1、中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4242） 一、例题分析 1 如图，函数 1yx与函数 2 2 y x 的图象相交于点 1,2,MmNn 若 12 yy ，则x的取值范围是（ ） A. 2x或01x B. 2x或1x C. 20 x 或01x D. 20 x 或1x 2. 西游记、三国演义、水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝， 并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： （1）阅读过西游记的人数多于阅读过水浒传的人数； （2）阅读过水浒传的人数多于阅读过三国演义的人数； （3）阅读过三国演义的人数的 2 倍多于阅读过西游记的人数 若阅读过三国演义的
2、人数为 4，则阅读过水浒传的人数的最大值为 3. 在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如 表 1： 鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 脚长（毫米） 1602 1652 1702 1752 1802 1852 为了方便对问题的研究，活动小组将表 1 中的数据进行了编号并对脚长的数据 n b定义为 n b如表 2 序号n 1 2 3 4 5 6 鞋号 n a 22 23 24 25 26 27 脚长 n b 1602 1652 1702 1752 1802 1852 脚长 n b 160 165 170 175 180 185
3、定义：对于任意正整数m、n，其中2m若 n bm，则m 2 bn m + 2 如： 4 175b表示，175 2 b4 175 + 2,即173 b4 177 （1）通过观察表 2，猜想出 n a与序号n之间的关系式， n b与序号n之间的关系式； （2）用含 n a的代数式表示 n b；计算鞋号为 42 的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为 271 毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？ 二、巩固提高 1. 如图 2 是图 1 长方体的三视图，若用S表示面积， 22 ,SaSaa 主左 ，则S 俯 （ ） A. 2 aa B. 2 2a C. 2 21aa D. 2 2aa 2. 2002 年 8
4、月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由 四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 1），且大正方形的面积是 15，小正 方形的面积是 3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b如果将四个全等的直角三角形按如图 2 的形式摆放，那么图 2 中最大的正方形的面积为_ 3. 如图（1）放置两个全等的含有 30角的直角三角板ABC与 30()DEFBE ，若将三角板ABC向 右以每秒 1 个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在 同一条直线上， 如图 （2） ，AB与DF、DE分别交于点P、M
5、，AC与DE交于点Q， 其中3ACDF， 设三角板ABC移动时间为x秒 （1）在移动过程中，试用含x的代数式表示AMQ的面积； （2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？ 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4343） 一、例题分析 1. 如图，ABC内接于圆，90ACB， 过点C的切线交AB的延长线于点28PP ， 则CAB （ ） A. 62 B. 31 C. 28 D. 56 2. 对角线互相垂直的四边形叫做 “垂美” 四边形， 现有如图所示的 “垂美” 四边形ABCD， 对角线ACBD、 交于点O若24ADBC，则 22 ABCD_ 3. 已知二次
6、函数 2 0yaxbxc a（）的图象与x轴交于3010AB ，两点，与y轴交于点 (0, 3)C ， （1）求二次函数的表达式及A点坐标； （2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标； （3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N使以MNBO、 、 、为顶点的 四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程） 二、巩固提高 1. 已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C 点与 E 点重合），点 BCF、 、共线，ABC沿BF方向匀速运动，直到 B 点与 F 点重合设运动时间为t，运动
7、过程中两图 形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（ ） A. B. C. D. 2. 若 2 2222 xy5 xy60 ，则 22 xy _ 3. 如图，四边形ABCD内接于圆，60ABC，对角线BD平分ADC （1）求证：ABC是等边三角形； （2）过点B作/BE CD交DA的延长线于点E，若23ADDC，求BDE的面积 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4444） 一、例题分析 1. 如图，在等腰ABC中，ABAC25，BC8，按下列步骤作图： 以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 1 2 EF
8、 的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； 分别以点A，B为圆心，大于 1 2 AB的长为半径 作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； 以点O为圆心，线段OA长为半径作圆则O的半径为（ ） A. 25 B. 10 C. 4 D. 5 2. 数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分 10 元钱，每人分得若干；若再加上 6 人， 平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数设第一次分钱的人数为x人， 则可列方程_ 3. 在一次数学研究性学习中， 小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起， 使点A与点F重合， 点C与点D重合 （如图 1） ， 其中
9、ACBDFE90，BCEF3cm，ACDF4cm， 并进行如下研究活动 活动一：将图 1 中纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图 2），当点F与点C重合时停止平移 【思考】图 2 中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图 3）求AF的长 活动二：在图 3 中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转度（090），连结OB， OE（如图 4） 【探究】当EF平分AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由 二、巩固提高 1. 如图，有一张矩形纸条ABCD，AB5cm，BC2cm，点M，N分别在边A
10、B，CD上，CN1cm现将四边形 BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B，C上当点B恰好落在边CD上时，线段BM长为_cm； 在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_cm 2. 在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图 1 所示建立 直角坐标系），抛物线顶点为点B （1）求该抛物线的函数表达式 （2）当球运动到点C时被东东抢到，CDx轴于点D，CD2.6m 求OD的长 东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华， 目标为华华的接球点E（4，1.3）东东起跳后所持
11、 游船码头 历下亭 南门 东 北 53 37 C A B l1 l2 y/ 元 x/ m3 720 480 1601200 C B A 球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h12（t0.5） 2+2.7（0t 1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚 0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间 t（s）的函数关系如图 2 所示（其中两条抛物线的形状相同）东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到 点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略 不计） 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（45
12、45） 一、例题分析 1某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A 测得历下亭 C 在北偏东 37方向，继续向北走 105m 后到 达游船码头 B，测得历下亭 C 在游船码头 B 的北编东 53方向请计算一下南门 A 与历下亭 C 之间的距离 约为(参考数据：tan37 3 4，tan53 4 3 ) （ ） A225m B275m C300m D315m 2某市为提倡居民节约用水，自今年 1 月 1 日起调整居民用水价格图中 l1、l2 分别表示去年、今年水 费 y(元)与用水量 x (m3)之间的关系小雨家去年用水量为 150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比 去年多_元 3.小圆同学
13、对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究 (一)猜测探究 在ABC 中，ABAC，M 是平面内任意一点， 将线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转与BAC 相等的角度，得到线段 AN，连接 NB (1)如图 1， 若 M 是线段 BC 上的任意一点， 请直接写出NAB 与MAC 的数量关系是_， NB 与 MC 的数量关系是_； (2)如图 2，点 E 是 AB 延长线上点，若 M 是CBE 内部射线 BD 上任意一点，连接 MC，(1) 中结论是否仍然成立?若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由 P F C M N A B DE (二)拓展应用 如图 3，在A1B1C1 中，A
14、1B18，A1B1C160，B1A1C175，P 是 B1C1 上的任意点，连接 A1P， 将 A1P 绕点 A1 按顺时针方向旋转 75，得到线段 A1Q，连接 B1Q求线段 B1Q 长度的最小值 二、巩固提高 1关于 x 的一元二次方程 ax2bx 1 20 有一个根是1，若二次函数 yax2bx 1 2的图象的顶点在第一 象限，设 t2ab，则 t 的取值范围是（ ） A 1 2t 1 4 B1t 1 4 C 1 2t 1 2 D1t 1 2 2 如图，在矩形纸片 ABCD 中，将 AB 沿 BM 翻折， 使点 A 落在 BC 上的点 N 处，BM 为折痕，连接 MN； 再将 CD 沿
15、CE 翻折，使点 D 恰好落在 MN 上的点 F 处，CE 为折痕，连接 EF 并延长交 BM 于点 P， 若 AD8，AB5，则线段 PE 的长等于_ 3如图 1，抛物线 C：yax2bx 经过点 A（4，0）、B（1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线 C 绕 点 O 旋转 180，得到新的抛物线 C （1）求抛物线 C 的函数解析式及顶点 G 的坐标； （2）如图 2，直线 l：ykx 12 5经过点 A，D 是抛物线 C 上的一点，设 D 点的横坐标为 m（m2），连接 DO 并延长，交抛物线 C于点 E，交直线 l 于点 M，若 DE2EM，求 m 的值； （3）如图 3，在（2）的条
16、件下，连接 AG、AB，在直线 DE 下方的抛物线 C 上是否存在点 P，使得DEP GAB？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 E D Q C1 N N B C C BB1 A M A M A1 P 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4646） 一、例题分析 1如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为（-4，5），D 是 OB 的中点， E 是 OC 上的一点,当ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是 A.(0, 4 3 ) B.(0, 5 3 ) C.（0，2） D.(0，10 3 ) 2直线y=kx(k0)与双曲线 6 y x 交于 A（x1，y1）和 B（x
17、2，y2）两点，则 3x1y2-9x2y1的值为 . 3正方形 ABCD 的边长为 6 cm，点 E、M 分别是线段 BD、AD 上的动点，连接 AE 并延长，交边 BC 于 F，过 M 作 MNAF，垂足为 H，交边 AB 于点 N. （1）如图 1，若点 M 与点 D 重合，求证：AF=MN； （2） 如图 2， 若点 M 从点 D 出发， 以 1 cm/s 的速度沿 DA 向点 A 运动， 同时点 E 从点 B 出发， 以 2 cm/s 的速度沿 BD 向点 D 运动，运动时间为 t s. 设 BF=y cm，求 y 关于 t 的函数表达式； 当 BN=2AN 时，连接 FN，求 FN
18、的长. x y G B AO x y l E D M G B AO x y l E D M G B AO 二、巩固提高 1一次函数 y=ax+b 和反比例函数 c y x 在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可能是 2如图，ABy 轴，垂足为 B，将ABO 绕点 A 逆时针 旋转到AB1O1 的位置，使点 B 的对应点 B1 落在直 线 3 3 yx 上，再将AB1O1 绕点 B1 逆时针旋转 到A1B1O2 的位置，使点 O1 的对应点 O2 落在直线 3 3 yx 上，依次进行下去若点 B 的坐标是 （0，1），则点 O12 的纵坐标为 . 3.
19、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+1 交 y 轴于点 A，交 x 轴正半轴于点 B（4，0），与过 A 点的直线相交于另一点 D(3， 5 2 )，过点 D 作 DCx 轴，垂足为 C. （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 在线段 OC 上（不与点 O、C 重合），过 P 作 PNx 轴，交直线 AD 于 M，交抛物线于点 N，连接 CM， 求PCM 面积的最大值； （3）若 P 是 x 轴正半轴上的一动点，设 OP 的长为 t，是否存在 t，使以点 M、C、D、N 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由. 中考数学提优系列题选（中考数
20、学提优系列题选（4242） 三、例题分析 1. 如图，函数 1yx 与函数 2 2 y x 的图象相交于点1,2,MmNn若 12 yy，则x的取值范围是 （ ） A. 2x或01x B. 2x或1x C. 20 x 或01x D. 20 x 或1x 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图象可知函数 1yx 与函数 2 2 y x 的图象相交于点M、N，若 12 yy，即观察直线图象在反比例函数 图象之上的x的取值范围 【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为20 x 或1x ， 故本题答案为：20 x 或1x 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数
21、图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集 是解答此题的关键 2. 西游记、三国演义、水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大 名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： （1）阅读过西游记的人数多于阅读过水浒传的人数； （2）阅读过水浒传的人数多于阅读过三国演义的人数； （3）阅读过三国演义的人数的 2 倍多于阅读过西游记的人数 若阅读过三国演义的人数为 4，则阅读过水浒传的人数的最大值为_ 【答案】6 【解析】 【分析】 根据题中给出阅读过三国演义的人数，则先代入条件（3）可得出阅读过西游记的人数的取值范围， 然后再根据条件（1）和（2）再列出两个不等式，
22、得出阅读过水浒传的人数的取值范围，即可得出答 案. 【详解】解：设阅读过西游记的人数是a，阅读过水浒传的人数是b，（, a b均为整数） 依题意可得： 4 8 ab b a 且, a b均为整数 可得：47b， b最大可以取 6； 故答案为 6. 【点睛】本题考查不等式的实际应用，注意题中的两个量都必须取整数是本题做题关键，求b的最大值， 则可通过题中不等关系得出b是小于哪个数的，然后取小于这个数的最大整数即可. 3. 在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如 表 1： 鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 脚长（毫米） 1602
23、 1652 1702 1752 1802 1852 为了方便对问题的研究，活动小组将表 1 中的数据进行了编号，并对脚长的数据 n b定义为 n b如表 2： 序号n 1 2 3 4 5 6 鞋号 n a 22 23 24 25 26 27 脚长 n b 1602 1652 1702 1752 1802 1852 脚长 n b 160 165 170 175 180 185 定义：对于任意正整数m、n，其中2m若 n bm，则m 2 bn m + 2 如： 4 175b表示，175 2 b4 175 + 2,即173 b4 177 （1）通过观察表 2，猜想出 n a与序号n之间的关系式， n
24、 b与序号n之间的关系式； （2）用含 n a的代数式表示 n b；计算鞋号为 42 的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为 271 毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？ 【答案】（1）21 n an， 155 n bn；（2）鞋号为 42 的鞋适合的脚长范围是258mm262mm； （3）应购买 44 号的鞋 【解析】 【分析】 （1）观察表格里的数据，可直接得出结论； （2）把 n 用含有 an式子表示出来，代入 5155 n bn化简整理，再计算鞋号为 42 对应的 n 的值，代 入 5155 n bn求解即可； （3）首先计算 270 n b，再代入 550 nn ba求出 n a的值即可 【
25、详解】（1）21 n an 1605(1)5155 n bnn（2）由21 n an与 5155 n bn解得： 550 nn ba把42 n a 代入21 n an得21n所以 21 5 4250260b 则得： 21 26022602b，即 21 258262b 答：鞋号为 42鞋适合的脚长范围是258mm262mm （3）根据 5155 n bn可知 n b能被 5 整除而27022712702所以 270 n b 将 270 n b代入 550 nn ba中得44 n a 故应购买 44 号的鞋 【点睛】此题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键 四、巩固提高 1. 如图
26、2 是图 1 长方体的三视图，若用S表示面积， 22 ,SaSaa 主左 ，则S 俯 （ ） A. 2 aa B. 2 2a C. 2 21aa D. 2 2aa 【答案】A 【解析】【分析】由主视图和左视图的宽为 a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论 【详解】 22 ,(1)a aSaSaaa a 主左 ，俯视图的长为 a+1，宽为 a， 2 (1)Sa aaa 俯 ，故选：A 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的 长和宽是解答的关键 2. 2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股
27、圆方图，它是由 四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 1），且大正方形的面积是 15，小正 方形的面积是 3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b如果将四个全等的直角三角形按如图 2 的形式摆放，那么图 2 中最大的正方形的面积为_ 【答案】27 【解析】【分析】 根据题意得出 a 2+b2=15，（b-a）2=3，图 2 中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形 求出（a+b） 2即可【详解】解：由题意可得在图 1 中：a2+b2=15，（b-a）2=3， 图 2 中大正方形的面积为：（a+b） 2， （b-a） 2=3a2-2ab+b2=3
28、，15-2ab=32ab=12，（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27，故答案为：27 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键 3. 如图 （1） 放置两个全等的含有 30角的直角三角板ABC与30()DEFBE ， 若将三角板ABC 向右以每秒 1 个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E 在同一条直线上， 如图 （2） ，AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q， 其中3ACDF， 设三角板ABC移动时间为x秒 （1）在移动过程中，试用含x的代数式表示AMQ的面积； （2）计算x等
29、于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1） 2 3 12 MQQ Sx ；（2）当2x时，重叠部分面积最大，最大面积是3 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形 ABC 求得3EFBC，设CFx，可求 3 3 AQx， 1 2 MNx，根据三角形面积 公式即可求出结论； （2）根据“ ABCAMQBPF SSSS 重叠 ”列出函数关系式，通过配方求解即可 【详解】（1）解：因为Rt ABC中30B 60A 30E 60EQCAQM AMQ为等边三角形 过点M作MNAQ，垂足为点N 在Rt ABC中，3,tan3ACBCACA3EFBC根据题意可知CFx 3CEE
30、FCFx 3 tan(3) 3 CQCEEx 33 3(3) 33 AQACCQxx 3 3 AMAQx 而 1 sin 2 MNAMAx 2 11313 223212 MAQ SAQ MNxxx （2）由（1）知3BFCEx 3 tan(3) 3 PFBFBx 111 222 ABCAMQBPF SSSSAC BCAQ MNBF PF 重叠 2 1313 33(3)(3) 21223 xxx 22 33 3(2)3 44 xxx 所以当2x时，重叠部分面积最大，最大面积是3 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函 数的性质等知识，解题的关
31、键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考 压轴题 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4343） 三、例题分析 1. 如图，ABC内接于圆，90ACB， 过点C的切线交AB的延长线于点28PP ， 则CAB （ ） A. 62 B. 31 C. 28 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 OC，根据切线的性质得出OCP=90，再由P=28得出COP，最后根据外角的性质得出CAB.【详 解】解：连接 OC，CP 与圆 O 相切，OCCP，ACB=90，AB 为直径， P=28，COP=180-90-28=62，而 OC=OA，OCA=OAC=2CA
32、B=COP， 即CAB=31，故选 B. 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性质得出COP. 2 对角线互相垂直的四边形叫做 “垂美” 四边形， 现有如图所示的 “垂美” 四边形ABCD， 对角线ACBD、 交于点O若24ADBC，则 22 ABCD_ 【答案】20 【解析】 分析】 由垂美四边形的定义可得 ACBD，再利用勾股定理得到 AD 2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】四边形 ABCD 是垂美四边形，ACBD，AOD=AOB=BOC=COD=90， 由勾股定理得，AD 2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2
33、+BO2+CO2+DO2， AD 2+BC2=AB2+CD2，AD=2，BC=4， 22 ABCDAD 2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理 3. 已知二次函数 2 0yaxbxc a（）的图象与x轴交于3010AB ，两点，与y轴交于点 (0, 3)C ， （1）求二次函数的表达式及A点坐标； （2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标； （3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N使以MNBO、 、 、为顶点的 四边形是平行四边形？若有
34、，请写出点N的坐标（不写求解过程） 【答案】（1） 2 23yxx，A（-3，0）；（2）（ 3 2 ， 15 4 ）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2， -5）. 【解析】 【分析】 （1）把 A,C 点带入方程，列方程组即可求解； （2） 根据题意得出当点D到直线AC的距离取得最大值时， 求出 AC 表达式， 将直线 AC 向下平移 m （m0） 个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点 D，此时点 D 到直线 AC 的距 离最大，联立直线 l 和二次函数表达式，得到方程 2 30 xxm ，当方程有两个相同的实数根时，求出 m 的值，从而得到点 D 的
35、坐标； （3）分当 OB 是平行四边形的边和 OB 是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点 N 的坐标即 可. 【详解】解：（1）将 B（1，0），(0, 3)C带入函数关系式得， 02+c 3 a c ，解得： 1 3 a c ， 二次函数表达式为： 2 23yxx； （2）当点D到直线AC的距离取得最大值时，A（-3，0），(0, 3)C， 设直线 AC 的表达式为：y=kx+n，将 A 和 C 代入， 3 3 okn n ，解得： 1 3 k n ， 直线 AC 的表达式为 y=-x-3，将直线 AC 向下平移 m（m0）个单位，得到直线l， 当直线l与二次函数图像只有一个交
36、点时，该交点为点 D，此时点 D 到直线 AC 的距离最大， 此时直线l的表达式为 y=-x-3-m，联立： 2 23 3 yxx yxm ，得： 2 30 xxm ， 令= 2 34 10m ，解得：m= 9 4 ，则解方程： 2 9 30 4 xx，得 x= 3 2 ， 点 D 的坐标为（ 3 2 ， 15 4 ）； （3）M 在抛物线对称轴上，设 M 坐标为（-1，t），当 OB 为平行四边形的边时， 如图 1，可知 MN 和 OB 平行且相等，点 N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得： 解得：t=-3，N（-2，-3）或（0，-3）； 当 OB 为平行四边形对角线时，线段 O
37、B 的中点为（ 1 2 ，0），对角线 MN 的中点也为（ 1 2 ，0）， M 坐标为（-1，t），可得点 N（2，-t），代入抛物线表达式得：4+4-3=-t，解得：t=-5， 点 N 的坐标为（2，-5）， 综上：以MNBO、 、 、为顶点的四边形是平行四边形时，点 N 的坐标为（-2，-3）或（0，-3）或（2， -5）. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，平行四边 形的性质，最值问题，解题的关键是要结合函数图像，得到结论. 二、巩固提高 1. 已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C 点与 E 点重合
38、），点 BCF、 、共线，ABC沿BF方向匀速运动，直到 B 点与 F 点重合设运动时间为t，运动过程中两图 形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分点 C 在 EF 中点的左侧、点 C 在 EF 中点的右侧、点 C 在 F 点右侧且 B 在 EF 中点的左侧，点 C 在 F 点右侧 且 B 在 EF 中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解 【详解】解：设等边三角形 ABC 和正方形 DEFG 的边长都为 a，运动速度为 1， 当点 C 在 EF 的中点左侧时， 设 AC 交 DE 于点 H，则
39、 CE=t，HE=ECtanACB=t3=3t， 则 S=SCEH= 1 2 CEHE= 1 2 t3t= 2 3 2 t，可知图象为开口向上的二次函数， 当点 C 在 EF 的中点右侧时，设 AB 与 DE 交于点 M， 则 EC=t，BE=a-t，ME=3BE3(at)=-， S= 2 222 3333 3 4224 aattata ，可知图象为开口向下的二次函数； 当点 C 在 F 点右侧且 B 在 EF 中点的左侧时， S= 2 222 3333 3 4224 atatata ， 可知图象为开口向下的二次函数； 当点 C 在 F 点右侧且 B 在 EF 中点的右侧时， 此时 BF=2a
40、-t，MF=3BF3(2at)=-， 222 33 S(2at)t2 3at2 3a 22 =-=-+，可知图象为开口向上的二次函数；故选：A 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进 而求解 2. 若 2 2222 xy5 xy60 ，则 22 xy _ 【答案】6 【解析】 【分析】 根据因式分解法进行求解即可；【详解】解： 2 2222 xy5 xy60， 2222 xy6xy10， 22 xy =6 或 22 xy =-1，又 22 xy0， 22 xy =6 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的因式分解，准确计算是解题的关键 3.
41、如图，四边形ABCD内接于圆，60ABC，对角线BD平分ADC （1）求证：ABC是等边三角形； （2）过点B作/BE CD交DA的延长线于点E，若23ADDC，求BDE的面积 【答案】（1）见解析；（2） 25 3 4 ； 【解析】 【分析】 （1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断； （2）过点 A 作 AECD，垂足为点 E，过点 B 作 BFAC，垂足为点 F根据 S四边形 ABCD=SABC+SACD，分别求出 ABC，ACD 的面积，即可求得四边形 ABCD 的面积，然后通过证得EABDCB（AAS），即可求得BDE 的面积=四边形 ABCD 的面积= 25 3 4 .
42、【详解】解：（1）证明：四边形 ABCD 内接于OABC+ADC=180， ABC=60，ADC=120，DB 平分ADC，ADB=CDB=60， ACB=ADB=60，BAC=CDB=60，ABC=BCA=BAC，ABC 是等边三角形； （2）过点 A 作 AMCD，垂足为点 M，过点 B 作 BNAC，垂足为点 N AMD=90ADC=120，ADM=60，DAM=30， DM= 1 2 AD=1，AM= 22 3ADDM ，CD=3，CM=CD+DE=1+3=4， SACD= 1 2 CD-AM= 1 2 3 3= 3 3 2 ，在 RtAMC 中，AMD=90，AC= 22 19AMC
43、M ， ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=19，BN= 357 22 BC ， SABC= 1 2 19 57 2 =19 3 4 ，四边形 ABCD 的面积=19 3 4 + 3 3 2 = 25 3 4 ， BECD，E+ADC=180，ADC=120，E=60，E=BDC， 四边形 ABCD 内接于O，EAB=BCD，在EAB 和DCB 中， EBDC EABDCB ABBC ， EABDCB（AAS），BDE 的面积=四边形 ABCD 的面积= 25 3 4 . 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解 题的关键是学会添加常用辅
44、助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（4444） 二、例题分析 1. 如图，在等腰ABC中，ABAC25，BC8，按下列步骤作图： 以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 1 2 EF 的长为半径作弧相交于点H，作射线AH； 分别以点A，B为圆心，大于 1 2 AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O； 以点O为圆心，线段OA长为半径作圆则O的半径为（ ） A. 25 B. 10 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 如图， 设OA交BC于T 解直角三
45、角形求出AT， 再在 RtOCT中， 利用勾股定理构建方程即可解决问题 【详 解】解：如图，设 OA 交 BC 于 T ABAC25，AO 平分BAC，AOBC，BTTC4，AE 2222 (2 5)42ACCT ，在 RtOCT 中，则有 r 2（r2）2+42，解得 r5，故选：D 【点睛】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵 活运用所学知识解决问题 2. 数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分 10 元钱，每人分得若干；若再加上 6 人， 平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数设第一次分钱的人数为x人，则可
46、 列方程_ 【答案】 1040 6xx 【解析】 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论 【详解】解：根据题意得， 1040 6xx ，故答案为： 1040 6xx 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键 3. 在一次数学研究性学习中， 小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起， 使点A与点F重合， 点C与点D重合 （如图 1） ， 其中ACBDFE90，BCEF3cm，ACDF4cm， 并进行如下研究活动 活动一：将图 1 中纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图 2），当点F与点C重合时停止平移 【思
47、考】图 2 中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图 3）求AF的长 活动二：在图 3 中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转度（090），连结OB， OE（如图 4） 【探究】当EF平分AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由 【答案】【思考】是，理由见解析；【发现】 9 4 ；【探究】BD2OF，理由见解析； 【解析】 【分析】 【思考】由全等三角形的性质得出ABDE，BACEDF，则ABDE，可得出结论； 【发现】连接BE交AD于点O，设AFx（cm），则OAOE 1 2 （x+4），得出OFOAAF2 1 2 x，由 勾股定理可得 2 2 2 11 234 24 xx ，解方程求出x，则AF可求出； 【探究】如图
