1、2021 年河南省焦作市沁阳市中考数学第二次质检试卷年河南省焦作市沁阳市中考数学第二次质检试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1在下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ayx1 By Cy2x 1 D2 2如图所示几何体的左视图是（ ） A B C D 3 若正比例函数 y2x 与反比例函数 y图象的一个交点坐标为 （1， 2） ， 则另一个交点的坐标为 （ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （2，1） 4如图，已知ABC，则下列三
2、角形中，与ABC 相似的是（ ） A B C D 5若规定 sin（）sincoscossin，则 sin15（ ） A B C D 6如图 1，在 RtABC 中，B90，ACB45， 延长 BC 到 D， 使 CDAC， 则 tan22.5（ ） A B C D 7如图，一次函数 y1ax+b 和反比例函数 y2的图象相交于 A，B 两点，则使 y1y2成立的 x 取值范围 是（ ） A2x0 或 0 x4 Bx2 或 0 x4 Cx2 或 x4 D2x0 或 x4 8一渔船在海岛 A 南偏东 20方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔船将险情报告给位 于 A
3、处的救援船后，沿北偏西 80方向向海岛 C 靠近，同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10方向 匀速航行，20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ） A10海里/小时 B30 海里/小时 C20海里/小时 D30海里/小时 9如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 和点 F 是矩形 ABCD 外两点，AECF 于点 H，AD3，DC4，DE ，EDF90，则 DF 长是（ ） A B C D 10在四边形 ABCD 中，B90，AC4，ABCD，DH 垂直平分 AC，点 H 为垂足设 ABx，AD y，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
4、A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 112sin45+tan60 12如图，在ABC 中，DEBC，AD2BD，则 13如图，是一个由若干个相同的小正方形组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方形的个数 为 14若点 A（1，y1） 、B（1，y2） 、C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系 正确的是 15如图，矩形 ABCD 的顶点 D 在反比例函数的图象上，顶点 B，C 在 x 轴上，对角线 AC 的延长线交 y 轴于点 E，连接 BE若BCE 的面积是 6，则反比例函数的系数为 三、解答题（本大题共
5、三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 0 分）分） 16计算： 17如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是 A（2，3） ，B（3，2） ，C（1，1） （1）以坐标原点 O 为位似中心，2 为位似比将ABC 放大，得到ABC请在平面直角坐标系中 画出ABC； （2）求出ABC 的面积 18如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧） ，作 BCy 轴，垂足为 点 C，连接 AB，AC （1）求该反比例函数的解析式； （2）若ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式 19如图，点 C 在ADE 的边 DE 上，AD 与 BC
6、 相交于点 F，12， （1）试说明：ABCADE； （2）试说明：AFDFBFCF 20如图，线段 AB 表示一信号塔，DE 表示一斜坡，DCCE且点 B，C，E 三点在同一水平线上，点 A， B，C，D，E 在同一平面内，斜坡 DE 的坡比为 1：，DE42 米某人站在坡顶 D 处测得塔顶 A 点 的仰角为 37，站在坡底 C 处测得塔顶 A 点的仰角为 48（人的身高忽略不计） ，求信号塔的高度 AB （结果精确到 1 米） （参考数据：sin37，tan37，sin48，tan48） 21如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，直线 OD 与O 相交于 E，F
7、两点，P 是O 外一点，P 在直线 OD 上，连接 PA，PC，AF，且满足PCAABC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）证明：EF24ODOP； （3）若 BC8，tanAFP，求 DE 的长 22如图 1，在ABC 中，ACB90，点 D 为 AB 边上的动点，DEBC 交 AC 于点 E 问题发现：（1） 如图 2， 当B45时， ； EC 与 BD 所在直线相交所成的锐角等于 类比探究： （2）当BAC30时，把ADE 绕点 A 逆时针旋转到如图 3 的位置时，请求出的值以 及 EC 与 BD 所在直线相交所成的锐角 23如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象交 x 轴于
8、A（1，0） ，B（2，0） ，交 y 轴于 C（0，2） ，过 A， C 画直线 （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PAPC，求 OP 的长； （3） 点 M 在二次函数图象上， 以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切， 切点为 H 若 M 在 y 轴右侧， 且CHM AOC（点 C 与点 A 对应） ，求点 M 的坐标 2021 年河南省焦作市沁阳市中考数学第二次质检试卷年河南省焦作市沁阳市中考数学第二次质检试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
9、分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1在下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ayx1 By Cy2x 1 D2 【分析】根据反比例函数 y（k0）转化为 ykx 1（k0）的形式，可得答案 【解答】解：A、yx1 是一次函数，故 A 不符合题意； B、y不是反比例函数，故 B 不符合题意； C、y3x 1 是反比例函数，故 C 符合题意； D、2 不是反比例函数，故 D 符合题意； 故选：C 2如图所示几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线 【解答】解：图中几何体的左视图如图所示： 故选：C 3 若正比
10、例函数 y2x 与反比例函数 y图象的一个交点坐标为 （1， 2） ， 则另一个交点的坐标为 （ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （2，1） 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称进行解答即可 【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， 两函数的交点关于原点对称， 一个交点的坐标是（1，2） ， 另一个交点的坐标是（1，2） 故选：B 4如图，已知ABC，则下列三角形中，与ABC 相似的是（ ） A B C D 【分析】ABC 是等腰三角形，顶角是 30，则底角是 75，看各个选项是否符合相似的条件 【解答】解：由图可知，ABAC6，A3
11、0， C75B， A、三角形各角的度数分别为 75，52.5，52.5， B、三角形各角的度数都是 60， C、三角形各角的度数分别为 75，30，75， D、三角形各角的度数分别为 40，70，70， 只有 C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C 5若规定 sin（）sincoscossin，则 sin15（ ） A B C D 【分析】根据题意把 15化为 4530，代入特殊角的三角函数值计算即可 【解答】解：由题意得，sin15sin（4530） sin45cos30cos45sin30 ， 故选：D 6如图 1，在 RtABC 中，B90，ACB45， 延长
12、 BC 到 D， 使 CDAC， 则 tan22.5（ ） A B C D 【分析】设 ABx，求出 BCx，CDADx，求出 BD，再解直角三角形求出即可 【解答】解：设 ABx， 在 RtABC 中，B90，ACB45， BACACB45， ABBCx， 由勾股定理得：ACx， ACCD， ACCDx， BDBC+CD（+1）x， tan22.51， 故选：B 7如图，一次函数 y1ax+b 和反比例函数 y2的图象相交于 A，B 两点，则使 y1y2成立的 x 取值范围 是（ ） A2x0 或 0 x4 Bx2 或 0 x4 Cx2 或 x4 D2x0 或 x4 【分析】根据两函数图象的
13、上下位置关系结合交点横坐标即可找出不等式的解集，此题得解 【解答】解：观察函数图象可发现：当 x2 或 0 x4 时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 使 y1y2成立的 x 取值范围是 x2 或 0 x4 故选：B 8一渔船在海岛 A 南偏东 20方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔船将险情报告给位 于 A 处的救援船后，沿北偏西 80方向向海岛 C 靠近，同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10方向 匀速航行，20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ） A10海里/小时 B30 海里/小时 C20海里/小时 D30海里/小
14、时 【分析】易得ABC 是直角三角形，利用三角函数的知识即可求得答案 【解答】解：CAB10+2030，CBA802060， C90， AB20 海里， ACABcos3010（海里） ， 救援船航行的速度为：1030（海里/小时） 故选：D 9如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 和点 F 是矩形 ABCD 外两点，AECF 于点 H，AD3，DC4，DE ，EDF90，则 DF 长是（ ） A B C D 【分析】设 DF 和 AE 相交于 O 点，由矩形的性质和已知条件可证明EF，ADEFDC，进而 可得到ADECDF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出 DF 的长 【解答】
15、解：设 DF 和 AE 相交于 O 点， 四边形 ABCD 是矩形， ADC90， EDF90， ADC+FDAEDF+FDA， 即FDCADE， AECF 于点 H， F+FOH90， E+EOD90，FOHEOD， FE， ADECDF， AD：CDDE：DF， AD3，DC4，DE， DF 故选：C 10在四边形 ABCD 中，B90，AC4，ABCD，DH 垂直平分 AC，点 H 为垂足设 ABx，AD y，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A B C D 【分析】由DAHCAB，得，求出 y 与 x 关系，再确定 x 的取值范围即可解决问题 【解答】解：DH 垂
16、直平分 AC， DADC，AHHC2， DACDCH， CDAB， DCABAC， DAHBAC，DHAB90， DAHCAB， ， ， y， ABAC， x4， 图象是 D 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 112sin45+tan60 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案 【解答】解：原式2+ + 故答案为：+ 12如图，在ABC 中，DEBC，AD2BD，则 【分析】由条件可以求出 AD：AB2；3，再由条件可以得出ADEABC，最后由相似三角形的性 质就可以得出结论 【解答】解：AB2BD，AD+BDAB， AD+ABAB， A
17、DAB， 在ABC 中，DEBC， ADEABC， （）2， 故答案为： 13如图，是一个由若干个相同的小正方形组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方形的个数 为 5 【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图 形形状，即可得出小正方体的个数 【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有 3+14 个小正方体，第二有 1 个小正 方体， 因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是 4+15 个 故答案为 5 14若点 A（1，y1） 、B（1，y2） 、C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系
18、 正确的是 y2y3y1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论 【解答】解：点 A（1，y1） 、B（1，y2） 、C（3，y3）在反比例函数 y的图象上， y16，y26，y32， 又626， y2y3y1 故答案为 y2y3y1 15如图，矩形 ABCD 的顶点 D 在反比例函数的图象上，顶点 B，C 在 x 轴上，对角线 AC 的延长线交 y 轴于点 E，连接 BE若BCE 的面积是 6，则反比例函数的系数为 12 【分析】先设 D（a，b） ，得出 COa，CDABb，kab，再根据BCE 的面积是 6，得出 BC OE12，最后根据
19、ABOE，得出，即 BCEOABCO，求得 ab 的值即可 【解答】解：设 D（a，b） ，则 COa，CDABb， 矩形 ABCD 的顶点 D 在反比例函数 y（x0）的图象上， kab， BCE 的面积是 6， BCOE6，即 BCOE12， ABOE， ，即 BCEOABCO， 12b（a） ，即 ab12， k12， 故答案为：12 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 0 分）分） 16计算： 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别判断得出答案 【解答】解：原式21+2 1+ 17如图，在平面直角坐标系中，ABC
20、 的顶点坐标分别是 A（2，3） ，B（3，2） ，C（1，1） （1）以坐标原点 O 为位似中心，2 为位似比将ABC 放大，得到ABC请在平面直角坐标系中 画出ABC； （2）求出ABC 的面积 【分析】 （1）把 A、B、C 的横纵坐标都乘以 2 或2 得到 A、B、C的坐标，然后描点即可； （2）先计算ABC 的面积，根据相似三角形的性质，把 ABC 的面积扩大 4 倍得到ABC 的面积 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）ABC 的面积4SABC4（22111212）6 18如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧） ，作 BCy
21、 轴，垂足为 点 C，连接 AB，AC （1）求该反比例函数的解析式； （2）若ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式 【分析】 （1）把 A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求得； （2）作 ADBC 于 D，则 D（2，b） ，即可利用 a 表示出 AD 的长，然后利用三角形的面积公式即可得 到一个关于 b 的方程求得 b 的值，进而求得 a 的值，根据待定系数法，可得答案 【解答】解： （1）由题意得，kxy236 反比例函数的解析式为 y （2）设 B 点坐标为（a，b） ，如图， 作 ADBC 于 D，则 D（2，b） 反比例函数 y的图象经过点 B（a，b） b AD3 SA
22、BCBCAD a（3）6 解得 a6 b1 B（6，1） 设 AB 的解析式为 ykx+b， 将 A（2，3） ，B（6，1）代入函数解析式，得 ， 解得， 直线 AB 的解析式为 yx+4 19如图，点 C 在ADE 的边 DE 上，AD 与 BC 相交于点 F，12， （1）试说明：ABCADE； （2）试说明：AFDFBFCF 【分析】 （1）求出BACDAE，根据有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相 似推出即可； （2）根据相似三角形的性质推出BD，根据相似三角形的判定推出ABFCDF，推出比例式， 即可得出答案 【解答】 （1）证明：12， 1+DAC2+DAC，
23、BACDAE， ， ， ABCADE； （2）证明：ABCADE， BD， BFADFC， ABFCDF， ， AFDFBFCF 20如图，线段 AB 表示一信号塔，DE 表示一斜坡，DCCE且点 B，C，E 三点在同一水平线上，点 A， B，C，D，E 在同一平面内，斜坡 DE 的坡比为 1：，DE42 米某人站在坡顶 D 处测得塔顶 A 点 的仰角为 37，站在坡底 C 处测得塔顶 A 点的仰角为 48（人的身高忽略不计） ，求信号塔的高度 AB （结果精确到 1 米） （参考数据：sin37，tan37，sin48，tan48） 【分析】过点 D 作 DFAB 于点 F，根据斜坡 DE
24、的坡度（或坡比）i1：，可设 CDxm，则 CE xm，利用勾股定理求出 x 的值，进而可得出 CD 与 BF 的长，再由锐角三角函数的定义求出 AF 的 长，进而可得出结论 【解答】解：过点 D 作 DFAB 于点 F， 斜坡 DE 的坡度（或坡比）i1：，DE42 米， 设 DCxm，则 CExm 在 RtCDE 中， DC2+CE2DE2，即 x2+（x）2422，解得 x21， DC21 米， BDFBDCB90， 四边形 DFBC 是矩形，DFBC， DCBF21 米， 设 AFym， 在 RtADF 中， ADF37， AFDFtan37DF， DFym， 在 RtABC 中， A
25、CB48， ABBCtan48DF， AF+BFDF， y+21y， 解得 y45， AF45 米， ABAF+BF45+2166（米） 答：信号塔的高度 AB 约为 66 米 21如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，直线 OD 与O 相交于 E，F 两点，P 是O 外一点，P 在直线 OD 上，连接 PA，PC，AF，且满足PCAABC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）证明：EF24ODOP； （3）若 BC8，tanAFP，求 DE 的长 【分析】（1） 先判断出 PAPC， 得出PACPCA， 再判断出ACB90， 得出CAB+CBA90， 再判断出P
26、CA+CAB90，得出CAB+PAC90，即可得出结论； （2）先判断出 RtAODRtPOA，得出 OA2OPOD，进而得出EF2OPOD，即可得出结论； （3）在 RtADF 中，设 AD2a，得出 DF3aODBC4，AOOF3a4，最后用勾股定理得 出 OD2+AD2AO2，即可得出结论 【解答】 （1）证明D 是弦 AC 中点， ODAC， PD 是 AC 的中垂线， PAPC， PACPCA AB 是O 的直径， ACB90， CAB+CBA90 又PCAABC， PCA+CAB90， CAB+PAC90，即 ABPA， PA 是O 的切线； （2）证明：由（1）知ODAOAP90
27、， RtAODRtPOA， ， OA2OPOD 又 OAEF， EF2OPOD，即 EF24OPOD （3）解：在 RtADF 中，设 AD2a，则 DF3a ODBC4，AOOF3a4 OD2+AD2AO2，即 42+4a2（3a4）2，解得 a， DEOEOD3a8 22如图 1，在ABC 中，ACB90，点 D 为 AB 边上的动点，DEBC 交 AC 于点 E 问题发现：（1） 如图2， 当B45时， ； EC与BD所在直线相交所成的锐角等于 45 类比探究： （2）当BAC30时，把ADE 绕点 A 逆时针旋转到如图 3 的位置时，请求出的值以 及 EC 与 BD 所在直线相交所成的
28、锐角 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质求出A 和，根据平行线分线段成比例定理解答即可； （2）延长 BD 交 AC 于点 F，交 CE 的延长线于点 G，证明ACEABD，根据相似三角形的性质解答 即可 【解答】解： （1）ACB90，B45， A45， DEBC， ， 故答案为：；45； （2）延长 BD 交 AC 于点 F，交 CE 的延长线于点 G， 由（1）可知，ADEABC， ，DAEBAC， ，BADCAE， ACEABD， cos30，ACEABD， CFGAFB， CGBCAB30 23如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0）
29、 ，交 y 轴于 C（0，2） ，过 A， C 画直线 （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PAPC，求 OP 的长； （3） 点 M 在二次函数图象上， 以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切， 切点为 H 若 M 在 y 轴右侧， 且CHM AOC（点 C 与点 A 对应） ，求点 M 的坐标 【分析】 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式； （2）根据线段的和差，可得 AP 的长，根据勾股定理，可得关于 x 的方程，根据解方程，可得答案； （3）分类讨论：当 H在点 C 的下方时，根据平行线的判定，可得 yM，根据自变量与函数值的对应 关系，可得答案；当
30、H在点 C 的上方时，根据相似三角形的对应角相等，可得 M点是 CP 与抛物 线的交点，根据解方程组，可得答案 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x2） ，将 x0，y2 代入，得 a（0+1） （02）2， 解得 a1 故抛物线的解析式为 y（x+1） （x2） ，即 yx2x2 （2）设 OPx，PCPAx+1 在 RtPOC 中，由勾股定理，得 x2+22（x+1）2， 解得 x，即 OP； （3）CHMAOC，MCHCAO， 如图： ， 当 H在点 C 的下方时，CAOMCH， MCAO， yMyC2， x2x22，解得 x0（舍去） ，x1， M（1，2） ； 当 H在点 C 的上方时，MCHCAO， 由（2）得 M为 CP 与抛物线的另一个交点，设 CP 的解析式为 ykx+b，将 C，P 点坐标代入，得 ， 解得， CP 的解析式为 yx2 联立 CP 与抛物线，得 ， x2x2x2，解得 x0（舍去）x，此时 y， M（，） ； 综上所述：M 在 y 轴右侧，且CHMAOC（点 C 与点 A 对应） ，点 M 的坐标（1，2） ， （，）
