1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、填空题. 1设复数 z 满足（z+i）（2+i）5（i 为虚数单位），则 z 2设全集 U1，2，3，4，集合 A1，3，B2，3，则 BUA 3箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的 2 球颜 色不同的概率为 4 某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高 据测量被测学生身高全部介 于 155cm 和 195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）、第二组 160，165）、第八组190，195，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一
2、部分 如图所示 估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上 （含180cm） 的人数为 5阅读如图所示的程序框，若输入的 n 是 30，则输出的变量 S 的值是 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，若曲线 C 经过点 P（1，3），则其焦点到准线的距离为 7抛物线 y24x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离为 8已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2，锐角为 60的菱形，侧棱 PA底面 ABCD，PA3，若点 M 是 BC 的中点，则三棱锥 MPAD 的体积为 9以抛物线 y24x 的焦点为焦点，以直线 yx 为渐近线的双曲线
3、标准方程为 10一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是 cm3 11已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x+ln ，记 a nf（n5）， 则数列an的前 8 项和为 12过曲线 yx （x0）上一点 P（x0，y0）处的切线分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B，O 是坐标原点，若OAB 的面积为 ，则 x 0 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y21，O1：（x4）2+y24，动点 P 在直线 x yb0 上，过 P 分别作圆 O，O1的切线，且点分别为 A，B，若满足 PB2PA 的 点 P 有且只有两个
4、，则实数 b 的取值范围是 14 已知函数 f （x） 是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时， f （x） （|xa|+|x2a|3|a|） 若 集合x|f（x1）f（x）0，xR，则实数 a 的取值范围为 二、解答题；本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （sinBsinC，sinC sinA）， （sinB+sinC，sinA），且 （1）求角 B 的大小； （2）若 bc cosA，ABC 的外接圆的半径为 1，求ABC 的面积 16如图在直
5、四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分別 AB，BC 的中点，A1C1与 B1D1交于 点 O （1）求证：A1，C1，F，E 四点共面； （2）若底面 ABCD 是菱形，且 ODA1E，求证：OD平面 A1C1FE 17已知函数 f（x）x22ax+1 （1）若函数 g（x）logaf（x）+a（a0，a1）的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； （2）当 x0 时，恒有不等式 lnx 成立，求实数 a 的取值范围 18（16 分）如图，墙上有一壁画，最高点 A 离地面 4 米，最低点 B 离地面 2 米观察者 从距离墙 x（x1）米，离地面高 a（1a2）米的 C 处观赏该壁画，
6、设观赏视角ACB （1）若 a1.5，问：观察者离墙多远时，视角 最大？ （2）若 tan ，当 a 变化时，求 x 的取值范围 19（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 （ab0）的离心率是 e， 定义直线 y 为椭圆的“类准线”，已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y ，长轴 长为 4 （1）求椭圆 C 的方程； （2）点 P 在椭圆 C 的“类准线”上（但不在 y 轴上），过点 P 作圆 O：x2+y23 的切线 l，过点 O 且垂直于 OP 的直线 l 交于点 A，问点 A 是否在椭圆 C 上？证明你的结论 20（16 分）已知数列an的奇数项是公差为 d1的等差数列，偶数项
7、是公差为 d2的等差数 列，Sn是数列an的前 n 项和，a11，a22 （1）若 S516，a4a5，求 a10； （2）已知 S1515a8，且对任意 nN*，有 anan+1恒成立，求证：数列an是等差数列； （3）若 d13d2（d10），且存在正整数 m、n（mn），使得 aman求当 d1最大时， 数列an的通项公式 选做题本题包括 21、22、23 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若 多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修 4-2： 矩阵与变换（本小题满分 10 分） 21求矩阵 的特征值及对应的特征向量 选修 4-4：坐
8、标系与参数方程（本小题满分 10 分） 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： （ 为参数）以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cos sin）+40，求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 0 分） 23设 x，y 均为正数，且 xy，求证： 必做题第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14 （1）设 ，异面直线 AC1与 CD 所成角的余
9、弦值为 ，求 的值； （2）若点 D 是 AB 的中点，求二面角 DCB1B 的余弦值 25设 f（x，n）（1+x）n，nN* （1）求 f（x，6）的展开式中系数最大的项； （2）nN*时，化简 C 4n1+C 4n2+C 4n3+C 40+C 41； （3）求证：C 2C 3C nC n2n1 参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1设复数 z 满足（z+i）（2+i）5（i 为虚数单位），则 z 22i 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由（z+i）（2+i）5，得 z+i ，
10、 z22i 故答案为：22i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 2设全集 U1，2，3，4，集合 A1，3，B2，3，则 BUA 2 【分析】先求出（UA），再根据交集的运算法则计算即可 解：全集 U1，2，3，4，集合 A1，3， （UA）2，4 B2，3， （UA）B2 故答为：2 【点评】本题考查集合的交并补运算，属于基础题 3箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的 2 球颜 色不同的概率为 【分析】先求出基本事件总数和摸到的 2 球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出 摸到的 2 球颜色不同的概率 解：箱子中有形状、大
11、小都相同的 3 只红球和 2 只白球，一次摸出 2 只球， 基本事件总数 n 10， 摸到的 2 球颜色不同包含的基本事件个数 m 6， 摸到的 2 球颜色不同的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计 算公式的合理运用 4 某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高 据测量被测学生身高全部介 于 155cm 和 195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）、第二组 160，165）、第八组190，195，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 如图所示 估计这所学校高三年级全体男生身高
12、180cm以上 （含180cm） 的人数为 224 【分析】 由频率分布直方图求出这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上 （含 180cm） 的频率，由此能估计这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上（含 180cm）的人数 解：由频率分布直方图得： 这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上（含 180cm）的频率为： 1（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）50.28， 估计这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上（含 180cm）的人数为： 8000.28224 故答案为：224 【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考
13、查数据分析 能力、运算求解能力，是基础题 5阅读如图所示的程序框，若输入的 n 是 30，则输出的变量 S 的值是 240 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，n 的值，当 n0 时，满足条件 n 2，退出循环，输出 S 的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解 解：执行程序框图，有 n30 S0 不满足条件 n2，S30，n28 不满足条件 n2，S30+28，n26 不满足条件 n2，S30+28+26，n24 不满足条件 n2，S30+28+26+4，n2 不满足条件 n2，S30+28+26+4+2，n0 满足条件 n2，退出循环，输出 S30+28+26+4+2 240
14、 故答案为：240 【点评】本题主要考察了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本知识的考查 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，若曲线 C 经过点 P（1，3），则其焦点到准线的距离为 【分析】先设出抛物线的方程，把点 P 代入即可求得 p，则抛物线的方程可得其焦点到 准线的距离 解：由题意，可设抛物线的标准方程为 y22px， 因为曲线 C 经过点 P（1，3），所以 p ， 所以其焦点到准线的距离为 故答案为： 【点评】本小题主要考查抛物线的方程与性质，考查运算求解能力，比较基础 7抛物线 y24x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离为 【分
15、析】先求出抛物线 y24x 的焦点和双曲线 1 渐近线，由此能求出抛物线 y24x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离 解：抛物线 y24x 的焦点 F（1，0）， 双曲线 1 渐近线为 3x4y0， 抛物线 y24x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离为： d 故答案为： 【点评】 本题考查抛物线的焦点到双曲线的距离的求法， 是中档题， 解题时要认真审题， 注意双曲线和抛物线的性质的合理运用 8已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2，锐角为 60的菱形，侧棱 PA底面 ABCD，PA3，若点 M 是 BC 的中点，则三棱锥 MPAD 的体积为 【分析】由 ADBC 可知 SADM
16、SABD，则 VMPADVPADM 【解答】解底面 ABCD 是边长为 2，锐角为 60的菱形， SADMSADB ， PA底面 ABCD， VMPADVPADM 故答案为 【点评】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题 9以抛物线 y24x 的焦点为焦点，以直线 yx 为渐近线的双曲线标准方程为 1 【分析】设以直线 yx 为渐近线的双曲线的方程，再由双曲线经过抛物线 y24x 焦点 F（1，0），能求出双曲线方程 解：设以直线 yx 为渐近线的双曲线的方程为 x2y2（0）， 双曲线经过抛物线 y24x 焦点 F（1，0）， +1， 双曲线方程为： 1 故答案为： 1 【点评】本题考查双曲线
17、方程的求法，考查抛物线的方程，是基础题，解题时要认真审 题，注意双曲线简单性质的合理运用 10 一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍， 若圆锥底面半径为 cm， 则圆锥的体积是 3 cm3 【分析】根据面积比计算圆锥的母线长，得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体 积 解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 则 S侧面积rl ，S 底面积r23 23，解得 l2 圆锥的高 h 3 圆锥的体积 V 底面积 3 故答案为：3 【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的面积和体积计算，属于基础题 11已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x+ln ，记 a nf（n5
18、）， 则数列an的前 8 项和为 24 【分析】通过 f（x）是 R 上的奇函数及当 x0 时的表达式可求出 f（x）的表达式，利用 奇函数的对称性可知问题即求 a1即 f（4）的值，代入计算即得结论 解：当 x0 时，x0， f（x）是 R 上的奇函数， f（x）f（x）2xln ， 又f（0）0， f（x） ， ， ， ， anf（n5），f（x）是 R 上的奇函数， a2+a8a3+a7a4+a6a50， 数列an的前 8 项和为 a1f（4）（24+ln1）24， 故答案为：24 【点评】本题是一道关于数列与函数的综合题，涉及奇函数、数列的求和等基础知识， 注意解题方法的积累，属于中档
19、题 12过曲线 yx （x0）上一点 P（x0，y0）处的切线分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B，O 是坐标原点，若OAB 的面积为 ，则 x 0 【分析】求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜 率写出切线的方程，分别令 x0 和 y0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式， 解方程可得切点的横坐标 解：由题意可得 y0x0 ，x00， y1 ， 切线的斜率为 1 ， 则切线的方程为 yx0 （1 ）（xx0）， 令 x0 得 y ； 令 y0 得 x ， OAB 的面积 S ， 解得 x0 （负的舍去） 故答案为： 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某
20、点切线方程，以及三角形面积的计算， 同时考查了运算求解的能力，属于基础题 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y21，O1：（x4）2+y24，动点 P 在直线 x yb0 上，过 P 分别作圆 O，O1的切线，且点分别为 A，B，若满足 PB2PA 的 点 P 有且只有两个，则实数 b 的取值范围是 b4 【分析】求出 P 的轨迹方程，动点 P 在直线 x yb0 上，满足 PB2PA 的点 P 有 且只有两个，转化为直线与圆 x2+y2 x 0 相交，即可求出实数 b 的取值范围 解：由题意 O（0，0），O1（4，0）设 P（x，y），则 PB2PA， （x4）2+y24
21、（x2+y2）， x2+y2 x 0， 圆心坐标为（ ，0），半径为 ， 动点 P 在直线 x yb0 上，满足 PB2PA 的点 P 有且只有两个， 直线与圆 x2+y2 x 0 相交， 圆心到直线的距离 d ， b 故答案为： b4 【点评】本题考查实数 b 的取值范围，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，正确 转化是关键 14 已知函数 f （x） 是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时， f （x） （|xa|+|x2a|3|a|） 若 集合x|f（x1）f（x）0，xR，则实数 a 的取值范围为 ， 【分析】把 x0 时的 f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得
22、 x0 时的函数的最大值，条件等价为对xR，都有 f（x1）f（x），进行转化求解即可求 解该不等式得答案 解：若x|f（x1）f（x）0，xR， 则等价为 f（x1）f（x）0 恒成立，即 f（x1）f（x）恒成立， 当 x0 时，f（x） （|xa|+|x2a|3|a|） 若 a0，则当 x0 时，f（x） （xa+x2a+3a）x， f（x）是奇函数， 若 x0，则x0，则 f（x）xf（x）， 则 f（x）x，x0， 综上 f（x）x，此时函数为增函数，则 f（x1）f（x）恒成立， 若 a0， 若 0xa 时，f（x） x+a（x2a）3ax； 当 ax2a 时，f（x） xa（x2
23、a）3aa； 当 x2a 时，f（x） （xa+x2a3a）x3a 即当 x0 时，函数的最小值为a， 由于函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时，f（x）的最大值为 a， 作出函数的图象如图： 由于xR，f（x1）f（x）， 故函数 f（x1）的图象不能在函数 f（x）的图象的上方， 结合图可得 13a3a，即 6a1，求得 0a ， 综上 a ， 故答案为：（， 【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，根据分段 函数的性质，将条件转化不等式恒成立是解决本题的关键综合性较强，难度较大 二、解答题；本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区
24、域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （sinBsinC，sinC sinA）， （sinB+sinC，sinA），且 （1）求角 B 的大小； （2）若 bc cosA，ABC 的外接圆的半径为 1，求ABC 的面积 【分析】 （1）由已知利用平面向量垂直的坐标运算，结合正弦定理和余弦定理可求 cosB 的值，结合 B 的范围即可求出 B 的值； （2）由已知利用余弦定理，勾股定理的逆定理可得 C ，根据三角形的内角和定理可 求 A ，进而利用正弦定理可求 a，b 的值，根据三角形的面积公式即可求解
25、解：（1） （sinBsinC，sinCsinA）， （sinB+sinC，sinA），且 ， （sinBsinC） （sinB+sinC）+（sinCsinA） sinA0， b2a2+c2ac， cosB ， 由 B（0，），可得 B ； （2）bc cosA， cosA ，整理可得：a2+b2c2，可得 C ， ABC ， ABC 的外接圆的半径为 1，由正弦定理可得 2， 解得：a1，b ， SABC ab 【点评】本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算，正弦定理和余弦定理，三角形的内 角和定理，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于 基础题 16如图在直四棱
26、柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分別 AB，BC 的中点，A1C1与 B1D1交于 点 O （1）求证：A1，C1，F，E 四点共面； （2）若底面 ABCD 是菱形，且 ODA1E，求证：OD平面 A1C1FE 【分析】（1）连接 AC，由 EF 是ABC 的中位线，可得 EFAC，又 AA1 CC1，可证 ACA1C1，从而可证 EFA1C1，即 A1，C1，F，E 四点共面； （2）连接 BD，可证 DD1A1C1，又 A1C1B1D1，可证 A1C1平面 BB1DD1，可得 OD A1C1，结合 ODA1E，即可证明 OD平面 A1C1FE 【解答】（本题满分为 14 分） 解
27、：（1）连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF 是ABC 的中位线， 所以 EFAC， 由直棱柱知：AA1 CC1，所以四边形 AA1C1C 为平行四边形，所以 ACA1C1，5 分 所以 EFA1C1， 故 A1，C1，F，E 四点共面；7 分， （2）连接 BD，因为直棱柱中 DD1平面 A1B1C1D1，A1C1平面 A1B1C1D1， 所以 DD1A1C1， 因为底面 A1B1C1D1是菱形，所以 A1C1B1D1， 又 DD1B1D1D1，所以 A1C1平面 BB1DD1，11 分 因为 OD平面 BB1DD1， 所以 ODA1C1， 又 ODA1E，A1C
28、1A1EA1，A1C1平面 A1C1FE，A1E平面 A1C1FE， 所以 OD平面 A1C1FE14 分 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，线面垂直的性质的应用，考查了空间 想象能力和推理论证能力，属于中档题 17已知函数 f（x）x22ax+1 （1）若函数 g（x）logaf（x）+a（a0，a1）的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； （2）当 x0 时，恒有不等式 lnx 成立，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）由题可知 x22ax+1+a0 在 R 上恒成立，利用二次函数的性质可得 a 的 范围； （2）整理不等式得 x lnx2a，构造函数 f（x）x lnx，利
29、用导数求出函数的 最小值即可 【解答】（1）由题意可知， x22ax+1+a0 在 R 上恒成立， 4a244a0， 0a ，且 a1； （2） lnx， x lnx2a， 令 f（x）x lnx， f（x） 1， 令 f（x） 10， x ， x（ ，+）时，f（x）0，f（x）递增； x（0， ）时，f（x）0，f（x）递减； f（x）f（ ） ln ， a （ ln ） 【点评】考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换难点是利用导函数求 出构造函数的最小值 18（16 分）如图，墙上有一壁画，最高点 A 离地面 4 米，最低点 B 离地面 2 米观察者 从距离墙 x（x1）米，离
30、地面高 a（1a2）米的 C 处观赏该壁画，设观赏视角ACB （1）若 a1.5，问：观察者离墙多远时，视角 最大？ （2）若 tan ，当 a 变化时，求 x 的取值范围 【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的 最大值； （2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用 a 的取值范围即可确定 x 的范围 解：（1）如图，作 CDAF 于 D，则 CDEF， 设ACD，BCD，CDx，则 ， 在 RtACD 和 RtBCD 中，tan ，tan ， 则 tantan（） （x0）， 令 u ，则 ux 22x+1.25u0， 上述方程有大于 0 的实数根，
31、0， 即 441.25u20，u ，即（tan）max ， 正切函数 ytanx 在（0， ）上是增函数， 视角 同时取得最大值， 此时，x ， 观察者离墙 米远时，视角 最大； （2）由（1）可知，tan ， 即 x24x+4a2+6a4， （x2）2（a3）2+5， 1a2， 1（x2）24， 化简得：0x1 或 3x4， 又x1， 3x4 【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积 累，属于中档题 19（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 （ab0）的离心率是 e， 定义直线 y 为椭圆的“类准线”，已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y ，长
32、轴 长为 4 （1）求椭圆 C 的方程； （2）点 P 在椭圆 C 的“类准线”上（但不在 y 轴上），过点 P 作圆 O：x2+y23 的切线 l，过点 O 且垂直于 OP 的直线 l 交于点 A，问点 A 是否在椭圆 C 上？证明你的结论 【分析】（1）由题意列关于 a，b，c 的方程，联立方程组求得 a24，b23，c21，则 椭圆方程可求； （2）设 P（x0，2 ）（x 00），当 x0 时和 x0 时，求出 A 的坐标，代入椭圆 方程验证知，A 在椭圆上，当 x0 时，求出过点 O 且垂直于 0P 的直线与椭圆的交 点，写出该交点与 P 点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于
33、圆的半径说明直 线是圆的切线，从而说明点 A 在椭圆 C 上 解：（1）由题意得： 2 ，2a4， 又 a2b2+c2，联立以上可得： a24，b23，c21 椭圆 C 的方程为 y 21； （2）如图，由（1）可知， 椭圆的类准线方程为 y2 ， 不妨取 y2 ， 设 P（x0，2 ）（x00）， 则 kOP ， 过原点且与 OP 垂直的直线方程为 y x， 当 x0 时，过 P 点的圆的切线方程为 x ， 过原点且与 OP 垂直的直线方程为 y x， 联立 ，解得：A（ ， ）， 代入椭圆方程成立； 同理可得，当 x0 时，点 A 在椭圆上； 当 x0 时， 联立 ， 解得 A1（ ， ）
34、，A2（ ， ）， PA1所在直线方程为（2 x0）x（x0 6）y x0212 0 此时原点 O 到该直线的距离 d ， 说明 A 点在椭圆 C 上； 同理说明另一种情况的 A 也在椭圆 C 上 综上可得，点 A 在椭圆 C 上 另解：设切点为（x0，y0），由圆上一点的切线方程可得 切线 l 的方程为 x0x+y0y3，代入 y2 ，可得 x ， 即有 P（ ，2 ），kOP ， 与 OP 垂直的直线，且过 O 的直线为 y x， 代入 x0x+y0y3，结合 x02+y023，可得 x ， y ， 即为 A（ ， ）， 由 3（ ） 2+4（ ）2 12， 则点 A 在椭圆 C 上 【点
35、评】本题是新定义题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用， 考查计算能力，属难题 20（16 分）已知数列an的奇数项是公差为 d1的等差数列，偶数项是公差为 d2的等差数 列，Sn是数列an的前 n 项和，a11，a22 （1）若 S516，a4a5，求 a10； （2）已知 S1515a8，且对任意 nN*，有 anan+1恒成立，求证：数列an是等差数列； （3）若 d13d2（d10），且存在正整数 m、n（mn），使得 aman求当 d1最大时， 数列an的通项公式 【分析】 （1）确定数列的前 5 项，利用 S516，a4a5，建立方程，求出 d12，d23， 从而可
36、求 a10； （2）先证明 d1d2，再利用 S1515a8，求得 d1d22，从而可证数列an是等差数列； （3）若 d13d2（d10），且存在正整数 m、n（mn），使得 aman，在 m，n 中必然 一个是奇数，一个是偶数不妨设 m 为奇数，n 为偶数，利用 aman，及 d13d2，可得 ，从而可求当 d1 最大时，数列an的通项公式 【解答】（1）解：根据题意，有 a11，a22，a3a1+d11+d1，a4a2+d22+d2，a5 a3+d11+2d1 S516，a4a5， a1+a2+a3+a4+a57+3d1+d216，2+d21+2d1 d12，d23 a102+4d214
37、 （2）证明：当 n 为偶数时，anan+1恒成立，2 ， （d2d1）+1d20 d2d10 且 d21 当 n 为奇数时，anan+1恒成立， ， （1n）（d1d2）+20 d1d20 d1d2 S1515a8 ，8 14 30+45d2 d1d22 ann 数列an是等差数列； （3）解：若 d13d2（d10），且存在正整数 m、n（mn），使得 aman，在 m，n 中必然一个是奇数，一个是偶数 不妨设 m 为奇数，n 为偶数 aman ， d13d2 ， m 为奇数，n 为偶数，3mn1 的最小正值为 2，此时 d13，d21 数列an的通项公式为 an ， 为奇数 ， 为偶数
38、【点评】本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，确定 数列的通项是关键 选做题本题包括 21、22、23 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若 多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修 4-2： 矩阵与变换（本小题满分 10 分） 21求矩阵 的特征值及对应的特征向量 【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令 f（）0 解方程可得特征值，再由 特征值列出方程组即可解得相应的特征向量 解：特征多项式 f（）| | （3） 2126+8 由 f（）0，解得 12，24 将 12 代入特征方程组，得 x+y0，可取 为
39、属于特征值 12 的一个特征向量 同理，当 24 时，由 xy0， 所以可取 为属于特征值 24 的一个特征向量 综上所述，矩阵 有两个特征值 12，24； 属于 12 的一个特征向量为 ，属于 14 的一个特征向量为 【点评】本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于矩阵中的基 础题 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： （ 为参数）以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cos sin）+40，求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离 【分析】由 xcos，ysin，可得
40、直线的普通方程，由点到直线的距离公式可得曲 线 C 上的点到直线的距离，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求最 大距离 解：由 xcos，ysin，可得： 直线 l 的极坐标方程：（cos sin）+40， 即为 x y+40， 曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d 2 sin（ ） 当 2k ，即 2k ，kZ，取得最大值 2 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式和正弦函数的值域的 运用，考查运算能力，属于中档题 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 0 分） 23设 x，y 均为正数，且 xy，求证： 【分析】作差，构建满足基本不等式的条件，利用基本
41、不等式证明即可 【解答】证：x0，y0，xy0， ，当且仅当 xy1 时取等号， 【点评】本题考查基本不等式的运用，解题的关键是构建满足基本不等式的条件，属于 中档题 必做题第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14 （1）设 ，异面直线 AC1与 CD 所成角的余弦值为 ，求 的值； （2）若点 D 是 AB 的中点，求二面角 DCB1B 的余弦值 【分析】（1）以 CA、CB、CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空
42、间直角坐标系， 利用向量法能求出 的值 （2）求出平面 CDB1的法向量和面 CDB1的一个法向量，利用向量法能求出二面角 D CB1B 的余弦值 解：（1）由 AC3，BC4，AB5，得ACB90（1 分） 以 CA、CB、CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0）， 设 D（x，y，z），则由 ，得 ， ， ， 而 ， ， ， 根据 ，解得， 或 （2） ， ， ， ， ， ， 设平面 CDB1的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x4，得面 CDB1的一个法向量为 ， ， ， 而平面 CBB1的一个
43、法向量为 ， ， ， 并且 ， 与二面角 DCB1B 相等， 所以二面角 DCB1B 的余弦值为 ， （第（1）题中少一解扣（1 分）；没有交代建立直角坐标系过程扣（1 分）第（2）题 如果结果相差符号扣（1 分） 【点评】本题考查满足异面直线所成余弦值的实数值的求法，考查二面角的余弦值的求 法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 25设 f（x，n）（1+x）n，n一、选择题* （1）求 f（x，6）的展开式中系数最大的项； （2）nN*时，化简 C 4n1+C 4n2+C 4n3+C 40+C 41； （3）求证：C 2C 3C nC n2n1 【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大； （2）在原式乘以 4，然后逆用二项式定理即可； （3）根据 ，将左边利用倒序相加法求和 解：（1）f（x，6）（1+x）n，通项为： ，故各项的系数即为二项式系数， 故系数最大的项为 （2）C 4n1+C 4n2+C 4n3+C 40+C 41 C 4n+C 4n1+C 4n 2+C 41+C （3）证明：令 SC 2C 3C （n1） nC ， 则 ， 所以 S （n1） （n2） 2 ， +得： 2Sn（ ）n 2n， Sn 2n1 【点评】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法同时考查学生的逻辑推 理和数学运算等数学核心素养属于中档题
