1、中难解答突破训练(二) 1.在S4是 a2与 a21的等差中项；a7是S3 3 与 a22的等比中项；数列a2n的前 5 项和为 65 这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题 已知an是公差为 2 的等差数列，其前 n 项和为 Sn，_ (1)求 an； (2)设 bn 3 4 n an，是否存在 kN*，使得 bk27 8 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明 理由 解 (1)an是公差 d 为 2 的等差数列， 若选S4是 a2与 a21的等差中项，可得 2S4a2a21， 即有 2(4a16d)2a121d，即为 6a19d18，解得 a13. 所以 an32(n1)2
2、n1，nN*. 若选a7是S3 3 与 a22的等比中项，可得 a2 7 1 3S3a22， 即(a162)21 3(3a132) (a1212)， 即(a112)2(a12) (a142)，解得 a13. 所以 an32(n1)2n1，nN*. 若选数列a2n的前 5 项和为 65，可得 a2a4a1065， 即 5a1(13579)d5a125d5a15065， 解得 a13. 所以 an32(n1)2n1，nN*. (2)bn 3 4 n an(2n1) 3 4 n ， 由 bn1bn(2n3) 3 4 n1 (2n1) 3 4 n 52n 4 3 4 n ， 当 n1，2 时，可得 b
3、n1bn0，即 b3b2b1； 当 n3，nN*时，可得 bn1bn0，即 b3b4b5， 则 bn的最大项为 b3189 64 ，由189 64 27 8 ， 可得不存在 kN*，使得 bk27 8 . 2.某市规划了一条自行车赛道的平面示意图，如图五边形 ABCDE.ED，DC，CB，BA，AE 为赛道(不考虑宽度)， BE 为赛道内的一条服务通道， BCDCDEBAE2 3 ， DE4 km， BCCD 3 km. (1)求服务通道 BE 的长度； (2)应如何设计，才能使折线段赛道 BAE 最长？ 解 (1)连接 BD，BCDCDEBAE2 3 ，DE4 km，BCCD 3 km， 在
4、BCD 中，由余弦定理可得 BD2BC2CD22BC CD cos BCD332 3 31 29， BD3 km. BCCD，CBDCDB 6. 又CDE2 3 ，BDE 2. 在 RtBDE 中，BEBD2DE25 km. (2)解法一：在BAE 中，BAE2 3 ，BE5 km， 由余弦定理可得 BE2AB2AE22AB AE cos BAE， 即 25AB2AE2AB AE， 可得(ABAE)225AB AE ABAE 2 2 ，从而3 4(ABAE) 225，即 ABAE10 3 3 ，当 且仅当 ABAE5 3 3 时，等号成立，即将折线段赛道设计为 ABAE5 3 3 km 时，折
5、线段赛 道 BAE 最长 解法二：在BAE 中，BAE2 3 ，BE5 km. 设ABE，则 0 3， 由正弦定理得 BE sin2 3 AE sin AB sin 3 ， 所以 AE10 3 3 sin ，AB10 3 3 sin 3 ， 则 AEAB10 3 3 sin 10 3 3 sin 3 10 3 3 1 2sin 3 2 cos 10 3 3 sin 3 . 因为 0 3，所以当 6时，ABAE 取最大值，即折线段赛道 BAE 最长，即将ABE 设计为 6时，折线段赛道 BAE 最长 3新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验现对某种新 药进行 5000 次
6、动物实验，一次实验方案如下：选取 3 只白鼠对药效进行检验，当 3 只白鼠中 有 2 只或 2 只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有 1 只“效果明显”， 则再取 2 只白鼠进行二次检验，当 2 只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余 情况则确定“实验失败”设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为 p(0p0，所以 f(p)在 0，1 3 上单调递增； 当 p 1 3，1 时，f(p)0，所以 f(p)在 1 3，1 上单调递减 所以 f(p)的最大值为 f 1 3 4 27， 因此实施一次此方案最高费用为 9001800 4 27 3500 3
7、元， 所以动物实验阶段估计最高试验费用为1003500 3 50001041001750 3 2050 3 万元， 因为2050 3 700，所以该阶段经费使用不会超出预算 4.如图，几何体是圆柱的一部分， 它是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴 旋转 120得到的，G 是DF 的中点 (1)设 P 是CE 上的一点，且 APBE，求CBP 的大小； (2)当 AB3，AD2 时，求二面角 EAGC 的大小 解 (1)因为 APBE，ABBE，AB，AP 平面 ABP，ABAPA，所以 BE平面 ABP. 又 BP 平面 ABP，所以 BEBP. 又EBC120，所以CB
8、P30. (2)解法一：如图，取EC 的中点 H， 连接 EH，GH，CH. 因为EBC120， 所以四边形 BEHC 为菱形， 所以 AEGEACGC3222 13. 取 AG 的中点 M，连接 EM，CM，EC， 则 EMAG，CMAG， 所以EMC 为所求二面角的平面角 又 AM1，所以 EMCM1312 3. 在BEC 中，由于EBC120， 由余弦定理得 EC22222222cos12012， 所以 EC2 3，所以EMC 为等边三角形， 故所求的角为 60. 解法二：以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 Bxyz
9、. 由题意得 A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1， 3，3)，C(1， 3，0)， 故AE (2，0，3)，AG (1， 3，0)，CG (2，0，3). 设 m(x1，y1，z1)是平面 AEG 的一个法向量， 由 m AE 0， m AG 0， 可得 2x 13z10， x1 3y10， 取 z12，可得平面 AEG 的一个法向量为 m(3， 3，2). 设 n(x2，y2，z2)是平面 ACG 的一个法向量 由 n AG 0， n CG 0， 可得 x 2 3y20， 2x23z20， 取 z22，可得平面 ACG 的一个法向量 n(3， 3，2). 所以 cos m，n m n |m|n| 1 2.故所求的角为 60.
