1、2020 年福建省厦门市集美区中考数学模拟试卷（年福建省厦门市集美区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题都有四个选项，其中有且只有 一个选项正确） 1下列计算结果等于2 的是（ ） A+（2） B （2）0 C|2| D2 1 2新年伊始，湖北疫情牵动着全国人民的心一方有难，八方驰援据统计，2020 年 1 月支援湖北医疗队 共有 42600 人，将 42600 用科学记数法表示为（ ） A426102 B4.26105 C4.26104 D0.426106 3某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A球 B圆柱 C
2、圆锥 D三棱柱 4在多项式（x+1） （3x+1）的展开式中，二次项的系数为（ ） A1 B2 C3 D4 5若正多边形的中心角为 72，则该正多边形的边数为（ ） A8 B7 C6 D5 6下列不等式与 x1 的解集表示在数轴上，无公共部分的是（ ） Ax1 Bx1 Cx Dx2 7如图，已知建筑物 AC 与 BD 的间距为 a 米，其中建筑物 AC 的高为 h 米，在建筑物 AC 的楼顶 C 观测建 筑物 BD 的楼顶 B 的仰角为 ，则建筑物 BD 的高是（ ）米 Ah+asin Bh+acos Ch+ Dh+atan 8 小 明 在 计 算 一 组 样 本 数 据 的 方 差 时 ，
3、列 出 的 公 式 如 下 ： s2 ，根据公式信息，下列说法正确的是（ ） A该样本容量为 6 B该样本的中位数是 8 C该样本的平均数 是 7 D该样本的方差 s2是 3 9如图，AB 是O 的直径，EF，EB 是O 的弦，点 E 是的中点，连接 OF若AOF40，则 EBF 的度数是（ ） A50 B55 C60 D65 10已知关于 x 的方程 x2（a+2b）x+10 有两个相等实数根若在直角坐标系中，点 P 在直线 l：y x+上，点 Q（a，b）在直线 l 下方，则 PQ 的最小值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11计算：
4、sin30 12如图，OC 是AOB 的平分线，直线 lOB，若AOB100，则1 13 一个不透明的袋中有 2 个红球和 1 个黄球， 这些球除颜色外其他完全相同小明先从袋中摸出 1 个球， 不放回，再从袋中摸出 1 个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 14如图，已知O 内切于边长为 2 的正方形 ABCD，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 15定义：数值倒数的平均数的倒数叫调和平均数如有三个正数分别为 x，y 和 z，那么它们的调和平均 数研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度绷得一样紧的几根 弦，如果长度的比能够表示成正整数的比，发出的声音就比较和谐数学家们研究发现
5、：对应弦长的长 度之比是 15：12：n（n 为正整数）的三根弦，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很 调和乐声 do，mi，so此时，12 是 12、15 和 n 的调和平均数，那么 n 的值为 16如图，已知四边形 ABCD 为正方形，A，B 在 x 轴上，对角线 AC 的长度为 3反比例函数 y（x 0）的图象与 AC，BC 分别交于点 E，F，若，则 CF 为 三、解答题（本大题有 9 小题，共 86 分） 17解方程组 18如图，四边形 ABCD 是菱形，CEAB 于 E，DFBC 交 BC 的延长线于 F，求证：BECF 19解方程：1 20 如图， 在ABC 中，
6、AB4， AC5， ABC90， 点 D 在 AC 边上， 将ABD 沿着 BD 折叠得EBD， 连接 AE，CE （1）用尺规作出EBD（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若ABD30，CE3，连接 BE，求BEC 的度数 21为迎接 2020 年厦门国际马拉松比赛，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志 愿服务团队选拔活动经过初选，两所学校各 400 名学生进入综合素质展示环节为了了解两所学校学 生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩 （百分制） ，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲学校学
7、生成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40 x50，50 x60，60 x70，70 x 80，80 x90，90 x100） ： b甲学校学生成绩在 80 x90 这一组的具体数据分别是： 80，80，81，81，82，83，83，84， 85，86，86，87，88，88，89，89 c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）从甲学校进入综合展示环节的学生中随机抽取 1 名学生，综合素质展示成绩不低于 60 分的概率是 多少？ （2）从平均数和中位数两
8、个角度判断甲校和乙校的综合素质展示水平哪个更高？ 22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的两边 OA，OC（OAOC）分别在 x 轴和 y 轴的正半轴 上，矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 （090）得到矩形 OABC，此时点 A恰好在 CB 边上 （1）连接 AA，若AAB15，求 的度数； （2）若直线 BC的解析式为 y2x+b（b 为常数） ，OC2，求点 C的坐标 23疫情期间，某公司以 3 万元/吨的价格向养殖户收购海产后，分拣成 A，B 两类A 类海产包装后直接销 售，B 类海产深加工后再销售A 类海产的包装成本为 1 万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价
9、格 y （单位：万元/吨）与销售数量 x（x2） （单位：吨）之间的函数关系图所示；B 类海产深加工总费用 s （单位：万元）与加工数量 t（单位：吨）之间的函数关系式 s12+3t，平均销售价格为 9 万元/吨 提示：毛利润销售收入营业总成本 （1）求该公司 A 类海产的平均销售价格 y（单位：万元/吨）与销售数量 x（x2） （单位：吨）之间的 函数关系式； （2）该公司准备投入 112 万元，试设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润是多 少？ 24点 B 是O 外一点，BP 是ABC 的角平分线，BA 与O 的一个交点为 D，过 D 作 BP 的垂线交 BP 于 E，交
10、 BC 于 F，交O 于 G （1）如图 1，BC 与O 交于点 M 和点 N，当点 G 是的中点时，求证：BA 是O 的切线； （2）如图 2，当 BC 过点 O 时，画出点 O 到 BP 的距离 d，猜想线段 FG 与 d 有怎样的数量关系，并证 明 25已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（2，0）且经过点（3，） （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线 l：yx+m 与抛物线 yax2+bx+c 相交于 B，C 两点（C 点在 B 点的左侧） ，与对称轴相 交于点 P，且 B，C 分布在对称轴的两侧若 B 点到抛物线对称轴的距离为 n，且 CPtBP（2
11、t3） 试探求 n 与 t 的数量关系； 求线段 BC 的最大值，以及当 BC 取得最大值时对应 m 的值 2020 年福建省厦门市集美区中考数学模拟试卷（年福建省厦门市集美区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列计算结果等于2 的是（ ） A+（2） B （2）0 C|2| D2 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：A、+（2）2，符合题意； B、 （2）01，不合题意； C、|2|2，不合题意； D、2 1 ，不合题意； 故选：A 2新年伊
12、始，湖北疫情牵动着全国人民的心一方有难，八方驰援据统计，2020 年 1 月支援湖北医疗队 共有 42600 人，将 42600 用科学记数法表示为（ ） A426102 B4.26105 C4.26104 D0.426106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【解答】解：将数据 42600 用科学记数法表示为：4.26104 故选：C 3某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A球 B圆柱 C圆锥 D三棱柱 【分析】由主视图和左视图确定是柱体
13、，锥体还是球体，再由俯视图即可确定具体形状 【解答】解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形和圆心可判断出这个几何 体应该是圆锥， 故选：C 4在多项式（x+1） （3x+1）的展开式中，二次项的系数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】将原式按照多项式乘多项式的法则展开则可得答案 【解答】解：（x+1） （3x+1） 3x2+x+3x+1 3x2+4x+1 展开式中二次项的系数为 3 故选：C 5若正多边形的中心角为 72，则该正多边形的边数为（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】根据正多边形的中心角，求出 n 即可 【解答】解：由题意，72， n5， 故选：D 6
14、下列不等式与 x1 的解集表示在数轴上，无公共部分的是（ ） Ax1 Bx1 Cx Dx2 【分析】根据数轴上表示的无公共部分确定出解集即可 【解答】解：如图，与 x1 的解集表示在数轴上无公共部分的不等式必须满足 x1， 故选：B 7如图，已知建筑物 AC 与 BD 的间距为 a 米，其中建筑物 AC 的高为 h 米，在建筑物 AC 的楼顶 C 观测建 筑物 BD 的楼顶 B 的仰角为 ，则建筑物 BD 的高是（ ）米 Ah+asin Bh+acos Ch+ Dh+atan 【分析】过点 C 作 CEBD 于点 E，由锐角三角函数的定义求出 BE，则根据 BDDE+BE 可求出答案 【解答】
15、解：过点 C 作 CEBD 于点 E， 则 ACDEh 米，CEa 米， 在 RtCBE 中，BCE， tan， BEatan BDDE+BE（h+atan） （米） 故选：D 8 小 明 在 计 算 一 组 样 本 数 据 的 方 差 时 ， 列 出 的 公 式 如 下 ： s2 ，根据公式信息，下列说法正确的是（ ） A该样本容量为 6 B该样本的中位数是 8 C该样本的平均数 是 7 D该样本的方差 s2是 3 【分析】根据方差的算式得出这组数据为 5、7、8、6、9，再利用样本容量的概念、中位数、平均数及 方差的定义逐一判断可得 【解答】解：由这组数据的方差 s2知， 这组数据为 5、
16、7、8、6、9， 重新排列为 5、6、7、8、9， 所以这组数据的样本容量为 5，中位数为 7，平均数为7，方差为（57）2+（77） 2+（87）2+（67）2+（97）22， 故选：C 9如图，AB 是O 的直径，EF，EB 是O 的弦，点 E 是的中点，连接 OF若AOF40，则 EBF 的度数是（ ） A50 B55 C60 D65 【分析】 先利用邻补角的定义计算出BOF140， 再根据圆周角定理计算出BEF70， 由 得到EBFEFB，然后利用三角形内角和计算EBF 的度数 【解答】解：AOF40， BOF18040140， BEFBOF70， 点 E 是的中点， ， EBFEFB
17、， EBF（18070）55 故选：B 10已知关于 x 的方程 x2（a+2b）x+10 有两个相等实数根若在直角坐标系中，点 P 在直线 l：y x+上，点 Q（a，b）在直线 l 下方，则 PQ 的最小值为（ ） A B C D 【分析】利用判别式的意义得到（a+2b）240，则 a+2b2 或 a+2b2，所以 Q（1b，b） 或（1b，b） ，则可判断点 Q 在直线 yx1 上，如图，EF 为两直线的距离，然后求出 EF 得到 PQ 的最小值 【解答】解：关于 x 的方程 x2（a+2b）x+10 有两个相等实数根， （a+2b）240， a+2b2 或 a+2b2， 点 Q（a，b
18、） ，即 Q（1b，b）或（1b，b） ， 点 Q 所在的直线为 yx+1 或 yx1， 点 Q（a，b）在直线 yx+的下方， 点 Q 在直线 yx1 上，如图，EF 为两直线的距离， OE，OF， EF， PQ 的最小值为 故选：A 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11计算：sin30 【分析】根据 sin30直接解答即可 【解答】解：sin30 12如图，OC 是AOB 的平分线，直线 lOB，若AOB100，则1 50 【分析】首先利用角平分线的性质可得COB 的度数，再利用平行线的性质可得答案 【解答】解：OC 是AOB 的平分线， COBAOB10050， 直线 lOB
19、， 1COB50， 故答案为：50 13 一个不透明的袋中有 2 个红球和 1 个黄球， 这些球除颜色外其他完全相同小明先从袋中摸出 1 个球， 不放回，再从袋中摸出 1 个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好都是红球的情况， 再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有 6 种等可能结果，其中两个小球都是红球的有 2 种结果， 两球恰好都是红球的概率为， 故答案为： 14如图，已知O 内切于边长为 2 的正方形 ABCD，则图中阴影部分的面积是 4 （结果保留 ） 【分析】根据正方形的面积
20、公式、圆的面积公式计算，得到答案 【解答】解：设 AD、AB 于O 切于点 E、F，连接 OE、OF， 则 OEAD，OFAB，又A90， 四边形 AFOE 为矩形， AEAF， 四边形 AFOE 为正方形， AEOE， 同理可得，DEOE， AEED， 图中阴影部分的面积22124， 故答案为：4 15定义：数值倒数的平均数的倒数叫调和平均数如有三个正数分别为 x，y 和 z，那么它们的调和平均 数研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度绷得一样紧的几根 弦，如果长度的比能够表示成正整数的比，发出的声音就比较和谐数学家们研究发现：对应弦长的长 度之比是 15：12：n（n 为正整
21、数）的三根弦，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很 调和乐声 do，mi，so此时，12 是 12、15 和 n 的调和平均数，那么 n 的值为 10 【分析】题中给出了调和数的规律，可将 n 所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求 解 【解答】解：根据调和平均数的定义，可知： 12， 解得：n10 故答案为：10 16如图，已知四边形 ABCD 为正方形，A，B 在 x 轴上，对角线 AC 的长度为 3反比例函数 y（x 0）的图象与 AC，BC 分别交于点 E，F，若，则 CF 为 1 【分析】法一：由正方形的性质得ABC 是等腰直角三角形，勾股定理求得 ABB
22、C3；两边对应成比 例及夹角相等得CEFCBA， 其性质得CEF90， CEEF； 根据勾股定理， 点在反比例函数上， 线段的和差求出 OB，OH，最后由 OBOHHB 建立方程求出 a，即可求出 CF 的长为 1 法二：证明CEF 是等腰直角三角形，过 E 做 EM 垂直 CF 于 M 设 CMFMEMm，构建方程求解 即可 【解答】解：法一：过点 E 作 EHAB 于点 H，连接 EF， 设 CEa，如图所示： 四边形 ABCD 是正方形， ABCB，BACBCA45，ABC90， 又AB2+BC2AC2，AC， ABBC3， 又，ECFBCA， CEFCBA， ECFEFC45，CEF9
23、0， CEEF， 在 RtCEF 中，由勾股定理得： CF， 又BCBF+CF，ACAE+CE， BF3，AE， 又点 F 在反比例函数 y（x0）的图象上， 点 F 的纵坐标为 3， 点 F 的横坐标为， 即 OB， 同理可求出：EHAH3， OH， 又ABAH+HB， HB， 又OBOHHB， ， 解得：a1，a24（舍去） CF1， 法二：由比例得相似得等腰 RtCEF，过 E 做 EM 垂直 CF 于 M，设 CMFMEMm， 设 E（a，3m） ，则 F（a+m，32m） ，那么 a（3m）（a+m） （32m）5， 可得 m4（舍） 或 m， CF2m1， 故答案为：1 三解答题三
24、解答题 17解方程组 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， +得：4x8，即 x2， 将 x2 代入得：y， 则方程组的解为 18如图，四边形 ABCD 是菱形，CEAB 于 E，DFBC 交 BC 的延长线于 F，求证：BECF 【分析】欲证明 BECF，则可通过证明BECCFD 得到 【解答】证明： 四边形 ABCD 是菱形， BCCD，BACD， CEAB 于 E，DFBC 交 BC 的延长线于 F， CEBCFD90， DCE90， BCE+DCF90， BCE+B90， BDCF， 在BEC 和CFD 中， ， BECCFD（AAS） ， BECF 19解方程：1
25、【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：分式方程整理得：1， 去分母得： （x2）2（x24）12， 整理得：x24x+4x2+412， 移项合并得：4x4， 解得：x1， 检验：把 x1 代入得： （x+2） （x2）0， 分式方程的解为 x1 20 如图， 在ABC 中， AB4， AC5， ABC90， 点 D 在 AC 边上， 将ABD 沿着 BD 折叠得EBD， 连接 AE，CE （1）用尺规作出EBD（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若ABD30，CE3，连接 BE，求BEC 的度数 【分析】 （1）以 D
26、 为圆心，AD 长为半径画弧，以 B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E，连接 DE，BE 即可； （2）依据折叠的性质即可得到ABE 是等边三角形，依据勾股定理的逆定理，即可得到AEC 是直角 三角形，进而得出BED 的度数 【解答】解： （1）如图所示，EBD 即为所求； （2）由折叠可得，ABE2ABD23060，ABEB， ABE 是等边三角形， AEB60， 又CE3，AB4，AC5， CE2+AE2AC2， ACE 是直角三角形，且AEC90， BECAECAEB906030 21为迎接 2020 年厦门国际马拉松比赛，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了
27、志 愿服务团队选拔活动经过初选，两所学校各 400 名学生进入综合素质展示环节为了了解两所学校学 生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩 （百分制） ，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40 x50，50 x60，60 x70，70 x 80，80 x90，90 x100） ： b甲学校学生成绩在 80 x90 这一组的具体数据分别是： 80，80，81，81，82，83，83，84， 85，86，86，87，88，88，89，89 c乙学校学生成绩的平均数、中
28、位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）从甲学校进入综合展示环节的学生中随机抽取 1 名学生，综合素质展示成绩不低于 60 分的概率是 多少？ （2）从平均数和中位数两个角度判断甲校和乙校的综合素质展示水平哪个更高？ 【分析】 （1）甲校抽查 50 名学生，其中成绩不低于 60 分的有 7+10+16+1245 人，可求出概率； （2）求出甲校的平均数、中位数，比较得出答案 【解答】解： （1）甲校抽查 50 名学生中，成绩不低于 60 分的有 7+10+16+1245 人， P（成绩不低
29、于60分）， （2）将甲校抽查的 50 名学生中成绩处在第 25、26 位的两个数都是 81 分， 因此甲校的中位数为 81 分， 甲校的平均数为： 79（分） 从平均数、中位数上看，乙校的都比校班的要高， 因此乙校的成绩综合素质展示水平较高 22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的两边 OA，OC（OAOC）分别在 x 轴和 y 轴的正半轴 上，矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 （090）得到矩形 OABC，此时点 A恰好在 CB 边上 （1）连接 AA，若AAB15，求 的度数； （2）若直线 BC的解析式为 y2x+b（b 为常数） ，OC2，求点 C的坐标 【分析
30、】 （1）连接 AA，由旋转的性质得出 OAOA，AOA，求出OAAOAA75，可求 出答案； （2） 求出点 A的纵坐标为 2， 得出 AC1， OA， 证明CDOACO， 得出， 可求出 CD，OD，可求出点 C的坐标 【解答】解： （1）如图 1，连接 AA， 四边形 OABC 是矩形， OAB90， OAAOABAAB，AAB15， OAA901575， 矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 （090）得到矩形 OABC， OAOA，AOA， OAAOAA75， AOA18075230； （2）四边形 OABC是矩形， BCOA，COA90， 直线 BC的解析式为 y2x+b， 直线
31、OA的解析式为 y2x， CBOA，点 A在 BC 上，OC2， 点 A的纵坐标为 2， AC1，OA， 如图 2，过点 C作 CDx 轴，则CDOBCO90， DOCDOCCOC90COC， COACOACOC90COC， DOCCOA CDOACO， ， 矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 得到矩形 OABC， OCOC2， ， CD，OD， 点 C在第二象限， 点 C的坐标为（） 23疫情期间，某公司以 3 万元/吨的价格向养殖户收购海产后，分拣成 A，B 两类A 类海产包装后直接销 售，B 类海产深加工后再销售A 类海产的包装成本为 1 万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格 y
32、（单位：万元/吨）与销售数量 x（x2） （单位：吨）之间的函数关系图所示；B 类海产深加工总费用 s （单位：万元）与加工数量 t（单位：吨）之间的函数关系式 s12+3t，平均销售价格为 9 万元/吨 提示：毛利润销售收入营业总成本 （1）求该公司 A 类海产的平均销售价格 y（单位：万元/吨）与销售数量 x（x2） （单位：吨）之间的 函数关系式； （2）该公司准备投入 112 万元，试设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润是多 少？ 【分析】 （1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式； （2）本问是方案设计问题，总投入为 112 万元，这笔 112 万元包括购买海
33、产的费用+A 类海产加工成本 +B 类海产加工成本共购买了 m 吨海产，其中 A 类海产为 x 吨，B 类海产为（mx）吨，分别求出当 2 x8 时及当 x8 时 w 关于 x 的表达式，并分别求出其最大值 【解答】解： （1）当 2x8 时，如图， 设直线 AB 解析式为：ykx+b， 将 A（2，12） 、B（8，6）代入得：， 解得， yx+14； 当 x8 时，y6 所以 A 类海产平均销售价格 y 与销售量 x 之间的函数关系式为：y； （2）设该公司用 112 万元共购买了 m 吨海产，其中 A 类海产为 x 吨，B 类海产为（mx）吨， 则购买费用为 3m 万元，A 类海产加工成
34、本为 x 万元，B 类海产加工成本为12+3（mx）万元， 3m+x+12+3（mx）112，化简得：x3m50 当 2x8 时， wAx（x+14）xx2+13x； wB9（mx）12+3（mx）6m6x12 wwA+wB3m （x2+13x）+（6m6x12）3m x2+7x+3m12 将 3mx+50 代入得：wx2+8x+38（x4）2+54， 当 x4 时，有最大毛利润 54 万元， 此时 m18，mx14； 当 x8 时， wA6xx5x； wB9（mx）12+3（mx）6m6x12 wwA+wB3m （5x）+（6m6x12）3m x+3m12 将 3mx+50 代入得：w38
35、当 x8 时，有最大毛利润 38 万元 综上所述，购买海产品应是 18t，其中 A 类海产 4t，B 类海产 14t，公司能够获得最大毛利润，最大毛利 润为 54 万元 24点 B 是O 外一点，BP 是ABC 的角平分线，BA 与O 的一个交点为 D，过 D 作 BP 的垂线交 BP 于 E，交 BC 于 F，交O 于 G （1）如图 1，BC 与O 交于点 M 和点 N，当点 G 是的中点时，求证：BA 是O 的切线； （2）如图 2，当 BC 过点 O 时，画出点 O 到 BP 的距离 d，猜想线段 FG 与 d 有怎样的数量关系，并证 明 【分析】 （1）连接 OD，OG，根据角平分线
36、的定义得到DBEFBE，根据全等三角形的性质得到 BDEBFE，求得GFNBDE，根据度有上进心的性质得到 OGMN，根据切线的判定定理即可 得到结论； （2）过 O 作 OHBP 于 H，交 AB 于 M，根据全等三角形的性质得到 OHHM，BMHBOH，求 得 OM2OH，连接 OD，OG，根据平行线的性质得到ODGDOM，BOMBFD，求得DOM G，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OD，OG， BP 是ABC 的角平分线， DBEFBE， DGBP， BEDBEF90， BEBE， DBEFBE（ASA） ， BDEBFE， BFEGFN， GFNBDE，
37、 点 G 是的中点， OGMN， G+GFN90， ODOG， GODG， ODG+BDF90， BDO90， BA 是O 的切线； （2）解：FG2d， 过 O 作 OHBP 于 H，交 AB 于 M， BHMBHO90， BP 是ABC 的角平分线， MHBOHB， DGBP， BHBH， MBHOBH（ASA） ， OHHM，BMHBOH， OM2OH， 连接 OD，OG， ODOG， ODGOGD， OMBP，DGBP， OMDG， ODGDOM，BOMBFD， DOMG， BMODFO， DMOOFG， ODOG， ODMGOF（AAS） ， OMFG， FG2OH， 即 FG2d，
38、 25已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点 A（2，0）且经过点（3，） （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线 l：yx+m 与抛物线 yax2+bx+c 相交于 B，C 两点（C 点在 B 点的左侧） ，与对称轴相 交于点 P，且 B，C 分布在对称轴的两侧若 B 点到抛物线对称轴的距离为 n，且 CPtBP（2t3） 试探求 n 与 t 的数量关系； 求线段 BC 的最大值，以及当 BC 取得最大值时对应 m 的值 【分析】 （1）由题意可知抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为 ya（x2）2，将点（3，）代 入，解得 a 的值，则可得抛物线的函数解析式；
39、（2）设直线 l：yx+m 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 D，过点 B，C 分别作 y 轴，x 轴的垂线， CF 交 BF 于点 F，设 BF 与抛物线的对称轴 AP 交于点 G，根据题意画出图形，在 RtODE 中，由 tan OED，可得OED30；由 FCPG，CPtBP，可得比例式，将 FG 和 BF 用 n 和 t 表示出来，再结合点 B，C 在抛物线 y（x2）2上及在 RtBFC 中，tanCBF，可求得 答案；在 RtBFC 中，利用三角函数将 BC 用 t 表示出来，再根据 BC 随 s 的变化规律可得答案 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c（a0）与
40、x 轴只有一个公共点 A（2，0） ， A（2，0）为抛物线顶点， 设抛物线的解析式为 ya（x2）2，将点（3，）代入得 a， 抛物线的函数解析式为 y（x2）2； （2）设直线 l：yx+m 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 D，过点 B，C 分别作 y 轴，x 轴的垂线， CF 交 BF 于点 F，设 BF 与抛物线的对称轴 AP 交于点 G，如图： 令x+m0，解得 xm， OEm， 直线 l：yx+m 与 y 轴交于点 D， D（0，m） ， ODm， 在 RtODE 中，tanOED， OED30， B 点到抛物线对称轴的距离为 n， BGn， FCPG，CPtBP（2t3）
41、 ， FG：BGCP：BPt， FGnt，BFnt+n， xB2+n，xFxC2nt 点 B，C 在抛物线 y（x2）2上， C（2nt，） ，B（2+n，） ， FC， BFAE， CBFOED30， 则在 RtBFC 中，tanCBF， ， 化简得 n； BFnt+n，且 n， BF， 在 RtBFC 中， BC 2（1+） ， 令 st1，由于 2t3， 1s2， BC2（1+） ， 当 1s2 时，随 s 的增大而减小， 当 s1，即 t2 时，BC 取得最大值，此时 BC6， 当 t2 时，n，则 B（2+，1） ， 将点 B 坐标代入 yx+m，得 m2+ 线段 BC 的最大值为 6，此时对应 m 的值为 2+
