2020年湖北省荆门市中考数学模拟试卷(5月份)含答案解析

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资源描述

1、2020 年湖北省荆门市中考数学模拟试卷(年湖北省荆门市中考数学模拟试卷(5 月份)月份) 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 36 分)分) 1|的相反数的倒数是( ) A B C2 D2 2一种新病毒的半径仅有 0.000009 毫米,将 0.000009 用科学记数法表示应是( ) A910 6 B910 5 C0.910 6 D0.910 5 3选择计算(4x2+3y) (4x2+3y)的最佳方法是( ) A运用多项式乘多项式法则 B运用平方差公式 C运用单项式乘多项式法则 D运用完全平方公式 4如图,BCD95,ABDE,则 与 满足( )

2、 A+95 B95 C+85 D85 5图 2 是图 1 中长方体的三视图,若用 S 表示面积,S主x2+2x,S左x2+x,则 S俯( ) Ax2+3x+2 Bx2+2 Cx2+2x+1 D2x2+3x 6如图,在 RtABC 中,B90,以点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AB、AC 于点 D,E, 再分别以点 D、E 为圆心,大于DE 为半径画弧,两弧交于点 F,作射线 AF 交边 BC 于点 G,若 BG 1,AC4,则ACG 的面积是( ) A1 B C2 D 7若一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限,则关于 x 的方程 x2+kx+b0 的根的情况是( ) A有两个不

3、相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 8已知点 A(1,) ,O 为坐标原点,连接 OA将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 30得到线段 OA,则点 A的坐标为( ) A (1,) B (2,) C (,2) D (,1) 9为了了解某班同学一周的课外阅读量,任选班上 15 名同学进行调查,统计如表,则这组数据的中位数 和众数分别是( ) 阅读量(单位:本 /周) 0 1 2 3 人数(单位:人) 1 4 6 4 A1,2 B2,2 C4,6 D6,6 10已知分式方程+1 的解为非负数,求 k 的取值范围( ) Ak5 Bk1 Ck5 且 k6 Dk1 且 k0

4、11已知一扇形的圆心角为 60,半径为 5,则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为( ) A B10 C D 12已知抛物线 yax2+3x+c(a,c 为常数,且 a0)经过点(1,1) , (0,3) ,有下列结论: ac0; 当 x1 时,y 的值随 x 值的增大而减小; 3 是方程 ax2+2x+c0 的一个根; 当1x3 时,ax2+2x+c0 其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 二、填空题(共二、填空题(共 5 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 133tan30+(4)0 14若关于 x 的一元二次方程 x2+(m2)x+m20 的两个实数

5、根互为倒数,则 m 的值是 15如图,AOB90,B30,以点 O 为圆心,OA 为半径作弧交 AB 于点 C,交 OB 于点 D,若 OA4,则阴影部分的面积为 16如图,已知直线 yx+2 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,将ABO 沿直线 AB 翻折后得到ABC, 若反比例函数 y(x0)的图象经过点 C,则 k 17如图,在正方形 ABCD 中,M、N 是对角线 AC 上的两个动点,P 是正方形四边上的任意一点,且 AB 4,MN2关于下列结论: 当PAN 是等腰三角形时,P 点有 6 个; 当PMN 是等边三角形时,P 点有 4 个; DM+DN 的最小值等于 6 其中,一定正确

6、的结论的序号是 三、解答题(共三、解答题(共 7 小题,满分小题,满分 69 分)分) 18 (8 分)先化简(1),然后从不等式 2x60 的非负整数解中选取一个合适的解代 入求值 19 (9 分) (1)问题发现:如图 1,ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形,点 D、F 分别在 边 AB、AC 上,请直接写出线段 BD、CF 的数量和位置关系; (2)拓展探究:如图 2,当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转锐角 时,上述结论还成立吗?若成立,请 给予证明;若不成立,请说明理由 20 (10 分)为提升学生的艺术素养,学校计划开设四门艺术选修课:A书法;B绘画;C乐器;

7、D舞 蹈为了解学生对四门功课的喜欢情况,在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查 的学生必须选择而且只能选择其中一门) 将数据进行整理,并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合 图中所给信息解答下列问题: (1)本次调查的学生共有多少人?扇形统计图中 的度数是多少? (2)请把条形统计图补充完整; (3)学校为举办 2018 年度校园文化艺术节,决定从 A书法;B绘画;C乐器;D舞蹈四项艺术 形式中选择其中两项组成一个新的节目形式,请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概 率 21 (10 分)如图所示,小明在大楼 30 米高(即 PH30 米)的窗口 P 处进行观测,测

8、得山坡上 A 处的俯 角为 15,山脚 B 处的俯角为 60,已知该山坡的坡度 i(即 tanABC)为 1:,点 P、H、B、C、 A 在同一个平面上点 H、B、C 在同一条直线上,且 PHHC (1)山坡坡角(即ABC)的度数等于 度; (2)求山坡 A、B 两点间的距离(结果精确到 0.1 米) (参考数据:1.414,1.732) 22 (10 分)如图,O 是ABC 的外接圆,点 O 在 BC 边上,BAC 的平分线交O 于点 D,连接 BD、 CD,过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P (1)求证:PD 是O 的切线; (2)求证:ABCPBDCD; (3)若

9、 tanABC2,AB2,求线段 DP 的长 23 (10 分)随着流浪地球的热播,其同名科幻小说的销量也急剧上升为应对这种变化,某网店分别 花 20000 元和 30000 元先后两次增购该小说,第二次的数量比第一次多 500 套,且两次进价相同 (1)该科幻小说第一次购进多少套? (2)根据以往经验:当销售单价是 25 元时,每天的销售量是 250 套;销售单价每上涨 1 元,每天的销 售量就减少 10 套网店要求每套书的利润不低于 10 元且不高于 18 元 直接写出网店销售该科幻小说每天的销售量 y(套)与销售单价 x(元)之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围; 网店决定每销售 1

10、 套该科幻小说,就捐赠 a(0a7)元给困难职工,每天扣除捐赠后可获得的最大 利润为 1960 元,求 a 的值 24 (12 分)如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的三个顶点 A,B,D 在坐标轴上,且已知点 A(3, 0) ,点 B(0,4) ,现有抛物线 m 经过点 B,C 和 OD 的中点 E (1)求抛物线 m 的解析式; (2)在抛物线 m 上是否存在点 P,使得 SPBCSPDC?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明 理由; (3)抛物线 m 与 x 轴的另一交点为 F,M 是线段 AC 上一动点,求MF+MC 的最小值 2020 年湖北省荆门市中考数学模拟试卷(

11、年湖北省荆门市中考数学模拟试卷(5 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 36 分)分) 1|的相反数的倒数是( ) A B C2 D2 【分析】先化简,再根据相反数、倒数的定义,即可解答 【解答】解:|, 的相反数为,的倒数为 2 故选:C 2一种新病毒的半径仅有 0.000009 毫米,将 0.000009 用科学记数法表示应是( ) A910 6 B910 5 C0.910 6 D0.910 5 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a10 n,与较大数的科学记数

12、法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解:0.000009910 6 故选:A 3选择计算(4x2+3y) (4x2+3y)的最佳方法是( ) A运用多项式乘多项式法则 B运用平方差公式 C运用单项式乘多项式法则 D运用完全平方公式 【分析】根据平方差公式化简即可 【解答】解: (4x2+3y) (4x2+3y) ,两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差, 所以计算(4x2+3y) (4x2+3y)的最佳方法是运用平方差公式 故选:B 4如图,BCD95,ABDE,则 与 满足( ) A+95 B95 C+85 D85

13、【分析】过 C 作 CFAB,根据平行线的性质得到1,2180,于是得到结论 【解答】解:过 C 作 CFAB, ABDE, ABCFDE, 1,2180, BCD95, 1+2+18095, 85 故选:D 5图 2 是图 1 中长方体的三视图,若用 S 表示面积,S主x2+2x,S左x2+x,则 S俯( ) Ax2+3x+2 Bx2+2 Cx2+2x+1 D2x2+3x 【分析】由主视图和左视图的宽为 x,结合两者的面积得出俯视图的长和宽,从而得出答案 【解答】解:S主x2+2xx(x+2) ,S左x2+xx(x+1) , 俯视图的长为 x+2,宽为 x+1, 则俯视图的面积 S俯(x+2

14、) (x+1)x2+3x+2, 故选:A 6如图,在 RtABC 中,B90,以点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AB、AC 于点 D,E, 再分别以点 D、E 为圆心,大于DE 为半径画弧,两弧交于点 F,作射线 AF 交边 BC 于点 G,若 BG 1,AC4,则ACG 的面积是( ) A1 B C2 D 【分析】利用基本作图得到 AG 平分BAC,利用角平分线的性质得到 G 点到 AC 的距离为 1,然后根据 三角形面积公式计算ACG 的面积 【解答】解:由作法得 AG 平分BAC, G 点到 AC 的距离等于 BG 的长,即 G 点到 AC 的距离为 1, 所以ACG 的面积4

15、12 故选:C 7若一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限,则关于 x 的方程 x2+kx+b0 的根的情况是( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【分析】利用一次函数的性质得到 k0,b0,再判断k24b0,从而得到方程根的情况 【解答】解:一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限, k0,b0, k24b0, 方程有两个不相等的实数根 故选:A 8已知点 A(1,) ,O 为坐标原点,连接 OA将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 30得到线段 OA,则点 A的坐标为( ) A (1,) B (2,) C (,2) D (,1) 【分析】如

16、图,作 AHx 轴于 H,作 AEx 轴于 E解直角三角形求出 AE,OE 即可 【解答】解:如图,作 AHx 轴于 H,作 AEx 轴于 E A(1,) , OH1,AH, tanAOH, AOH60,OAH30, OAOA2OH2, AOA30, AOE30, AEOA1,OEAE, A(,1) , 故选:D 9为了了解某班同学一周的课外阅读量,任选班上 15 名同学进行调查,统计如表,则这组数据的中位数 和众数分别是( ) 阅读量(单位:本 /周) 0 1 2 3 人数(单位:人) 1 4 6 4 A1,2 B2,2 C4,6 D6,6 【分析】根据众数,中位数的定义即可解决问题 【解答

17、】解:15 名同学一周的课外阅读量为 0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3, 2 出现了 6 次,它的次数最多, 众数为 2 随机调查了 15 名同学, 根据表格数据可以知道中位数为 2, 故选:B 10已知分式方程+1 的解为非负数,求 k 的取值范围( ) Ak5 Bk1 Ck5 且 k6 Dk1 且 k0 【分析】先将原分式方程去分母,化为整式方程,解方程,然后根据解为非负数及分母不为 0,可得答 案 【解答】解:由+1 得 (x+3) (x1)k+(x1) (x+2) 解得:xk+1 解为非负数 k+10 k1 x1 且 x2 k+11,k+12 k0,k3 k1

18、 且 k0 故选:D 11已知一扇形的圆心角为 60,半径为 5,则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为( ) A B10 C D 【分析】直接利用扇形的弧长公式求解即可 【解答】解:半径为 5,圆心角为 60的扇形的弧长是, 所以以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为, 故选:A 12已知抛物线 yax2+3x+c(a,c 为常数,且 a0)经过点(1,1) , (0,3) ,有下列结论: ac0; 当 x1 时,y 的值随 x 值的增大而减小; 3 是方程 ax2+2x+c0 的一个根; 当1x3 时,ax2+2x+c0 其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【分析】先由抛物线

19、 yax2+3x+c(a,c 为常数,且 a0)经过点(1,1) , (0,3) ,列方程组求出 a, c, 从而解得其解析式, 进而求得其对称轴, 再根据二次函数与方程和二次函数与不等式的关系可解 【解答】解:把点(1,1) , (0,3)代入 yax2+3x+c 得: yx2+3x+3 ac0 正确; 该抛物线的对称轴为:, 当 x1 时,y 的值随 x 值的增大而减小是错误的; 方程 ax2+2x+c0 可化为:方程 ax2+3x+cx, 把 x3 代入 yx2+3x+3 得 y3, x2+2x+30, 故正确; (3,3)在该抛物线上, 又抛物线 yax2+3x+c(a,c 为常数,且

20、 a0)经过点(1,1) , 抛物线 yax2+3x+c 与 yx 的交点为(1,1)和(3,3) , 当1x3 时,ax2+3x+cx,即 ax2+2x+c0 当1x3 时,ax2+2x+c0,故正确 综上,正确 故选:C 二、填空题(共二、填空题(共 5 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 133tan30+(4)0 1 【分析】原式第一项化为最简二次根式,第二项利用特殊角的三角函数值化简,第三项利用零指数幂法 则计算,最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解:原式23+122+121 故答案为:1 14若关于 x 的一元二次方程 x2+(m2)x+m2

21、0 的两个实数根互为倒数,则 m 的值是 1 【分析】利用根与系数的关系结合方程的两个实数根互为倒数,可求出 m 的值,再将其代入原方程,取 使得原方程根的判别式0 的值即可 【解答】解:关于 x 的一元二次方程 x2+(m2)x+m20 的两个实数根互为倒数, m21, m1 当 m1 时,原方程为 x2x+10, (1)241130,不符合题意, m1 舍去; 当 m1 时,原方程为 x23x+10, (3)241150,符合题意 故答案为:1 15如图,AOB90,B30,以点 O 为圆心,OA 为半径作弧交 AB 于点 C,交 OB 于点 D,若 OA4,则阴影部分的面积为 【分析】连

22、接 OC,作 CHOB 于 H,根据直角三角形的性质求出 AB,根据勾股定理求出 BD,证明 AOC 为等边三角形, 得到AOC60, COB30, 根据扇形面积公式、 三角形面积公式计算即可 【解答】解:连接 OC,作 CHOB 于 H, AOB90,B30, OAB60,AB2OA8, 由勾股定理得,OB4, OAOC,OAB60, AOC 为等边三角形, AOC60, COB30, COCB,CHOC2, 阴影部分的面积44+42, 故答案为: 16如图,已知直线 yx+2 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,将ABO 沿直线 AB 翻折后得到ABC, 若反比例函数 y(x0)的图象经

23、过点 C,则 k 3 【分析】令 yx+20,则 x2,令 x0,则 y2,求得 OA2,OB2,根据勾股定理得 到 AB4,推出BAO30,过点 C 作 CDx 轴,根据折叠的性质得 到 OAAC2,CABBAO30,求得CAD60,解直角三角形得到 OD,得到 C (,3) ,于是得到结论 【解答】解:令 yx+20,则 x2,令 x0,则 y2, A(2,0) ,B(0,2) , OA2,OB2, AB4, AB2OB, BAO30, 过点 C 作 CDx 轴于 D, 由折叠得:OAAC2,CABBAO30, CAD60, ADC90, ADAC,CDAC3, OD, C(,3) , 反

24、比例函数 y(x0)的图象经过点 C, k3, 故答案为:3 17如图,在正方形 ABCD 中,M、N 是对角线 AC 上的两个动点,P 是正方形四边上的任意一点,且 AB 4,MN2关于下列结论: 当PAN 是等腰三角形时,P 点有 6 个; 当PMN 是等边三角形时,P 点有 4 个; DM+DN 的最小值等于 6 其中,一定正确的结论的序号是 【分析】根据等腰三角形的定义判断即可 根据等边三角形的定义判断即可 作 DTAC,使得 DTMN,连接 BT 交 AC 于 N,连接 BD,此时 DM+DN的值最小,最小值 BT 的长 【解答】解:当PAN 是等腰三角形时,正方形 ABCD 的每条

25、边上有无数个点 P,故错误 当PMN 是等边三角形时,正方形 ABCD 的每条边上只有一个点满足条件,共有 4 个,故正确 作 DTAC,使得 DTMN,连接 BT 交 AC 于 N,连接 BD,此时 DM+DN的值最小,最小值 BT 的长 四边形 ABCD 是正方形, ABAD4,DAB90,ACDCDB45, DTAC, TDCDCB45, BDT90, BT6, DM+DN 的最小值为 6,故正确 故答案为: 三、解答题(共三、解答题(共 7 小题,满分小题,满分 69 分)分) 18 (8 分)先化简(1),然后从不等式 2x60 的非负整数解中选取一个合适的解代 入求值 【分析】原式

26、括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最 简结果,求出 x 的值,代入计算即可求出值 【解答】解:原式, 由不等式 2x60,得到 x3, 不等式 2x60 的非负整数解为 x0,1,2, 则 x0 时,原式2 19 (9 分) (1)问题发现:如图 1,ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形,点 D、F 分别在 边 AB、AC 上,请直接写出线段 BD、CF 的数量和位置关系; (2)拓展探究:如图 2,当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转锐角 时,上述结论还成立吗?若成立,请 给予证明;若不成立,请说明理由 【分析】 (1)根据等腰直

27、角三角形的性质和正方形的性质解答即可; (2)ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形,易证得BADCAF,根据全等三角形的对 应边相等,即可证得 BDCF,进而证明出 BDCF 【解答】解: (1)BDCF,BDCF,理由如下: ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形, ABAC,ADAF,BACDAF90, BDCF,BDCF; (2)成立,理由如下: ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形, ABAC,ADAF,BACDAF90, BADBACDAC,CAFDAFDAC, BADCAF, 在BAD 与CAF 中, , BADCAF(SAS) , B

28、DCF, 延长 BD,分别交直线 AC、CF 于点 M,G,如图, BADCAF, ABMGCM, BMACMG, BGCBAC90, BDCF 20 (10 分)为提升学生的艺术素养,学校计划开设四门艺术选修课:A书法;B绘画;C乐器;D舞 蹈为了解学生对四门功课的喜欢情况,在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查 的学生必须选择而且只能选择其中一门) 将数据进行整理,并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合 图中所给信息解答下列问题: (1)本次调查的学生共有多少人?扇形统计图中 的度数是多少? (2)请把条形统计图补充完整; (3)学校为举办 2018 年度校园文化艺术节,决

29、定从 A书法;B绘画;C乐器;D舞蹈四项艺术 形式中选择其中两项组成一个新的节目形式,请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概 率 【分析】 (1)用 A 科目人数除以其对应的百分比可得总人数,用 360乘以 C 对应的百分比可得 的 度数; (2)用总人数乘以 C 科目的百分比即可得出其人数,从而补全图形; (3)画树状图展示所有 12 种等可能的结果数,再找出恰好是“书法” “乐器”的结果数,然后根据概率 公式求解 【解答】解: (1)本次调查的学生总人数为 410%40 人,360(110%20%40%) 108; (2)C 科目人数为 40(110%20%40%)12 人,

30、补全图形如下: (3)画树状图为: 共有 12 种等可能的结果数,其中恰好是书法与乐器组合在一起的结果数为 2, 所以书法与乐器组合在一起的概率为 21 (10 分)如图所示,小明在大楼 30 米高(即 PH30 米)的窗口 P 处进行观测,测得山坡上 A 处的俯 角为 15,山脚 B 处的俯角为 60,已知该山坡的坡度 i(即 tanABC)为 1:,点 P、H、B、C、 A 在同一个平面上点 H、B、C 在同一条直线上,且 PHHC (1)山坡坡角(即ABC)的度数等于 30 度; (2)求山坡 A、B 两点间的距离(结果精确到 0.1 米) (参考数据:1.414,1.732) 【分析】

31、 (1)过 A 作 ADBC 于 D,根据已知条件即可得到结论; (2)由题意得,PBH60,APB45,推出PBA 是等腰直角三角形,根据三角函数的定义即 可得到结论 【解答】解: (1)过 A 作 ADBC 于 D, 山坡的坡度 i(即 tanABC)为 1:, ABC30, 故答案为:30; (2)由题意得,PBH60,APB45, ABC30, ABP90, PBA 是等腰直角三角形, PB20, ABPB2034.6, 答:山坡 A、B 两点间的距离是 34.6 米 22 (10 分)如图,O 是ABC 的外接圆,点 O 在 BC 边上,BAC 的平分线交O 于点 D,连接 BD、

32、CD,过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P (1)求证:PD 是O 的切线; (2)求证:ABCPBDCD; (3)若 tanABC2,AB2,求线段 DP 的长 【分析】 (1)想办法证明 ODPD 即可; (2)证明BADCDP,即可解决问题; (3)利用勾股定理和三角函数得 AC 和 BC 的长,证明四边形 ODGC 是矩形,先根据等角的三角函数可 得 PG 的长,最后根据线段的和可得结论 【解答】 (1)证明:如图 1,连接 OD AD 平分BAC, BADCAD, , BODCOD90, BCPD, ODPBOD90, ODPA, PD 是O 的切线 (2)证明

33、:BCPD, PDCBCD BCDBAD, BADPDC, ABD+ACD180,ACD+PCD180, ABDPCD, BADCDP, , ABCPBDCD; (3)解:BC 是O 的直径, BAC90, tanABC2, 2, , , OD5, 如图 2,连接 OD,过点 C 作 CGDP,垂足为 G,则四边形 ODGC 为正方形, DGCGOD5, BCPD, CPGACB, tanCPGtanACB, ,即, 解得, 23 (10 分)随着流浪地球的热播,其同名科幻小说的销量也急剧上升为应对这种变化,某网店分别 花 20000 元和 30000 元先后两次增购该小说,第二次的数量比第一

34、次多 500 套,且两次进价相同 (1)该科幻小说第一次购进多少套? (2)根据以往经验:当销售单价是 25 元时,每天的销售量是 250 套;销售单价每上涨 1 元,每天的销 售量就减少 10 套网店要求每套书的利润不低于 10 元且不高于 18 元 直接写出网店销售该科幻小说每天的销售量 y(套)与销售单价 x(元)之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围; 网店决定每销售 1 套该科幻小说,就捐赠 a(0a7)元给困难职工,每天扣除捐赠后可获得的最大 利润为 1960 元,求 a 的值 【分析】 (1)设该科幻小说第一次购进 m 套,根据题意列方程即可得到结论; (2)根据题意列函数关系

35、式即可; (3)设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元根据题意得到 w(x20a) (10 x+500)10 x2+ (10a+700)x500a10000(30 x38)求得对称轴为 x35+a, 若 0a6,则 30,则当 x35+a 时,w 取得最大值,解方程得到 a12,a258, 于是得到 a2; 若 6a7,则 3835a,则当 30 x38 时,w 随 x 的增大而增大;解方程得到 a,但 6a 7,故舍去于是得到结论 【解答】解: (1)设该科幻小说第一次购进 m 套, 则, m1000, 经检验,当 m1000 时,m(m+500)0,则 m1000 是原方程的解, 答:该科幻

36、小说第一次购进 1000 套; (2)根据题意得,y25010(x25)10 x+500(30 x38) ; (3)设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元 w(x20a) (10 x+500)10 x2+(10a+700)x500a10000(30 x38) 对称轴为 x35+a, 若 0a6,则 30,则当 x35+a 时,w 取得最大值, (35+a20a)10(35+a)+5001960 a12,a258, 又 0a6,则 a2; 若 6a7,则 3835a,则当 30 x38 时,w 随 x 的增大而增大; 当 x38 时,w 取得最大值,则(3820a) (1038+500)1960,

37、 a,但 6a7,故舍去 综上所述,a2 24 (12 分)如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的三个顶点 A,B,D 在坐标轴上,且已知点 A(3, 0) ,点 B(0,4) ,现有抛物线 m 经过点 B,C 和 OD 的中点 E (1)求抛物线 m 的解析式; (2)在抛物线 m 上是否存在点 P,使得 SPBCSPDC?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明 理由; (3)抛物线 m 与 x 轴的另一交点为 F,M 是线段 AC 上一动点,求MF+MC 的最小值 【分析】 (1)先求出点 C,点 E 坐标,利用待定系数法可求解析式; (2)分两种情况讨论,利用待定系数法求出

38、CP 解析式,联立方程组可求解; (3) 通过证明AOGCNM, 可得, 进而可得MF+MC(MF+MN) , 即可求解 【解答】解: (1)点 A(3,0) ,点 B(0,4) , OA3,OB4, AB5, ADBCCD5, 点 C(5,4) ,点 D(2,0) , 点 E 是 OD 的中点, 点 E(1,0) , 设抛物线 m 解析式为:yax2+bx+c, 由题意可得:, 解得:, 抛物线 m 的解析式为 yx25x+4; (2)存在满足条件的点 P,使得 SPBCSPDC 理由如下:当点 P 在 BC 下方时, BCCD,SPBCSPDC, P 点在菱形 ABCD 的对角线上, P

39、点是抛物线 m 和直线 AC 的交点, 设直线 AC 的解析式为 ykx+n, A(3,0) ,C(5,4) , ,解得, 直线 AC 的解析式为, 联立方程组可得:, 解得或(舍去) , , 当点 P 在 BC 上方时,延长 DC 到点 Q, 当点 P 是BCQ 的角平分线与抛物线 m 的交点时,SPBCSPDC 点 B(0,4) ,点 D(2,0) , 直线 BD 解析式为 y2x+4, ABCD, ABCBCQ, DBCBCP, BDPC, 又点 C 坐标为(5,4) , 直线 CP 解析式是 y2x+14, 联立方程组可得:, 解得或(舍去) , P(2,18) 综上所述,存在满足条件的点 P 有两个:,P2(2,18) (3)过 C 作 CHx 轴于 H,过 M 作 MNBC 于 N, BCx 轴, NCMMAO, 又AOGCNM90, AOGCNM, , , 点 F 到 BC 最小距离为 CH, MF+MN 的最小值为 CH 的长度 4, 的最小值为

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