1、2021 年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷（年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷（3 月份）月份） 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Ax|1x2，By|y2x+a，xA，若 AB，则实数 a 的取值范围为（ ） A1，2 B2，1 C2，2 D1，1 2已知复数 z是纯虚数（其中 i 是虚数单位），则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D2 3为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控，某社区安排 6 名工作人员到 A，B，C 三个小区讲解疫情防控的注 意事项，若每个小区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为（ ） A90 B540 C180 D270 4为了
2、方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为 10cm，且当窄口容器的容器口是半径为 1cm 的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为 2cm，则制造该漏 斗所需材料面积的大小约为（ ）（假设材料没有浪费） A15cm2 B20cm2 C25cm2 D30cm2 5已知 为锐角，且 cos（+），则 tan（ ） A2 B3 C D 6唐代诗人张若虚在春江花月夜中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生”潮水的涨落和月 亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现 大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少
3、有两天出现大潮的概率为（ ） A B C D 7已知正三角形 ABC 的边长为 4，D 是 BC 边上的动点（含端点），则（）（）的取值范 围是（ ） A4，8 B8，24 C2，18 D4，20 8已知定义在（，0）（0，+）上的奇函数 f（x）在（0，+）上单调递增，且 f（2），f（1） 1，则关于 x 的不等式 f（x）+sinx 的解集为（ ） A（，1）（1，+） B（1，0）（0，1） C（，1）（0，1） D（1，0）（1，+） 二、多项选择题：二、多项选择题：4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 9已知 alog23，3b4，2clog23+1，则下列
4、结论正确的是（ ） Aac Bab2 Cabca+1 D2bcb+2 10在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y24x 过点 P（m，0）（m0）作与 x 轴垂直的直线，与 抛物线 C 交于 A，B 两点，则下列说法正确的是（ ） A若|PA|PO|，则 0m2 B若ABO 为正三角形，则 m12 C若抛物线 C 上存在两个不同的点 E，F（异于 A，B），使得|PE|PF|，则 m4 D当取得最大值时，m1 11对于正弦函数 yf（x）sinx，当 x时，x 关于 y 的函数称为“反正弦函数”，记作 f 1 （x）arcsinx，如 f1（）；同样的，对于余弦函数 yg（x）cos
5、x，当 x0，时，x 关于 y 的函数称为“反余弦函数”，记作 g1（x）arccosx，如：g1（）则下列说法正确的是（ ） A“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为1，1 B“反正弦函数”与“反余弦函数”的单调性相同 C“反正弦函数”是奇函数，“反余弦函数”是偶函数 D若 x1，x20，且 x12+x221，则 arcsinx1arccosx2 12已知等差数列an的公差 d0，前 n 项和为 Sn，且 Snan a n+1 ，则（ ） Ad Ba11 C数列an中可以取出无穷多项构成等比数列 D设 bn（1）n a n，数列bn的前 n 项和为 Tn，则|T2n|n 三、填空题：本题
6、共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知随机变量 X 服从正态分布 N（，2）若 P（X）P（X0），则 14在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 M：1 的一条渐近线被圆 C：（x4）2+y225 截得的弦 长为 15已知 a0，b0，且 a2+b21，则的最小值为 16已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3，P 是正方体表面上一动点，且 PA2PA1，则点 P 形成的轨 迹的长度为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过
7、程及演算步骤. 17在tanAtanB1，b；b4c，sinAc 中任选一个，补充到下面的横线中，并求解 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其面积 S4，且 _求ABC 的周长 18已知等比数列an的各项均为正数，且 a11，an+2an+1+2an （1）求数列an的通项公式； （2）记数列的前 n 项和为 Sn，求证： Sn3 19某刚开业的大型百货商场进行促销活动，统计得刚开始的五天内的客流量如表： 天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 客流量（千 人） 6.7 7.4 7.9 8.6 9.4 （1）求出日客流量 y（千人）关于开业天数 x（x1，2，3，
8、4，5）之间的线性回归方程； （2）根据市场经验，在促销活动期间，客流量增长速度遵循（1）中的线性回归方程经过几天的调研 发现，每天约有的人进行了饮食消费，约有的人进行了购物消费，且在购物消费的人中，约有的 人进行了饮食消费若该商场计划将促销活动持续进行 20 天，试判断能否实现第 20 天时商场内参与消 费的人数超过 1.5 万人？ 附： 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 20如图，圆 O 的半径为 4，AB，CD 是圆 O 的两条互相垂直的直径，P 是 OA 的中点，EFCD将此图 形沿着 EF 折起，在翻折过程中，点 A 对应的点为 A1 （1）证明：A1BCD； （
9、2）当A1PB时，求二面角 A1BCP 的正弦值 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且过点（1，）， 其左顶点为 A，上顶点为 B直线 l：y2x+t（tR）与 x，y 轴分别交于点 M，N，直线 AN，BM 分别 与椭圆 C 交于点 P，Q（P 异于点 A，Q 异于点 B） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若|AP|BQ|，求直线 l 的方程 22已知函数 f（x）lnxax2+x（a0） （1）当 a时，求函数 f（x）在 xe 处的切线方程； （2）若 f（x）在 xx0（0 x0）处取得极值，且 f（x0）0，求 a 的取值范围 参考答案参考答案
10、 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 Ax|1x2，By|y2x+a，xA，若 AB，则实数 a 的取值范围为（ ） A1，2 B2，1 C2，2 D1，1 解：因为 Ax|1x2，By|y2x+a，xAy|2+ay4+a， 若 AB，则， 解得，2a1 故选：B 2已知复数 z是纯虚数（其中 i 是虚数单位），则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D2 解：复数 z+是纯虚数（其中 i 是虚数单位）， 0，0， 解得 a1 故选：A 3为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控，某社区安排 6 名工作人员到 A，B，C 三个小区讲解疫情防控的注 意事项，若每个小
11、区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为（ ） A90 B540 C180 D270 解：根据题意，分 3 步进行分析： 在 6 名工作人员中任选 2 人，安排到 A 小区，有 C6215 种选法， 在剩下的 4 名工作人员中任选 2 人，安排到 B 小区，有 C426 种选法， 将最后的 2 名工作人员安排到 C 小区，有 1 种选法， 则有 15690 种不同的安排方式， 故选：A 4为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为 10cm，且当窄口容器的容器口是半径为 1cm 的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为 2cm，则制造该漏 斗所需
12、材料面积的大小约为（ ）（假设材料没有浪费） A15cm2 B20cm2 C25cm2 D30cm2 解：如图， 圆锥的高 PO10cm，PO12cm，O1A11cm， 由POAPO1A1，可得，则 OA cm， 则cm， 沿母线 PA 剪开，可得一扇形，则扇形面积即为所需材料的面积， 展开后扇形的半径为 PA，弧长为 2510， 扇形的面积 S25cm2， 故选：C 5已知 为锐角，且 cos（+），则 tan（ ） A2 B3 C D 解：因为 为锐角，且 cos（+）， 所以 sin（+），tan（+ ）2， 则 tantan（+） 故选：D 6唐代诗人张若虚在春江花月夜中曾写道：“春江
13、潮水连海平，海上明月共潮生”潮水的涨落和月 亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现 大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ） A B C D 解：沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为， 则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为： P 故选：A 7已知正三角形 ABC 的边长为 4，D 是 BC 边上的动点（含端点），则（）（）的取值范 围是（ ） A4，8 B8，24 C2，18 D4，20 解：如图， 以 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系， 则
14、 B（2，0），C（2，0），A（0，），设 D（x，0），（2x2）， 则， （）（）（22x，2）（22x，2）4x2+8， 2x2，4x2+88，24 故（）（）的取值范围是8，24 故选：B 8已知定义在（，0）（0，+）上的奇函数 f（x）在（0，+）上单调递增，且 f（2），f（1） 1，则关于 x 的不等式 f（x）+sinx 的解集为（ ） A（，1）（1，+） B（1，0）（0，1） C（，1）（0，1） D（1，0）（1，+） 解：设 g（x）+sinx，可得 g（x）是奇函数， 当 x 越大时，g（x）值越小 当 x1 时，g（1）1， 不等式 f（x）g（x）成立，则
15、0 x1， f（x）是奇函数，且在（0，+）上单调递增，图象关于原点对称； 当 x0 时，要使不等式 f（x）g（x）成立，则 x1； 关于 x 的不等式 f（x）+sinx 的解集为（，1）（0，1） 故选：C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9已知 alog23，3b4，2clog23+1，则下列结论正确的是（ ） Aac Ba
16、b2 Cabca+1 D2bcb+2 解：Aalog23，由 3b4，可得 blog34 ，ac，因此 A 不正确； Bab2，因此 B 正确； C由 Bab2，abca12ca1log23+1log2310，可得 abca+1，因此 C 正确； D.2bcb2b（2c1）2log34log23220，2bcb+2，因此 D 正确 故选：BCD 10在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y24x 过点 P（m，0）（m0）作与 x 轴垂直的直线，与 抛物线 C 交于 A，B 两点，则下列说法正确的是（ ） A若|PA|PO|，则 0m2 B若ABO 为正三角形，则 m12 C若抛物线
17、C 上存在两个不同的点 E，F（异于 A，B），使得|PE|PF|，则 m4 D当取得最大值时，m1 解：对于 A，若|PA|PO|，则|PA|2|PO|2，所以 4mm2，解得 0m4，故选项 A 错误； 对于 B，若ABO 为正三角形，不妨设 A 在 x 轴的上方，则， 所以|OA|OB|AB|，即 m2+4m16m，因为 m0，解得 m12，故选项 B 正确； 对于 C，不妨设 E 在 x 轴的上方，则，t0 且 tm，因为|PE|， ， 由|PE|PF|，可得（mt）2+4t4m，则由（mt）24（mt）， 因为 tm，所以 mt4，则 tm40，所以 m4，故选项 C 正确； 对于
18、D，当， 令，则， 所以， 当且仅当，即 x20，即 12+820，故 m1 时取等号， 所以当取得最大值时，m1，故选项 D 正确 故选：BCD 11对于正弦函数 yf（x）sinx，当 x时，x 关于 y 的函数称为“反正弦函数”，记作 f 1 （x）arcsinx，如 f1（）；同样的，对于余弦函数 yg（x）cosx，当 x0，时，x 关于 y 的函数称为“反余弦函数”，记作 g1（x）arccosx，如：g1（）则下列说法正确的是（ ） A“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为1，1 B“反正弦函数”与“反余弦函数”的单调性相同 C“反正弦函数”是奇函数，“反余弦函数”是偶函数
19、D若 x1，x20，且 x12+x221，则 arcsinx1arccosx2 解：对于 A，因为正弦函数和余弦函数的值域均为1，1，根据题中给出的“反正弦函数”和“反余弦 函数”的定义， 所以“反正弦函数”和“反余弦函数”定义域均为1，1，故选项 A 正确； 对于 B，因为正弦函数 ysinx 在上单调递增，所以 y 增大时，x 也增大，即“反正弦函数” 也是单调递增， 同理可知，“反余弦函数”单调递减，所以“反正弦函数”和“反余弦函数”的单调性相反，故选项 B 错误； 对于 C，令 f（x）arccosx，x1，1，则 f（1）arccos（1），f（1）arccos10， 所以 f（1）
20、f（1），故 f（x）不是偶函数，即“反余弦函数”不是偶函数，故选项 C错误； 对于 D，设 arcsinx1，arccosx2，则 sinx1，cosx2， 因为 x1，x20，所以 ， 又由 x12+x221，则 sin2+cos21，即 sin2sin2， 所以 sinsin，则 ，即 arcsinx1arccosx2，故选项 D 正确 故选：AD 12已知等差数列an的公差 d0，前 n 项和为 Sn，且 Snan a n+1 ，则（ ） Ad Ba11 C数列an中可以取出无穷多项构成等比数列 D设 bn（1）n a n，数列bn的前 n 项和为 Tn，则|T2n|n 解：Snana
21、n+1， 当 n2 时，有 Sn1an1an， 两式相减得：anan（an+1an1）2dan，n2， 又 d0，2d1，解得：d，选项 A 正确； 又当 n1 时，有 S1a1a2，即 a1a1（a1+） ，解得：a11 或 a1，故选项 B 错误； 又 an1+ ，或 an+， 当 an时： 令 n2k1，kN*，则 ana 2k 1，则数列a 是等比数列， 又 bn（1）nan（1）n ， T2n（ +）+（+）+（+），此时|T2n|； 当 an时： 令 n2k+2，kN*，则 ana 2k 1，则数列a 是等比数列， 又 bn（1）nan（1）n ， T2n（ +）+（+）+（+），
22、此时|T2n|， 故选项 C 正确，选项 D 错误， 故选：AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知随机变量 X 服从正态分布 N（，2）若 P（X）P（X0），则 解：随机变量 X 服从正态分布 N（，2）若 P（X）P（X0）， 正态分布曲线的对称轴为 x 故答案为： 14在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 M：1 的一条渐近线被圆 C：（x4）2+y225 截得的弦 长为 6 解：圆（x4）2+y225 的圆心为（4，0），半径为 5， 双曲线 M：1 的一条渐近线为 yx，即x3y0 即有圆心到渐近线的距离 d
23、， 由弦长公式可得 226， 故答案为：6 15已知 a0，b0，且 a2+b21，则的最小值为 解：因为（ab）20， 所以 a2+b22ab，当且仅当 ab 时取等号， 所以 2（a2+b2）2ab+a2+b2（a+b）2， 故 a+b， 所以 2（a2）2+（b2）2（a2+b2）21， 所以，即最小值 故答案为： 16已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3，P 是正方体表面上一动点，且 PA2PA1，则点 P 形成的轨 迹的长度为 解：将正方体两侧面 AA1B1B 和 AA1D1D 展开平面图， 建立平面直角坐标系如图， 设动点 P（x，y），因为 PA2PA1， 所以 x2
24、+（y+3）24（x2+y2）， 化简得 x2+（y1）24， 在两侧面内轨迹为以 O（0，1）为心，以 2 为半径的圆弧， 因为 cosA1OM，所以 cosA1OM ，于是MON， 所以在两侧面内轨迹长度为， 在顶面 A1B1C1D1内，轨迹为以 A1为圆心，以 为半径的圆弧， 此时满 PA2PA1条件， 所以在顶面轨迹长度为 所以点 P 形成的轨迹的长度为 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17在tanAtanB1，b；b4c，sinAc 中任选一
25、个，补充到下面的横线中，并求解 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其面积 S4，且 _求ABC 的周长 解：若选条件，因为 tanAtanB1，可得 cosAcosBsinAsinB0， 所以 cos（A+B）cosC0，即 cosC0， 因为 C（0，），可得 C， 又，解得 a4，b2， 可得 c2， 所以ABC 的周长为 4+2+2 若选条件，因为 SbcsinAbc24，可得 bc232， 又 b4c，可得 c2，b8， 可得 sinAc， 可得 A，或， 当 A时，c2， 当 A时，c2， 所以ABC 的周长为 10+2，或 10+2 18已知等比数列an的各
26、项均为正数，且 a11，an+2an+1+2an （1）求数列an的通项公式； （2）记数列的前 n 项和为 Sn，求证： Sn3 【解答】（1）解：设等比数列an的公比为 q（q0）， 由题设可得：anq2anq+2an， an0，q2q20，解得：q2， 又 a11， an2n1； （2）证明：由（1）可得：+， Sn +1+ +2+13（+）3， 又 Sn随 n 增大而增大， SnS13（1+ ）， Sn3 19某刚开业的大型百货商场进行促销活动，统计得刚开始的五天内的客流量如表： 天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 客流量（千 人） 6.7 7.4 7.9 8.6 9.4 （
27、1）求出日客流量 y（千人）关于开业天数 x（x1，2，3，4，5）之间的线性回归方程； （2）根据市场经验，在促销活动期间，客流量增长速度遵循（1）中的线性回归方程经过几天的调研 发现，每天约有的人进行了饮食消费，约有的人进行了购物消费，且在购物消费的人中，约有的 人进行了饮食消费若该商场计划将促销活动持续进行 20 天，试判断能否实现第 20 天时商场内参与消 费的人数超过 1.5 万人？ 附： 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 解：（1）（1+2+3+4+5）3， ， 0.66， ， y 关于 x 的线性回归方程为； （2）由题意得，既购物又进行饮食消费的人占比为，
28、则消费人数占比为， 又当 x20 时，（万人）， 第 20 天时商场内参与消费的人数为 19.2216.017（万人），超过了 1.5 万人 该商场第 20 天时实现商场内参与消费的人数超过 1.5 万人 20如图，圆 O 的半径为 4，AB，CD 是圆 O 的两条互相垂直的直径，P 是 OA 的中点，EFCD将此图 形沿着 EF 折起，在翻折过程中，点 A 对应的点为 A1 （1）证明：A1BCD； （2）当A1PB时，求二面角 A1BCP 的正弦值 【解答】（1）证明：因为 ABCD，EFCD，所以 EFAB， 所以 EFPA1，EFPB，PA1PBP，所以 EF平面 A1PB， 因为 A
29、1B平面 A1PB，所以 EFA1B， 因为 EFCD，所以 A1BCD； （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， B（0，4，0），C（4，0，0），A1（0，3，）， （0，7，），（4，3，）， 设平面 A1BC 法向量为 （x，y，z）， ，令 y， （，7）， 平面 BCP 法向量为 （0，0，1）， 设二面角 A1BCP 的大小为 ， cos，sin 故二面角 A1BCP 的正弦值为 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且过点（1，）， 其左顶点为 A，上顶点为 B直线 l：y2x+t（tR）与 x，y 轴分别交于点 M，N，直线 AN，BM
30、分别 与椭圆 C 交于点 P，Q（P 异于点 A，Q 异于点 B） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若|AP|BQ|，求直线 l 的方程 解：（1）由题意可得 e，即， 由椭圆过点（1，），可得+1， 解得 a2，b1， 则椭圆的方程为+y21； （2）由椭圆的方程可得 A（2，0），B（0，1）， 又 M（t，0），N（0，t）， 直线 AN：yx+t，BM：yx+1，可得 ANBM， 由可得（1+t2）x2+4t2x+4t240， 可得2+xP，解得 xP ， 同理由可得 xQ，yQ， 因为|AP|BQ|，且 APBQ， 所以|xPxA|yQyB|， 即|+2| 1|，解得 t， 所以直
31、线 l 的方程为 y2x 22已知函数 f（x）lnxax2+x（a0） （1）当 a时，求函数 f（x）在 xe 处的切线方程； （2）若 f（x）在 xx0（0 x0）处取得极值，且 f（x0）0，求 a 的取值范围 解：（1）当 a时，f（x）lnxx2+ex， f（x）x+e， 故 f（e）1e+e2，f（e）2+e， 故切线方程是：y（1e+e2）（2+e）（xe）， 即 y（2+e）x+e （2）f（x）2ax+， 设 g（x）2a2x2+x+a，因为 g（0）a0，2a20， 所以存在 x00，使得 g（x0）0，即 f（x0）0， 所以当 x（0，x0）时，f（x）0，f（x）
32、单调递增， 当 x（x0，+）时，f（x）0，f（x）单调递减， 则 f（x）在 xx0时取得极大值， 因为 0 x0，所以 g（ ）2ea2+a+0，解得 a ， 因为2a2x02+x0+a0，所以 2ax02 +1， 所以 f（x0）lnx0ax02+ lnx0+ 0，有0， 且 f（x0）lnx0ax02+ lnx0+ax0210，有 ax021lnx0， 因为 x0，所以 12lnx00，即 a， 即，整理得2ln2x0+3lnx010（0 x0）， 设 h（x）x32ln2x+3lnx1（0 x ），h（x）3x2+， 因为当 0 x时，4lnx+30，所以 h（x）0，即 h（x）单调递增， 因为 h（1）0，所以 h（x0）0 的解集为（1，）， 则 g（1）2a2+a+10，解得 0a1 综上，a 的取值范围是（，1）
