1、中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（2121） 一、一、例题分析例题分析 1. 关于二次函数 y=2x 2mx+m2，以下结论： 抛物线交 x 轴有交点； 不论 m 取何值，抛物线总经过点（1，0）； 若 m6，抛物线交 x 轴于 A、B 两点，则 AB1； 抛物线的顶点在 y=2（x1） 2图象上其中正确的序号是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，边长为 12正方形 ABCD，点 P 是对角线 BD 上一动点，E 在边 CD 上，EC3，则 PC+PE 的最小值 是_ 3. 在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax 22ax3a（a0）图象与 x轴交于点A，B（点A在点B的左
2、 侧），与y轴交于点C，顶点为D （1）求点A，B坐标； （2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM 求二次函数解析式； 当t2xt时，二次函数有最大值 5，求t值； 若直线x=4 与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将 图象P沿直线x=4 翻折，得到图象Q，又过点（10，4）的直线y=kx+b与图象P，图象Q都相交，且只有 两个交点，求b的取值范围 二、巩固提高 1. 如图，O中，弧 AB 等于弧 AC，75ACB，2BC ，则阴影部分的面积是( ) A. 2 2 3 B. 2 23 3 C. 2 4 3 D. 4 2 3 2. 如图，在平面直
3、角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆O1、O2 、O3组成一条平滑的曲线，点P从 原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 2 个单位长度，则第 2020 秒时，点P的坐标是 _ 3. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形 理解： 1如图 1， 点A B C， ，在O上，ABC的平分线交O于点D， 连接ADCD，求证： 四边形ABCD 是等补四边形； 探究： 2如图 2，在等补四边形ABCD中AB AD，连接ACAC，是否平分?BCD请说明理由 运用： 3如图 3，在等补四边形ABCD中，ABAD，其外角EAD的平分线交CD的延长线于点 105FCDAF， ，求DF的长
4、 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（2222） 一、例题分析 1BDE和FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内若求五边形 DECHF的周长，则只需知道（ ） AABC的周长 BAFH的周长 C四边形FBGH的周长 D四边形ADEC的周长 2如图，在ABC中，ACB90，点D为AB边的中点，连接CD，若BC4，CD3，则 cosDCB的值 为 3如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出 发以 2 厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以 3 厘米/秒的速度沿方向向 点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动
5、的时间 为 秒 （1）求边的长； （2）当 为何值时，与相互平分； （3）连结设的面积为探求与 的函数关系式，求 为何值时，有最大值？最大值是多少？ 二、巩固提高 1如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，它的对称 轴为直线 x1则下列选项中正确的是（ ） A. abc0B.4acb 20 C. ca0 D. 当 xn22（n 为实数）时，yc 2菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的边长为 3如图，二次函数yax 2+bx+x 的图象过O（0，0） A（1，0）、B（3 2， 3 2 ）三点 ABCD906DCA
6、BAAD ， ，4DC BC3 4i ，PA ABBQBBCD D t BC tPC BQ PQ，PBQy，ytty （1）求二次函数的解析式； （2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD 的解析式； （3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQx轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长 最大时，求点P的坐标 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（2323） 一、例题分析 1. 如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EFBC，交AD于点F，过点E 作EGAB，交BC于点G，则下列式子一定正确
7、的是（ ） A = B = C = D = 2. 如图，ABC内接于O，MHBC于点H，若AC10，AH8，O的半径为 7，则AB 3.如图，在 RtABC中，ACB90，ACBC，点D、E分别在AC、BC边上，DCEC，连接DE、AE、BD， 点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN （1）BE与MN的数量关系是 （2）将DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想， 并利用图或图进行证明 二、巩固提高 1如图，已知抛物线yax 2+bx+c 的对称轴为直线x1给出下列结论： ac0；b 24ac0；2ab0；ab+c0 其中，正确
8、的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2. 我国古代数学名著 九章算术 上有这样一个问题： “今有醇酒一斗， 直钱五十； 行酒一斗， 直钱一十 今 将钱三十，得酒二斗问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1 斗，价值 50 钱；行酒（劣 质酒）1 斗，价值 10 钱现用 30 钱，买得 2 斗酒问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 3.如图， 在平面直角坐标系中， 直线 1 2 2 yx 与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 抛物线 2 2 3 yxbxc 过点B且与直线相交于另一点 5 3 , 2 4 C （1）求抛物线的解
9、析式； （2）点P是抛物线上的一动点，当PAOBAO时，求点P的坐标； （3）点 5 ( ,0)0 2 N nn 在x轴的正半轴上，点 (0,)Mm是y轴正半轴上的一动点，且满足 90MNC 求m与n之间的函数关系式； 当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有 2 个？ 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（2424） 一、例题分析 1. 如图，在半径为 5 的O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的 恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的 长为（ ） A5 3 B5 2 C5 4 D5 6 2小慧用图 1 中的一副七巧板拼出如图 2 所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为 4dm，则
10、图 2 中h 的值为 dm 3.如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线yax 2+bx2 交 x轴于A，B两点， 交y轴于点C， 且OA2OC8OB 点 P是第三象限内抛物线上的一动点 （1）求此抛物线的表达式； （2）若PCAB，求点P的坐标； （3）连接AC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标 二、巩固提高 1. 把函数y（x1） 2+2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的的数解析式为（ ） Ayx 2+2 By（x1）2+1 Cy（x2） 2+2 Dy（x1） 23 2如图，在ABC中，已知AB2，ADBC，垂足为D，BD2CD若E是AD的中点，则EC 3.如图 1，ABC和DC
11、E都是等边三角形 探究发现 （1）BCD与ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，ADC30，AD3，CD2，求BD的长 （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图 2），且ABC和DCE的边长分别为 1 和 2，求ACD的面积及 AD的长 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（2525） 一、例题分析 1.如图，在半径为 3 的O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与BD交于点E若E是BD的中点， 则AC的长是（ ） A5 23 B3 3 C3 2 D4 2 2如图，在 RtABC中，ACB90，CD为中线，延长CB
12、至点E，使BEBC，连结DE，F为DE中点， 连结BF若AC8，BC6，则BF的长为 3如图，直线 210yx 分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线 2 yxbxc经过A， C两点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D 是直线 AB 下方的抛物线上的一点，且ABD的面积为 45 2 ，求点 D 的坐标； （3）点 P 为抛物线上一点，若APB是以AB为直角边的直角三角形，求点 P 到抛物线的对称轴的距离 二、巩固提高 1 如图所示， 等腰ABC中， 点D，E分别在腰AB，AC上， 添加下列条件， 不能判定ABEACD的是 （ ） AADAE BBECD CADCAE
13、B DDCBEBC 2 如图， 在ABC中，ABAC， 点A在反比例函数y= （k0，x0） 的图象上， 点B，C在x轴上，OC= 1 5OB， 延长AC 交y轴于点D，连接BD，若BCD的面积等于 1，则k的值为 3.在ABC 中.BC 边的长为 x,BC 边上的高为 y,ABC 的面积为 2 (1)y 关于 x 的函数关系式是_， x 的取值范围是_； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)将直线 y=-x+3 向上平移 a(a0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时 a 的值 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（2121） 一、例题分析 1. 关于二次
14、函数 y=2x 2mx+m2，以下结论： 抛物线交 x 轴有交点； 不论 m 取何值，抛物线总经过点（1，0）； 若 m6，抛物线交 x 轴于 A、B 两点，则 AB1； 抛物线的顶点在 y=2（x1） 2图象上其中正确的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 二次函数 y=2x 2-mx+m-2，a=2，b=-m，c=m-2，b2-4ac=（-m）2-8（m-2）=（m-4）20， 则抛物线与 x 轴有交点， 故正确； 当 x=1 时， y=2-m+m-2=0， 不论 m 取何值， 抛物线总经过点 （1， 0） ， 故正确；设 A 的坐标为（x1，0），B（x2，0），令
15、 y=0，得到 2x 2-mx+m-2=0， x1+x2= 2 m ，x1x2= 2 2 m ， AB=|x1-x2|= 2 2 1212 4 422 22 mm xxx xm |， 当 m6 时，可得 m-42，即 4 2 m 1，AB1，故正确； 抛物线的顶点坐标为（ 4 m ， 2 816 8 mm ）， 将 x= 4 m 代入得：y=-2（ 4 m -1） 2=-2（ 2 1 162 mm ）= 2 816 8 mm ， 抛物线的顶点坐标在 y=-2（x-1） 2图象上，故正确，综上，正确的序号有，故选 A. 2. 如图，边长为 12正方形 ABCD，点 P 是对角线 BD 上一动点，
16、E 在边 CD 上，EC3，则 PC+PE 的最小值 是_ 【答案】15 【解析】 【分析】 连接 AC、AE，由正方形的性质可知 A、C 关于直线 BD 对称，则 AE 的长即为 PC+PE 的最小值，再根据勾股定 理求出 AE 的长即可 【详解】解：连接 AC、AE， 四边形 ABCD 是正方形，A、C 关于直线 BD 对称，AE 的长即为 PC+PE 的最小值， CD12，CE3，DE9，在 RtADE 中， AE 22 ADDE 22 129 15，PC+PE 的最小值为 15，故答案为：15 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解
17、题 的关键 3. 在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax 22ax3a（a0）图象与 x轴交于点A，B（点A在点B的左 侧），与y轴交于点C，顶点为D （1）求点A，B坐标； （2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM 求二次函数解析式； 当t2xt时，二次函数有最大值 5，求t值； 若直线x=4 与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将 图象P沿直线x=4 翻折，得到图象Q，又过点（10，4）的直线y=kx+b与图象P，图象Q都相交，且只有 两个交点，求b的取值范围 【答案】（1）A（1，0）、B（3，0）；（2）y=x 22x3；t 值为 0
18、 或 4；1b11 或b=4 【解析】 【分析】 （1）令y0，即：ax 22ax3a0，解得：x1 或 3，即可求解； （2）DM2AM4，即点D的坐标为（1，4），将点D的坐标代入二次函数表达式，即可求解； 分xt和xt2 在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可； 如下图所示，直线m、l、n都是直线ykx+b与图象P、Q都相交，且只有两个交点的临界点，即可求 解 【详解】解：（1）令y=0，即：ax 22ax3a=0，解得：x=1 或 3， 即点A、B的坐标分别为（1，0）、（3，0），函数的对称轴1 2 b x a ； （2）DM=2AM=4，即点D坐标为（1，4）， 将点D的坐
19、标代入二次函数表达式得： 4=a2a3a，解得：a=1，即函数的表达式为：y=x 22x3； 当x=t和x=t2 在对称轴右侧时，函数在x=t处，取得最大值， 即：t 22t3=5，解得：t=2 或 4（舍去 t=2），即t=4； 同理当x=t和x=t2 在对称轴左侧或两侧时，解得：t=0， 故：t值为 0 或 4； 如下图所示，直线m、l、n都是直线y=kx+b与图象P、Q都相交，且只有两个交点的临界点， 点E、R、C坐标分别为（4，5）、（10，4）、（8，3），直线l的表达式：把点E、R的坐标代入直 线y=kx+b得： 54 410, kb kb 解得： 3 2 11, k b 同理可得
20、直线m的表达式为： 1 1 2 yx ， 直线n的表达式为：y=4，故：b的取值范围为：1b11 或b=4 【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）是本题的难点，主要通过作图的方式，通过 数形结合的方法即可解决问题 二、巩固提高 1. 如图，O中，弧 AB 等于弧 AC，75ACB，2BC ，则阴影部分的面积是( ) A. 2 2 3 B. 2 23 3 C. 2 4 3 D. 4 2 3 【答案】A 【解析】 【分析】 连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为 60 度，即可求 出半径的长 2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解； 【详解
21、】解：弧 AB 等于弧 AC，ABAC，75ACB，75ABCACB， 30BAC，60BOC，OBOC，BOC是等边三角形， 2OAOBOCBC，作ADBC，ABAC，BDCD，AD经过圆心O， 3 3 2 ODOB，23AD ， 1 23 2 ABC SBC AD ， 1 3 2 BOC SBC OD ， ABCBOCBOC SSSS 阴影扇形 2 6022 2332 3603 ， 故选 A 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确 ABCBOCBOC SSSS 阴影扇形 是解题的关键 2. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆O1、O2 、O
22、3组成一条平滑的曲线，点P从 原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 2 个单位长度，则第 2020 秒时，点P的坐标是 _ 【答案】(2020,0) 【解析】 【分析】 以时间为点 P 的下标，根据半圆的半径以及部分点 P 的坐标可找出规律“P4n（4n，0），P4n+1（4n+1，1）， P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，-1）”，依此规律即可得出第 2020 秒时，点 P 的坐标 【详解】半径为 1 个单位长度的半圆的周长为 1 2 21=， 点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 2 个单位长度， 故以时间为点 P 的下标 观察，发现规律：P0（0
23、，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-1），P4（4，0），P5（5，1）， P4n（4n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，-1） 2020=4505，第 2020 秒时，点 P 的坐标是（2020，0）故答案为：（2020，0） 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点 P 的变化规律“P4n（4n，0），P4n+1（4n+1， 1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，-1）”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据圆的 半径及时间罗列出部分点 P 的坐标，根据坐标发现规律是关键 3.
24、定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形 理解： 1如图 1， 点A B C， ，在O上，ABC的平分线交O于点D， 连接ADCD，求证： 四边形ABCD 是等补四边形； 探究： 2如图 2，在等补四边形ABCD中AB AD，连接ACAC，是否平分?BCD请说明理由 运用： 3如图 3，在等补四边形ABCD中，ABAD，其外角EAD的平分线交CD的延长线于点 105FCDAF， ，求DF的长 【答案】（1）证明见解析；（2）AD平分BCD，理由见解析；（3） 5 2 5DF . 【解析】 【分析】 1由圆内接四边形互补可知180180ACABCADC ，再证AD CD，即可根据等补
25、 四边形的定义得出结论； 2过点A分别作AEBC于点E，AF垂直CD的延长线于点F， 证A B EA D F， 得到AEAF， 根据角平分线的判定可得出结论； 3连接AC， 先证EADBCD，推出FCAFAD，再证ACFDAF，利用相似三角形对应边的 比相等可求出DF的长 【详解】 1证明：四边形ABCD为圆内接四边形， 180180ACABCADC ，BDABC平分，ABDCBD， ADCD AD CD， 四边形ABCD是等补四边形； 2AD平分BCD，理由如下： 如图 2，过点A分别作AEBC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，则90AEBAFD， 四边形ABCD是等补四边形，180BAD
26、C ，又180ADCADF， BADF，AB AD，ABEADF AAS（），AEAF， AC是BCF的平分线，即AC平分BCD； 3如图 3，连接AC， 四边形ABCD是等补四边形，180BADBCD，又180BADEAD， EADBCD，AF平分EAD， 1 2 FADEAD， 由 2知，AC平分BCD， 1 2 FCABCDFCAFAD，又AFCDFA， ACFDAF， AFCF DFAF 即 510 5 DF DF 5 2 5DF 【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相 似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究
27、，运用等 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（2222） 一、例题分析 1BDE和FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内若求五边形 DECHF的周长，则只需知道（ ） AABC的周长 BAFH的周长 C四边形FBGH的周长 D四边形ADEC的周长 【答案】A 【解析】 证明AFHCHG（AAS） ， 得出AFCH 由题意可知BEFH， 则得出五边形DECHF的周长AB+BC， 则可得出答案GFH为等边三角形，FHGH，FHG60，AHF+GHC120， ABC为等边三角形，ABBCAC，ACBA60，GHC+HGC120，AHFHGC， AFHCHG（
28、AAS），AFCHBDE和FGH是两个全等的等边三角形，BEFH， 五边形DECHF的周长DE+CE+CH+FH+DFBD+CE+AF+BE+DF，（BD+DF+AF）+（CE+BE），AB+BC 只需知道ABC的周长即可 2如图，在ABC中，ACB90，点D为AB边的中点，连接CD，若BC4，CD3，则 cosDCB的值 为 【答案】2 3 【分析】过点D作DEBC，由平行线平分线段定理可得E是BC的中点，再根据三角函数的意义，可求出答 案 【解析】过点D作DEBC，垂足为E，ACB90，DEBC，DEAC， 又点D为AB边的中点，BEEC= 1 2BC2，在 RtDCE 中，cosDCB=
29、 = 2 3 3如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动 点从出发以 2 厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以 3 厘米/秒的速度沿 方向向点运动， 两个动点同时出发， 当其中一个动点到达终点时， 另一个动点也随之停止 设 动点运动的时间为 秒 （1）求边的长； （2）当 为何值时，与相互平分； （3）连结设的面积为探求与 的函数关系式，求 为何值时，有最大值？最大值是多 少？ 【答案】解解析。 【解析】（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形 又 2 分 在中，由勾股定理得： （2）假设与相互平分由则是平行四边形（此时在上） 即解得即秒时，与相互平分 （3）当在上，即时，作于，则 即
30、= ABCD906DCABAAD ， ，4DC BC3 4i ， PAABB Q B BCDD t BC t PC BQ PQ，PBQ y，y tt y CEABEAECD 46AECDCEDA， 3 3 4 4 CE i EB ，812EBAB， RtCEB 22 10BCCEEB PC BQ DCAB，PBCQQCD 310122CQBPtt， 22 5 t ， 22 5 t PCBQ QBC 10 0 3 t QFABFCEQF QFBQ CEBC ， 39 6105 QFtt QF 119 (122 ) 225 PBQ t SPB QFt 2 981 (3) 55 t 当秒时，有最大值
31、为 当在上，即时，= 易知随 的增大而减小故当秒时，有最大值为 综上，当时，有最大值为 二、巩固提高 1如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，它的对称 轴为直线 x1则下列选项中正确的是（ ） A. abc0 B. 4acb 20 C. ca0 D. 当 xn 22（n 为实数）时，yc 【答案】D 【解析】 由图象开口向上， 可知 a0， 与 y 轴的交点在 x 轴的上方， 可知 c0， 根据对称轴方程得到 b0， 于是得到 abc0，故 A 错误；根据一次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交点，得到
32、b2-4ac0，求 得 4ac-b 20，故 B 错误；根据对称轴方程得到 b=2a，当 x=-1 时，y=a-b+c0，于是得到 c-a0，故 C 错 误；当 x=-n 2-2（n 为实数）时，代入解析式得到 y=ax2+bx+c=a（-n2-2）+b（-n2-2）=an2（n2+2）+c，于是 得到 y=an 2（n2+2）+cc，故 D 正确 解：由图象开口向上，可知 a0，与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知 c0， 又对称轴方程为 x1，所以 2 b a 0，所以 b0，abc0，故 A 错误； 一次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，b24ac0
33、，4acb20，故 B 错误； 2 b a 1，b2a，当 x1 时，yab+c0，a2a+c0， ca0，故 C 错误； 当 xn 22（n 为实数）时，yax2+bx+ca（n22）+b（n22）an2（n2+2）+c， 3t PBQ S 2 81 5 厘米 QCD 1014 33 t 11 (122 ) 6 22 PBQ SPB CEt 366t St 10 3 t PBQ S 2 10 36616 3 厘米 3t PBQ S 2 81 5 厘米 a0，n 20，n2+20，yan2（n2+2）+cc，故 D 正确，故选：D 2菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的边长为 【
34、答案】5 【解析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC6，BD8，即可得ACBD，OA= 1 2AC3，OB= 1 2BD 4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长菱形ABCD中，AC6，BD8， ACBD，OA= 1 2AC3，OB= 1 2BD4，AB= 2+ 2 =5 即这个菱形的边长为：5 3如图，二次函数yax 2+bx+x 的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（3 2， 3 2 ）三点 （1）求二次函数的解析式； （2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD 的解析式； （3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，
35、过点P作PQx轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长 最大时，求点P的坐标 【答案】见解析。 【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为 30，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为 60，故设CD 的表达式为：y= 3x+b，而OB中点的坐标为（3 4， 3 4 ），将该点坐标代入CD表达式，即可求解； （3）过点P作y轴额平行线交CD于点H，PH= 3x+3 （23 3 x 223 3 x）= 23 3 x 2 3 3 x+3，即可求解 【解析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得 = 0 + + = 0 3 2 = 9 4
36、 + 3 2 + ，解得 = 23 3 = 23 3 = 0 ， 故抛物线的表达式为：y= 23 3 x 223 3 x； （2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为 30，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为 60， 故设CD的表达式为：y= 3x+b，而OB中点的坐标为（3 4， 3 4 ）， 将该点坐标代入CD表达式并解得：b= 3，故直线CD的表达式为：y= 3x+3； （3）设点P（x，23 3 x 223 3 x），则点Q（x，3x+3）， 则PQ= 3x+3 （23 3 x 223 3 x）= 23 3 x 2 3 3 x+3， 23 3 0，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（
37、1 4， 273 16 ） 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（2323） 一、例题分析 1. 如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EFBC，交AD于点F，过点E 作EGAB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A = B = C = D = 【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可 【解析】EFBC， = ，EGAB， = ， = ，故选：C 2. 如图，ABC内接于O，MHBC于点H，若AC10，AH8，O的半径为 7，则AB 【答案】56 5 【分析】作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到ABD90，DC，证明ABDAHC，根据相
38、似三角形的性质解答即可 【解析】作直径AD，连接BD，AD为直径，ABD90，又AHBC，ABDAHC， 由圆周角定理得，DC，ABDAHC， = ，即 8 = 14 10，解得，AB= 56 5 3.如图，在 RtABC中，ACB90，ACBC，点D、E分别在AC、BC边上，DCEC，连接DE、AE、BD， 点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN （1）BE与MN的数量关系是 （2）将DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想， 并利用图或图进行证明 【答案】见解析。 【分析】（1）如图中，只要证明PMN的等腰直角三角形，再利用
39、三角形的中位线定理即可解决问题 （2）如图中，结论仍然成立连接AD，延长BE交AD于点H由ECBDCA，推出BEAD，DAC EBC，即可推出BHAD， 由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PMBE，PM= 1 2BE， PNAD，PN= 1 2AD， 推出PMPN，MPN90，可得BE2PM2 2 2 MN= 2MN 解：（1）如图中， AMME，APPBPMBE，PM= 1 2BE，BNDN，APPB，PNAD，PN= 1 2AD， ACBC，CDCE，ADBE，PMPN，ACB90，ACBC， PMBC，PNAC，PMPN，PMN的等腰直角三角形，MN= 2PM， MN= 21
40、 2BE，BE= 2MN，故答案为 BE= 2MN （2）如图中，结论仍然成立 理由：连接AD，延长BE交AD于点HABC和CDE是等腰直角三角形， CDCE，CACB，ACBDCE90，ACBACEDCEACE， ACDECB，ECBDCA（AAS），BEAD，DACEBC， AHB180 （HAB+ABH）180（45+HAC+ABH） 180（45+HBC+ABH）1809090，BHAD， M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，PMBE，PM= 1 2BE，PNAD，PN= 1 2AD， PMPN，MPN90BE2PM2 2 2 MN= 2MN 二、巩固提高 1如图，已知抛物线yax
41、 2+bx+c 的对称轴为直线x1给出下列结论： ac0；b 24ac0；2ab0；ab+c0其中，正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点，综合进行判断即可 抛物线开口向下，a0，对称轴为x= 2 =1，因此b0，与y轴交于正半轴，因此c0， 于是有：ac0，因此正确； 由x= 2 =1，得 2a+b0，因此不正确， 抛物线与x轴有两个不同交点，因此b 24ac0，正确， 由对称轴x1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（1，0），因此a b+c0，故正确， 综上所述，正确的结论
42、有， 2. 我国古代数学名著 九章算术 上有这样一个问题： “今有醇酒一斗， 直钱五十； 行酒一斗， 直钱一十 今 将钱三十，得酒二斗问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1 斗，价值 50 钱；行酒（劣 质酒）1 斗，价值 10 钱现用 30 钱，买得 2 斗酒问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 【答案】 + = 2 50 + 10 = 30 【分析】根据“现用 30 钱，买得 2 斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解 【解析】依题意，得： + = 2 50 + 10 = 30故答案为： + = 2 50 + 10 = 3
43、0 3.如图，在平面直角坐标系中，直线 1 2 2 yx 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 2 2 3 yxbxc 过点B且与直线相交于另一点 5 3 , 2 4 C （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，当PAOBAO时，求点P的坐标； （3）点 5 ( ,0)0 2 N nn 在x轴的正半轴上，点(0,)Mm是y轴正半轴上的一动点，且满足 90MNC 求m与n之间的函数关系式； 当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有 2 个？ 【答案】 （1） 2 27 2 36 yxx ； （2） 5 3 , 2 4 或（3， 1 2 ）或（-2，-3）； （3） 2 410
44、33 mnn ； 0m 25 12 【解析】（1）利用一次函数求出 A 和 B 的坐标，结合点 C 坐标，求出二次函数表达式； （2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，当点 P 在 x 轴下方时，AP 与 y 轴交于点 Q，求出 AQ 表达式， 联立二次函数，可得交点坐标，即为点 P； （3）过点 C 作 CDx 轴于点 D，证明MNONCD，可得 MONO NDCD ，整理可得结果； 作以 MC 为直径的圆 E，根据圆 E 与线段 OD 的交点个数来判断 M 的位置，即可得到 m 的取值范围. 解：（1）直线 1 2 2 yx 与x轴交于点A，与y轴交于点B，令 x=0，则
45、 y=2，令 y=0，则 x=4， A（4，0），B（0，2），抛物线 2 2 3 yxbxc 经过 B（0，2）， 5 3 , 2 4 C ， 2 32255 4342 c bc ，解得： 7 6 2 b c ，抛物线的表达式为： 2 27 2 36 yxx ； （2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，满足PAOBAO， 5 3 , 2 4 C ， 5 3 , 2 4 P ， 当点 P 在 x 轴下方时，如图，AP 与 y 轴交于点 Q，PAOBAO，B，Q 关于 x 轴对称， Q（0，-2），又 A（4，0），设直线 AQ 的表达式为 y=px+q，代入， 2 04 q
46、pq ，解得： 1 2 2 p q ，直线 AQ 的表达式为： 1 2 2 yx，联立得： 2 1 2 2 27 2 36 yx yxx ， 解得：x=3 或-2，点 P 的坐标为（3， 1 2 ）或（-2，-3）， 综上，当PAOBAO时，点P的坐标为： 5 3 , 2 4 或（3， 1 2 ）或（-2，-3）； （3）如图，MNC=90，过点 C 作 CDx 轴于点 D，MNO+CND=90，OMN+MNO=90， CND=OMN,又MON=CDN=90，MNONCD， MONO NDCD ，即53 24 mn n ， 整理得： 2 410 33 mnn ； 如图，MNC=90，以 MC 为直径画圆 E， 5 ( ,0)0 2 N nn ， 点 N 在线段 OD 上（不含 O 和 D），即圆 E 与线段 OD 有两个交点（不含 O 和 D）， 点 M 在 y 轴正半轴， 当圆 E 与线段 OD 相切时，有 NE= 1 2 MC，即 NE 2=1 4 MC 2，M（0，m）， 5 3 , 2 4 C ， E（ 5 4 ， 3 82 m ）， 2 3 82 m = 22 153 424 m ，解得：m= 25 12 ， 当点 M 与点
