3 10 cos 210 ， coscoscoscossinsin 2222 ， 2 552 552 3 1010 1010 ， 5 2 42 ， 7 24 . 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题. 18. 已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx . (1)当, 4 2 x 时，求 f x的值域； (2)是否存在实数2,t，使得 f x在2,t上
24、单调递增？若存在，求出t的取值范围，若不存在， 说明理由. 【答案】(1) 2,3f x ；(2)不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质 求得值域； (2)求出函数的单调区间，由 2在减区间内部，得结论 【详解】解：(1) 2 2sin3cos2 4 f xxx 1cos23cos21sin23cos212sin 2 23 xxxxx . 又, 4 2 x ， 2 2 633 x ，即212sin 23 3 x， 2,3f x ； (2)由222 232 kxk kZ得 5 1212 kx kZ
25、， 所以 f x的递增区间是 5 , 1212 kk kZ，递减区间是 511 , 1212 kk kZ，令 0k ，函数在 511 , 1212 上递减，而 511 2, 1212 ，即函数在 11 2, 12 上是递减的，故不存在实数 2,t，使得 f x在2,t上递增. 【点睛】本题考查正弦型函数的值域，考查正弦型函数的单调性，解题方法由二倍角公式，两角和与差的 正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解 19. 已知Ra，函数 1 lnf xaxx 在1x 处取得极值. (1)求函数 f x的单调区间； (2)若对0,x ， 2f xbx恒成立，求实数b的最大值.
26、 【答案】(1)函数 f x在( ) 0,1上单调递减，在( ) 1,+?上单调递增；(2) 2 1 1 e . 【解析】 【分析】 (1)首先对函数求导， 根据函数 1 lnf xaxx 在1x 处取得极值， 得到 110fa ， 求得1a ， 根据导数的符号求得其单调区间； (2)将不等式转化为 1ln 1 x b xx ，之后构造新函数 1ln 1 x g x xx ，利用导数求得其最小值，进而 求得最值，得到结果. 【详解】 11ax fxa xx ，由 110fa 得1a ， 1 ln f xxx， (1) 1x fx x ，由 ( ) 0fx 得1x ，由 ( ) 0fx ，得 2
27、 xe，由 ( ) 0gx fx a ，得(1 2 )x ax a ， 1 (2)()0axx a ，20ax， 2 x a ， 当 1 x a 时，由 2 fx a ，即(1) 2 xax a ， 2 2 0axx a ，令 2 2 0axx a ，1 80 ，方 程无解，而0a，所以 2 2 0axx a 无解， 综上所述， 2 x a ， 所以不等式 2 f x a 的解集为 2 , a . (2) 1 2 a 时 2 2 ,2 1 2 1 2 ,2 2 x xx f xxx x x x ， 1 1 2 f，由 1 1 22 x x 得另一个根 2 1x ，由 f x的图像可知， 当01
28、m时，函数的最大值为 2 1 22 mm f mmm ； 当1 2 1m 时，函数的最大值为 1 2 ； 当 21m 时，函数最大值为 2 2 m f mm 综上所述，函数的最大值为 2 max 2 ,01 2 1 ,121 2 ,21 2 m mm ym m m m . 【点睛】本题考查了解分段函数不等式的问题，分段函数求最值的问题，考查了数形结合的思想. 21. 重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在 歌乐山修建了一座避暑山庄O(如图).为吸引游客， 准备在门前两条夹角为 6 (即AOB)的小路之间修建 一处弓形花园，使之有着类似“冰
29、淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长2 3AB 且点A，B落在小 路上，记弓形花园的顶点为M，且 6 MABMBA ，设OBA. (1)将OA，OB用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园(即OA，OB长度)，才使得 喷泉M与山庄O距离即值OM最大？ 【答案】(1)4 3sinOA；4 3sin 6 OB ；(2)当63 2OBOA时，OM取最大值. 【解析】 【分析】 (1)在OAB中，利用正弦定理即可将OA，OB用含有的关系式表示出来； (2)在OMB中，由余弦定理得出 2 OM 2 16 3sin 228 3 ，结合三角函数的性质，即
30、可得出 OM的最大值，再求出,OA OB的长度即可. 【详解】(1)在ABC中，由正弦定理可知sin sin 6 OAAB ， 则4 3sinOA； 同理由正弦定理可得sin sin 6 OBAB OAB ， 则4 3sin4 3sin 6 OBOAB ， (2)2 3AB ， 6 MABMBA ， 2AMBM， 在OMB中，由余弦定理可知 222 2cos 6 OMOBBMOB BM 2 48sin4 16 3sincos 666 24 1 cos248 3sin2 33 2 83sin23cos22816 3sin 228 333 ， 5 0, 6 ， 227 2, 333 ， 23 si
31、n 21, 32 ， 当 2 sin 21 3 时，即 5 12 时， OM取最大值 28 16 342 3 ， 此时 5 4 3sin4 3 sincoscossin63 2 124646 OA ， 555 4 3sin4 3sin4 3sin63 2 1261212 OB ， 即当63 2OBOA时，OM取最大值. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题. 22. 已知函数 ( )sinln()f xxaxb ，( )g x是 ( )f x的导函数. (1)若0a，当1b时，函数( )g x在( ,4)内有唯一的极小值，求a的取值范围； (2)
32、若1a，1e 2 b ，试研究( )f x的零点个数. 【答案】(1)(0, 25sin4)a；(2) ( )f x有 3个零点. 【解析】 【分析】 (1) 先 求 导 得 2 sin) (1) ( a gx x x ， 求 出 2 ()0 (1 ) a g 4s i n 4 25 a g ， 再 由 sin40 25 a 和sin40 25 a 两种情况讨论求得a的取值范围； (2)分析可知，只需研究(, )b时零点的个数情况，再分(,),(, ) 22 xbx 两种情形讨论即可. 【详解】解：(1)当1b时，si( )(l)n1nfxaxx，cos 1 ( )( )xx a gfx x
33、， 2 sin) (1) ( a gx x x 0a 在,4是增函数， 2 ( )0 (1) a g ，(4)sin4 25 a g ， 当(4)sin40 25 a g 时，( )g x在( ,4)是减函数，无极值； 当(4)sin40 25 a g 时， 0 ( ,4)x，使得 0 0()g x， 从而( )g x在 0 ( ,)x单调递减，在 0 (,4)x单调递增， 0 x为( )g x唯一的极小值点，所以0, 25sin4a (2)当1a时，( )sinln()f xxxb，(1,) 2 be ，可知， (i),x时，( )0f x ，无零点；所以只需研究(, )b， 1 ( )co
34、sfxx xb ， (ii)(, ) 2 x 时， 1 ( )cos0fxx xb ，可知 ( )f x单调递减， ()1 ln()1 ln()0 2222 fbe ，( )0f ，存在唯一的(, ) 2 s ，( )0f s ； (iii)当(,) 2 xb ， 2 1 ( )sin () fxx xb 是减函数，且 2 1 (0)00f b ， 2 1 ()10 2 () 2 f b 则 1 (0,) 2 x ， 1 ( )0fx， fx在 1 (,)b x是增函数， 1 () 2 x ，是减函数，并且 lim( )0 xb fx ， 1 010f b ， 1 ()0 2 2 f b ， 所以 2 (,0)xb ， 2 ()0fx ； 3 (0,) 2 x ， 3 ()0fx ，且知 f x f x在 2 , b x减，在 23 ,x x增，在 3 (,) 2 x 减， 又因为 ( )lim0 xb xf ， 00 ln0fb， ()0 2 f ，(,0)mb ，( )0f m ， (0,) 2 n ，( )0f n ，综上所述，由(i)(ii)(iii)可知，( )f x有 3个零点. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和 分析推理能力.
