1、湖北省武汉市湖北省武汉市 2021 年九年级四月调考数学模拟试卷（二）年九年级四月调考数学模拟试卷（二） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1有理数2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 2若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax Bx2 Cx Dx 3下列说法中，正确的是（ ） A “打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件 B某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 C “明天降雨的概率是 50%表示明天有半天都在降雨” D “掷一次骰子，向上一面的数字是 2”是随机事件 4下列图形
2、中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 5如图是由五个完全相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 6中考结束后，李哲，王浩两位同学都被某重点高中理科实验班录取，得知这个高中今年招收五个理科实 验班，那么李哲，王浩分在同一理科实验班的概率是（ ） A B C D 7反比例函数 y（x 0）交等边OAB 于 C、D 两点，边长为 5，OC3BD，则 k 的值（ ） A B C D 8一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数从某时刻开始 4min 内只进水不出 水，从第 4min 到第 24min 内既进水又出水，从第 24mi
3、n 开始只出水不进水，容器内水量 y（单位：L） 与时间 x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中 a 的值是（ ） A32 B34 C36 D38 9如图，AB 为半圆 O 的直径，BCAB 且 BCAB，射线 BD 交半圆 O 的切线于点 E，DFCD 交 AB 于 F，若 AE2BF，DF2，则O 的半径长为（ ） A B4 C D 10观察等式：2+22232；2+22+23242；2+22+23+24252已知按一定规律排列的一组数：250、 251、252、299、2100若 250a，用含 a 的式子表示这组数的和是（ ） A2a22a B2a22a2 C2a2a D2a2+
4、a 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 12疫情期间小隆和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶测量体温（单位：） ，结果分别为 36.2、37.1、36.5、37.1、 36.6，其中中位数是 13计算的结果是 14如图，在ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上两点，AEEFCD，ADF90，BCD63，则 ADE 的大小为 15定义a、b、c为二次函数 yax2+bx+c（a0）的特征数，下面给出特征数为2m，1m，1m的 函数的一些结论：当 m3 时，函数图象的顶点坐标是（，） ；当 m0 时，函数图象截 x 轴 所得的线段长度大于；当
5、m0 时，函数在 x时，y 随 x 的增大而减小；当 m0 时，函数图 象经过同一个点，正确的结论是 16如图，在ABC 中，点 D，E 分别为 AB，AC 边上一点，且 BECD，CDBE若A30，BD1， CE2，则四边形 CEDB 的面积为 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算：a3a5+（3a4）2a2 18 （8 分）如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，CE 与 BF 交于点 G，A1，CEDF，求证：E F 19 （8 分）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了 若干名学生，根据调查数据
6、进行整理，绘制了如下的不完整统计图 请你根据以上的信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，其中最喜爱戏曲的有 人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对 应扇形的圆心角大小是 （2）根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中最喜爱新闻的人数 20 （8 分）以下各图均是由边长为 1 的小正方形组成的网格，图中的点 A、B、C、D 均在格点上 （1）在图中，PC：PB （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 如图，在 AB 上找一点 P，使 AP3 如图，在 BD 上找一点 P，使APBCPD 21 （8 分）如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，点
7、 O 在 AB 上，以 OA 为半径 的O 经过点 D，与 AB 交于点 E （1）求证：BD2BEBA； （2）若 cosB，AE4，求 CD 22 （10 分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次 函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如表： 售价 x（元/件） 50 60 80 周销售量 y（件） 100 80 40 周销售利润 w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ； 该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周
8、销售利润最大，最大利润是 元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（m0） ，物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件， 该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是 1400 元， 求 m 的值 23 （10 分）如图，ABC 中，CACB （1）当点 D 为 AB 上一点，AMDN 如图 1，若点 M、N 分别在 AC、BC 上，ADBD，问：DM 与 DN 有何数量关系？证明你的结论； 如图 2，若，作MDN2，使点 M 在 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上，完成图 2，判断 DM 与 DN 的数量关系，并证明； （2）如图 3，
9、当点 D 为 AC 上的一点，ABDN，CNAB，CD2，AD1，直接写出 ABCN 的积 24 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 C1：yax2+bx1 的最高点为点 D（1，0） ，将 C1左移 1 个 单位，上移 1 个单位得到拋物线 C2，点 P 为 C2的顶点 （1）求抛物线 C 的解析式； （2）若过点 D 的直线 l 与抛物线 C2只有一个交点，求直线 l 的解析式； （3）直线 yx+c 与抛物线 C2交于 D、B 两点，交 y 轴于点 A，连接 AP，过点 B 作 BCAP 于点 C，点 Q为C2上PB之间的一个动点， 连接PQ交BC于点E， 连接BQ并延长交AC于点F
10、， 试说明： FC（AC+EC） 为定值 2021 年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（二）年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷（二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1有理数2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】利用相反数的定义分析得出答案 【解答】解：有理数2020 的相反数是：2020 故选：B 2若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax Bx2 Cx Dx 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，1
11、2x0， 解得 x 故选：D 3下列说法中，正确的是（ ） A “打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件 B某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 C “明天降雨的概率是 50%表示明天有半天都在降雨” D “掷一次骰子，向上一面的数字是 2”是随机事件 【分析】根据概率的意义，事件发生可能性的大小，可得答案 【解答】解：A、打开电视，正在播放湖北新闻节目”是随机事件，故 A 不符合题意； B、某种彩票中奖概率为 10%是指买十张有可能中奖，故 B 不符合题意； C、明天降雨的概率是 50%表示明天有可能降雨” ，故 C 不符合题意； D、 “掷一次骰子，向上一面的数字是 2”
12、是随机事件，故 D 符合题意； 故选：D 4下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意 故选：D 5如图是由五个完全相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中 【解答】解：根据俯视图是从上
13、面看所得到的图形，可知这个几何体的俯视图 C 中的图形， 故选：C 6中考结束后，李哲，王浩两位同学都被某重点高中理科实验班录取，得知这个高中今年招收五个理科实 验班，那么李哲，王浩分在同一理科实验班的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有 25 种等可能结果，其中李哲，王浩分在同一理科实验班的有 5 种结果， 所以李哲，王浩分在同一理科实验班的概率为， 故选：A 7反比例函数 y（x 0）交等边OAB 于 C、D 两点，边长为 5，OC3BD，则 k 的值（ ） A B
14、C D 【分析】过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，设 BDa，则 OC3a，分别表示出点 C、点 D 的坐标，代入函数解析式求出 k，继而可建立方程，解出 a 的值后即可得出 k 的值 【解答】解：过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F， 设 BDa，则 OC3a， 在 RtOCE 中，COE60， 则 OEa，CEa， 则点 C 坐标为（a，a） ， 在 RtBDF 中，BDa，DBF60， 则 BFa，DFa， 则点 D 的坐标为（5+a，a） ， 将点 C 的坐标代入反比例函数解析式可得：ka2， 将点 D 的坐标代入反比例函
15、数解析式可得：kaa2， 则a2aa2， 解得：a11，a20（舍去） ， 故 k 故选：B 8一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数从某时刻开始 4min 内只进水不出 水，从第 4min 到第 24min 内既进水又出水，从第 24min 开始只出水不进水，容器内水量 y（单位：L） 与时间 x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中 a 的值是（ ） A32 B34 C36 D38 【分析】 根据图象可知进水的速度为 5 （L/min） ， 再根据第 16 分钟时容器内水量为 35L 可得出水的速度， 进而得出第 24 分钟时的水量，从而得出 a 的值 【解答】解：
16、由图象可知，进水的速度为：2045（L/min） ， 出水的速度为：5（3520）（164）3.75（L/min） ， 第 24 分钟时的水量为：20+（53.75）（244）45（L） ， a24+453.7536 故选：C 9如图，AB 为半圆 O 的直径，BCAB 且 BCAB，射线 BD 交半圆 O 的切线于点 E，DFCD 交 AB 于 F，若 AE2BF，DF2，则O 的半径长为（ ） A B4 C D 【分析】连接 AD、CF，作 CHBD 于 H，证明ADFBDC，得出，证出ADE BDA，得出，证出 AEAF，得出 BCAB3BF，设 BFx，则 AE2x，ABBC3x，由勾
17、 股定理得出 BEx，CF，由切割线定理得：AE2EDBE， 得出 EDx，求出 BDBEED，证明BCHEBA，得出， 求出 BHx， CHx， 得出 DHBDBHx， 由勾股定理得出 CD2CH2+DH2 x2，CD2+DF2CF2，得出方程x2+（2）2（）2，解得：x，得出 AB3，即 可得出O 的半径长 【解答】解：连接 AD，CF，作 CHBD 于 H，如图所示： AB 是直径， ADB90， ADF+BDF90，DAB+DBA90， BDF+BDC90，CBD+DBA90， ADFBDC，DABCBD， ADFBDC， ， DAE+DAB90，E+DAE90， EDAB， ADE
18、BDA， ， ，即， ABBC， AEAF， AE2BF， BCAB3BF， 设 BFx，则 AE2x，ABBC3x， BEx，CF， 由切割线定理得：AE2EDBE， EDx， BDBEED， CHBD， BHC90，CBH+BCHCBH+ABE， CBHABE， BAE90BHC， BCHEBA， ，即， 解得：BHx，CHx， DHBDBHx， CD2CH2+DH2x2， DFCD， CD2+DF2CF2，即x2+（2）2（）2， 解得：x， AB3， O 的半径长为； 故选：A 10观察等式：2+22232；2+22+23242；2+22+23+24252已知按一定规律排列的一组数：2
19、50、 251、252、299、2100若 250a，用含 a 的式子表示这组数的和是（ ） A2a22a B2a22a2 C2a2a D2a2+a 【分析】由等式：2+22232；2+22+23242；2+22+23+24252，得出规律：2+22+23+2n2n+1 2，那么 250+251+252+299+2100（2+22+23+2100）（2+22+23+249） ，将规律代入计算即可 【解答】解：2+22232； 2+22+23242； 2+22+23+24252； 2+22+23+2n2n+12， 250+251+252+299+2100 （2+22+23+2100）（2+22+
20、23+249） （21012）（2502） 2101250， 250a， 2101（250）222a2， 原式2a2a 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 5 【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可 【解答】解：原式5 故答案为：5 12疫情期间小隆和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶测量体温（单位：） ，结果分别为 36.2、37.1、36.5、37.1、 36.6，其中中位数是 36.6 【分析】将数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可 【解答】解：将数据重新排列为 36.2、36.5、36.6、37.1、37.1
21、， 所以这组数据的中位数为 36.6， 故答案为：36.6 13计算的结果是 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果 【解答】解：原式 故答案为： 14如图，在ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上两点，AEEFCD，ADF90，BCD63，则 ADE 的大小为 21 【分析】 设ADEx， 由等腰三角形的性质和直角三角形得出DAEADEx， DEAFAEEF， 得出 DECD， 证出DCEDEC2x， 由平行四边形的性质得出DCEBCDBCA63x， 得出方程，解方程即可 【解答】解：设ADEx， AEEF，ADF90， DAEADEx，DEAFAEEF， AEE
22、FCD， DECD， DCEDEC2x， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DAEBCAx， DCEBCDBCA63x， 2x63x， 解得：x21， 即ADE21； 故答案为：21 15定义a、b、c为二次函数 yax2+bx+c（a0）的特征数，下面给出特征数为2m，1m，1m的 函数的一些结论：当 m3 时，函数图象的顶点坐标是（，） ；当 m0 时，函数图象截 x 轴 所得的线段长度大于；当 m0 时，函数在 x时，y 随 x 的增大而减小；当 m0 时，函数图 象经过同一个点，正确的结论是 【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的答案 【解答】解：把 m3 代入
23、，得 a6，b4，c2，函数解析式为 y6x2+4x+2，利用顶点公式可 以求出顶点为（，） ，正确； 函数 y2mx2+（1m）x+（1m）与 x 轴两交点坐标为（1，0） ， （，0） ， 当 m0 时，1（）+，正确； 当 m0 时，函数 y2mx2+（1m）x+（1m）开口向下，对称轴 x， x 可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，错误； y2mx2+（1m）x+（1m）m（2x2x1）+x1，若使函数图象经过同一点，m0 时，应使 2x2x10， 可得 x11， x2， 当 x1 时， y0， 当 x时， y， 则函数一定经过点 （1， 0）和（，） ，正确 故答案为： 16如图，在
24、ABC 中，点 D，E 分别为 AB，AC 边上一点，且 BECD，CDBE若A30，BD1， CE2，则四边形 CEDB 的面积为 【分析】作辅助线 CKAB，EHAB，由两直线垂直得BMDCKDBHE90，角角边证明 CKDBHE，其性质得 DKEH；设 CKx，根据直角三角的性质，线段的和差得 AK，EH DKx，BH4+x；建立等量关系 4+xx，求得 CK，DK，最后由勾 股定理，面积公式求得四边形 CEDB 的面积为 【解答】解：分别过点 C、E 两点作 CKAB，EHAB 交 AB 于点 K 和点 H，设 CKx，如图所示： CDBE， BMD90， EBH+CDB90， 同理可
25、得：EBH+BEH90， CDBBEH， 又CKAB，EHAB， CKDBHE90， 在CKD 和BHE 中， ， CKDBHE（AAS） ， DKEH， 又RtAKC 中，A30， AC2x，AK， 又ACAE+EC，CE2， AE2x2， EHDKx， 又DKDB+BK，BD1， BKx1， 又AKAH+BH+BK， BH4+x， 又BHCK， 4+xx， 解得：x， DKx， 在 RtCDK 中，由勾股定理得： CD2CK2+DK2， 故答案为 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17 （8 分）计算：a3a5+（3a4）2a2 【分析】原式中括号中利用同底数
26、幂的乘法，积的乘方与幂的乘方运算法则计算，合并后利用单项式除 以单项式法则计算即可求出值 【解答】解：原式（a8+9a8）a2 10a8a2 10a6 18 （8 分）如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，CE 与 BF 交于点 G，A1，CEDF，求证：E F 【分析】根据平行线的性质可得ACED，又A1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可 得出EF 【解答】证明一：A1， AEBF， 2E CEDF， 2F， EF 证明二：CEDF， ACED， A1， 180ACEA180D1， 又E180ACEA，F180D1， EF 19 （8 分）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲
27、五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了 若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图 请你根据以上的信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 50 名学生，其中最喜爱戏曲的有 3 人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应 扇形的圆心角大小是 72 （2）根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中最喜爱新闻的人数 【分析】 （1）由“新闻”类人数及百分比可得总人数，由总人数及“戏曲”类百分比可得其人数，求出 “体育”类所占百分比，再乘以 360即可； （2）用样本中“新闻”类人数所占百分比乘以总人数 2000 即可 【解答】解： （1）本次共调查学生：48%50（人） ，最喜爱戏曲的
28、人数为：506%3（人） ； “娱乐”类人数占被调查人数的百分比为：100%36%， “体育”类人数占被调查人数的百分比为：18%30%36%6%20%， 在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是 36020%72； 故答案为：50，3，72 （2）20008%160（人） ， 答：估计该校 2000 名学生中最喜爱新闻的人数约有 160 人 20 （8 分）以下各图均是由边长为 1 的小正方形组成的网格，图中的点 A、B、C、D 均在格点上 （1）在图中，PC：PB 1：3 （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 如图，在 AB 上找一点 P，使 AP3 如图，在 B
29、D 上找一点 P，使APBCPD 【分析】 （1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论； （2）根据勾股定理得 AB 的长为 5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点 P； 作点 A 的对称点 A，连接 AC 与 BD 的交点即为要找的点 P，使APBCPD 【解答】解： （1）图 1 中， ABCD， ， 故答案为 1：3 （2） 如图 2 所示，点 P 即为所要找的点； 如图 3 所示，作点 A 的对称点 A， 连接 AC，交 BD 于点 P， 点 P 即为所要找的点， ABCD， APBCPD 21 （8 分）如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 O
30、在 AB 上，以 OA 为半径 的O 经过点 D，与 AB 交于点 E （1）求证：BD2BEBA； （2）若 cosB，AE4，求 CD 【分析】 （1）连接 OD，如图，证明2BAD，加上DBEABD，则根据相似三角形的判定方法 可判定BDEBAD，然后利用相似比可得到结论； （2）先在 RtBOD 中利用余弦的定义得到 cosB，设 BD2x，则 BO3x，利用勾股定 理计算出 ODx，所以 x2，则 BD4，BO6，然后根据平行线分线段成比例定理计算 CD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图， AD 平分BAC， 4BAD， OAOD， OAD1， 14， ACOD， ODB
31、C90， 即3+290， AE 为直径， ADE90，即1+390， 12， 2BAD， 而DBEABD， BDEBAD， BD：BABE：BD， BD2BEBA； （2）AE4， OD2， 在 RtBOD 中，cosB， 设 BD2x，则 BO3x， ODx， x2， BD4，BO6， ODAC， ，即， CD 22 （10 分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次 函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如表： 售价 x（元/件） 50 60 80 周销售量 y（件） 100 80 40 周销售利润 w（元） 1000 1
32、600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ； 该商品进价是 40 元/件；当售价是 70 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 1800 元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（m0） ，物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件， 该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是 1400 元， 求 m 的值 【分析】 （1）依题意设 ykx+b，解方程组即可得到结论； 该商品进价是 50100010040，设每周获得利润 wax2+bx+c：解方程组即可得到结论；
33、 （2）根据题意得，w（x40m） （2x+200）2x2+（280+2m）x800200m，把 x65，w1400 代入函数解析式，解方程即可得到结论 【解答】解： （1）依题意设 ykx+b， 则有 解得： 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y2x+200； 该商品进价是 50100010040， 设每周获得利润 wax2+bx+c： 则有， 解得：， w2x2+280 x80002（x70）2+1800， 当售价是 70 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 1800 元； 故答案为：40，70，1800； （2） 根据题意得， w （x40m） （2x+200） 2x2+ （280+
34、2m） x8000200m2 （x） 2+ m260m+1800， 20， 抛物线的开口向下， x65，w 随 x 的增大而增大， 当 x65 时，w最大1400， 即 14002652+（280+2m）658000200m， 解得：m5 23 （10 分）如图，ABC 中，CACB （1）当点 D 为 AB 上一点，AMDN 如图 1，若点 M、N 分别在 AC、BC 上，ADBD，问：DM 与 DN 有何数量关系？证明你的结论； 如图 2，若，作MDN2，使点 M 在 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上，完成图 2，判断 DM 与 DN 的数量关系，并证明； （2）如图 3，当点 D
35、为 AC 上的一点，ABDN，CNAB，CD2，AD1，直接写出 ABCN 的积 【分析】 （1）分 DMAC，DNBC 和 DM、AC 不垂直，DN、BC 不垂直两种情况，根据全等三角形 的性质证明结论； 过 D 作 DPAC 于 P，DQBC 于 Q，分别证明DPMDQN 和APDBQD，根据相似三角 形的性质解答； （2）连接 BN，证明ABDCBN，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案 【解答】解： （1）DMDN， 理由如下：当 DMAC，DNBC 时， CACB， AB， 在ADM 和BDN 中， ， ADMBDN（AAS） ， DMDN； 当 DM、AC 不垂直，DN
36、、BC 不垂直时， 如图 1，过 D 作 DPAC 于 P，DQBC 于 Q，则 DPDQ， 在四边形 CPDQ 中，DPCDQC90， PDQ+PCQ180； PCQ+2A180， PDQMDN2A； PDMQDN， 在PDM 和QDN 中， ， PDMQDN（ASA） ， DMDN； 完成图 2，如图 2 所示， 过 D 作 DPAC 于 P，DQBC 于 Q， A+ADP90，B+QDB90， A+ADP+B+QDB180， 2A180ADPQDB， PDQ2A，又MDN2A， PDQMDN， PDMNDQ，又DPMDQN90， DPMDQN， ， AB，DPADQB90， APDBQD
37、， ， ， DN4DM； （2）连接 BN， CDBA+ABDCDN+BDN，BDNA， CDNABD， CNAB， BCNABC，又CABCBA， BCNBDNA， 点 C、D、B、N 四点共圆， CDNCBN， CBNABD，BCNA， ABDCBN， ， ABCNADBC3 24 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 C1：yax2+bx1 的最高点为点 D（1，0） ，将 C1左移 1 个 单位，上移 1 个单位得到拋物线 C2，点 P 为 C2的顶点 （1）求抛物线 C 的解析式； （2）若过点 D 的直线 l 与抛物线 C2只有一个交点，求直线 l 的解析式； （3）直线 yx+
38、c 与抛物线 C2交于 D、B 两点，交 y 轴于点 A，连接 AP，过点 B 作 BCAP 于点 C，点 Q为C2上PB之间的一个动点， 连接PQ交BC于点E， 连接BQ并延长交AC于点F， 试说明： FC（AC+EC） 为定值 【分析】 （1）利用抛物线的顶点坐标公式，求出 a、b； （2）利用抛物线的平移性质得出抛物线 C2的解析式，设出直线 AB 的解析式，联立两函数解析式得出 一元二次方程，用0 求出 k 的值，即可得到结论； （3）由 QMCE，得PQMPEC，利用相似比得 FC，已知 AC4，再计算 FC （AC+EC）为定值 【解答】解： （1）抛物线 C1：yax2+bx1
39、的最高点为点 D（1，0） ， ， ， 抛物线 C1：yx22x1， （2）由（1）知，抛物线 C1：yx22x1（x+1）2， 将 C1向左移 1 个单位，上移 1 一个单位得到抛物线 C2， y（x+2）2+1x24x3， 设过点 D（1，0）的直线的解析式为 ykx+b， k+b0， bk， 过点 D（1，0）的直线的解析式为：ykx+k， 抛物线 C2与过点 D 的直线只有一个交点， 联立解得， x2+（k+4）x+（k+3）0， （k+4）24（k+3）0， k2， 过点 D 的直线的解析式为 y2x+2， （3）如图， 直线 yx+c 与抛物线 C2交于点 D、B 两点，且 D（1
40、，0） ， c1， 直线 AB 的解析式为 yx+1， A（0，1） ， 抛物线 C2：y（x+2）2+1， 顶点 P（2，1） ， ACx 轴， yx24x3， 联立得，B（4，3） ， 过点 Q 作 QMAC 于点 M，过点 Q 作 QNBC 于点 N， BCAP， 四边形 CNQM 是矩形， QNAC，QMBC， C（4，1） ， 设点 Q 的坐标为（t，t24t3） ， 则 QMCN（t+2）2， MCQNt+4， PM2t， PC2，BNt24t，BC4， QMCE， PQMPEC， ， 即， EC2（t+2） ， QNFC， ， ， FC， AC4， FC（AC+EC）|42（t+2）|8， 即 FC （AC+EC）为定值 8
