1、高难解答突破训练(二) 1.已知点 P 1，3 2 在椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)上，F(1，0)是椭圆的一个焦点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)椭圆 C 上不与 P 点重合的两点 D， E 关于原点 O 对称， 直线 PD， PE 分别交 y 轴于 M， N 两点，求证：以 MN 为直径的圆被直线 y3 2截得的弦长是定值 解 (1)由题意可得， 1 a2 9 4b21，c1，a 2b2c2， 联立解得 a24，b23. 椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)证明：设直线 DE 的方程为 tyx，D(x1，y1)，E(x1，y1). 联立 tyx， x2 4
2、 y2 31， 可得 y2 12 3t24. D 2 3t 3t24， 2 3 3t24 ，E 2 3t 3t24， 2 3 3t24 . 直线 PD 的方程为 y3 2 4 333t24 4 3t23t24(x1)， 可得 M 0，3 2 4 333t24 4 3t23t24 ， 直线 PE 的方程为 y3 2 4 333t24 4 3t23t24(x1)， 可得 N 0，3 2 4 333t24 4 3t23t24 . 以 MN 为直径的圆的方程为 x2 y3 2 4 333t24 4 3t23t24 y3 2 4 333t24 4 3t23t24 0， 把 y3 2代入可得 x 2 48
3、9（3t24） 48t24（3t24）0， 即 x23 4. 解得 x 3 2 . 因此被直线 y3 2截得的弦长为 3，是定值. 2已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，焦距为 2 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若斜率为1 2的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点(点 P， Q 均在第一象限)， O 为坐标原点 证明：直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列； 若 Q与 Q 关于 x 轴对称，证明：tan POQ4 3. 解 (1)由题意可得， c a 3 2 ， 2c2 3， 解得 a2， c 3， b2a2c21， 椭圆 C 的方程为
4、x 2 4y 21. (2)证明：设直线 l 的方程为 y1 2xm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 y1 2xm， x2 4y 21， 消去 y 得 x22mx2(m21)0， 则 4m28(m21)4(2m2)0， 且 x1x22m，x1x22(m21)， y1y2 1 2x1m 1 2x2m 1 4x1x2 1 2m(x1x2)m 2m 21 2 . kOPkOQy1y2 x1x2 m21 2 2（m21） 1 4k 2 PQ， 即直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列 由题可知，xOQxOQ， 由可知，tan xOQtan xOP1 4，tan xOQ0，tan xOP
5、0， tan POQtan (xOQxOP) tan xOQtan xOP 1tan xOQtan xOP 4 3(tan xOQtan xOP) 4 32 tan xOQtan xOP4 3， 若xOQxOP，则 P，Q 两点重合，不符合题意，可知无法取得等号 tan POQ4 3. 3已知函数 f(x)mx2(x1)ex1(mR). (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)证明：当 x 1 3，1 时，f(x)mx 2x3. 解 (1)由题得，f(x)2mxxexx(ex2m). 当 m0 时，令 f(x)0，得 x0； 令 f(x)0，得 x0. 故 f(x)在(，0)上单调递减，在(
6、0，)上单调递增. 当 m0 时，令 f(x)0，得 x0 或 xln (2m). 当 m1 2时，f(x)x(e x1)0， 故 f(x)在(，)上单调递增 当1 2m0 时，令 f(x)0， 得 x0 或 xln (2m)， 令 f(x)0，得 ln (2m)x0， 即 f(x)在(ln (2m)，0)上单调递减， 在(，ln (2m)，(0，)上单调递增 当 m1 2时，令 f(x)0，得 x0 或 xln (2m)， 令 f(x)0，得 0 xln (2m)， 即 f(x)在(0，ln (2m)上单调递减，在(，0)， (ln (2m)，)上单调递增 (2)证明：设 F(x)f(x)m
7、x2x3(x1)exx31， 则 F(x)ex(x1)ex3x2x(ex3x)， 设 (x)ex3x，则 (x)ex3. x 1 3，1 ， (x)e30， (x)在 1 3，1 上单调递减， 又 1 3 3e10，(1)e30， (x)在 1 3，1 内存在唯一的零点，设为 x0. 则当1 3xx0 时，(x)0，F(x)0，F(x)单调递增； 当 x0 x1 时，(x)0，F(x)0，F(x)单调递减， 又 F 1 3 26 27 2 3e 1 3 2618e 1 3 27 0，F(1)0， F(x)0 在 x 1 3，1 上成立， 当 x 1 3，1 时，f(x)mx 2x3. 4已知函
8、数 f(x)ln x 1 xx (R). (1)当 x1 时，不等式 f(x)ln 2. 解 (1)由 f(x)ln x 1 xx (R)， 得 f(x)x 2x x2 . 当 1 2时，方程x 2x0 的 1420， 因为x2x 在区间(1，)上恒为负数 所以 x1 时，f(x)0，函数 f(x)在区间(1，)上单调递减 又 f(1)0，所以函数 f(x)0 在区间(1，)上恒成立； 当 01 2时，方程x 2x0 有两个不等实根，且满足 x11 142 2 11 时，不等式 f(x)1 时，ln x1 2 1 xx （x1）（x1） 2x . 若 nN*， 则 ln 11 n 11 n 1 11 n 1 2 11 n 2n1 2n（n1）， 即 ln (n1)ln n 1 2n 1 2（n1）成立 将 n 换成 n1，得 ln (1n)1ln (n1) 1 2（n1） 1 2（n1）1成立，即 ln (n2)ln (n1) 1 2（n1） 1 2（n2）， 以此类推，得 ln (n3)ln (n2) 1 2（n2） 1 2（n3）， ln 2nln (2n1) 1 2（2n1） 1 4n， 上述各式相加，得 ln 2nln nln 2ln 2.