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2021年中考数学核心考点强化突破(全国通用)专题十一 几何代数最值问题(含答案解析)

1、专题十一专题十一 几何、代数最值问题几何、代数最值问题 类型 1 利用对称、线段公理求最小值 1如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 yk x(x0)的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB,BC 分别相交于 M,N 两点,OMN 的面积为 10.若动点 P 在 x 轴上,则 PMPN 的最小值是( ) A6 2 B10 C2 26 D2 29 2如图,直线 y2 3x4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点,点 P 为 OA 上一动点,PCPD 值最小时点 P 的坐标为( ) A(3,0) B(6,0) C(3 2,0) D( 5

2、 2,0) 3如图,在 RtABC 中,ACB90 ,将ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到ABC,M 是 BC 的中点,P 是 AB的中点,连接 PM.若 BC2,BAC30 ,则线段 PM 的最大值是( ) A4 B3 C2 D1 4如图,矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为(4,5),D 是 OB 的中点,E 是 OC 上的一点,当ADE 的周长 最小时,点 E 的坐标是( ) A(0,4 3) B(0, 5 3) C(0,2) D(0, 10 3 ) 5如图所示,正方形 ABCD 的边长为 4,E 是边 BC 上的一点,且 BE1,P 是对角线 AC 上的一动点, 连接 PB、PE,当点

3、 P 在 AC 上运动时,PBE 周长的最小值是_ 6如图,将边长为 6 的正三角形纸片 ABC 按如下顺序进行两次折叠,展平后,得折痕 AD,BE(如图 1), 点 O 为其交点 (1)探求 AO 与 OD 的数量关系,并说明理由; (2)如图 2,若 P,N 分别为 BE,BC 上的动点 当 PNPD 的长度取得最小值时,求 BP 的长度; 如图 3,若点 Q 在线段 BO上,BQ1,则 QNNPPD 的最小值_ 类型 2 利用函数性质求最值 7已知函数 ymx2(2m5)xm2 的图象与 x 轴有两个公共点 (1)求 m 的取值范围,并写出当 m 取范围内最大整数时函数的解析式; (2)

4、题(1)中求得的函数记为 C1, 当 nx1 时,y 的取值范围是 1y3n,求 n 的值; 函数 C2: ym(xh)2k 的图象由函数 C1的图象平移得到, 其顶点 P 落在以原点为圆心, 半径为 5 的圆内或圆上,设函数 C1的图象顶点为 M,求点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式 8如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A(1,0),B(4,0),C(0,4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 (1)求这个二次函数的解析式; (2)是否存在点 P,使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说 明理由; (3)动点

5、P 运动到什么位置时,PBC 面积最大,求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 专题十一专题十一 几何、代数最值问题几何、代数最值问题 类型 1 利用对称、线段公理求最小值 1如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 yk x(x0)的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB,BC 分别相交于 M,N 两点,OMN 的面积为 10.若动点 P 在 x 轴上,则 PMPN 的最小值是( C ) A6 2 B10 C2 26 D2 29 解:由已知得 M(6,k 6),N( k 6,6),BN6 k 6,BM6 k 6,OMN 的面积为:66 1 26 k 6 1 2 6k 6 1 2(6

6、 k 6) 210,k24,M(6,4),N(4,6),作 M 关于 x 轴的对称点 M,连接 NM交 x 轴于 P, 则 NM的长PMPN 的最小值, AMAM4, BM10, BN2, NM BM2BN2 10222 2 26. 2如图,直线 y2 3x4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点,点 P 为 OA 上一动点,PCPD 值最小时点 P 的坐标为( C ) A(3,0) B(6,0) C(3 2,0) D( 5 2,0) 解: (方法一)作点 D 关于 x 轴的对称点 D, 连接 CD交 x 轴于点 P, 此时 PCPD 值最小,

7、 如图 1 所示 可 求点 B(0,4);A(6,0) 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点,点 C(3,2),点 D(0,2)点 D和点 D 关于 x 轴对称, 点 D的坐标为(0,2)设直线 CD的解析式为 ykxb,直线 CD过点 C(3,2),D(0,2),可 求 CD的解析式为 y4 3x2.令 y 4 3x2 中 y0,则 0 4 3x2,解得:x 3 2,点 P( 3 2,0)(方 法二)连接 CD,作点 D 关于 x 轴的对称点 D,连接 CD交 x 轴于点 P,此时 PCPD 值最小,如图 2 所示 3如图,在 RtABC 中,ACB90 ,将ABC 绕顶点 C 逆时针

8、旋转得到ABC,M 是 BC 的中点,P 是 AB的中点,连接 PM.若 BC2,BAC3 0 ,则线段 PM 的最大值是( B ) A4 B3 C2 D1 解:如图连接 PC.在 RtABC 中,A30 ,BC2,AB4,根据旋转不变性可知,ABAB 4,APPB,PC1 2AB2,CMBM1,又PMPCCM,即 PM3,PM 的最大值为 3(此 时 P、C、M 共线) 4如图,矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为(4,5),D 是 OB 的中点,E 是 OC 上的一点,当ADE 的周长 最小时,点 E 的坐标是( B ) A(0,4 3) B(0, 5 3) C(0,2) D(0, 10

9、3 ) 解:作 A 关于 y 轴的对称点 A,连接 AD 交 y 轴于 E,则此时,ADE 的周长最小,四边形 ABOC 是矩形,ACOB,ACOB,A 的坐标为(4,5),A(4,5),B(4,0),D 是 OB 的中点,D( 2, 0), 设直线 DA的解析式为 ykxb, 可求直线 DA的解析式为 y5 6x 5 3, 当 x0 时, y 5 3, E(0, 5 3) 5如图所示,正方形 ABCD 的边长为 4,E 是边 BC 上的一点,且 BE1,P 是对角线 AC 上的一动点, 连接 PB、PE,当点 P 在 AC 上运动时,PBE 周长的最小值是_6_ 解:连接 DE 于 AC 交

10、于点 P,连接 BP,则此时BPE 的周长就是PBE 周长的最小值,BE1, BCCD4,CE3,DE5,BPPEDE5,PBE 周长的最小值是 516. 6如图,将边长为 6 的正三角形纸片 ABC 按如下顺序进行两次折叠,展平后,得折痕 AD,BE(如图 1), 点 O 为其交点 (1)探求 AO 与 OD 的数量关系,并说明理由; (2)如图 2,若 P,N 分别为 BE,BC 上的动点 当 PNPD 的长度取得最小值时,求 BP 的长度; 如图 3,若点 Q 在线段 BO 上,BQ1,则 QNNPPD 的最小值_ 10_ 解:(1)AO2OD,理由:ABC 是等边三角形,BAOABOO

11、BD30 ,AOOB, BDCD,ADBC,BDO90 ,OB2OD,OA2OD; (2)如图 2,作点 D 关于 BE 的对称点 D,过 D作 DNBC 于 N 交 BE 于 P,则此时 PNPD 的长度取 得最小值,BE 垂直平分 DD,BDBD,ABC60 ,BDD是等边三角形,BN1 2BD 3 2, PBN30 ,BN PB 3 2 ,PB 3; (3)如图 3,作 Q 关于 BC 的对称点 Q,作 D 关于 BE 的对称点 D,连接 QD,则 DQ的长度即为 QN NPPD 的最小值 在 RtDBQ中,DQ 3212 10.QNNPPD 的最小值 10. 类型 2 利用函数性质求最

12、值 7已知函数 ymx2(2m5)xm2 的图象与 x 轴有两个公共点 (1)求 m 的取值范围,并写出当 m 取范围内最大整数时函数的解析式; (2)题(1)中求得的函数记为 C1, 当 nx1 时,y 的取值范围是 1y3n,求 n 的值; 函数 C2: ym(xh)2k 的图象由函数 C1的图象平移得到, 其顶点 P 落在以原点为圆心, 半径为 5 的圆内或圆上,设函 数 C1的图象顶点为 M,求点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式 解:(1)函数图象与 x 轴有两个交点,m0 且(2m5)24m(m2)0,解得:m25 12且 m0. m 为符合条件的最大整数,m2.函数的解

13、析式为 y2x2x. (2)抛物线的对称轴为 x b 2a 1 4.nx1 1 4,a20,当 nx1 时,y 随 x 的增大 而减小当 xn 时,y3n.2n2n3n,解得 n2 或 n0(舍去)n 的值为2. (3)y2x2x2(x1 4) 21 8,M( 1 4, 1 8)如图所示: 当点 P 在 OM 与O 的交点处时,PM 有最大值设直线 OM 的解析式为 ykx,将点 M 的坐标代入 解得: k1 2.OM 的解析式为 y 1 2x.设点 P 的坐标为(x, 1 2x) 由两点间的距离公式可知: OP x2(1 2x) 2 5,解得:x2 或 x2(舍去) 点 P 的坐标为(2,1

14、)当点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的解析式为 y2(x2)21. 8如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A(1,0),B(4,0),C(0,4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点 (1)求这个二次函数的解析式; (2)是否存在点 P,使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说 明理由; (3)动点 P 运动到什么位置时,PBC 面积最大,求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 解:(1)抛物线解析式为 yx23x4; (2)作 OC 的垂直平分线 DP,交 OC 于点 D,交 BC 下方抛物线于点 P,如图1,POP

15、C,此时 P 点 即为满足条件的点,C(0,4),D(0,2),P 点纵坐标为2,代入抛物线解析式可得 x23x4 2,解得 x3 17 2 (小于 0,舍去)或 x3 17 2 ,存在满足条件的 P 点,其坐标为(3 17 2 ,2); (3)点 P 在抛物线上,可设 P(t,t23t4),过 P 作 PEx 轴于点 E,交直线 BC于点 F,如图 2,可求 直线 BC 解析式为 yx4,F(t,t4),PF(t4)(t23t4)t24t,SPBCSPFCSPFB1 2 (t24t)42(t2)28,当 t2 时,SPBC最大值为 8,此时 t23t46,当 P 点坐标为(2, 6)时,PBC 的最大面积为 8.