2021年中考数学冲刺100天提优测试(第16天-第20天)含答案

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资源描述

1、中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(1616) 一、例题分析 1. 如图,A、B、C、D 四个点均在O 上,AOD=50,AODC,则B 的度数为( ) A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 2. 如图,正方形ABCD的面积为 12,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,F是CD上一点,DF1, 在对角线AC上有一点P,连接PE,PF,则PE+PF的最小值为_ 3. 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 50%经试销发现,销售量 P(件)与销售单价 x(元)符合一次函数关系,当销售单价为 65 元时销售量为 55

2、件,当销售单价为 75 元时销售量为 45 件 ()求 P 与 x 的函数关系式; ()若该商场获得利润为 y 元,试写出利润 y 与销售单价 x 之间的关系式; ()销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? 二、巩固提高 1. 如图是抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)的部分图象,其顶点是(1,n) ,且与 x 的一个交点在点(3,0)和 (4,0)之间,则下列结论:a-b+c0;3a+b=0;b 2=4a(c-n) ;一元二次方程 ax2+bx+c=n-1 有两 个不等的实数根其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知:如图,直线

3、y=kx+2 与 x 轴正半轴相交于 A(t,0) ,与 y 轴相交于点 B,抛物线 y=x 2+bx+c 经过 点 A 和点 B,点 C 在第三象象限内,且 ACAB,tanACB= 1 2 (1)当 t=1 时,求抛物线的表达式; (2)试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标; (3)如果点 C 在这条抛物线的对称轴上,求 t 的值 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(1717) 一、例题分析 1. 如图,正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点,FEAB,AF2AE,FC 交 BD 于 O,交 AB 于 M,下列说法正确的有 ( )个 AFBD DOC60 3 4 EFM M S

4、 S BC AF 2ODFM A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 直线 1 yx4 2 与x轴、y轴分别相交于A,B两点,若点1,2M mm在AOB内部,则m的取 值范围为( ) A. 14 3 3 m B. 17m C. 7 0 3 m D. 11 2 3 m 3. 如图:AB 是O 的直径,AC 交O 于 G,E 是 AG 上一点,D 为BCE 内心,BE 交 AD 于 F,且DBE BAD (1)求证:BC 是O 的切线; (2)求证:DFDG; (3)若ADG45,DF1,求证:ADBD 2 二、巩固提高 1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,平行四边形OABC的对角线交于点

5、D,顶点A在x轴正半轴上,双 曲线 3 0yx x 经过C,D两点,双曲线0 k yx x 经过点B,则k的值为_ 2. 已知,抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交点为 A(1,0)和点 B,与 y 轴交点为 C(0,3),直线 L:ykx1 与抛物线的交点为点 A 和点 D (1)求抛物线和直线 L 的解析式; (2)如图,点 M 为抛物线上一动点(不与 A、D 重合) ,当点 M 在直线 L 下方时,过点 M 作 MNx 轴交 L 于 点 N,求 MN 的最大值; (3)点 M 为抛物线上一动点(不与 A、D 重合) , M 为直线 AD 上一动点,是否存在点 M,使得以 C、D、M、

6、 M 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点 M 的坐标,如果不存在,请说明理由 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(1818) 一、例题分析 1. 如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC6,BD8,P是对角线BD上任意一点, 过点P作EFAC,与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设BPx,EFy,则能大致表示y与x之间关 系的图象为( ) A. B. C. D. 2. 如图,已知A1,A2,A3,An,是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=An1An=1,分别过点A1,A2,A3,An,作x 轴的垂线交反比例函数y= 1 x (x0)的图象

7、于点B1,B2,B3,Bn,过点B2作B2P1A1B1于点P1,过点B3作B3P2 A2B2于点P2,记B1P1B2的面积为S1,B2P2B3的面积为S2,BnPnBn+1的面积为Sn.则S1+S2+S3+ +Sn= . 3. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA4,OC3动点P从点C出发,沿射线CB方向 以每秒 2 个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒 1 个单位长度的速 度运动设点P、Q的运动时间为t秒 (1)当t2 秒时,求 tanQPA的值; (2)当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM2AM时,求t的值; (3)连结CQ,当点P,Q在运

8、动过程中,记CPQ 与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系 式; (4)直接写出OAB的角平分线经过CPQ 边上中点时的t值 二、巩固提高 1. 九章算术 是我国古代的数学名著, 书中的 “折竹抵地” 问题: 今有竹高一丈, 末折抵地, 去本三尺 问 折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10 尺) ,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处 离竹子底部 3 尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断后离地面的高度为x尺,则可列方程为( ) A. x 23=(10 x)2 B. x 232=(10 x)2 C. x2+3=(10 x)2 D. x2+32=(10 x)2 2

9、. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 2 2ya xk(a、k为常数且0a)与x轴交于点A、B, 与y轴交于点C,过点C作/CDx轴与抛物线交于点D.若点A的坐标为4,0,则 OB CD 的值为_ 3. 如图,抛物线 2 4yaxbx经过点1,0A ,2,0B两点,与y轴交于点C,点D是拋物线在x轴 上方,对称轴右侧上的一个动点,设点D的横坐标为m连接AC,BC,DB,DC (l)求抛物线的函数表达式; (2)当BCD的面积与AOC的面积和为 7 2 时,求 m 的值; (3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M, 使得以点B,D,M,N为顶点

10、的四边形是平行四边形若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在, 请说明理由 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(1919) 一、例题分析 1. 一组正方形按如图所示的方式放置,其中顶点B1在y轴上,顶点C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3在x轴 上,已知正方形A1B1C1D1的边长为 1,B1C1O60,B1C1B2C2B3C3,则正方形A2020B2020C2020D2020的边长 是( ) A. ( 1 2 ) 2017 B. ( 1 2 ) 2018 C. ( 3 3 ) 2019 D. ( 3 3 ) 2020 2. 已知边长为 5 的菱形ABCD中,对角线AC长为 6,点E

11、在对角线BD上且 1 tan 3 EAC,则BE的 长为_ 3. 如图,在平面直角坐标系中,直线 2 2 3 yx 分别与 x 轴、y 轴相交于点 B、C,经过点 B、C 的抛物 线 2 2 3 yxbxc 与 x 轴的另一个交点为 A(-1,0) (1)求这个抛物线的表达式; (2)已知点 D 在抛物线上,且横坐标为 2,求出BCD 的面积; (3)点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点,过点 P 作 PQ 垂直于 x 轴,垂足为 Q是否存在点 P,使得以 点 A、P、Q 为顶点的三角形与BOC 相似?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 二、巩固提高 1. 如图,正方形

12、ABCD 的边长为 2cm,动点 P 从点 A 出发,在正方形的边上沿 ABC 的方向运动到点 C 停 止,设点 P 的运动路程为 x(cm),在下列图象中,能表示ADP 的面积 y(cm 2)关于 x(cm)的函数关系的图象 是( ) A. B. C. D. 2. 如图,若以平行四边形一边 AB 为直径的圆恰好与对边 CD 相切于点 D,则C=_度 3. 如图,在ABC中,ACB90,ACBC,D 是 AB 边上一点(点 D 与 A,B 不重合),连结 CD, 将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转90得到线段 CE,连结 DE 交 BC 于点 F,连接 BE 1()求证:ACDBCE;

13、2( )当ADBF时,求BEF的度数 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(2020) 一、例题讲解 1. 如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC,BD交于点O,OGAB, 垂足为G, 延长GB至点E, 使得GEBC, 连接OE交BC于点F.若12AB ,8BC ,则BF的长为( ) A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 2. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3都是菱形,点A1,A2,A3,都在x 轴上,点C1,C2,C3,都在直线y 3 3 x+ 3 3 上,OA11,则点C2020的纵坐标是_ 3. 已知矩形ABCD和矩形CE

14、FG中,AB6,BC8,CE4,EF3 (1)当点E在CD上时,如图 1,求 AF BE 的值; (2)当矩形CEFG绕点C旋转至图 2 时,求 AF BE 的值; (3)当矩形CEFG绕点C旋转至A,E,F三点共线时,直接写出BE的长 二、巩固提高. 1.将抛物线y 1 3 x 21 3 x+2(x0)沿y轴对折,得到如图所示的“双峰”图象若直线yx+b与该“双 峰”图象有三个交点时,b的值为( ) A. 2, 7 3 B. 2 C. 7 3 D. 0 2. 如图, 在矩形 ABCD 中, 点 E 是边 AD 上的点, EFBE, 交边 CD 于点 F, 联结 CE、 BF, 如果 tanA

15、BE 3 4 , 那么 CE:BF_ 3. 如图,直线y 1 2 x+2 与x轴,y轴分别交于点A,C,抛物线y 1 2 x 2+bx+c 经过A,C两点,与x轴 的另一交点为B点D是AC上方抛物线上一点 (1)求抛物线的函数表达式; (2)连接BC,CD,设直线BD交线段AC于点E,如图 1,CDE,BCE的面积分别为S1,S2,求 1 2 S S 的 最大值; (3)过点D作DFAC于F,连接CD,如图 2,是否存在点D,使得CDF中的某个角等于BAC的两倍? 若存在,求点D的横坐标;若不存在,说明理由 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(1616) 一、例题分析 1. 如图,A、

16、B、C、D 四个点均在O 上,AOD=50,AODC,则B 的度数为( ) A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 【答案】D 【解析】 试题分析:连接 OC,根据平行可得:ODC=AOD=50,则DOC=80,则AOC=130,根据同弧所对的 圆周角等于圆心角度数的一半可得:B=1302=65. 考点:圆的基本性质 2. 如图,正方形ABCD的面积为 12,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,F是CD上一点,DF1, 在对角线AC上有一点P,连接PE,PF,则PE+PF的最小值为_ 【答案】7 【解析】 如图作 EHBC 于 H作点 F 关于 AC 的对称点 F,连接 EF交

17、 AC 于 P,此时 PE+PF 的值最小 正方形 ABCD的面积为 12, AB=23, ABC=90, ABE 是等边三角形, BE=AB=2 3,ABE=60,EBH=30,EC= 1 2 BE=3,BH=3EH=3, BF=DF=1,HF=2,在 RtEHF中,EF= 22 2( 3)7 ,PE+PF 的最小值为7. 故答案为:7. 【点睛】考查轴对称最短问题、等边三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会 利用轴对称解决最短问题 3. 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 50%经试销发现,销售量 P(件)与销

18、售单价 x(元)符合一次函数关系,当销售单价为 65 元时销售量为 55 件,当销售单价为 75 元时销售量为 45 件 ()求 P 与 x 的函数关系式; ()若该商场获得利润为 y 元,试写出利润 y 与销售单价 x 之间的关系式; ()销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? 【答案】 ()P=x+120; ()y=x 2+180 x7200=(x90)2+900; ()销售单价定为 90 元时,商 场可获得最大利润,最大利润900 元 【解析】 试题分析: ()利用待定系数法求解可得; ()根据“总利润=单件利润销售量”可得函数解析式; ()根据“销售单价不低于成本

19、单价且获利不得高于 50%”得出 x 的取值范围,再结合二次函数的性质求 解可得 试题解析: ()设 P=kx+b,根据题意,得: 6555 7545 kb kb ,解得: 1 120 k b ,则 P=x+120; ()y=(x60) (x+120)=x 2+180 x7200=(x90)2+900; ()销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 50%,60 x(1+50%)60,即 60 x90, 又当 x90 时,y 随 x 的增大而增大,当 x=90 时,y 取得最大值,最大值为 900, 答:销售单价定为 90 元时,商场可获得最大利润,最大利润900 元 二、巩固提高 1. 如图是

20、抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)的部分图象,其顶点是(1,n) ,且与 x 的一个交点在点(3,0)和 (4,0)之间,则下列结论:a-b+c0;3a+b=0;b 2=4a(c-n) ;一元二次方程 ax2+bx+c=n-1 有两 个不等的实数根其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间,则当 x=-1 时,y0, 于是可对进行判断;利用抛物线的对称轴为直线 x=- 2 b a =1,即 b=-2a,则可对进行判断;利用抛物线 的顶点的纵坐标为 n

21、 得到 2 4 4 acb a =n,则可对进行判断;由于抛物线与直线 y=n 有一个公共点,则抛物线 与直线 y=n-1 有 2 个公共点,于是可对进行判断 【详解】抛物线与 x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线 x=1, 抛物线与 x 轴另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间当 x=-1 时,y0,即 a-b+c0,所以 正确;抛物线的对称轴为直线 x=- 2 b a =1,即 b=-2a,3a+b=3a-2a=a,所以错误; 抛物线的顶点坐标为(1,n) , 2 4 4 acb a =n,b 2=4ac-4an=4a(c-n) ,所以正确; 抛物线

22、与直线 y=n 有一个公共点,抛物线与直线 y=n-1 有 2 个公共点, 一元二次方程 ax 2+bx+c=n-1 有两个不相等的实数根,所以正确故选 C 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系,熟练掌握二次函数性质是解题的关键. 2. 已知:如图,直线 y=kx+2 与 x 轴正半轴相交于 A(t,0) ,与 y 轴相交于点 B,抛物线 y=x 2+bx+c 经过 点 A 和点 B,点 C 在第三象象限内,且 ACAB,tanACB= 1 2 (1)当 t=1 时,求抛物线的表达式; (2)试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标; (3)如果点 C 在这条抛物线的对称轴上,求 t 的值

23、 【答案】 (1)抛物线的表达式为 y=x 2x+2; (2)点 C 的坐标为(t4,2t) ; (3)t=4 14 【解析】 试题分析: (1)把点 A(1,0) ,B(0,2)分别代入抛物线的表达式,解方程组即可; (2)如图:作 CHx 轴,垂足为点 H,根据AOBCHA,得到 OAOBAB CHAHAC ,根据 tanACB= AB AC = 1 2 ,得到 OAOB CHAH = 1 2 ,根据 OA=t,得到点 C 的坐标为(t-4,-2t) (3)根据点 C(t-4,-2t)在抛物线 y=-x2+bx+c 的对称轴上,得到 t-4= 2 b ,即 b=2t-8,把点 A(t,0)

24、 、 B(0,2)代入抛物线的表达式,得-t 2+bt+2=0,可知 t2+(2t-8)t+2=0,即 t2-8t+2=0,据此即可求出 t 的值 试题解析: (1)t=1,y=kx+2,A(1,0) ,B(0,2) , 把点 A(1,0) ,B(0,2)分别代入抛物线的表达式,得 10 2 bc c ,解得 1 2 b c , 所求抛物线的表达式为 y=x 2x+2 (2)如图:作 CHx 轴,垂足为点 H,得AHC=AOB=90,ACAB,OAB+CAH=90, 又CAH+ACH=90,OAB=ACH,AOBCHA, OAOBAB CHAHAC , tanACB= AB AC = 1 2

25、, OAOB CHAH = 1 2 ,OA=t,OB=2,CH=2t,AH=4, 点 C 的坐标为(t4,2t) (3)点 C(t4,2t)在抛物线 y=x 2+bx+c 的对称轴上,t4= 2 b ,即 b=2t8, 把点 A(t,0) 、B(0,2)代入抛物线的表达式,得t 2+bt+2=0, t 2+(2t8)t+2=0,即 t28t+2=0,解得 t=4+ 14,点 C(t4,2t)在第三象限, t=4+ 14不符合题意,舍去,t=414 【点睛】考查了二次函数综合题,涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质等知 识 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(171

26、7) 一、例题分析 1. 如图,正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点,FEAB,AF2AE,FC 交 BD 于 O,交 AB 于 M,下列说法正确的有 ( )个 AFBDDOC60 3 4 EFM M S S BC AF 2ODFM A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 连接 FB,由锐角三角函数可求AFE30,由线段垂直平分线的性质可得 AFBF,可证AFB 是等边三角 形,可得ABFFAB60,ABFBBCADCD,可判断;由等腰三角形的性质和外角性质可求 DOCDBC+BCO60,可判断; 通过证明EFMBCM,可得 2 2 3 3 2 4 EFM

27、M AF SEF SBCAF BC , 可判断;通过证明AFMODC,可得 AFFM ODCD ,可判断,即可求解 【详解】解:连接 FB, 四边形 ABCD 是正方形, ABBCAD,ABDCBD45,BD 2AB,FEAB,AF2AE,sinAFE 1 2 , AFE30,FAE60,EF3AE 3 2 AF,E 是 AB 的中点,EFAB, AFBF,AFB 是等边三角形,ABFFAB60,ABFBBCADCD, AFBD,故错误;BCBF,CFBBCF180 9060 2 15, DOCDBC+BCO45+1560,故正确;EFAB,BCAB, EFBC,EFMBCM, 2 2 3 3

28、 2 4 EFM M AF SEF SBCAF BC ,故正确;BCM15, DCO75,BMC75AMF,AMFDCO,又BAFDOC60, AFMODC, AFFM ODCD ,AFCDODFM,又AFCDAF2ODFM,故正确; 故选:C 2. 直线 1 yx4 2 与x轴、y轴分别相交于A,B两点,若点1,2M mm在 AOB内部,则m的取 值范围为( ) A. 14 3 3 m B. 17m C. 7 0 3 m D. 11 2 3 m 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线 1 yx4 2 与x轴、y轴分别相交于A,B坐标,由点1,2M mm在AOB内 部,列出不等式组 018

29、420 1 (1)2 2 m m mm 分别解每一个不等式,在数轴上表示解集,得出不等式组的解集即 可 【详解】 解: 直线 1 yx4 2 与x轴、y轴分别相交于A,B两点, 当x=0,y=-4, B(0, -4), 当y=0时,= 1 x4 0 2 , x=8,A(8,0) ,点1,2M mm在AOB内部,满足不等式组 018 420 1 (1)2 2 m m mm , 解不等式得:-17m,解不等式得:26m,解不等式得: 11 3 m , 在数轴上表示不等式、的解集, 不等式组的解集为: 11 2 3 m故选择:D 【点睛】本题考查一次函数,不等式组的解法,掌握一次函数,不等式组的解法

30、,关键是根据点 M 在AOB 内列出不等式组是解题关键 3. 如图:AB 是O 的直径,AC 交O 于 G,E 是 AG 上一点,D 为BCE 内心,BE 交 AD 于 F,且DBE BAD (1)求证:BC 是O 的切线; (2)求证:DFDG; (3)若ADG45,DF1,求证:ADBD 2 【答案】 (1)见解析; (2)见解析; (3)见解析 【解析】 【分析】 (1)证明DBCBAD,得出DBC+ABD90,即ABC90,可得出结论; (2)如图 1,连接 DE,分别证得BFDABD,BFDDGC,则DFEDGE,得出DEGDEB,证 明DEFDEG(AAS) ,即可得出结论; (3

31、)如图 2,在 AD 上截取 DHBD,连接 BH、BG,先证 AB 2BG,BDDH,再证ABHGBD,求出 AH 的长,即可证明 ADBD 2 【详解】 (1)证明:如图 1,连接 DE,BG D 为BCE 内心,DBCDBE,DBEBAD,DBCBAD, AB 是O 的直径,AGB90,BCG+CBG90,BCG+CBD+GBD90, DACDBG,ADBDAC+ACB+CBD,ADBDBG+ACB+CBD90, BAD+ABD90,DBC+ABD90,即ABC90, ABBC,BC 是O 的切线; (2)证明:如图 1,连接 DE, DBCBAD,DBCDBE,DBEBAD,ABF+B

32、ADABF+DBE, BFDABD,DGCABD,BFDDGC,DFEDGE,D 为BCE 内心,DEG DEB, 在DEF 和DEG 中 DFEDGE DEGDEF DEDE ,DEFDEG(AAS) ,DFDG; (3)证明:如图 2,在 AD 上截取 DHBD,连接 BH、BG, AB 是O 的直径,ADBAGB90,ADG45,ABGADG45, AB 2BG,BDH90,BDDH,BHD45,AHB18045135, BDGADB+ADG90+45135,AHBBDG,BADBGD, ABHGBD,2 AHAB DGBG ,DGDF1,AH 2, ADBDADDHAH,ADBD 2

33、【点睛】本题是圆的综合题,考查了圆的有关概念及性质,三角形的内心,圆周角定理,等腰直角三角形 的判定与性质,切线的判定定理,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质等知识,熟练掌握 圆的有概念及性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键 二、巩固提高 1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,平行四边形OABC的对角线交于点D,顶点A在x轴正半轴上,双 曲线 3 0yx x 经过C,D两点,双曲线0 k yx x 经过点B,则k的值为_ 【答案】12 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到ODBD,设 D 的坐标是 3 ( ,)m m ,得到 B 的坐标是 6 (2 ,)m m 即 可 【

34、详解】解:平行四边形OABC的对角线交于点D,ODBD,OB=2OD, 设 D 的坐标是 3 ( ,)m m ,B的坐标是 6 (2 ,)m m , 6 212km m =?,故答案为:12 【点睛】本题考查了平形四边形的性质,反比例函数系数k的几何意义,根据D点的坐标表示出点 B 坐标 是解题的关键 2. 已知,抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交点为 A(1,0)和点 B,与 y 轴交点为 C(0,3),直线 L:ykx1 与抛物线的交点为点 A 和点 D (1)求抛物线和直线 L 的解析式; (2)如图,点 M 为抛物线上一动点(不与 A、D 重合) ,当点 M 在直线 L 下方时,

35、过点 M 作 MNx 轴交 L 于 点 N,求 MN 的最大值; (3)点 M 为抛物线上一动点(不与 A、D 重合) , M 为直线 AD 上一动点,是否存在点 M,使得以 C、D、M、 M 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点 M 的坐标,如果不存在,请说明理由 【答案】(1) yx 22x3, yx1; (2)9 4 ;(3) (1, 4)或(1 17 2 , 117 2 )或(1 17 2 , 117 2 ) 【解析】 【分析】 (1)用待定系数法即可求解; (2)设点 M 的坐标为(m,m 22m3) ,则点 N(m2+2m+2,m22m3) ,则 MNm2+m+2,进

36、而求解; (3)分 CD边、CD 为对角线两种情况,利用图象平移和中点公式求解即可 【详解】解: (1)将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得 10 3 bc c ,解得: 2 3 b c , 故抛物线的表达式为:yx 22x3, 将点 A 的坐标代入直线 L 的表达式得:0k1,解得:k1, 故直线 L 的表达式为:yx1; (2)设点 M 的坐标为(m,m 22m3) , 点 N 的纵坐标与点 M 的纵坐标相同,将点 N 的纵坐标代入 yx1 得:m 22m3x1, 解得:xm 2+2m+2,故点 N(m2+2m+2,m22m3) ,则 MNm2+2m+2mm2+m+2, 10,故 MN

37、有最大值,当 m 2 b a 1 2 时,MN 的最大值为 9 4 ; (3)设点 M(m,n) ,则 nm 22m3,点 M(s,s1) , 当 CD 为边时, 点 C 向右平移 2 个单位得到 D,同样点 M(M)向右平移 2 个单位得到 M(M) ,即 m2s 且 ns1 ,联立并解得:m0(舍去)或 1 或1 17 2 , 故点 M 的坐标为(1,4)或(1 17 2 ,1 17 2 )或(1 17 2 ,1 17 2 ); 当 CD 为对角线时, 由中点公式得: 1 2 (0+2) 1 2 (m+s)且 1 2 (33) 1 2 (ns1), 联立并解得:m0(舍去)或1,故点 M(

38、1,4) ; 综上,点 M 的坐标为(1,4)或(1 17 2 ,1 17 2 )或(1 17 2 ,1 17 2 ) 【点睛】此题主要考查二次函数综合,解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的最值与平行四边形的性 质 中考数学提优系列题选(中考数学提优系列题选(1818) 一、例题分析 1. 如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC6,BD8,P是对角线BD上任意一点, 过点P作EFAC,与平行四边形的两条边分别交于点E、F.设BPx,EFy,则能大致表示y与x之间关 系的图象为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图形先利用平行线的性质求出

39、BEFBAC,再利用相似三角形的性质得出 x 的取值范围和函数解析 式即可解答 【详解】当 0 x4 时,BO为ABC的中线,EFAC,BP为BEF的中线,BEFBAC, BPEF BOAC ,即 46 xy ,解得 3 2 yxy,同理可得,当 4x8 时, 3 (8) 2 yx.故选A. 【点睛】此题考查动点问题的函数图象,解题关键在于利用三角形的相似 2. 如图,已知A1,A2,A3,An,是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=An1An=1,分别过点A1,A2,A3,An,作x 轴的垂线交反比例函数y= 1 x (x0)的图象于点B1,B2,B3,Bn,过点B2作B2P1A1B1

40、于点P1,过点B3作B3P2 A2B2于点P2,记B1P1B2的面积为S1,B2P2B3的面积为S2,BnPnBn+1的面积为Sn.则S1+S2+S3+Sn=_. 【答案】 22 n n 【解析】 分析】 由 OA1=A1A2=A2A3=An-1An=1 可知 B1点的坐标为(1,y1) ,B2点的坐标为(2,y2) ,B3点的坐标为(3,y3) Bn点的坐标为(n,yn) ,把 x=1,x=2,x=3 代入反比例函数的解析式即可求出 y1、y2、y3的值,再由三角形 的面积公式可得出 S1、S2、S3Sn的值,故可得出结论 【详解】解:OA1=A1A2=A2A3=An-1An=1, 设 B1

41、(1,y1) ,B2(2,y2) ,B3(3,y3) ,Bn(n,yn) , B1,B2,B3Bn 在反比例函数 y= 1 x (x0)图象上,y1=1,y2= 1 2 ,y3= 1 3 yn= 1 n , S1= 1 2 1(y1-y2)= 1 2 1(1- 1 2 )= 1 2 (1- 1 2 ) ;S2= 1 2 1(y2-y3)= 1 2 ( 11 23 ) ; S3= 1 2 1(y3-y4)= 1 2 ( 11 34 ) ;Sn= 1 11 21nn () , S1+S2+S3+Sn= 1 2 (1- 11111 22334 + 11 1nn )= 22 n n 故答案为 22 n

42、 n 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题,熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是 解答此题的关键 3. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA4,OC3动点P从点C出发,沿射线CB方向 以每秒 2 个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒 1 个单位长度的速 度运动设点P、Q的运动时间为t秒 (1)当t2 秒时,求 tanQPA的值; (2)当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM2AM时,求t的值; (3)连结CQ,当点P,Q在运动过程中,记CQPV与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系 式; (4)直接写出OAB的角平

43、分线经过CQPV边上中点时的t值 【答案】 (1) 2 3 ; (2)3ts; (3) 3 02 24 24 4 3 2 42 4 tt St t t t t ; (4)1s或5s或 5 . 3 s 【解析】 【分析】 (1)当t2s时,可知P与点B重合,在 RtABQ中可求得 tanQPA的值; (2)用t可表示出BP和AQ的长,由PBMQAM可得到关于t的方程,可求得t的值; (3)当点Q在线段OA上时,SSCPQ;当点Q在线段OA上,且点P在线段CB的延长线上时,由相似三角 形的性质可用t表示出AM的长,由SS四边形BCQMS矩形OABCSCOQSAMQ,可求得S与t的关系式;当点Q在

44、OA的延长线上时,设CQ交AB于点M,利用AQMBCM可用t表示出AM,从而可表示出BM,SSCBM, 可求得答案 (4)先利用待定系数法求出直线AD解析式,再由C(0,3) ,P(2t,3) ,Q(t,0)知CP的中点坐标为(t, 3) ,CQ中点坐标为( 2 t , 3 2 ) ,PQ中点坐标为( 3 2 t, 3 2 ) ,继而分别代入计算可得 【详解】解: (1)当t2s时,则CP224BC,即点P与点B重合,OQ2,如图 1, AQOAOQ422,且APOC3,tanQPA 2 3 AQ AP ; (2)当线段PQ与线段AB相交于点M,则可知点Q在线段OA上,点P在线段CB的延长线上

45、,如图 2, 则CP2t,OQt,BPPCCB2t4,AQOAOQ4t,PCOA,PBMQAM, BPBM AQAM , 且BM2AM, 24 4 t t 2, 解得t3, 当线段PQ与线段AB相交于点M, 且BM2AM时, t为 3s; (3)当 0t2 时,如图 3, 由题意可知CP2t, SSPCQ 1 2 2t33t; 当 2t4 时,设PQ交AB于点M,如图 4, 由题意可知PC2t,OQt,则BP2t4,AQ4t, 同(3)可得 24 4 BPBMt AQAMt ,BM 24 4 t t AM,3AM 24 4 t t AM, 解得AM 123t t , SS四边形BCQMS矩形O

46、ABCSCOQSAMQ34 1 2 t3 1 2 (4t) 123t t 24 24 t 3t; 当t4 时,设CQ与AB交于点M,如图 5, 由题意可知OQt,AQt4,ABOC, AMAQ OCOQ ,即 4 3 AMt t , 解得AM 312t t ,BM3 312t t 12 t , SSBCM 11224 4 2tt ;综上可知 3 02 24 243 24 24 4 tt Stt t t t (4)如图 6, OAD 1 2 OAB45,OA4,D(0,4) , 设直线AD解析式为ykx+b, 代入,得: 40 4 kb b ,解得 1 4 k b , 直线AD解析式为yx+4,

47、 由题意知C(0,3) ,P(2t,3) ,Q(t,0) , CP的中点坐标为(t,3) ,CQ中点坐标为( 2 t , 3 2 ) ,PQ中点坐标为( 3 2 t, 3 2 ) , 若直线AD经过CP中点,则t+43,解得t1; 若直线AD经过CQ中点,则 2 t +4 3 2 ,解得t5; 若直线AD经过PQ中点,则 3 2 t+4 3 2 ,解得t 5 3 ; 综上,OAB的角平分线经过CQP边上中点时的t值为 1 或 5 或 5 3 【点睛】本题为二次函数与四边形的综合应用,涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、 三角函数的定义、方程思想及分类讨论思想等知识在(1)中确定 P、B 重合是解题的关键,在(2)中由 相似三角形的性质得到关于 t 的方程是解题的关键,在(3)中确定出 P、Q 的位置,从而确定出 S 为哪一 部分图形的面积是解题的关键本题为“运动型”问题,用 t 和速度表示出相应线段的长度,化“动”为 “静”是解这类问题的一般思路本题考查知识点较多,综合性较强,特别是最后一问,情况较多,难度 较大 二、巩固提高 1.九章算术是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺问 折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10 尺) ,一阵风将

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