2021年高考数学大二轮专题复习第三编高难解答突破训练(二)含答案

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资源描述

1、高难解答突破训练(二) 1.已知点 P 1,3 2 在椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)上,F(1,0)是椭圆的一个焦点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上不与 P 点重合的两点 D, E 关于原点 O 对称, 直线 PD, PE 分别交 y 轴于 M, N 两点,求证:以 MN 为直径的圆被直线 y3 2截得的弦长是定值 解 (1)由题意可得, 1 a2 9 4b21,c1,a 2b2c2, 联立解得 a24,b23. 椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)证明:设直线 DE 的方程为 tyx,D(x1,y1),E(x1,y1). 联立 tyx, x2 4

2、 y2 31, 可得 y2 12 3t24. D 2 3t 3t24, 2 3 3t24 ,E 2 3t 3t24, 2 3 3t24 . 直线 PD 的方程为 y3 2 4 333t24 4 3t23t24(x1), 可得 M 0,3 2 4 333t24 4 3t23t24 , 直线 PE 的方程为 y3 2 4 333t24 4 3t23t24(x1), 可得 N 0,3 2 4 333t24 4 3t23t24 . 以 MN 为直径的圆的方程为 x2 y3 2 4 333t24 4 3t23t24 y3 2 4 333t24 4 3t23t24 0, 把 y3 2代入可得 x 2 48

3、9(3t24) 48t24(3t24)0, 即 x23 4. 解得 x 3 2 . 因此被直线 y3 2截得的弦长为 3,是定值. 2已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ,焦距为 2 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为1 2的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点(点 P, Q 均在第一象限), O 为坐标原点 证明:直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列; 若 Q与 Q 关于 x 轴对称,证明:tan POQ4 3. 解 (1)由题意可得, c a 3 2 , 2c2 3, 解得 a2, c 3, b2a2c21, 椭圆 C 的方程为

4、x 2 4y 21. (2)证明:设直线 l 的方程为 y1 2xm,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 y1 2xm, x2 4y 21, 消去 y 得 x22mx2(m21)0, 则 4m28(m21)4(2m2)0, 且 x1x22m,x1x22(m21), y1y2 1 2x1m 1 2x2m 1 4x1x2 1 2m(x1x2)m 2m 21 2 . kOPkOQy1y2 x1x2 m21 2 2(m21) 1 4k 2 PQ, 即直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列 由题可知,xOQxOQ, 由可知,tan xOQtan xOP1 4,tan xOQ0,tan xOP

5、0, tan POQtan (xOQxOP) tan xOQtan xOP 1tan xOQtan xOP 4 3(tan xOQtan xOP) 4 32 tan xOQtan xOP4 3, 若xOQxOP,则 P,Q 两点重合,不符合题意,可知无法取得等号 tan POQ4 3. 3已知函数 f(x)mx2(x1)ex1(mR). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)证明:当 x 1 3,1 时,f(x)mx 2x3. 解 (1)由题得,f(x)2mxxexx(ex2m). 当 m0 时,令 f(x)0,得 x0; 令 f(x)0,得 x0. 故 f(x)在(,0)上单调递减,在(

6、0,)上单调递增. 当 m0 时,令 f(x)0,得 x0 或 xln (2m). 当 m1 2时,f(x)x(e x1)0, 故 f(x)在(,)上单调递增 当1 2m0 时,令 f(x)0, 得 x0 或 xln (2m), 令 f(x)0,得 ln (2m)x0, 即 f(x)在(ln (2m),0)上单调递减, 在(,ln (2m),(0,)上单调递增 当 m1 2时,令 f(x)0,得 x0 或 xln (2m), 令 f(x)0,得 0 xln (2m), 即 f(x)在(0,ln (2m)上单调递减,在(,0), (ln (2m),)上单调递增 (2)证明:设 F(x)f(x)m

7、x2x3(x1)exx31, 则 F(x)ex(x1)ex3x2x(ex3x), 设 (x)ex3x,则 (x)ex3. x 1 3,1 , (x)e30, (x)在 1 3,1 上单调递减, 又 1 3 3e10,(1)e30, (x)在 1 3,1 内存在唯一的零点,设为 x0. 则当1 3xx0 时,(x)0,F(x)0,F(x)单调递增; 当 x0 x1 时,(x)0,F(x)0,F(x)单调递减, 又 F 1 3 26 27 2 3e 1 3 2618e 1 3 27 0,F(1)0, F(x)0 在 x 1 3,1 上成立, 当 x 1 3,1 时,f(x)mx 2x3. 4已知函

8、数 f(x)ln x 1 xx (R). (1)当 x1 时,不等式 f(x)ln 2. 解 (1)由 f(x)ln x 1 xx (R), 得 f(x)x 2x x2 . 当 1 2时,方程x 2x0 的 1420, 因为x2x 在区间(1,)上恒为负数 所以 x1 时,f(x)0,函数 f(x)在区间(1,)上单调递减 又 f(1)0,所以函数 f(x)0 在区间(1,)上恒成立; 当 01 2时,方程x 2x0 有两个不等实根,且满足 x11 142 2 11 时,不等式 f(x)1 时,ln x1 2 1 xx (x1)(x1) 2x . 若 nN*, 则 ln 11 n 11 n 1 11 n 1 2 11 n 2n1 2n(n1), 即 ln (n1)ln n 1 2n 1 2(n1)成立 将 n 换成 n1,得 ln (1n)1ln (n1) 1 2(n1) 1 2(n1)1成立,即 ln (n2)ln (n1) 1 2(n1) 1 2(n2), 以此类推,得 ln (n3)ln (n2) 1 2(n2) 1 2(n3), ln 2nln (2n1) 1 2(2n1) 1 4n, 上述各式相加,得 ln 2nln nln 2ln 2.

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