1、2021 年山东省济宁市金乡县中考数学一模试卷年山东省济宁市金乡县中考数学一模试卷 一、选择题（本题共计一、选择题（本题共计 10 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1 （3 分）下列 4 个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（ ） A B C D 2 （3 分）若反比例函数的图象经过点（1，2） ，则它的解析式是（ ） A B C D 3 （3 分）二次函数 ya（x+m）2+n 的图象如图，则一次函数 ymx+n 的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 4 （3 分）已知一个直角三角形的两条直角边的
2、长恰好是方程 x23x4（x3）的两个实数根，则该直角 三角形斜边上的中线长是（ ） A3 B4 C6 D2.5 5 （3 分）如图，PA，PB 切O 于点 A，B，点 C 是O 上一点，且P36，则ACB（ ） A54 B72 C108 D144 6 （3 分）在ABC 中， （2cosA）2+|1tanB|0，则ABC 一定是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 7 （3 分）如图，反比例函数和正比例函数 y2k2x 的图象交于 A（1，3） 、B（1，3）两点，若 ，则 x 的取值范围是（ ） A1x0 B1x1 Cx1 或 0 x1 D1x0 或 x1 8
3、 （3 分） 如图， 将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 40得到ABC， 若 ACAB， 则BAC 等于 （ ） A60 B50 C70 D80 9 （3 分）如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y的图象上，第二象限内的点 B 在反比例函数 y 的图象上，且 OAOB，cosA，则 k 的值为（ ） A3 B4 C D2 10 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ， 其部分图象如图所示，下列结论： 4acb2； 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23； 3a+c0 当 y0 时，x 的取值范围是
4、1x3 当 x0 时，y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 5 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 11 （3 分）点（2，5）关于原点对称的点的坐标是 12 （3 分）从，0，3.5 这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率为 13 （3 分）如图，点 P、Q、R 是反比例函数 y的图象上任意三点，PAy 轴于点 A，QBx 轴于点 B， QCx 轴于点 C， S1， S2， S3分别表示OAP， OBQ， OCR 的面积， 则 S1： S2： S3的大小关系是 14
5、（3 分）如图，O 的半径为 2，点 A、C 在O 上，线段 BD 经过圆心 O，ABDCDB90，AB 1，CD，则图中阴影部分的面积为 15 （3 分）如图，圆心都在 x 轴正半轴上的半圆 O1，半圆 O2，半圆 On与直线 l 相切设半圆 O1，半 圆 O2，半圆 On的半径分别是 r1，r2，rn，则当直线 l 与 x 轴所成锐角为 30，且 r11 时，r2021 三、解答题（本题共计三、解答题（本题共计 7 小题，共计小题，共计 55 分）分） 16 （6 分）先化简，再求代数式的值 （+），其中 atan60sin30 17 （6 分）用适当的方法解下列方程： （1）3x（x+3
6、）2（x+3） ； （2）2x26x30 18 （6 分）已知：如图，反比例函数的图象经过点 A、B，点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 的纵坐标为 1，点 C 的坐标为（2，0） （1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线 BC 的解析式 19 （7 分）一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60的方向出港观光，航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船 事故， 立即发出了求救信号， 一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号， 测得事故船在它的北偏东 37 方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船 C 处所需的大约时间 （温馨提示： sin530.8，cos530.6）
7、 20 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，4） ，B（4，2） ，C（3，5） （每个方格的边长均为 1 个单位长度） （1）将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90，画出旋转后得到的A1B1C1； （2）求出点 B 旋转到点 B1所经过的路径长 21 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DFAC 于点 F （1）判断 DF 与是O 的位置关系，并证明你的结论 （2）若O 的半径为 4，CDF22.5，求阴影部分的面积 22 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+
8、bx+c 的顶点坐标为（2，9） ，与 y 轴交于点 A（0， 5） ，与 x 轴交于点 E、B （1）求二次函数 yax2+bx+c 的表达式； （2）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点（点 P 在 AC 上方） ，作 PD 平 行于 y 轴交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积； （3）若点 M 在抛物线上，点 N 在其对称轴上，使得以 A、E、N、M 为顶点的四边形是平行四边形，且 AE 为其一边，求点 M、N 的坐标 2021 年山东省济宁市金乡县中考数学一模试卷年山东省济宁市金乡县中考数学一
9、模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共计一、选择题（本题共计 10 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1 （3 分）下列 4 个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意 故选：D 2 （3 分）若反比例函数的图象经过点（1，2） ，则它的解析式是（ ） A B C D 【解答】解：设反比例函数解析式为 y
10、， 反比例函数的图象经过点（1，2） ， k122， 反比例函数解析式为 y， 故选：B 3 （3 分）二次函数 ya（x+m）2+n 的图象如图，则一次函数 ymx+n 的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 【解答】解：抛物线的顶点在第四象限， m0，n0， m0， 一次函数 ymx+n 的图象经过二、三、四象限， 故选：C 4 （3 分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x23x4（x3）的两个实数根，则该直角 三角形斜边上的中线长是（ ） A3 B4 C6 D2.5 【解答】解：x（x3）4（x3）0， （x3） （
11、x4）0， x30 或 x40， 所以 x13，x24， 则直角三角形两直角边分别为 3、4， 所以斜边5， 所以该直角三角形斜边上的中线长 故选：D 5 （3 分）如图，PA，PB 切O 于点 A，B，点 C 是O 上一点，且P36，则ACB（ ） A54 B72 C108 D144 【解答】解：如图所示，连接 OA、OB PA、PB 都为圆 O 的切线， PAOPBO90 P36， AOB144 CAOB14472 故选：B 6 （3 分）在ABC 中， （2cosA）2+|1tanB|0，则ABC 一定是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 【解答】解：由，
12、 （2cosA）2+|1tanB|0，得 2cosA，1tanB0 解得 A45，B45， 则ABC 一定是等腰直角三角形， 故选：D 7 （3 分）如图，反比例函数和正比例函数 y2k2x 的图象交于 A（1，3） 、B（1，3）两点，若 ，则 x 的取值范围是（ ） A1x0 B1x1 Cx1 或 0 x1 D1x0 或 x1 【解答】解：由图可知，在 A 点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时 x1； 在 B 点左侧，y 轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时 0 x1 故选：C 8 （3 分） 如图， 将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 40得到ABC， 若 ACAB，
13、 则BAC 等于 （ ） A60 B50 C70 D80 【解答】解：将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 40得到ABC， BACA，ACA40 ACAB， A50 BAC50 故选：B 9 （3 分）如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y的图象上，第二象限内的点 B 在反比例函数 y 的图象上，且 OAOB，cosA，则 k 的值为（ ） A3 B4 C D2 【解答】解：过 A 作 AEx 轴，过 B 作 BFx 轴， OAOB， AOB90， BOF+EOA90， BOF+FBO90， EOAFBO， BFOOEA90， BFOOEA， 在 RtAOB 中，cosBAO， 设
14、AB，则 OA1，根据勾股定理得：BO， OB：OA：1， SBFO：SOEA2：1， A 在反比例函数 y上， SOEA1， SBFO2， 则 k4 故选：B 10 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0） ， 其部分图象如图所示，下列结论： 4acb2； 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23； 3a+c0 当 y0 时，x 的取值范围是1x3 当 x0 时，y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解答】解：抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，
15、所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， 而点（1，0）关于直线 x1 的对称点的坐标为（3，0） ， 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23，所以正确； x1，即 b2a， 而 x1 时，y0，即 ab+c0， a+2a+c0，所以错误； 抛物线与 x 轴的两点坐标为（1，0） ， （3，0） ， 当1x3 时，y0，所以错误； 抛物线的对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 随 x 增大而增大，所以正确 故选：B 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 5 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 15 分）分） 11 （3 分）点（2，5）关于原点对称的点的坐标是 （2
16、，5） 【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 点（2，5）关于原点过对称的点的坐标是（2，5） 故答案为： （2，5） 12 （3 分）从，0，3.5 这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率为 【解答】解：，0，3.5 这五个数中，无理数有 2 个， 随机抽取一个，则抽到无理数的概率是， 故答案为 13 （3 分）如图，点 P、Q、R 是反比例函数 y的图象上任意三点，PAy 轴于点 A，QBx 轴于点 B， QCx 轴于点 C，S1，S2，S3分别表示OAP，OBQ，OCR 的面积，则 S1：S2：S3的大小关系是 S1 S2S3 【解答】解：依题意，得 S11，S21，S3
17、1， S1S2S3 14 （3 分）如图，O 的半径为 2，点 A、C 在O 上，线段 BD 经过圆心 O，ABDCDB90，AB 1，CD，则图中阴影部分的面积为 【解答】解：在 RtABO 中，ABO90，OA2，AB1， OB，sinAOB，AOB30 同理，可得出：OD1，COD60 AOCAOB+（180COD）30+18060150 在AOB 和OCD 中，有， AOBOCD（SSS） S阴影S扇形OAC S扇形OACR222 故答案为： 15 （3 分）如图，圆心都在 x 轴正半轴上的半圆 O1，半圆 O2，半圆 On与直线 l 相切设半圆 O1，半 圆 O2，半圆 On的半径分
18、别是 r1，r2，rn，则当直线 l 与 x 轴所成锐角为 30，且 r11 时，r2021 32020 【解答】解：分别过半圆 O1，半圆 O2，半圆 On的圆心作 O1Al，O2Bl，O3Cl，如图， 半圆 O1，O2，O3，On与直线 l 相切， O1Ar1，O2Br2，O3Cr3， 当直线 l 与 x 轴所成锐角为 30时，OO12O1A2， 在 RtOBO2中，OO22BO2，即 2+1+r22r2， r23， 在 RtOCO3中，OO32CO3，即 2+1+23+r32r3， r3932， 同理可得，r42733， r202132020， 故答案为：32020 三、解答题（本题共计
19、三、解答题（本题共计 7 小题，共计小题，共计 55 分）分） 16 （6 分）先化简，再求代数式的值 （+），其中 atan60sin30 【解答】解：atan60sin30 a 原式+ + 17 （6 分）用适当的方法解下列方程： （1）3x（x+3）2（x+3） ； （2）2x26x30 【解答】解： （1）3x（x+3）2（x+3）0， （x+3） （3x2）0， 则 x+30 或 3x20， 解得：x3 或 x； （2）a2、b6、c3， 3642（3）600， 则 x 18 （6 分）已知：如图，反比例函数的图象经过点 A、B，点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 的纵坐标为 1，
20、点 C 的坐标为（2，0） （1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线 BC 的解析式 【解答】解： （1）设所求反比例函数的解析式为 y（k0） 点 A（1，3）在此反比例函数的图象上， ， k3 故所求反比例函数的解析式为 （2）设直线 BC 的解析式为 yk1x+b（k10） 点 B 的反比例函数的图象上，点 B 的纵坐标为 1，设 B（m，1） ， ，m3 点 B 的坐标为（3，1） 由题意，得， 解得： 直线 BC 的解析式为 yx2 19 （7 分）一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60的方向出港观光，航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船 事故， 立即发出了求救信号， 一艘
21、在港口正东方向的海警船接到求救信号， 测得事故船在它的北偏东 37 方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船 C 处所需的大约时间 （温馨提示： sin530.8，cos530.6） 【解答】解：如图，过点 C 作 CDAB 交 AB 延长线于 D 在 RtACD 中，ADC90，CAD30，AC80 海里， CDAC40 海里 在 RtCBD 中，CDB90，CBD903753， BC50（海里） ， 海警船到达事故船 C 处所需的时间大约为：5040（小时） 20 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，4） ，B（4，2） ，C（
22、3，5） （每个方格的边长均为 1 个单位长度） （1）将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90，画出旋转后得到的A1B1C1； （2）求出点 B 旋转到点 B1所经过的路径长 【解答】解： （1）如图： ； （2）如图 2： ， OB2， 点 B 旋转到点 B1所经过的路径长 21 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作 DFAC 于点 F （1）判断 DF 与是O 的位置关系，并证明你的结论 （2）若O 的半径为 4，CDF22.5，求阴影部分的面积 【解答】 （1）解：DF 与O 相切，证明如下： 连接 OD，如图 1
23、 所示： OBOD， ODBB， 又ABAC， CB， ODBC， ODAC， DFAC， DFOD， 点 D 在O 上， DF 与O 的相切； （2）解：连接 OE，如图 2 所示： CDF22.5，DFAC， C9022.567.5， ABAC， BC67.5， A45， 又OAOE4， OEA45， AOE90， 阴影部分的面积4448 22 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为（2，9） ，与 y 轴交于点 A（0， 5） ，与 x 轴交于点 E、B （1）求二次函数 yax2+bx+c 的表达式； （2）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交
24、抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点（点 P 在 AC 上方） ，作 PD 平 行于 y 轴交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积； （3）若点 M 在抛物线上，点 N 在其对称轴上，使得以 A、E、N、M 为顶点的四边形是平行四边形，且 AE 为其一边，求点 M、N 的坐标 【解答】解： （1）设抛物线解析式为 ya（x2）2+9， 抛物线与 y 轴交于点 A（0，5） ， 4a+95， a1， y（x2）2+9x2+4x+5； （2）当 y0 时，x2+4x+50， x11，x25， E（1，0） ，B（5，0） ， 设直线 AB 的解
25、析式为 ymx+n， A（0，5） ，B（5，0） ， 由点 A、B 的坐标得，直线 AB 的解析式为 yx+5； 设 P（x，x2+4x+5） ， D（x，x+5） ， PDx2+4x+5+x5x2+5x， AC4， S四边形APCDACPD2（x2+5x）2x2+10 x， 当 x时， 即点 P（，）时，S四边形APCD最大； （3）如图，过 M 作 MH 垂直于对称轴，垂足为 H， MNAE，MNAE， HMNAOE（AAS） ， HMOE1， M 点的横坐标为 x3 或 x1， 当 x1 时，M 点纵坐标为 8， 当 x3 时，M 点纵坐标为 8， M 点的坐标为 M1（1，8）或 M
26、2（3，8） ， A（0，5） ，E（1，0） ， 直线 AE 解析式为 y5x+5， MNAE， MN 的解析式为 y5x+b， 点 N 在抛物线对称轴 x2 上， N（2，10+b） ， AE2OA2+OE226， MNAE， MN2AE2， MN2（21）2+8（10+b）21+（b+2）2 M 点的坐标为 M1（1，8）或 M2（3，8） ， 点 M1，M2关于抛物线对称轴 x2 对称， 点 N 在抛物线对称轴上， M1NM2N， 1+（b+2）226， b3，或 b7， 10+b13 或 10+b3， 当 M 点的坐标为（1，8）时，N 点坐标为（2，13） ；当 M 点的坐标为（3，8）时，N 点坐标为（2，3）
