1、2021 年山西省晋一大联考中考数学模拟试卷年山西省晋一大联考中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1下列各数中，比2021 小的是（ ） A2022 B2021 C0 D0.001 2地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它 是城市文化的缩影下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外） ，既是轴对
2、称图形又是中心对称图形的 是（ ） A B C D 3下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量 B调查某一批次 LED 灯泡的使用寿命 C调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况 D调查太原市市民进行垃圾分类的情况 4如图所示的几何体由 6 个相同的小正方体搭成，关于该几何体的三种视图，下列说法正确的是（ ） A仅主视图与左视图相同 B仅主视图与俯视图相同 C仅左视图与俯视图相同 D主视图、左视图和俯视图都相同 5下列运算正确的是（ ） A3a2a5a2 B6a23a2a C （2a3+4a2a）a2a2+4a1 D （3a）39a3 6 如图，
3、已知直线 ab， 将一块含 45角的直角三角尺 ABC （C90） 按图示位置放置 若130， 则2 的度数为（ ） A30 B45 C60 D75 7 “中国疫苗，助力全球战疫” 据中国外交部数据显示，中国已向 53 个提出要求的发展中国家提供了疫 苗援助，并正在向 20 多个国家出口疫苗预计 2021 年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过 20 亿剂，必 将为全球抗疫作出重大贡献将数据“20 亿”用科学记数法表示为（ ） A2108 B2109 C21010 D20108 8如图，在平面直角坐标系中，已知点 E，F 的坐标分别为（4，2） ， （1，1） 以点 O 为位似中心， 在原点的另一
4、侧按 2：1 的相似比将OEF 缩小，则点 E 的对应点 E的坐标为（ ） A （） B （1，2） C （2，1） D （4，2） 9二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个 节气分别相对应于地球在黄道上每运转 15所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响它凝聚 着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明” 如图是地球绕太 阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为 Rkm，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路 程是（ ） Akm Bkm Ckm Dkm 10如图是一个正方形纸板，阴影部分是由 4 段
5、以正方形边长的一半为半径的弧所围成的，这些弧所在圆 的圆心分别是正方形的顶点或中心，这样的图形被称为斯坦因豪斯图形若将一根针随机投掷到该正方 形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分请将答案直接写在答题卡相应位置）分请将答案直接写在答题卡相应位置） 11化简+结果是 12如图是一组有规律的图案，它们是由全等的正六边形构成的，依此规律，第 n 个图案中正六边形的个 数为 （用含有 n 的代数式表示） 13如图，O 是正五边形 ABCDE 的内切圆，点 M，N，F 分别是边 A
6、E，AB，CD 与O 的切点，则 MFN 的度数为 14某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买 A，B 两种型号的放大镜，A 型号的放大镜每个 20 元，B 型号的放大镜每个 15 元，且所需购买 A 型号放大镜的数量是 B 型号放大镜数量的 2 倍，且总 费用不超过 1100 元，则最多可以购买 A 型号放大镜 个 15如图，在 RtABC 中，ABC90，ABBC2，AE 是 BC 边上的中线，过点 B 作 AE 的垂线 BD， 垂足为 H，交 AC 于点 D，则 AD 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分解答应写出必要的文字说明、
7、证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16计算： （45）（）22 2+（ ）3 17阅读下列解方程 x292（x3）的过程，并解决相关问题 解：将方程左边分解因式，得（x+3） （x3）2（x3） ，第一步 方程两边都除以（x3） ，得 x+32，第二步 解得 x1第三步 第一步方程左边分解因式的方法是 ，解方程的过程从第 步开始出现错误，错误的原因 是 ； 请直接写出方程的根为 18如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且 CD 平分ACB，过点 D 作O 的切线，交 CA 的延长线 于点 E若ABC30 （1）求E 的度数； （2）若 AC 的长为，
8、请直接写出 DE 的长 19经过近半个世纪的迅速发展，我国航天事业取得了巨大成就随着“嫦娥五号”月球探测器携带月壤 返回地球，中国探月工程“绕、落、回”计划完美收官；2021 年 2 月 10 日， “天问一号”火星探测器抵 达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星，并从距地球 1.9 亿千米外传回新春祝福开学初，某学校组 织首届 “航天梦 报国情” 航天知识竞赛活动， 旨在引导同学们感受祖国航天事业的成就， 提升爱国热情 活 动中，九年级全体同学参加了“航天知识竞赛” ，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动 收集数据： 现随机抽取九年级 40 名同学“航天知识竞赛”的成绩（单位：分）如下
9、： 75 85 75 80 75 75 85 70 75 90 75 80 80 70 75 80 85 80 80 95 95 75 90 80 70 80 95 85 75 85 80 80 70 80 75 80 80 55 70 60 整理分析： 小彬按照如下表格整理了这组数据，并绘制了如下的频数直方图 九年级 40 名同学“航天知识竞赛”成绩频数分布表 成绩 x/分 频数（人数） 50 x60 1 60 x70 1 70 x80 80 x90 18 90 x100 （1）请将图表中空缺的部分补充完整，并直接写出这组数据的中位数 （2）简要说明这 40 名同学“航天知识竞赛”成绩的分布
10、情况 （写出一条即可） 问题解决： （3）活动组委会决定，给“航天知识竞赛”成绩在 90 分及以上的同学授予“小宇航员”称号根据上 面的统计结果，估计该校九年级 560 人中约有多少人将获得“小宇航员”称号 （4） “航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了 A，B，C，D 四枚纪念章（除图案 外完全相同） 如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号” “天问一号” “长征火箭” “天宫一号”的 图案她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬 的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率 20阅读下列材料，并完成相应的任务 尺规作图起
11、源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次， 来解决不同的平面几何作图问题在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图 方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形 如图 1，在ABC 中，ABAC小明用尺规作底边 BC 的垂直平分线的过程如下： 以点 A 为圆心，小于 AB 长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 D，E； 分别以点 D，E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧交于点 P； 作射线 AP，则 APBC （1）根据小明的作图方法在图 1 中作出图形，他得出“APBC”的依据是 （2）如图 2，已知在四边形 ABCD 中，ABAD
12、，ABCADC，求作对角线 BD 的垂直平分线，小 亮只用直尺作直线 AC，就得到对角线 BD 的垂直平分线请你帮小亮说明理由 （3） 如图 3， 已知在四边形 ABCD 中， ADBC， BC 请你只用直尺作出 BC 边的垂直平分线 （不 写作法，保留作图痕迹） 21如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y4x+2 的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y （k0） 的图象交于点 B，C，且 B（1，m） ，C（n，4） 过点 A 作 ADy 轴交反比例函数 y（k0）的 图象于点 D，连接 BD （1）求反比例函数的表达式和点 C 的坐标 （2）求ABD 的面积 （3）请直接写出不等式4
13、x+2 的解集 22山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香” 县政府运用“互联网+玉露香梨”的发展思路，探索“爱 心助农精准脱贫” 的方式， 构建 “隰县玉露香” 电商生态圈， 使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地.2021 年春节期间， “隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用 10000 元购进一批“隰县玉露香” ，销量 可观， 于是又用 18000 元购进一批同款规格的 “隰县玉露香” ， 但第二次的进价比第一次每箱上涨 20 元， 第二次所购数量恰好是第一次的 1.5 倍 （1）求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格 （2）政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号
14、发射塔，以提高农村互联网的传 输效率如图，是一个新建的移动信号发射塔 AC，其高 AC15m用测角仪在山脚下的点 B 处测得塔 底 C 的仰角CBD36.9，塔顶 A 的仰角ABD42，点 A，C，D 在同一条铅垂线上果农要在山 脚 B 处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少 100m 就可不受信号塔辐射 的影响请判断在点 B 处的房屋是否受信号塔塔顶 A 发出的信号辐射的影响 （测角仪、 房屋的高度忽略不计； 结果精确到 0.1m； 参考数据： sin36.90.60， cos36.90.80， tan36.9 0.75，sin420.67，cos420.74，tan
15、420.90） 23综合与实践图形变换中的数学问题 问题情境： 如图 1，在 RtABC 中，AB5，ABC90，BAC45将ABC 沿 AC 翻折得到ADC，然后 展平，两个三角形拼成四边形 ABCD （1）求证：四边形 ABCD 是正方形 初步探究： （2）将ABC 从图 1 位置开始绕点 B 按逆时针方向旋转角度 （090） ，得到EBF，其中点 A，C 的对应点分别是点 E，F，连接 AE，FC 并分别延长，交于点 M试猜想线段 AM 与 FM 的数量关 系和位置关系，并说明理由 深入探究： （3）如图 3，连接 DE，当 DECM 时，请直接写出 CM 的长 24综合与探究： 如图，
16、 抛物线 yx2+x+6 与 x 轴交于点 A， B （点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C， 直线 l 经过 B， C 两点 （1）求 A，B 两点的坐标及直线 l 的函数表达式 （2） 点 D 是直线 l 上方抛物线上一点， 其横坐标为 m， 过点 D 作直线 DEx 轴于点 E， 交直线 l 于点 F 当 DF2EF 时，求点 D 的坐标 （3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 P，使得PAB2DAB？若存在，请直接写出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 2021 年山西省晋一大联考中考数学模拟试卷年山西省晋一大联考中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案
17、与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各数中，比2021 小的是（ ） A2022 B2021 C0 D0.001 【分析】根据有理数的大小比较解答即可 【解答】解：因为202220210.00102021， 所以其中比2021 小的是2022 故选：A 2地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它 是城市文化的缩影下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外） ，既是轴对称图形又是中心对称图形的 是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此
18、选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意 故选：D 3下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量 B调查某一批次 LED 灯泡的使用寿命 C调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况 D调查太原市市民进行垃圾分类的情况 【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而 抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案 【解答】解：A、调查太原市市民平均每日废弃口罩的数
19、量，适合采用抽样调查，故本选项不合题意； B、调查某一批次 LED 灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项不合题意； C、调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意； D、调查太原市市民进行垃圾分类的情况，适合采用抽样调查，故本选项不合题意 故选：C 4如图所示的几何体由 6 个相同的小正方体搭成，关于该几何体的三种视图，下列说法正确的是（ ） A仅主视图与左视图相同 B仅主视图与俯视图相同 C仅左视图与俯视图相同 D主视图、左视图和俯视图都相同 【分析】根据该几何体的三视图可逐一判断 【解答】解：该几何体的主视图：底层是两个小正方形，上层是两个小正
20、方形； 左视图：底层是两个小正方形，上层是两个小正方形； 俯视图：底层是两个小正方形，上层是两个小正方形； 所以主视图、左视图和俯视图都相同 故选：D 5下列运算正确的是（ ） A3a2a5a2 B6a23a2a C （2a3+4a2a）a2a2+4a1 D （3a）39a3 【分析】根据单项式乘以单项式、单项式除以单项式，有理数混合运算法则，及积的乘方运算法则逐项 进行计算即可得出答案 【解答】解：A：因为 3a2a6a2，所以 A 选项错误； B：因为6a23a2a，所以 B 选项错误； C：因为（2a3+4a2a）a2a2+4a1，所以 C 选项正确； D：因为（3a）327a3，所以
21、D 选项错误 故选：C 6 如图， 已知直线 ab， 将一块含 45角的直角三角尺 ABC （C90） 按图示位置放置 若130， 则2 的度数为（ ） A30 B45 C60 D75 【分析】 过A作直线AD直线a， 求出AD直线a直线b， 根据平行线的性质得出1DAC30， DDAB，再求出答案即可 【解答】解：过 A 作直线 AD直线 a， 直线 ab， AD直线 a直线 b， 1DAC30，DDAB， 130，CAB45， 2DABDAC+CAB30+4575， 故选：D 7 “中国疫苗，助力全球战疫” 据中国外交部数据显示，中国已向 53 个提出要求的发展中国家提供了疫 苗援助，并正
22、在向 20 多个国家出口疫苗预计 2021 年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过 20 亿剂，必 将为全球抗疫作出重大贡献将数据“20 亿”用科学记数法表示为（ ） A2108 B2109 C21010 D20108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：20 亿20000000002109， 故选：B 8如图，在平面直角坐标系中，已知点 E，F 的坐标分别为（4，2） ， （
23、1，1） 以点 O 为位似中心， 在原点的另一侧按 2：1 的相似比将OEF 缩小，则点 E 的对应点 E的坐标为（ ） A （） B （1，2） C （2，1） D （4，2） 【分析】根据位似变换的性质计算，判断即可 【解答】解：点 E 的坐标为（4，2） ，以点 O 为位似中心，在原点的另一侧按 2：1 的相似比将OEF 缩小， 点 E 的对应点 E的坐标为（4（） ，2（） ） ，即（2，1） ， 故选：C 9二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个 节气分别相对应于地球在黄道上每运转 15所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响它
24、凝聚 着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明” 如图是地球绕太 阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为 Rkm，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路 程是（ ） Akm Bkm Ckm Dkm 【分析】可得从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为 90，根据扇形的弧长公式计算即可 求解 【解答】解：从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为 90， 地球绕太阳公转的路程是（km） 故选：A 10如图是一个正方形纸板，阴影部分是由 4 段以正方形边长的一半为半径的弧所围成的，这些弧所在圆 的圆心分别是正方形的顶点或中心，这样的图形被称为斯坦
25、因豪斯图形若将一根针随机投掷到该正方 形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是（ ） A B C D 【分析】利用割补法可得阴影部分的面积等于正方形面积的一半，然后利用概率公式求解即可 【解答】解：如图所示，连接正方形的对边重点得到四个相同的小正方形，观察图形，把和、和 的位置互换，得到两个阴影部分面积相等的小正方形，所以阴影部分的面积是正方形的面积的一半， 所以将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在阴影区域的概率是， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11化简+结果是 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式+ 故答案为： 12如图是一组有规律的图案，它
26、们是由全等的正六边形构成的，依此规律，第 n 个图案中正六边形的个 数为 3n+1 （用含有 n 的代数式表示） 【分析】先表示出前三个图形的个数，再根据图形的变化规律解答即可 【解答】解：第 1 个图案中正六边形的个数为 431+1； 第 2 个图案中正六边形的个数为 732+1； 第 3 个图案中正六边形的个数为 1033+1； 第 n 个图案中正六边形的个数为 3n+1； 故答案为：3n+1 13如图，O 是正五边形 ABCDE 的内切圆，点 M，N，F 分别是边 AE，AB，CD 与O 的切点，则 MFN 的度数为 36 【分析】如图，连接 OM，ON求出MON，再利用圆周角定理求解即
27、可 【解答】解：如图，连接 OM，ON M，N，F 分别是 AE，AB，CD 与O 的切点， OMAE，ONAB， OMAONA90， A108， MON18010872， MFNMON36， 故答案为：36 14某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买 A，B 两种型号的放大镜，A 型号的放大镜每个 20 元，B 型号的放大镜每个 15 元，且所需购买 A 型号放大镜的数量是 B 型号放大镜数量的 2 倍，且总 费用不超过 1100 元，则最多可以购买 A 型号放大镜 40 个 【分析】设出 A 型放大镜为 x 个，根据等量关系列出方程求解 【解答】解：设 A 型放大镜 x 个，则
28、B 型放大镜为x 个， 根据题意可得：20 x+15x1100 解得：x40 故答案为：40 15如图，在 RtABC 中，ABC90，ABBC2，AE 是 BC 边上的中线，过点 B 作 AE 的垂线 BD， 垂足为 H，交 AC 于点 D，则 AD 的长为 【分析】过点 C 作 FCBC 于 C，延长 BD 交 CF 于 F，证明ABEBCF（ASA） ，得 BECF，再证 明ABDCFD，列比例式可得结论 【解答】解：过点 C 作 FCBC 于 C，延长 BD 交 CF 于 F， ABCBCF90， ABC+BCF180， ABCF， AEBD， AHBBAH+ABH90， ABH+CB
29、F90， CBFBAH， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（ASA） ， BECF， AE 是 BC 边上的中线， BEBC1， CF1， 在 RtABC 中，由勾股定理得：AC2， ABCF， BADDCF，ABDDFC， ABDCFD， ，即， 解得：AD 故答案为： 三解答题三解答题 16计算： （45）（）22 2+（ ）3 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数的混合运算计算得出答案 【解答】解：原式9 4 4 17阅读下列解方程 x292（x3）的过程，并解决相关问题 解：将方程左边分解因式，得（x+3） （x3）2（x3） ，第一步 方程两边都除以（x3） ，得
30、x+32，第二步 解得 x1第三步 第一步方程左边分解因式的方法是 公式法 ，解方程的过程从第 二 步开始出现错误，错误的原 因是 x3 可能为 0 ； 请直接写出方程的根为 x13，x21 【分析】根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可； 利用公式法求解即可 【解答】解：第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误 的原因是：x3 可能为 0， 故答案为：公式法，二，x3 可能为 0； x292（x3） ， （x+3） （x3）2（x3） ， （x+3） （x3）2（x3）0， 则（x3） （x+1）0， x30 或 x+10， 解得 x13，x21， 故
31、答案为：x13，x21 18如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且 CD 平分ACB，过点 D 作O 的切线，交 CA 的延长线 于点 E若ABC30 （1）求E 的度数； （2）若 AC 的长为，请直接写出 DE 的长 【分析】 （1）连接 OD，先证 EDAO，得出EBAC，于结合圆周角定理的推论和直角三角形的性 质可得出结论； （2）过点 A 作 AHDE 于点 H，则DHA90，选证明四边形 AODH 是正方形，可求出 DH 的长， 由直角三角形的性质求出 EH 的长，即可求出 DE 的长 【解答】解： （1）连接 OD， DEO 的切线， DEOD， EDO90， CD 平分
32、ACB， ACDBCD， AODBOD， 又AOD+BOD180， AODBOD90， EDAO， EBAC， AB 是O 的直径， ACB90， 又ABC30， BAC60， E60； （2）过点 A 作 AHDE 于点 H，则DHA90， 又HDOAOD90， 四边形 AODH 是矩形， 又ODOA， 四边形 AODH 是正方形， AODHAH， 在 RtABC 中，ABC30，AC， AB2， AO， DHAHAO， 在 RtAHE 中，EH1， DEEH+DH1+ 19经过近半个世纪的迅速发展，我国航天事业取得了巨大成就随着“嫦娥五号”月球探测器携带月壤 返回地球，中国探月工程“绕、落
33、、回”计划完美收官；2021 年 2 月 10 日， “天问一号”火星探测器抵 达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星，并从距地球 1.9 亿千米外传回新春祝福开学初，某学校组 织首届 “航天梦 报国情” 航天知识竞赛活动， 旨在引导同学们感受祖国航天事业的成就， 提升爱国热情 活 动中，九年级全体同学参加了“航天知识竞赛” ，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动 收集数据： 现随机抽取九年级 40 名同学“航天知识竞赛”的成绩（单位：分）如下： 75 85 75 80 75 75 85 70 75 90 75 80 80 70 75 80 85 80 80 95 95 75 90 80
34、 70 80 95 85 75 85 80 80 70 80 75 80 80 55 70 60 整理分析： 小彬按照如下表格整理了这组数据，并绘制了如下的频数直方图 九年级 40 名同学“航天知识竞赛”成绩频数分布表 成绩 x/分 频数（人数） 50 x60 1 60 x70 1 70 x80 15 80 x90 18 90 x100 5 （1）请将图表中空缺的部分补充完整，并直接写出这组数据的中位数 （2）简要说明这 40 名同学“航天知识竞赛”成绩的分布情况 （写出一条即可） 问题解决： （3）活动组委会决定，给“航天知识竞赛”成绩在 90 分及以上的同学授予“小宇航员”称号根据上 面的
35、统计结果，估计该校九年级 560 人中约有多少人将获得“小宇航员”称号 （4） “航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了 A，B，C，D 四枚纪念章（除图案 外完全相同） 如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号” “天问一号” “长征火箭” “天宫一号”的 图案她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬 的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率 【分析】 （1）根据题干所给数据整理可得；根据中位数的定义求解可得； （2）由频数分布表可得数据的分布情况； （3）用总人数乘以样本中 90 x100 人数所占比例即可得； （4）根
36、据题意先画出树状图，得出共有 12 种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得 【解答】解： （1）补全表格如下： 成绩 x（单位：分） 频数（人数） 50 x60 1 60 x70 1 70 x80 15 80 x90 18 90 x100 5 这 40 名同学的“航天知识竞赛”成绩的中位数是第 20、21 个数据的平均数， 所以这 40 名同学的“航天知识竞赛”成绩的中位数是80（分） ， （2）这 40 名同学“航天知识竞赛”的成绩主要分布在 70 x90 （3）估计该校九年级 560 人中，获得“小宇航员”称号的约为 56070（人） （4）将分别印有“嫦娥五号” “天问一号” “长征火
37、箭” “天宫一号”的印章分别记为 A、B、C、D， 画树状图如下： 则共有 12 种等可能的结果数，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的结 果数为 6， 所以小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为 20阅读下列材料，并完成相应的任务 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次， 来解决不同的平面几何作图问题在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图 方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形 如图 1，在ABC 中，ABAC小明用尺规作底边 BC 的垂直平分线的过程如下： 以点 A
38、 为圆心，小于 AB 长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 D，E； 分别以点 D，E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧交于点 P； 作射线 AP，则 APBC （1）根据小明的作图方法在图 1 中作出图形，他得出“APBC”的依据是 等腰三角形顶角的平分线 与底边上的高和底边上的中线互相重合 （2）如图 2，已知在四边形 ABCD 中，ABAD，ABCADC，求作对角线 BD 的垂直平分线，小 亮只用直尺作直线 AC，就得到对角线 BD 的垂直平分线请你帮小亮说明理由 （3） 如图 3， 已知在四边形 ABCD 中， ADBC， BC 请你只用直尺作出 BC 边的垂直平分线 （不 写
39、作法，保留作图痕迹） 【分析】 （1）依据线段垂直平分线的作图方法，即可得到 AB 边的垂直平分线，根据等腰三角形三线合 一即可得依据； （2）分别证明点 A 和点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，即可说明理由； （3）连接 AC，BD 相交于点，分别延长 BA 和 CD 相交于点，两个交点所在直线即为所求 【解答】解： （1）作图如下： 得出“APBC”的依据是：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合； 故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合； （2）ABAD， 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上， ABCADC，ABCADC， CBDCDB
40、， CBCD， 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， 直线 AC 是对角线 BD 的垂直平分线； （3）如图，直线 n 即为所求 21如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y4x+2 的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y （k0） 的图象交于点 B，C，且 B（1，m） ，C（n，4） 过点 A 作 ADy 轴交反比例函数 y（k0）的 图象于点 D，连接 BD （1）求反比例函数的表达式和点 C 的坐标 （2）求ABD 的面积 （3）请直接写出不等式4x+2 的解集 【分析】 （1）先得到点 B 的坐标，再将 B 点坐标代入 y（k0） ，利用待定系数法即可求出反比例函 数的表达式，
41、进而即可求得 C 的坐标； （2）根据一次函数 y4x+2 的图象与 y 轴交于点 A，求出点 A 的坐标为（0，2） ，再将 y2 代入 y ，求出 x 的值，那么 AD3根据三角形面积公式即可求得； （3）根据图象即可求得 【解答】解： （1）B（1，m）在一次函数 y4x+2 的图象上， 4（1）+2m解得 m6， B（1，6） ， 点 B 在反比例函数 y（k0）的图象上， k166 反比例函数的表达式为 y， C（n，4）在反比例函数 y的图象上 4，解得 n， 点 C 的坐标为（，4） ； （2）把 x0 代入 y4x+2，得 y2， A（0，2） ， ADy 轴， 点 D 的纵坐
42、标为 2， 又点 D 在反比例函数 y的图象上， 2，解得 x3， D（3，2） AD3 SABD3（62）6； （3）观察图象可知，不等式4x+2 的解集为 x1 或 0 x 22山西省隰县盛产香梨，被称为“隰县玉露香” 县政府运用“互联网+玉露香梨”的发展思路，探索“爱 心助农精准脱贫” 的方式， 构建 “隰县玉露香” 电商生态圈， 使隰县成为中国北方最大的电商孵化基地.2021 年春节期间， “隰县玉露香”在网上热销，某电商看准商机，用 10000 元购进一批“隰县玉露香” ，销量 可观， 于是又用 18000 元购进一批同款规格的 “隰县玉露香” ， 但第二次的进价比第一次每箱上涨 2
43、0 元， 第二次所购数量恰好是第一次的 1.5 倍 （1）求第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格 （2）政府为推进农村电商高质量可持续发展，在隰县新建一批移动信号发射塔，以提高农村互联网的传 输效率如图，是一个新建的移动信号发射塔 AC，其高 AC15m用测角仪在山脚下的点 B 处测得塔 底 C 的仰角CBD36.9，塔顶 A 的仰角ABD42，点 A，C，D 在同一条铅垂线上果农要在山 脚 B 处修建房屋以方便管理梨园，按国家规定，通讯基站离居民居住地至少 100m 就可不受信号塔辐射 的影响请判断在点 B 处的房屋是否受信号塔塔顶 A 发出的信号辐射的影响 （测角仪、 房屋的高度忽略不计；
44、 结果精确到 0.1m； 参考数据： sin36.90.60， cos36.90.80， tan36.9 0.75，sin420.67，cos420.74，tan420.90） 【分析】 （1）设第一次购进隰县玉露香的进价为 x 元/箱，根据数量总价单价，再结合第二次所购数 量恰好是第一次的 1.5 倍，即可得出关于 x 的分式方程，然后解方程，再检验即可解答本题； （2） 根据题意和图形， 利用锐角三角函数， 可以求得 BD 的长， 再根据锐角三角函数可以得到 AB 的长， 然后与 100 比较大小，即可解答本题 【解答】解： （1）设第一次购进隰县玉露香的进价为 x 元/箱， 根据题意可得
45、：1.5， 解得 x100， 经检验，x100 是原方程的解， 答：第一次购进的“隰县玉露香”每箱的价格为 100 元； （2）由题意得，ADB90， 在 RtABD 中，tanABD， ADBDtan42， 在 RtBCD 中，tanCBD， CDBDtan36.9， ACADCD，AC15m， 15BDtan42BDtan36.9， 解得 BD100m， AB135.1（m） ， 135.1100， 在点 B 处的房屋不会受信号塔塔顶 A 发出的信号辐射的影响 23综合与实践图形变换中的数学问题 问题情境： 如图 1，在 RtABC 中，AB5，ABC90，BAC45将ABC 沿 AC 翻
46、折得到ADC，然后 展平，两个三角形拼成四边形 ABCD （1）求证：四边形 ABCD 是正方形 初步探究： （2）将ABC 从图 1 位置开始绕点 B 按逆时针方向旋转角度 （090） ，得到EBF，其中点 A，C 的对应点分别是点 E，F，连接 AE，FC 并分别延长，交于点 M试猜想线段 AM 与 FM 的数量关 系和位置关系，并说明理由 深入探究： （3）如图 3，连接 DE，当 DECM 时，请直接写出 CM 的长 【分析】 （1）先证明ABC 是等腰三角形，再根据翻折的性质可证明四边形 ABCD 是菱形，进而可证明 四边形 ABCD 是正方形 （2）根据旋转性质得ABCEBF，进而
47、可证明ABECBF，ACMFEM，利用全等三角形 性质可得 AMFM 且 AMFM （3）取 AC 的中点 G，连接 EG，BG，先证明BAGBEG，利用全等三角形性质可证得 BGAE， 利用面积法建立方程求出 AE，再运用勾股定理即可求得 CM 【解答】解： （1）ABC90，BAC45， BCA904545， BACBCA， ABBC， ABC 是等腰三角形， ABC 沿 AC 翻折得到ADC， ABCADC， ADAB，CDBC， ABADCDBC， 四边形 ABCD 是菱形， B90， 四边形 ABCD 是正方形 （2）由旋转可知，ABCEBF， ABBE，BCBF，ACEF，ABEC
48、BF， 在ABE 和CBF 中， ， ABECBF（SAS） ， AEBBFC，AECF， ABBC， ABBEBCBF， BCFBFC， AEBBCF， BEFACB45，AEBBCF， 180（AEB+BEF）180（BCF+ACB） ， FEMACM， 在ACM 和FEM 中， ， ACMFEM（AAS） ， AMFM，MACMFE， DACDCA45， MAC45DAM，MCA45+MCD， DAMMCD， MAC+ACM45DAM+45+MCD90， M90， AMFM， 故答案为：AMFM 且 AMFM （3）取 AC 的中点 G，连接 EG，BG， DECM， DEMM90， AGGE，ABBE， 在BAG 和BEG 中，
