1、2020 年江苏省南通市中考数学全真模拟试卷（年江苏省南通市中考数学全真模拟试卷（6 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符分在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1|2020|（ ） A2020 B2020 C D 2下列各式子中，为最简二次根式的（ ） A B C D 3设点 N（x+1，9）在第一象限，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 4某服装店在 6 月 20 日以相同的价格 x（x0）卖出了 4 件衣服，2
2、 件盈利 15%，2 件亏损 15%，问该店 盈利情况是（ ） A盈利 B亏损 C不盈利也不亏损 D以上说法皆有可能 5关于 x 的方程（x+a）2b 能直接开平方求解的条件是（ ） Aa0，b0 Ba0，b0 Ca 为任意实数或 b0 Da 为任意实数且 b0 6方程1 的解是（ ） A1 B0 C无解 D2 7某货车送货，已知该货车在上坡时的速度为 x 千米每小时，下坡时速度为 y 米每小时，则货车上下坡的 平均速度为（ ） Ax+y B C D以上说法都不对 8已知数 m 满足 6m20，如果关于 x 的一元二次方程 mx2（2m1）x+m20 有有理根，求 m 的值 （ ） A11 B
3、12 Cm 有无数个解 D13 9将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形，已知CED55，则BAD的大小是（ ） A30 B35 C45 D60 10 如图 1 是一座立交桥的示意图 （道路宽度忽略不计） ， A 为入口， F， G 为出口，其中直行道为 AB， CG， EF，且 ABCGEF；弯道为以点 O 为圆心的一段弧，且，所对的圆心角均为 90甲、 乙两车由 A 口同时驶入立交桥， 均以 10m/s 的速度行驶， 从不同出口驶出， 其间两车到点 O 的距离 y （m） 与时间 x（s）的对应关系如图 2 所示结合题目信息，下列说法错误的是（ ） A甲车在立交桥上共行驶 8
4、s B从 F 口出比从 G 口出多行驶 40m C甲车从 F 口出，乙车从 G 口出 D立交桥总长为 150m 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 8 小题，前小题，前 3 题每小题题每小题 3 分，后分，后 5 题每小题题每小题 3 分，共分，共 29 分不需要写出解答过程，分不需要写出解答过程， 请把最后结果填在题中横线上请把最后结果填在题中横线上.） 11代数式有意义的 x 的取值范围是 12分解因式：a39a 13某班中考英语听力口语成绩如下， 成绩/分 30 29 28 27 26 学生/人数 3 15 13 6 4 该班中考英语听力口语成绩众数比中位数多 分 14明代
5、大数学家程大位著的算法统宗一书中，记载了这样一道数学题： “八万三千短竹竿，将来要把 笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有 83000 根短竹，每根短竹可制成 毛笔的笔管 3 个或笔套 5 个，怎样安排笔管或笔套的短竹的数量，使制成的 1 个笔管与 1 个笔套正好配 套？设用于制作笔管的短竹数为 x 根，用于制作笔套的短竹数为 y 根，则可列方程组为： 15如图是一个正方形及其内切圆，正方形的边长为 a随机地往正方形内投一粒米，不落在圆内的概率 是 16函数 y1x1 和函数 y2的图象交于点 M（m，1） ，N（n，2） ，若4y1y24，则 x 的取值范 围为 1
6、7如图，已知直线 ab，a，b 之间的距离为 4，点 P 到直线 a 的距离为 4，点 Q 到直线 b 的距离为 2， PQ2 在直线 a 上有一动点 A， 直线 b 上有一动点 B， 满足 ABb， 且 PA+AB+BQ 最小， 此时 PA+BQ 18如图，等腰ABC 的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 ABAC5，BC6，则 DE 的长是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 8 小题，共小题，共 91 分需要写出解答过程分需要写出解答过程.） 19 （1）计算： （） 2+ 8cos60（+3）0； （2）化简求值： （a2）2+b（b2a）+4（
7、a1） ，已知 ab 20为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，南通某学校课后开展了 A：课后作业辅导，B： 书法，C：阅读，D：画画，E：音乐共 5 门课程供学生选择，其中 A 是必修课，学生再从 BCDE 中选 2 门课程 （1）若学生陈明第一次选一门课程，写出陈明选中课程 D 的概率； （2）若学生小明和芳芳在选课的过程中，第一次都选了 E，那么他们 2 人第二次选择书法或者画画的概 率是多少，请用树状图表示，并列出所有等可能的情况 21为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的 10%进行测试，将这些学生的 测试成绩（x）分为四个等级：优秀 85x100；
8、良好 75x85；及格 60 x75；不及格 0 x60， 并绘制成如图两幅统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是 ； （2）计算所抽取学生测试成绩的平均分； （3）若不及格学生的人数为 2 人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数 22如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，AE 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 E，AE 交O 于 点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连接 AC，BC，PB：PC1：2 （1）求证：AC 平分BAD； （2）探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AD3，求ABC 的面
9、积 23如图，为测量建筑物 CD 的高度，在 A 点测得建筑物顶部 D 点的仰角为 22，再向建筑物 CD 前进 30 米到达 B 点， 测得建筑物顶部 D 点的仰角为 58 （A， B， C 三点在一条直线上） ， 求建筑物 CD 的高度（结 果保留整数参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin580.85，cos580.53， tan581.60） 24如图，在矩形 ABCD 中，AB6，P 为边 CD 上一点，把BCP 沿直线 BP 折叠，顶点 C 折叠到 C，连 接 BC与 AD 交于点 E，连接 CE 与 BP 交于点 Q，若 CEBE （1）求证：
10、ABEDEC； （2）当 AD13 时，AEDE，求 CE 的长； （3）连接 CQ，直接写出四边形 CQCP 的形状： 当 CP4 时，并求 CEEQ 的值 25 已知正方形 ABCD， P 为射线 AB 上的一点， 以 BP 为边作正方形 BPEF， 使点 F 在线段 CB 的延长线上， 连接 EA、EC （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EAEC； （2）若点 P 在线段 AB 上，如图 2，当点 P 为 AB 的中点时，判断ACE 的形状，并说明理由； （3）在（1）的条件下，将正方形 ABCD 固定，正方形 BPEF 绕点 B 旋转一周，设 AB4，BPa，若
11、 在旋转过程中ACE 面积的最小值为 4，请直接写出 a 的值 26在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为（x1，y1） ，点 N 的坐标为（x2，y2） ，且 x1x2，y1y2，以 MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于 x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形” （1）已知点 A（2，0） ，B（0，2） ，则以 AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为 ； （2）若点 C（1，2） ，点 D 在直线 y5 上，以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线 CD 表达式； （3） O 的半径为， 点 P 的坐标为 （3， m） 若在O 上存在一点 Q， 使得以 QP 为
12、边的 “坐标菱形” 为正方形，求 m 的取值范围 2020 年江苏省南通市中考数学全真模拟试卷（年江苏省南通市中考数学全真模拟试卷（6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1|2020|（ ） A2020 B2020 C D 【分析】根据绝对值的定义解答即可 【解答】解：|2020|2020， 故选：B 2下列各式子中，为最简二次根式的（ ） A B C D 【分析】利用最简二次根式定义判断即可 【解答】解：A、原式2，不符合题意； B、原式为最简二次根式，符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意 故选：B 3设点
13、N（x+1，9）在第一象限，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】根据第一象限内点的坐标符号特点列出关于 x 的不等式，解之可得答案 【解答】解：点 N（x+1，9）在第一象限， x+10， 解得 x1， 故选：A 4某服装店在 6 月 20 日以相同的价格 x（x0）卖出了 4 件衣服，2 件盈利 15%，2 件亏损 15%，问该店 盈利情况是（ ） A盈利 B亏损 C不盈利也不亏损 D以上说法皆有可能 【分析】分别求出盈利 15%的 2 件衣服与亏损 15%的 2 件衣服的进价，再根据利润售价进价即可求 解 【解答】解：设盈利 15%的 2 件衣服每件的进价为
14、 a， 根据题意得： （1+15%）ax， 解得 ax， 设亏损 15%的 2 件衣服每件的进价为 b， 根据题意得： （115%）bx， 解得 bx， 4x（x2+x2）x， 该店亏损 故选：B 5关于 x 的方程（x+a）2b 能直接开平方求解的条件是（ ） Aa0，b0 Ba0，b0 Ca 为任意实数或 b0 Da 为任意实数且 b0 【分析】根据偶次方的非负性和根的判别式得出即可 【解答】解： （x+a）2b， 整理得：x2+2ax+a2b0， （2a）24（a2b）4b0， 关于 x 的方程（x+a）2b 能直接开平方求解的条件是 b0， 故选：D 6方程1 的解是（ ） A1 B0
15、 C无解 D2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：去分母得：11x， 解得：x0， 经检验 x0 是分式方程的解 故选：B 7某货车送货，已知该货车在上坡时的速度为 x 千米每小时，下坡时速度为 y 米每小时，则货车上下坡的 平均速度为（ ） Ax+y B C D以上说法都不对 【分析】根据路程速度时间，以及利用总路程除以总时间得出该货车的平均速度 【解答】解：设上山的路程为 a，根据题意得出： 故选：C 8已知数 m 满足 6m20，如果关于 x 的一元二次方程 mx2（2m1）x+m20 有有理根，求 m 的值
16、（ ） A11 B12 Cm 有无数个解 D13 【分析】由题意得 m0，若关于 x 的一元二次方程 mx2（2m1）x+m20 有理根，则0，并且 为有理数的平方而（2m1）24m（m2）4m+1，再由 m 满足 6m20，确定出的范 围，即可得出结论 【解答】解：关于 x 的方程 mx2（2m1）x+m20 是一元二次方程， m0， b24ac（2m1）24m（m2）4m+1， 又6m20， 254m+181， 如果关于 x 的一元二次方程 mx2（2m1）x+m20 有有理根， 为有理数的平方， 有无数个有理数 m，使（4m+1）是有理数的平方， （如6 或 7 或 8 或 30.25
17、或 36 或 37.21 或 42.25 等） ， 故选：C 9将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形，已知CED55，则BAD的大小是（ ） A30 B35 C45 D60 【分析】由题意推出DED125，得DAD55，所以BAD35 【解答】解：如图所示EDAEDA， DDDAE90， CED55， DED125， DAD55， BAD35 故选：B 10 如图 1 是一座立交桥的示意图 （道路宽度忽略不计） ， A 为入口， F， G 为出口，其中直行道为 AB， CG， EF，且 ABCGEF；弯道为以点 O 为圆心的一段弧，且，所对的圆心角均为 90甲、 乙两车由 A
18、口同时驶入立交桥， 均以 10m/s 的速度行驶， 从不同出口驶出， 其间两车到点 O 的距离 y （m） 与时间 x（s）的对应关系如图 2 所示结合题目信息，下列说法错误的是（ ） A甲车在立交桥上共行驶 8s B从 F 口出比从 G 口出多行驶 40m C甲车从 F 口出，乙车从 G 口出 D立交桥总长为 150m 【分析】根据题意、结合图象问题可得 【解答】解：由图象可知，两车通过，弧时每段所用时间均为 2s，通过直行道 AB，CG，EF 时，每段用时为 3s 因此，甲车所用时间为 3+2+38s，故 A 正确； 根据两车运行路线，从 F 口驶出比从 G 口多走，弧长之和，用时为 4s
19、，则走 40m，故 B 正确； 根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从 G 口驶出，故 C 错误； 根据题意立交桥总长为（32+33）10150m，过 D 正确； 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11代数式有意义的 x 的取值范围是 x8 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 8x0，再解即可 【解答】解：由题意得：8x0， 解得：x8， 故答案为：x8 12分解因式：a39a a（a+3） （a3） 【分析】本题应先提出公因式 a，再运用平方差公式分解 【解答】解：a39aa（a232）a（a+3） （a3） 13某班中考英语听力口语成绩如下， 成绩/分 30 29 28
20、 27 26 学生/人数 3 15 13 6 4 该班中考英语听力口语成绩众数比中位数多 1 分 【分析】求出众数，中位数即可解决问题 【解答】解：由题意中位数为 28 分，众数为 29， 众数比中位数多 1 分， 故答案为 1 14明代大数学家程大位著的算法统宗一书中，记载了这样一道数学题： “八万三千短竹竿，将来要把 笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有 83000 根短竹，每根短竹可制成 毛笔的笔管 3 个或笔套 5 个，怎样安排笔管或笔套的短竹的数量，使制成的 1 个笔管与 1 个笔套正好配 套？设用于制作笔管的短竹数为x根， 用于制作笔套的短竹数为y根， 则
21、可列方程组为： 【分析】设用于制作笔管的短竹数为 x 根，用于制作笔套的短竹数为 y 根，根据题意列出方程组解答即 可 【解答】 解： 设用于制作笔管的短竹数为x根， 用于制作笔套的短竹数为y根， 根据题意可得：， 故答案为：， 15如图是一个正方形及其内切圆，正方形的边长为 a随机地往正方形内投一粒米，不落在圆内的概率是 1 【分析】直接根据题意得出圆的面积进而利用圆的面积除以正方形面积得出答案 【解答】解：由题意可得，圆的面积为：， 正方形面积为：a2， 故随机地往正方形内投一粒米，不落在圆内的概率是：11 故答案为：1 16函数 y1x1 和函数 y2的图象交于点 M（m，1） ，N（n
22、，2） ，若4y1y24，则 x 的取值范 围为 3x1 或x2 【分析】先将 M（m，1） ，N（n，2）代入 y2，求出 m、n 的值，再分别求出 y14，y24 时 x 的取值范围， 画出函数 y1x1 和函数 y2的图象， 根据图象找出函数 y1x1 在函数 y2图象的 下方且 y14，y24 时 x 的取值范围即可 【解答】解： 函数 y2的图象过点 M（m，1） ，N（n，2） ， m2，n1 如果 y14，那么 x14，x3， 如果 y24，那么4，x或 x0 由图可知，若4y1y24，则 x 的取值范围为3x1 或x2 故答案为3x1 或x2 17如图，已知直线 ab，a，b
23、之间的距离为 4，点 P 到直线 a 的距离为 4，点 Q 到直线 b 的距离为 2， PQ2 在直线 a 上有一动点 A， 直线 b 上有一动点 B， 满足 ABb， 且 PA+AB+BQ 最小， 此时 PA+BQ 10 【分析】 作 PEa 于 E 交 b 于 F， 在 PF 上截取 PC4， 连接 QC 交 b 于 B， 作 BAa 于 A， 此时 PA+AB+BQ 最短作 QDPF 于 D首先证明四边形 ABCP 是平行四边形，PA+BQCB+BQQC，利用勾股定理 即可解决问题 【解答】解：作 PEa 于 E 交 b 于 F，在 PF 上截取 PC4，连接 QC 交 b 于 B，作
24、BAa 于 A，此时 PA+AB+BQ 最短作 QDPF 于 D 在 RtPQD 中，D90，PQ2，PD10， DQ，CDPDPC1046， ABPC4，ABPC， 四边形 ABCP 是平行四边形， PABC， PA+BQCB+BQQC 故答案为 10 18如图，等腰ABC 的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 ABAC5，BC6，则 DE 的长是 【分析】连接 OA、OE、OB，OB 交 DE 于 H，由切线的性质和切线长定理得到 OA 平分BAC，OE BC，ODAB，BEBD，由等腰三角形的性质判断点 A、O、E 共线，BECE3，由勾股定理得 AE 4，则
25、AD2，设O 的半径为 r，则 ODOEr，AO4r，由勾股定理得 r2+22（4r）2，解得 r ，求出 OB，证明 OB 垂直平分 DE，由面积法求出 HE，从而得到 DE 的长 【解答】解：连接 OA、OE、OB，OB 交 DE 于 H，如图， 等腰ABC 的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F， OA 平分BAC，OEBC，ODAB，BEBD， ABAC， AOBC， 点 A、O、E 共线， 即 AEBC， BECE3， 在 RtABE 中，AE4， BDBE3， AD2， 设O 的半径为 r，则 ODOEr，AO4r， 在 RtAOD 中，r2+22（4r）2，
26、解得 r， 在 RtBOE 中，OB， BEBD，OEOD， OB 垂直平分 DE， DHEH，OBDE， HEOBOEBE， HE， DE2EH 故答案为： 三解答题三解答题 19 （1）计算： （） 2+ 8cos60（+3）0； （2）化简求值： （a2）2+b（b2a）+4（a1） ，已知 ab 【分析】 （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 ab 的值代 入计算即可求出值 【解答】解： （1）原式4+281 4+241 21； （2）原式a24a+4+b22a
27、b+4a4 a2+b22ab （ab）2， 当 ab时，原式（）22 20为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，南通某学校课后开展了 A：课后作业辅导，B： 书法，C：阅读，D：画画，E：音乐共 5 门课程供学生选择，其中 A 是必修课，学生再从 BCDE 中选 2 门课程 （1）若学生陈明第一次选一门课程，写出陈明选中课程 D 的概率； （2）若学生小明和芳芳在选课的过程中，第一次都选了 E，那么他们 2 人第二次选择书法或者画画的概 率是多少，请用树状图表示，并列出所有等可能的情况 【分析】 （1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出他俩
28、第二次同时选择书法或画画的结果数，然后根据 概率公式求解 【解答】解： （1）若学生陈明第一次选一门课程，学生陈明选中项目 D 的概率为； （2）画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中他俩第二次同时选择书法或画画的结果数为 2， 所以他俩第二次同时选择书法或画画的概率为 21为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的 10%进行测试，将这些学生的 测试成绩（x）分为四个等级：优秀 85x100；良好 75x85；及格 60 x75；不及格 0 x60， 并绘制成如图两幅统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是 5% ； （2
29、）计算所抽取学生测试成绩的平均分； （3）若不及格学生的人数为 2 人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数 【分析】 （1）根据百分比的和等于 1 求解即可 （2）利用加权平均数求解即可 （3）首先确定总人数，根据优秀人数总人数优秀率计算即可 【解答】解： （1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比120%25%50%5%， 故答案为 5% （2）所抽取学生测试成绩的平均分79.8（分） （3）由题意总人数25%40（人） ， 4050%20， 2010%200（人） 答：该校九年级学生中优秀等级的人数约为 200 人 22如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，AE 和过点 C
30、的切线互相垂直，垂足为 E，AE 交O 于 点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连接 AC，BC，PB：PC1：2 （1）求证：AC 平分BAD； （2）探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若 AD3，求ABC 的面积 【分析】 （1）首先连接 OC，由 PE 是O 的切线，AE 和过点 C 的切线互相垂直，可证得 OCAE，又 由 OAOC，易证得DACOAC，即可得 AC 平分BAD； （2）由 AB 是O 的直径，PE 是切线，可证得PCBPAC，即可证得PCBPAC，然后由相似 三角形的对应边成比例与 PB：PC1：2，即可求得答案； （3）首先过点
31、O 作 OHAD 于点 H，则 AHAD，四边形 OCEH 是矩形，即可得 AE+OC， 由 OCAE，可得PCOPEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 OC 的长，再由PBC PCA，证得 AC2BC，然后在 RtABC 中，AC2+BC2AB2，可得（2BC）2+BC252，即可求得 BC 的 长，继而求得答案 【解答】 （1）证明：连接 OC， PE 是O 的切线， OCPE， AEPE， OCAE， DACOCA， OAOC， OCAOAC， DACOAC， AC 平分BAD； （2）线段 PB，AB 之间的数量关系为：AB3PB 理由：AB 是O 的直径， ACB90， BAC
32、+ABC90， OBOC， OCBABC， PCB+OCB90， PCBPAC， P 是公共角， PCBPAC， ， PC2PBPA， PB：PC1：2， PC2PB， PA4PB， AB3PB； （3）解：过点 O 作 OHAD 于点 H，则 AHAD，四边形 OCEH 是矩形， OCHE， AE+OC， OCAE， PCOPEA， ， AB3PB，AB2OB， OBPB， ， OC， AB5， PBCPCA， ， AC2BC， 在 RtABC 中，AC2+BC2AB2， （2BC）2+BC252， BC， AC2， SABCACBC5 23如图，为测量建筑物 CD 的高度，在 A 点测得建
33、筑物顶部 D 点的仰角为 22，再向建筑物 CD 前进 30 米到达 B 点， 测得建筑物顶部 D 点的仰角为 58 （A， B， C 三点在一条直线上） ， 求建筑物 CD 的高度（结 果保留整数参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin580.85，cos580.53， tan581.60） 【分析】在 RtBDC 中，根据三角函数的定义得到 1.60，求得 BC，在 RtACD 中，根据 三角函数的定义得到 0.40，求得 AC，列方程即可得到结论 【解答】解：在 RtBDC 中， tanDBC， 1.60， BC， 在 RtACD 中， tanDAC，
34、 0.40， AC， ABACBC30， 解得：CD16（米） ， 答：建筑物 CD 的高度为 16 米 24如图，在矩形 ABCD 中，AB6，P 为边 CD 上一点，把BCP 沿直线 BP 折叠，顶点 C 折叠到 C，连 接 BC与 AD 交于点 E，连接 CE 与 BP 交于点 Q，若 CEBE （1）求证：ABEDEC； （2）当 AD13 时，AEDE，求 CE 的长； （3）连接 CQ，直接写出四边形 CQCP 的形状： 菱形 当 CP4 时，并求 CEEQ 的值 【分析】 （1）由题意可得AEB+CED90，且ECD+CED90，可得AEBECD，且A D90，则可证ABEDEC
35、； （2）设 AEx，则 DE13x，由相似三角形的性质可得，即：，可求 x 的值，即可 得 DE9，根据勾股定理可求 CE 的长； （3）由折叠的性质可得 CPCP，CQCQ，CPQCPQ，BCPBCP90，由平行线的性 质可得CPQCQPCPQ，即可得 CQCPCQCP，则四边形 CQCP 是菱形，通过证CEQ EDC，可得，即可求 CEEQ 的值 【解答】证明： （1）CEBE， BEC90， AEB+CED90， 又ECD+CED90， AEBECD， 又AD90， ABEDEC （2）设 AEx，则 DE13x， 由（1）知：ABEDEC， ，即： x213x+360， x14，x2
36、9， 又AEDE AE4，DE9， 在 RtCDE 中，由勾股定理得： （3） 折叠， CPCP，CQCQ，CPQCPQ，BCPBCP90， CEBC，BCP90， CECP， CPQCQP， CQPCPQ， CQCP， CQCPCQCP， 四边形 CQCP 是菱形， 故答案为：菱形 四边形 CQCP 是菱形， CQCP，CQCP，EQCECD 又CEQD90 CEQEDC 即：CEEQDCCQ6424 25 已知正方形 ABCD， P 为射线 AB 上的一点， 以 BP 为边作正方形 BPEF， 使点 F 在线段 CB 的延长线上， 连接 EA、EC （1）如图 1，若点 P 在线段 AB
37、的延长线上，求证：EAEC； （2）若点 P 在线段 AB 上，如图 2，当点 P 为 AB 的中点时，判断ACE 的形状，并说明理由； （3）在（1）的条件下，将正方形 ABCD 固定，正方形 BPEF 绕点 B 旋转一周，设 AB4，BPa，若 在旋转过程中ACE 面积的最小值为 4，请直接写出 a 的值 【分析】 （1）根据正方形的性质证明APECFE，可得结论； （2）分别证明PAE45和BAC45，则CAE90，即ACE 是直角三角形； （3）如图 3 中，连接 BD 交 AC 于 O因为点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心，a 为半径的圆，推出当点 E 在线段 OB 上时，ACE 的
38、面积最小，构建方程即可解决问题（注意一题多解） 【解答】证明： （1）如图 1 中， 四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形， ABBC，BPBF， APCF， 在APE 和CFE 中， ， APECFE， EAEC； （2）ACE 是直角三角形， 理由是：如图 2 中， P 为 AB 的中点， PAPB， PBPE， PAPE， PAE45， 又BAC45， CAE90，即ACE 是直角三角形； （3）如图 3 中，连接 BD 交 AC 于 O 点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心，a 为半径的圆， 当点 E 在线段 OB 上时，ACE 的面积最小， ACOE4， OE， BE2 a1
39、， 满足条件的 a 的值为 1 26在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为（x1，y1） ，点 N 的坐标为（x2，y2） ，且 x1x2，y1y2，以 MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于 x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形” （1）已知点 A（2，0） ，B（0，2） ，则以 AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为 60 ； （2）若点 C（1，2） ，点 D 在直线 y5 上，以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线 CD 表达式； （3） O 的半径为， 点 P 的坐标为 （3， m） 若在O 上存在一点 Q， 使得以 QP 为边的 “坐标菱形” 为正方
40、形，求 m 的取值范围 【分析】 （1）根据定义建立以 AB 为边的“坐标菱形” ，由勾股定理求边长 AB4，可得 30 度角，从而 得最小内角为 60； （2）先确定直线 CD 与直线 y5 的夹角是 45，得 D（4，5）或（2，5） ，易得直线 CD 的表达式为： yx+1 或 yx+3； （3）分两种情况： 先作直线 yx，再作圆的两条切线，且平行于直线 yx，如图 3，根据等腰直角三角形的性质分别求 PBBD1，PB5，写出对应 P 的坐标； 先作直线 yx，再作圆的两条切线，且平行于直线 yx，如图 4，同理可得结论 【解答】解： （1）点 A（2，0） ，B（0，2） ， OA2
41、，OB2， 在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB4， ABO30， 四边形 ABCD 是菱形， ABC2ABO60， ABCD， DCB18060120， 以 AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为 60， 故答案为：60； （2）如图 2，以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形， 直线 CD 与直线 y5 的夹角是 45 过点 C 作 CEDE 于 E D（4，5）或（2，5） 直线 CD 的表达式为：yx+1 或 yx+3； （3）分两种情况： 先作直线 yx，再作圆的两条切线，且平行于直线 yx，如图 3， O 的半径为，且OQD 是等腰直角三角形， ODOQ2， PD321， PDB 是等腰直角三角形， PBBD1， P（0，1） ， 同理可得：OA2， AB3+25， ABP 是等腰直角三角形， PB5， P（0，5） ， 当 1m5 时，以 QP 为边的“坐标菱形”为正方形； 先作直线 yx，再作圆的两条切线，且平行于直线 yx，如图 4， O 的半径为，且OQD 是等腰直角三角形， ODOQ2， BD321， PDB 是等腰直角三角形， PBBD1， P（0，1） ， 同理可得：OA2， AB3+25， ABP 是等腰直角三角形， PB5， P（0，5） ， 当5m1 时，以 QP 为边的“坐标菱形”为正方形； 综上所述，m 的取值范围是 1m5 或5m1
