1、2021 年山东省东营市河口区中考数学模拟试卷年山东省东营市河口区中考数学模拟试卷 一、 选择题： 本大题共一、 选择题： 本大题共 10 题， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的， 请把正确的选项选出来 每题， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的， 请把正确的选项选出来 每 小题选对得小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分 12的倒数是（ ） A2 B3 C D 2下列计算正确的是（ ） A3a+4b7ab B （ab3）2ab6 C （a+2）2a2+4 Dx12x4x8 3如图，如果 ABEF，EFCD，下
2、列各式正确的是（ ） A1+2390 B12+390 C1+2+390 D2+31180 4如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 5不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 62020 年 9 月 1 日， 深圳市生活垃圾分类管理条例正式实施滨海学校九（1）班成立了“环保卫士” 宣传小组，其中男生 2 人，女生 3 人，从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类” ，恰好抽到女生的 概率为（ ） A B C D 7如图，圆锥的底面半径 OB6cm，高 OC8cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A30cm2 B60cm2 C30cm2 D48cm2 8在平面直角坐标系中，
3、已知点 A（0，1） ，B（4，2） ，以原点 O 为位似中心，把OAB 按相似比 1：2 缩小，则点 B 的对应点 B的坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1）或（2，1） D （2，1）或（2，1） 9已知ABC 中，AB10，AC17，BC 边上的高 AD8，则ABC 的面积为（ ） A168 B84 C84 或 36 D168 或 72 10如图，正方形 ABCD 中，AB12，点 E 在边 BC 上，BEEC，将DCE 沿 DE 对折至DFE，延长 EF 交边 AB 于点 G，连接 DG、BF，给出下列结论：DAGDFG；BG2AG；EBF DEG；SBEF其中正
4、确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，其中小题，其中 11-14 题每小题题每小题 3 分，分，15-18 题每小题题每小题 3 分，共分，共 28 分只要求填写最分只要求填写最 后结果后结果 11我国最大的领海是南海，总面积有 3500000km2，用科学记数法可表示为 km2 12把多项式 2a2b4ab+2b 分解因式的结果是 13已知：2，4，2x，4y 四个数的平均数是 5；5，7，4x，6y 四个数的平均数是 9，则 x2+y3 14如图，已知函数 ykx+2 与函数 ymx4 的图象交于点 A，根据图象可知不等式 kx+
5、2mx4 的解集 是 15如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，把ADE 沿 AE 对折，点 D 的对称点 F 恰好落在 BC 上， 已知折痕 AE5cm，且 cotEFC，那么该矩形的周长为 16如图，在等边ABC 中，AB4，N 为线段 AB 上的任意一点，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连接 BM、MN，则 BM+MN 的最小值是 17如图，将边长为 3 的正六边形铁丝框 ABCDEF 变形为以点 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的 粗细） 则所得扇形 AFB（阴影部分）的面积为 18如图，平面直角坐标系中，点 A1的坐标为（1，2） ，
6、以 O 为圆心，OA1长为半径画弧，交直线 y于 点 B1过点 B1作 B1A2y 轴交直线 y2x 于点 A2，以 O 为圆心，OA2长为半径画弧，交直线 yx 于 点 B2；过点 B2作 B2A3y 轴交直线 y2x 于点 A3，以点 O 为圆心，OA3长为半径画弧，交直线 yx 于点 B3；按如此规律进行下去，点 B2020的坐标为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 62 分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 19 （1）计算： 0+2cos30 （2）先化简，再求值：，其中 x3 20如图，以 AB
7、为直径的O 经过 AC 的中点 D，DEBC 于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）当 AB4，C30时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ） 21 “食品安全”受到全社会的广泛关注，武汉市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机 抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图 中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 ； （2）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解” 和“基本了解”程度的总人数 （3）若从
8、对食品安全知识达到“了解”程度的 2 个女生和 2 个男生中随机抽取 2 人参加食品安全知识竞 赛，请用列表法或树状图恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率 22如图，反比例函数 y（k0）的图象与一次函数 ymx2 相交于 A（6，1） ，B（n，3） ，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D （1）求 k，m 的值； （2）求出 B 点坐标，再直接写出不等式 mx2的解集 23某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元，每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场 决定降价促销 （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两次下降的百分
9、率； （2）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件，那么每天要想获得 510 元的利润，每件应降 价多少元？ （3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 24如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+2（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，且 A 点坐标为（，0） ，直线 BC 的解析式为 yx+2 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 作 ADBC，交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE，EB，BD， DC求四边形 BECD 面积的最
10、大值及相应点 E 的坐标 25如图 1，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）证明：四边形 CEGF 是正方形； （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图 2 所示，试探究线段 AG 与 BE 之间 的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图 3 所示，当 B，E，F 三点在一条直线 上时，延长 CG 交 AD 于点 H，若 AG6，GH2，求 BC 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题
11、（共 10 小题）小题） 12的倒数是（ ） A2 B3 C D 【分析】根据倒数的定义即可求解 【解答】解：2的倒数是 故选：C 2下列计算正确的是（ ） A3a+4b7ab B （ab3）2ab6 C （a+2）2a2+4 Dx12x4x8 【分析】根据同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，合并同类项的方法，以及 完全平方公式的计算方法，逐项判定即可 【解答】解：3a+4b7ab， 选项 A 不符合题意； （ab3）2a2b6， 选项 B 不符合题意； （a+2）2a2+4a+4， 选项 C 不符合题意； x12x4x8， 选项 D 符合题意 故选：D 3如图，如果 AB
12、EF，EFCD，下列各式正确的是（ ） A1+2390 B12+390 C1+2+390 D2+31180 【分析】由平行线的性质可用2、3 分别表示出BOE 和COF，再由平角的定义可找到关系式 【解答】解： ABEF， 2+BOE180， BOE1802，同理可得COF1803， O 在 EF 上， BOE+1+COF180， 1802+1+1803180， 即2+31180， 故选：D 4如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定即可 【解答】解：从左边看，是一个正方形，正方形的右上角有一条虚线 故选：B 5不等式组的解集在数轴上表示正确的
13、是（ ） A B C D 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上即可 【解答】解：x+10 解得， x1 x20 解得， x2 故不等式组的解集为：x1 或 x2 故选：D 62020 年 9 月 1 日， 深圳市生活垃圾分类管理条例正式实施滨海学校九（1）班成立了“环保卫士” 宣传小组，其中男生 2 人，女生 3 人，从中随机抽取一名同学进社区宣传“垃圾分类” ，恰好抽到女生的 概率为（ ） A B C D 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其 发生的概率 【解答】解：共 5 人，女生 3 人， 从中随机抽
14、取一名同学进社区宣传“垃圾分类” ，恰好抽到女生的概率为， 故选：A 7如图，圆锥的底面半径 OB6cm，高 OC8cm，则这个圆锥的侧面积是（ ） A30cm2 B60cm2 C30cm2 D48cm2 【分析】首先根据底面半径 OB6cm，高 OC8cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出 即可 【解答】解：它的底面半径 OB6cm，高 OC8cm BC10（cm） ， 这个圆锥漏斗的侧面积是：rl61060（cm2） 故选：B 8在平面直角坐标系中，已知点 A（0，1） ，B（4，2） ，以原点 O 为位似中心，把OAB 按相似比 1：2 缩小，则点 B 的对应点 B的坐标是（
15、 ） A （2，1） B （2，1） C （2，1）或（2，1） D （2，1）或（2，1） 【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把 B 点的横纵坐标都乘以或即可得到点 B 的对应点 B的坐标 【解答】解：B 点坐标为（4，2） ，以原点 O 为位似中心，把OAB 按相似比 1：2 缩小， 点 B 的对应点 B的坐标为（2，1）或（2，1） 故选：D 9已知ABC 中，AB10，AC17，BC 边上的高 AD8，则ABC 的面积为（ ） A168 B84 C84 或 36 D168 或 72 【分析】高线 AD 可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论分别
16、依据 勾股定理即可求解 【解答】解：在直角三角形 ABD 中，根据勾股定理，得 BD15， 在直角三角形 ACD 中，根据勾股定理，得 CD6 当 AD 在三角形的内部时，BC15+621， 所以ABC 的面积为21884； 当 AD 在三角形的外部时，BC1569， 所以ABC 的面积为9836 故选：C 10如图，正方形 ABCD 中，AB12，点 E 在边 BC 上，BEEC，将DCE 沿 DE 对折至DFE，延长 EF 交边 AB 于点 G，连接 DG、BF，给出下列结论：DAGDFG；BG2AG；EBF DEG；SBEF其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据
17、正方形的性质和折叠的性质可得 ADDF，AGFD90，于是根据“HL”判定 Rt ADGRtFDG，再由 GF+GBGA+GB12，EBEF，BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方 程求出 AG4，BG8，进而求出BEF 的面积，再抓住BEF 是等腰三角形，而GED 显然不是等腰 三角形，判断是错误的，问题得解 【解答】解：如图，由折叠可知，DFDCDA，DFEC90， DFGA90， 在 RtADG 和 RtFDG 中， ， RtADGRtFDG，故正确； 正方形边长是 12， BEECEF6， 设 AGFGx，则 EGx+6，BG12x， 由勾股定理得：EG2BE2+BG2， 即： （x
18、+6）262+（12x）2， 解得：x4 AGGF4，BG8，BG2AG，故正确； BEEF6，BEF 是等腰三角形，易知GED 不是等腰三角形，故错误； SGBE6824，SBEF：SBGEEF：EG， SBEF24， 故正确 综上可知正确的结论的是 3 个 故选：C 二填空题二填空题 11我国最大的领海是南海，总面积有 3500000km2，用科学记数法可表示为 3.5106 km2 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数
19、；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 3500000 用科学记数法表示为：3.5106 故答案为：3.5106 12把多项式 2a2b4ab+2b 分解因式的结果是 2b（a1）2 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式2b（a22a+1） 2b（a1）2， 故答案为：2b（a1）2 13已知：2，4，2x，4y 四个数的平均数是 5；5，7，4x，6y 四个数的平均数是 9，则 x2+y3 17 【分析】分别计算出两组数据的平均数，这样即可表示出 x 与 y 的关系，再解方程组即可求得 x 与 y 的 值，即可求得 x2+y3的值 【解答】解：由题
20、意知， （2+4+2x+4y）45， （5+7+4x+6y）49； 2x+4y14 和 4x+6y24； 解这两个方程组成的方程组得，x3，y2； x2+y39+817 故填 17 14如图，已知函数 ykx+2 与函数 ymx4 的图象交于点 A，根据图象可知不等式 kx+2mx4 的解集 是 x3 【分析】观察函数图象得到当 x3 时，ykx+2 的图象位于 ymx4 的下方，即 kx+2mx4 【解答】解：观察图象知当3 时，ykx+2 的图象位于 ymx4 的下方， 根据图象可知不等式 kx+2mx4 的解集是 x3， 故答案为：x3 15如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上
21、一点，把ADE 沿 AE 对折，点 D 的对称点 F 恰好落在 BC 上， 已知折痕 AE5cm，且 cotEFC，那么该矩形的周长为 36cm 【分析】根据 cotEFC，则 EC3k，在 RTEFC 中利用勾股定理可得：EFDE5k，根据BAF EFC，利用三角函数的知识求出 AF，然后在 RTAEF 中利用勾股定理求出 k，继而代入可得出 答案 【解答】解：设 CF4k，cotEFC，则 EC3k， 在 RTEFC 中利用勾股定理可得：EFDE5k， 则 BCADBF+FC5k+4k9k， 在 RtAFE 中由勾股定理得 AE5， 解得：k1， 故矩形 ABCD 的周长2（AB+BC）2
22、（8k+10k）36cm 故答案是：36cm 16如图，在等边ABC 中，AB4，N 为线段 AB 上的任意一点，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连接 BM、MN，则 BM+MN 的最小值是 2 【分析】过 C 作 CNAB 于 N，交 AD 于 M，连接 BM，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时 BM+MN 最小，由于 C 和 B 关于 AD 对称，则 BM+MNCN，根据勾股定理求出 CN，即可求出答案 【解答】解：过 C 作 CNAB 于 N，交 AD 于 M，连接 BM，则 BM+MN 最小（根据两点之间线段最短； 点到直线垂直距离最短） ，由于 C
23、和 B 关于 AD 对称，则 BM+MNCN， 等边ABC 中，AD 平分CAB， ADBC， AD 是 BC 的垂直平分线（三线合一） ， C 和 B 关于直线 AD 对称， CMBM， 即 BM+MNCM+MNCN， CNAB， CNB90，CN 是ACB 的平分线，ANBN（三线合一） ， ACB60， BCN30， AB4， BNAB2， 在BCN 中，由勾股定理得：CN2，即 BM+MN 的最小值是 2 故答案为：2 17如图，将边长为 3 的正六边形铁丝框 ABCDEF 变形为以点 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的 粗细） 则所得扇形 AFB（阴影部分）的面积为 18 【
24、分析】由正六边形的性质得出的长12，由扇形的面积弧长半径，即可得出结果 【解答】解：正六边形 ABCDEF 的边长为 3， ABBCCDDEEFFA3， 的长363312， 扇形 AFB（阴影部分）的面积12318 故答案为：18 18如图，平面直角坐标系中，点 A1的坐标为（1，2） ，以 O 为圆心，OA1长为半径画弧，交直线 y于 点 B1过点 B1作 B1A2y 轴交直线 y2x 于点 A2，以 O 为圆心，OA2长为半径画弧，交直线 yx 于 点 B2；过点 B2作 B2A3y 轴交直线 y2x 于点 A3，以点 O 为圆心，OA3长为半径画弧，交直线 yx 于点 B3；按如此规律进
25、行下去，点 B2020的坐标为 （22020，22019） 【分析】根据题意可以求得点 B1的坐标，点 A2的坐标，点 B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律， 从而可以求得点 B2020的坐标 【解答】解：由题意可得，点 A1的坐标为（1，2） ， 设点 B1的坐标为（a，a） ， ，解得，a2， 点 B1的坐标为（2，1） ， 同理可得，点 A2的坐标为（2，4） ，点 B2的坐标为（4，2） ， 点 A3的坐标为（4，8） ，点 B3的坐标为（8，4） ， 点 B2020的坐标为（22020，22019） ， 故答案为： （22020，22019） 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小
26、题） 19 （1）计算： 0+2cos30 （2）先化简，再求值：，其中 x3 【分析】 （1）根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和零指数幂可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （1） 0+2cos30 （8）+21+2 （8）+21+ 7； （2） 2（x+3） ， 当 x3 时，原式2（3+3）2 20如图，以 AB 为直径的O 经过 AC 的中点 D，DEBC 于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）当 AB4，C30时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ） 【分析】 （1）连接
27、 OD，利用平行线的判定定理可以得到ODEDEC90，从而判断 DE 是圆的切 线； （2）过点 O 作 OFAD，垂足为 F，根据等腰三角形的性质得到AOD120，然后求得阴影部分面 积即可 【解答】解： （1）连接 OD， AB 是O 的直径，D 是 AC 的中点， OD 是ABC 的中位线， ODBC， DEBC， ODDE， 点 D 在圆上， DE 为O 的切线； （2）过点 O 作 OFAD，垂足为 F， ODBC，CODF30， ADO30， ODOA， OADODA30， AC， ABBC4， OD2，AOD120，OF， AF3，AD6， SAODADOF63， 阴影部分面积
28、S34 21 “食品安全”受到全社会的广泛关注，武汉市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机 抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图 中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 30 ； （2）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解” 和“基本了解”程度的总人数 （3）若从对食品安全知识达到“了解”程度的 2 个女生和 2 个男生中随机抽取 2 人参加食品安全知识竞 赛，请用列表法或树状图恰好抽到 1 个男生和
29、 1 个女生的概率 【分析】 （1）用“了解很少”部分的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出“了解”部 分的人数，然后用 360乘以“了解”部分的人数的百分比得到扇形统计图中“了解”部分所对应扇形 的圆心角； （2）用 900 乘以“了解”和“基本了解”所占百分比的和即可； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，找出 1 个男生和 1 个女生的结果数，然后根据概率公式计 算 【解答】解： （1）接受问卷调查的学生人数为 3050%60（人） ； “了解”部分的人数为 601530105（人） ， 所以扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 36030； 故答案为 60
30、；30； （2）900300， 所以估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 300 人； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中 1 个男生和 1 个女生的结果数为 8， 所以恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率 22如图，反比例函数 y（k0）的图象与一次函数 ymx2 相交于 A（6，1） ，B（n，3） ，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D （1）求 k，m 的值； （2）求出 B 点坐标，再直接写出不等式 mx2的解集 【分析】 （1）将点 A 坐标代入直线和双曲线的解析式中，建立方程求解，即可得出结论； （2）利用 y
31、轴上点的特点，求出点 B 坐标，最后利用图象，即可得出结论 【解答】解： （1）将点 A（6，1）代入反比例函数 y（k0）的图象与一次函数 ymx2 中，得 1 ，16m+2， k6，m； （2）由（1）知，m， 直线 AB 的解析式为 yx2， 将点 B（n，3）代入直线 yx2 中，得n23， n2， B（2，3） ， 由图象知，不等式 mx2的解集为 0 x6 或 x2 23某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元，每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场 决定降价促销 （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两次下降的百分率； （2
32、）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件，那么每天要想获得 510 元的利润，每件应降 价多少元？ （3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【分析】 （1）设每次降价的百分率为 x， （1x）2为两次降价的百分率，40 降至 32.4 就是方程的平衡条 件，列出方程求解即可； （2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量 关系建立方程求出其解即可； （3）设每件商品应降价 y 元，获得利润为 W，根据题意得到函数解析式，即可得到最大值 【解答】解： （1）设每次降价的百
33、分率为 x 40（1x）232.4， 解得 x10%或 190%（190%不符合题意，舍去） 答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，两次下降的百分率为 10%； （2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得 （4030y） （4+48）510， 解得：y11.5，y22.5， 有利于减少库存， y2.5 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元； （3）设每件商品应降价 y 元，获得利润为 W， 由题意得，W（4030y） （4+48）8y2+32y+480
34、8（y2）2+512， 故每件商品的售价为 38 元时，每天可获得最大利润，最大利润是 512 元 24如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+2（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，且 A 点坐标为（，0） ，直线 BC 的解析式为 yx+2 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 作 ADBC，交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE，EB，BD， DC求四边形 BECD 面积的最大值及相应点 E 的坐标 【分析】 （1）利用直线 BC 的解析式求出点 B、C 的坐标，则 yax2+bx+2a（x
35、+） （x3）ax2 2a6a，即可求解； （2）由四边形 BECD 的面积 SSBCE+SBCD，即可求解 【解答】解： （1）直线 BC 的解析式为 yx+2，令 y0，则 x3，令 x0，则 y2， 故点 B、C 的坐标分别为（3，0） 、 （0，2） ； 则 yax2+bx+2a（x+） （x3）a（x22x6）ax22ax6a， 即6a2，解得：a， 故抛物线的表达式为：yx2+x+2； （2）如图，过点 B、E 分别作 y 轴的平行线分别交 CD 于点 H，交 BC 于点 F， ADBC，则设直线 AD 的表达式为：y（x+）， 联立并解得：x4，故点 D（4，） ， 由点 C、D
36、 的坐标得，直线 CD 的表达式为：yx+2， 当 x3时，yCDx+22，即点 H（3，2） ， 设点 E（x，x2+x+2） ，则点 F（x，x+2） ， 则四边形 BECD 的面积 SSBCE+SBCDEFOB+（xDxC）BH（x2+x+2+ x2）3+42x2+3x+4， 0，故 S 有最大值，当 x时，S 的最大值为，此时点 E（，） 25如图 1，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）证明：四边形 CEGF 是正方形； （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图 2 所
37、示，试探究线段 AG 与 BE 之间 的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图 3 所示，当 B，E，F 三点在一条直线 上时，延长 CG 交 AD 于点 H，若 AG6，GH2，求 BC 的长 【分析】 （1）由 GEBC、GFCD 结合BCD90可得四边形 CEGF 是矩形，再由ECG45即 可得证 （2）连接 CG，只需证ACGBCE 即可得结论 （3） 证AHGCHA 得， 设 BCCDADa， 知 ACa， 由得 AHa、 DHa、CHa，由可得 a 的值 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， BCD9
38、0，BCA45， GEBC、GFCD， CEGCFGECF90， 四边形 CEGF 是矩形，CGEECG45， EGEC， 四边形 CEGF 是正方形 （2）结论：AGBE； 理由：连接 CG， 由旋转性质知BCEACG， 在 RtCEG 和 RtCBA 中，cos45、cos45， ， ACGBCE， ， 线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AGBE； （3）CEF45，点 B、E、F 三点共线， BEC135， ACGBCE， AGCBEC135， AGHCAH45， CHAAHG， AHGCHA， ， 设 BCCDADa，则 ACa， 则由，得， AHa， 则 DHADAHa，CHa， ，得， 解得：a3，即 BC3
