1、第八章第八章 单元测试卷单元测试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题中只有一项符合题目要求) 1设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题错误的是( ) A若 a，b，则 ab B若 a，ba，b，则 C若 a，b，则 ab D若 a，a，则 答案 D 解析 由题意可得 A，B，C 选项显然正确，对于选项 D：当 ， 相交，且 a 与 ， 的交线平行时， 有 a，a，但此时 与 不平行故选 D. 2如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是 ( ) AMN 与 CC1垂直 BMN
2、 与 AC 垂直 CMN 与 BD 平行 DMN 与 A1B1平行 答案 D 解析 连接 C1D，BD.N 是 D1C 的中点，N 是 C1D 的中点，MNBD.又CC1BD，CC1 MN，故 A，C 正确ACBD，MNBD，MNAC，故 B 正确，故选 D. 3用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为( ) A.8 3 B.8 2 3 C8 2 D.32 3 答案 B 解析 S圆r21r1，而截面圆圆心与球心的距离 d1，球的半径为 R r2d2 2. V4 3R 38 2 3 ，故选 B. 4某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积
3、为( ) A4 B2 2 C.20 3 D8 答案 D 解析 由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为 2.HD3，BF1，将 相同的两个几何体放在一起，构成一个高为 4 的长方体，所以该几何体的体积为1 22248. 5.如图所示，正四棱锥 PABCD 的底面积为 3，体积为 2 2 ，E 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成 的角为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案 C 解析 连接 AC，BD 交于点 O，连接 OE，易得 OEPA. 所求角为BEO. 由所给条件易得 OB 6 2 ，OE1 2PA 2 2 ，BE 2. cosOEB1 2
4、，OEB60 ，选 C. 6直三棱柱 ABCA1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D 为 AC 的中点，则下列命题是假命题的 是( ) AAB1平面 BDC1 BA1C平面 BDC1 C直三棱柱的体积 V4 D直三棱柱的外接球的表面积为 4 3 答案 D 解析 由三视图可知， 直三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 B1C1CB 是边长为 2 的正方形， 底面 ABC 是等腰 直角三角形，ABBC，ABBC2.连接 B1C 交 BC1于点 O，连接 AB1，OD.在CAB1中，O，D 分别是 B1C，AC 的中点，ODAB1，AB1平面 BDC1.故 A 正确 直三棱柱 ABCA1B1C1中，A
5、A1平面 ABC， AA1BD.又 ABBC2，D 为 AC 的中点， BDAC，BD平面 AA1C1C. BDA1C.又 A1B1B1C1，A1B1B1B， A1B1平面 B1C1CB，A1B1BC1. BC1B1C，且 A1B1B1CB1，BC1平面 A1B1C. BC1A1C，A1C平面 BDC1. 故 B 正确VSABCC1C1 22224，C 正确 此直三棱柱的外接球的半径为 3，其表面积为 12，D 错误故选 D. 7在平面四边形 ABCD 中，ADAB 2，CDCB 5，且 ADAB，现将ABD 沿着对角线 BD 翻折成ABD，则在ABD 折起至转到平面 BCD 内的过程中，直线
6、 AC 与平面 BCD 所成的最大角 的正切值为( ) A1 B.1 2 C. 3 3 D. 3 答案 C 解析 如图所示，OA1，OC2.当 AC 与圆相切时，直线 AC 与平面 BCD 所成的角最大，最大 角为 30 ，其正切值为 3 3 .故选 C. 8一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面 积为( ) A. 53 3 2 3 2 1 B2 53 33 2 1 C. 53 3 2 3 2 D. 53 3 2 21 答案 A 解析 还原为直观图如图所示，圆锥的高为 2，底面半径为 2，圆锥的母线长为 6，故该几何体的表 面积为 S1 22 5
7、1 22 2 3 4 6( 2) 23 4 1 221 5 3 3 2 3 2 1. 9二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB. 已知 AB4，AC6，BD8，CD2 17，则该二面角的大小为( ) A150 B45 C60 D120 答案 C 解析 由条件，知CA AB 0，AB BD 0， CD CA AB BD . |CD |2|CA |2|AB |2|BD |22CA AB 2AB BD 2CA BD 624282268cosCA ，BD (2 17)2.cosCA ，BD 1 2， CA ，BD 120 ，二面角的大小为 60
8、 ，故选 C. 10已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积 是( ) A28836 B60 C28872 D28818 答案 A 解析 将几何体的三视图转化为直观图 此几何体下面为长方体上面为半圆柱，根据三视图所标数据，可得 V长方体686288， V半圆柱1 23 2836. 此几何体的体积为 V28836. 11在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 BB1中点，G 是 DD1中点，F 是 BC 上一点且 FB1 4BC， 则 GB 与 EF 所成的角为( ) A30 B120 C60 D90 答案 D 解析 方法一：连 D1E，D1
9、F，解三角形 D1EF 即可 方法二：如图建立直角坐标系 Dxyz， 设 DA1，由已知条件，得 G(0,0，1 2)，B(1,1,0)，E(1,1， 1 2)，F( 3 4，1,0)，GB (1,1，1 2)，EF (1 4，0， 1 2) cosGB ，EF GB EF |GB |EF | 0，则GB EF .故选 D. 12已知正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 1，点 P 在线段 BD1上，当APC 最大时，三棱锥 PABC 的体积为( ) A. 1 24 B. 1 18 C.1 9 D. 1 12 答案 B 解析 以 B 为坐标原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，BB1为
10、z 轴建立空间直角坐标系，设BP BD1 ，可 得 P(，)，再由 cosAPC AP CP |AP |CP | 可求得当 1 3时，APC 最大，故 VPABC 1 3 1 211 1 3 1 18. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13已知四个命题： 若直线 l平面 ，则直线 l 的垂线必平行于平面 ； 若直线 l 与平面 相交，则有且只有一个平面经过直线 l 与平面 垂直； 若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥； 若四棱柱的任意两条对角线相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体 其中正确的命题是_ 答案 解
11、析 正确，如右图，A1C 与 B1D 互相平分，则四边形 A1B1CD 是平行四边形，同理四边形 ABC1D1 是平行四边形，则 A1B1綊 AB 綊 CD，因此四边形 ABCD 是平行四边形，进而可得这个四棱柱为平行六面 体 14(2013 江苏)如图所示，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1的中点，设三 棱锥 FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1V2_. 答案 124 解析 由题意可知点 F 到面 ABC 的距离与点 A1到面 ABC 的距离之比为 12，SADESABC14. 因此 V1V2 1 3AF SAE
12、D 2AF SABC124. 15已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，PC 两两相互垂直， 则球心到截面 ABC 的距离为_ 答案 3 3 解析 正三棱锥 PABC 可看作由正方体 PADCBEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥 PABC 的外 接球的直径，且 PF平面 ABC. 设正方体棱长为 a，则 3a212，a2，ABACBC2 2. SABC1 22 22 2 3 2 2 3. 由 VPABCVBPAC，得1 3 h SABC 1 3 1 2222，所以 h 2 3 3 ，因此球心到平面 ABC 的距离为 3 3 . 16.如图所示是
13、一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E，F，分别为 PA，PD 的中点，在此 几何体中，给出下面四个结论： 直线 BE 与直线 CF 异面； 直线 BE 与直线 AF 异面； 直线 EF平面 PBC； 平面 BCE平面 PAD. 其中正确的有_个 答案 2 解析 将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为 E，F 分别为 PA，PD 的中点，所以 EFADBC， 即直线 BE 与 CF 共面，错；因为 B平面 PAD，E平面 PAD，EAF，所以 BE 与 AF 是异面直线，正 确；因为 EFADBC，EF平面 PBC，BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC，正确；平面 PAD 与平
14、面 BCE 不一定垂直，错 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)右图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，ECPD， 且 PDAD2EC2. (1)请画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥 BCEPD 的体积 答案 (1)略 (2)2 解析 (1)该组合体的三视图如右图所示 (2)因为 PD平面 ABCD，PD平面 PDCE， 所以平面 PDCE平面 ABCD. 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 BCCD，且 BCDCAD2. 又因为平面 PDCE平面 ABCDCD，BC平面 ABC
15、D， 所以 BC平面 PDCE. 因为 PD平面 ABCD，DC平面 ABCD， 所以 PDDC. 又因为 ECPD，PD2，EC1， 所以四边形 PDCE 为一个直角梯形，其面积 S梯形PDCE1 2(PDEC)DC 1 2323. 所以四棱锥 BCEPD 的体积 VBCEPD1 3S 梯形PDCEBC1 3322. 18(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC45 ， ADAC1，O 为 AC 的中点，PO平面 ABCD，PO2，M 为 PD 的中点 (1)证明：PB平面 ACM； (2)证明：AD平面 PAC； (3)求直线 AM
16、与平面 ABCD 所成角的正切值 答案 (1)略 (2)略 (3)4 5 5 解析 (1)连接 BD，MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点又 M 为 PD 的中点，所以 PBMO.因为 PB平面 ACM，MO平面 ACM，所以 PB平面 ACM. (2)因为ADC45 ，且 ADAC1， 所以DAC90 ，即 ADAC.又 PO平面 ABCD， AD平面 ABCD，所以 POAD.而 ACPOO，所以 AD平面 PAC. (3)取 DO 中点 N，连接 MN，AN.因为 M 为 PD 的中点，所以 MNPO，且 MN1 2PO1.由 PO平
17、面 ABCD， 得 MN平面 ABCD， 所以MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角 在 RtDAO 中， AD1， AO1 2，所以 DO 5 2 .从而 AN1 2DO 5 4 .在 RtANM 中，tanMANMN AN 1 5 4 4 5 5 ，即直线 AM 与平 面 ABCD 所成角的正切值为4 5 5 . 19(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形， AB4，PA3，A 点在 PD 上的射影为 G 点，E 点在 AB 上，平面 PEC平面 PCD. (1)求证：AG平面 PEC； (2)求 AE 的长；
18、(3)求二面角 EPCA 的正弦值 答案 (1)略 (2)36 25 (3) 3 2 10 解析 (1)证明：PA平面 ABCD，PACD. 又CDAD，PAADA， CD平面 PAD.CDAG. 又 PDAG，AG平面 PCD. 作 EFPC 于点 F，连接 GF， 平面 PEC平面 PCD， EF平面 PCD.EFAG. 又 AG平面 PEC，EF平面 PEC， AG平面 PEC. (2)解：由(1)知 A，E，F，G 四点共面， 又 AECD，AE平面 PCD，CD平面 PCD， AE平面 PCD. 又平面 AEFG平面 PCDGF，AEGF. 又由(1)知 EFAG， 四边形 AEFG
19、 为平行四边形，AEGF. PA3，AD4，PD5，AG12 5 . 又 PA2PG PD，PG9 5. 又GF CD PG PD，GF 9 54 5 36 25，AE 36 25. (3)解：过 E 作 EOAC 于点 O，连接 OF，易知 EO平面 PAC，又 EFPC，OFPC. EFO 即为二面角 EPCA 的平面角 EOAE sin45 36 25 2 2 18 2 25 ，又 EFAG12 5 ， sinEFOEO EF 18 2 25 5 12 3 2 10 . 20 (本小题满分 12 分)如图所示， BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形， 平面 MCD平面 BCD，
20、AB平面 BCD，AB2 3. (1)求证：AB平面 MCD； (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 答案 (1)略 (2)2 5 5 解析 (1)证明：取 CD 中点 O，因为MCD 为正三角形，所以 MOCD. 由于平面 MCD平面 BCD，所以 MO平面 BCD. 又因为 AB平面 BCD， 所以 ABMO.又 AB平面 MCD，MO平面 MCD， 所以 AB平面 MCD. (2)连接 OB，则 OBCD，又 MO平面 BCD. 取 O 为原点，直线 OC，BO，OM 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示 OBOM 3，则各点坐标分别为 C(1,0,
21、0)，M(0,0， 3)，B(0， 3，0)，A(0， 3，2 3) CM (1,0， 3)，CA (1， 3，2 3) 设平面 ACM 的法向量为 n1(x，y，z)， 由 n1 CM 0， n1 CA 0， 得 x 3z0， x 3y2 3z0， 解得 x 3z，yz，取 z1，得 n1( 3，1,1) 又平面 BCD 的法向量为 n2(0,0,1)， 所以 cosn1，n2 n1 n2 |n1| |n2| 1 5. 设所求二面角为 ，则 sin2 5 5 . 21(本小题满分 12 分) 圆锥 PO 如图所示，图是它的正(主)视图已知圆 O 的直径为 AB，C 是圆周上异于 A，B 的一
22、点， D 为 AC 的中点 (1)求该圆锥的侧面积 S； (2)求证：平面 PAC平面 POD； (3)若CAB60 ，在三棱锥 APBC 中，求点 A 到平面 PBC 的距离 答案 (1) 3 (2)略 (3)2 2 3 解析 (1)由圆锥的正视图可知，圆锥的高 h 2，底面半径 r1，所以其母线长为 l 3，所以圆锥 的侧面积 S1 2l2r 1 2 321 3. (2)证明：因为 AB 是圆 O 的直径，所以 ACBC.又因为 O，D 分别为 AB，AC 的中点，所以 ODBC， 所以 ODAC. 因为 PO平面 ABC，所以 ACPO. 因为 POODO，PO，OD平面 POD，所以
23、AC平面 POD. 因为 AC平面 PAC，所以平面 PAC平面 POD. (3)因为CAB60 ，AB2，所以 BC 3，AC1.所以 SABC 3 2 . 又因为 PO 2，OCOB1，所以 SPBC3 3 4 . 设 A 到平面 PBC 的距离为 h，由于 VPABCVAPBC，得1 3SABC PO 1 3SPBC h，解得 h 2 2 3 . 22(本小题满分 12 分)如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长是 2，侧棱长是 3，D 是 AC 的 中点 (1)求证：B1C平面 A1BD； (2)求二面角 A1BDA 的大小； (3)在线段 AA1上是否存在一点 E，使得平面
24、 B1C1E平面 A1BD？若存在，求出 AE 的长；若不存在， 说明理由 答案 (1)略 (2) 3 (3)存在且 AE 3 3 解析 (1)如图所示，连接 AB1交 A1B 于点 M，连接 B1C，DM. 因为三棱柱 ABCA1B1C1是正三棱柱，所以四边形 AA1B1B 是矩形，所以 M 为 AB1的中点 因为 D 是 AC 的中点，所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线，所以 MDB1C. 因为 MD平面 A1BD，B1C平面 A1BD，所以 B1C平面 A1BD. (2)作 COAB 于点 O，所以 CO平面 ABB1A1，所以在正三棱柱 ABCA1B1C1中建立如图所示的 空间直
25、角坐标系 Oxyz. 因为 AB2，AA1 3，D 是 AC 的中点，所以 A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0， 3)，A1(1， 3，0) 所以 D(1 2，0， 3 2 )，BD (3 2，0， 3 2 )，BA1 (2， 3，0) 设 n(x，y，z)是平面 A1BD 的法向量， 所以 n BD 0， n BA1 0， 即 3 2x 3 2 z0， 2x 3y0. 令 x 3，则 y2，z3. 所以 n( 3，2,3)是平面 A1BD 的一个法向量 由题意可知AA1 (0， 3，0)是平面 ABD 的一个法向量， 所以 cosn，AA1 2 3 4 3 1 2.所以二面角 A1BDA 的大小为 3. (3)设 E(1，y,0)，则C1E (1，y 3， 3)，C1B1 (1,0， 3)设平面 B1C1E 的法向量 n1(x1， y1，z1)， 所以 n1 C1E 0， n C1B1 0， 即 x1y 3y1 3z10， x1 3z10. 令 z1 3，则 x13，y1 6 3y，所以 n1(3， 6 3y， 3) 又 n1 n0，即3 3 12 3y3 30，解得 y 3 3 . 所以存在点 E，使得平面 B1C1E平面 A1BD 且 AE 3 3 .
