1、专题十一专题十一 几何、代数最值问题几何、代数最值问题 类型 1 利用对称、线段公理求最小值 1如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 yk x(x0)的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB，BC 分别相交于 M，N 两点，OMN 的面积为 10.若动点 P 在 x 轴上，则 PMPN 的最小值是( ) A6 2 B10 C2 26 D2 29 2如图，直线 y2 3x4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，PCPD 值最小时点 P 的坐标为( ) A(3，0) B(6，0) C(3 2，0) D( 5
2、 2，0) 3如图，在 RtABC 中，ACB90 ，将ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到ABC，M 是 BC 的中点，P 是 AB的中点，连接 PM.若 BC2，BAC30 ，则线段 PM 的最大值是( ) A4 B3 C2 D1 4如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为(4，5)，D 是 OB 的中点，E 是 OC 上的一点，当ADE 的周长 最小时，点 E 的坐标是( ) A(0，4 3) B(0， 5 3) C(0，2) D(0， 10 3 ) 5如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 BE1，P 是对角线 AC 上的一动点， 连接 PB、PE，当点
3、 P 在 AC 上运动时，PBE 周长的最小值是_ 6如图，将边长为 6 的正三角形纸片 ABC 按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 AD，BE(如图 1)， 点 O 为其交点 (1)探求 AO 与 OD 的数量关系，并说明理由； (2)如图 2，若 P，N 分别为 BE，BC 上的动点 当 PNPD 的长度取得最小值时，求 BP 的长度； 如图 3，若点 Q 在线段 BO上，BQ1，则 QNNPPD 的最小值_ 类型 2 利用函数性质求最值 7已知函数 ymx2(2m5)xm2 的图象与 x 轴有两个公共点 (1)求 m 的取值范围，并写出当 m 取范围内最大整数时函数的解析式； (2)
4、题(1)中求得的函数记为 C1， 当 nx1 时，y 的取值范围是 1y3n，求 n 的值； 函数 C2： ym(xh)2k 的图象由函数 C1的图象平移得到， 其顶点 P 落在以原点为圆心， 半径为 5 的圆内或圆上，设函数 C1的图象顶点为 M，求点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式 8如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说 明理由； (3)动点
5、P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 专题十一专题十一 几何、代数最值问题几何、代数最值问题 类型 1 利用对称、线段公理求最小值 1如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 yk x(x0)的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB，BC 分别相交于 M，N 两点，OMN 的面积为 10.若动点 P 在 x 轴上，则 PMPN 的最小值是( C ) A6 2 B10 C2 26 D2 29 解：由已知得 M(6，k 6)，N( k 6，6)，BN6 k 6，BM6 k 6，OMN 的面积为：66 1 26 k 6 1 2 6k 6 1 2(6
6、 k 6) 210，k24，M(6，4)，N(4，6)，作 M 关于 x 轴的对称点 M，连接 NM交 x 轴于 P， 则 NM的长PMPN 的最小值， AMAM4， BM10， BN2， NM BM2BN2 10222 2 26. 2如图，直线 y2 3x4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，PCPD 值最小时点 P 的坐标为( C ) A(3，0) B(6，0) C(3 2，0) D( 5 2，0) 解： (方法一)作点 D 关于 x 轴的对称点 D， 连接 CD交 x 轴于点 P， 此时 PCPD 值最小，
7、 如图 1 所示 可 求点 B(0，4)；A(6，0) 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 C(3，2)，点 D(0，2)点 D和点 D 关于 x 轴对称， 点 D的坐标为(0，2)设直线 CD的解析式为 ykxb，直线 CD过点 C(3，2)，D(0，2)，可 求 CD的解析式为 y4 3x2.令 y 4 3x2 中 y0，则 0 4 3x2，解得：x 3 2，点 P( 3 2，0)(方 法二)连接 CD，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PCPD 值最小，如图 2 所示 3如图，在 RtABC 中，ACB90 ，将ABC 绕顶点 C 逆时针
8、旋转得到ABC，M 是 BC 的中点，P 是 AB的中点，连接 PM.若 BC2，BAC3 0 ，则线段 PM 的最大值是( B ) A4 B3 C2 D1 解：如图连接 PC.在 RtABC 中，A30 ，BC2，AB4，根据旋转不变性可知，ABAB 4，APPB，PC1 2AB2，CMBM1，又PMPCCM，即 PM3，PM 的最大值为 3(此 时 P、C、M 共线) 4如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为(4，5)，D 是 OB 的中点，E 是 OC 上的一点，当ADE 的周长 最小时，点 E 的坐标是( B ) A(0，4 3) B(0， 5 3) C(0，2) D(0， 10
9、3 ) 解：作 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 AD 交 y 轴于 E，则此时，ADE 的周长最小，四边形 ABOC 是矩形，ACOB，ACOB，A 的坐标为(4，5)，A(4，5)，B(4，0)，D 是 OB 的中点，D( 2， 0)， 设直线 DA的解析式为 ykxb， 可求直线 DA的解析式为 y5 6x 5 3， 当 x0 时， y 5 3， E(0， 5 3) 5如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 BE1，P 是对角线 AC 上的一动点， 连接 PB、PE，当点 P 在 AC 上运动时，PBE 周长的最小值是_6_ 解：连接 DE 于 AC 交
10、于点 P，连接 BP，则此时BPE 的周长就是PBE 周长的最小值，BE1， BCCD4，CE3，DE5，BPPEDE5，PBE 周长的最小值是 516. 6如图，将边长为 6 的正三角形纸片 ABC 按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 AD，BE(如图 1)， 点 O 为其交点 (1)探求 AO 与 OD 的数量关系，并说明理由； (2)如图 2，若 P，N 分别为 BE，BC 上的动点 当 PNPD 的长度取得最小值时，求 BP 的长度； 如图 3，若点 Q 在线段 BO 上，BQ1，则 QNNPPD 的最小值_ 10_ 解：(1)AO2OD，理由：ABC 是等边三角形，BAOABOO
11、BD30 ，AOOB， BDCD，ADBC，BDO90 ，OB2OD，OA2OD； (2)如图 2，作点 D 关于 BE 的对称点 D，过 D作 DNBC 于 N 交 BE 于 P，则此时 PNPD 的长度取 得最小值，BE 垂直平分 DD，BDBD，ABC60 ，BDD是等边三角形，BN1 2BD 3 2， PBN30 ，BN PB 3 2 ，PB 3； (3)如图 3，作 Q 关于 BC 的对称点 Q，作 D 关于 BE 的对称点 D，连接 QD，则 DQ的长度即为 QN NPPD 的最小值 在 RtDBQ中，DQ 3212 10.QNNPPD 的最小值 10. 类型 2 利用函数性质求最
12、值 7已知函数 ymx2(2m5)xm2 的图象与 x 轴有两个公共点 (1)求 m 的取值范围，并写出当 m 取范围内最大整数时函数的解析式； (2)题(1)中求得的函数记为 C1， 当 nx1 时，y 的取值范围是 1y3n，求 n 的值； 函数 C2： ym(xh)2k 的图象由函数 C1的图象平移得到， 其顶点 P 落在以原点为圆心， 半径为 5 的圆内或圆上，设函 数 C1的图象顶点为 M，求点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式 解：(1)函数图象与 x 轴有两个交点，m0 且(2m5)24m(m2)0，解得：m25 12且 m0. m 为符合条件的最大整数，m2.函数的解
13、析式为 y2x2x. (2)抛物线的对称轴为 x b 2a 1 4.nx1 1 4，a20，当 nx1 时，y 随 x 的增大 而减小当 xn 时，y3n.2n2n3n，解得 n2 或 n0(舍去)n 的值为2. (3)y2x2x2(x1 4) 21 8，M( 1 4， 1 8)如图所示： 当点 P 在 OM 与O 的交点处时，PM 有最大值设直线 OM 的解析式为 ykx，将点 M 的坐标代入 解得： k1 2.OM 的解析式为 y 1 2x.设点 P 的坐标为(x， 1 2x) 由两点间的距离公式可知： OP x2（1 2x） 2 5，解得：x2 或 x2(舍去) 点 P 的坐标为(2，1
14、)当点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式为 y2(x2)21. 8如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说 明理由； (3)动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 解：(1)抛物线解析式为 yx23x4； (2)作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P，如图1，POP
15、C，此时 P 点 即为满足条件的点，C(0，4)，D(0，2)，P 点纵坐标为2，代入抛物线解析式可得 x23x4 2，解得 x3 17 2 (小于 0，舍去)或 x3 17 2 ，存在满足条件的 P 点，其坐标为(3 17 2 ，2)； (3)点 P 在抛物线上，可设 P(t，t23t4)，过 P 作 PEx 轴于点 E，交直线 BC于点 F，如图 2，可求 直线 BC 解析式为 yx4，F(t，t4)，PF(t4)(t23t4)t24t，SPBCSPFCSPFB1 2 (t24t)42(t2)28，当 t2 时，SPBC最大值为 8，此时 t23t46，当 P 点坐标为(2， 6)时，PBC 的最大面积为 8.
