1、第 3 讲 概率、随机变量及其分布列 考情研析 1.以选择题、 填空题的形式考查古典概型的基本应用 2.考查条件概率、 相互独立事件的概率及独立重复试验的概率 3.以实际问题为背景，多与统计结合考查离散 型随机变量的分布列、均值、方差 核心知识回顾 1.概率的计算公式 (1)古典概型的概率公式 P(A)A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . (2)互斥事件的概率计算公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB) 01P(A)P(B) (3)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A) 021P(B) 2离散型随机变量 (1)离散型随机变量分布列的性质 pi 01
2、0，i1，2，n. p1p2pipn 021 (2)数学期望公式 E(X) 03x1p1x2p2xipixnpn (3)方差公式 D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn，标准差为D（X）. (4)数学期望与方差的性质 E(aXb) 04aE(X)b(a，b 为常数). D(aXb) 05a2D(X)(a，b 为常数). 若 X 服从两点分布，则 E(X) 06p，D(X)07p(1p) 若 XB(n，p)，则 E(X) 08np，D(X)09np(1p) (5)独立事件同时发生的概率计算公式 P(AB) 10P(A)P(B)，独立重复试验的概率计算公式 Pn(k)Ck
3、np k(1p)nk(k0，1，2，n)，条件概率公式 P(B|A) 11 P（AB） P（A） (6)正态分布的定义及表示 如果随机变量 X 服从正态分布，记作 12XN(，2) 满足正态分布的三个常用数据： P(X)0.6826； P(2X2)0.9544； P(3”连接)； (2)在上面的句子中随机取一个单词，用 X 表示取到的单词所包含的字母个数，写出 X 的 分布列，并求出其数学期望； (3)从上述单词中任选两个单词，求其字母个数之和为 6 的概率 解 (1)英语译文中共有 29 个字母，e，i，t，a 四个字母出现的次数分别为 5，3，4，2， 所以它们的频率分别为 5 290.1
4、7， 3 290.10， 4 290.14， 2 290.069，其大小关系为：e 出现的 频率t 出现的频率i 出现的频率a 出现的频率. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 2，3，4，5， P(X2)2 9； P(X3)4 9； P(X4)2 9； P(X5)1 9. 所以 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 2 9 4 9 2 9 1 9 所以其数学期望为 E(X)22 93 4 94 2 95 1 9 29 9 . (3)满足字母个数之和为 6 的情况分为两种： 从含两个字母的两个单词中任取一个，再从含 4 个字母的两个单词中任取一个， 其取法 个数为 C1 2C 1 24；
5、从含 3 个字母的 4 个单词中任取两个，其取法个数为 C2 46， 故所求的概率为 PC 1 2C 1 2C 2 4 C2 9 46 36 5 18. 考向 4 与正态分布相关的概率统计 例 4 (2020 山东省高三第一次仿真联考)某公司采购了一些零件，为了检测这批零件是否 合格，从中随机抽测 120 个零件的长度(单位：分米)，按数据分成1.2，1.3，(1.3，1.4，(1.4， 1.5，(1.5，1.6，(1.6，1.7，(1.7，1.8这 6 组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大 于或等于 1.59 分米的零件有 20 个，其长度分别为 1.59，1.59，1.61，1.6
6、1，1.62，1.63，1.63， 1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这 120 个 零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率 (1)求这批零件的长度大于 1.60 分米的频率，并求频率分布直方图中 m，n，t 的值； (2)若从这批零件中随机选取 3 个，记 X 为抽取的零件长度在(1.4，1.6的个数，求 X 的分 布列和数学期望； (3)若变量 S 满足|P(S)0.6826|0.05 且|P(2S2)0.9544|0.05， 则称变量 S 满足近似于正态分布 N(，2)的概率分布
7、如果这批零件的长度 Y(单位：分米)满 足近似于正态分布 N(1.5， 0.01)的概率分布， 则认为这批零件是合格的， 将顺利被签收， 否则， 公司将拒绝签收试问，该批零件能否被签收？ 解 (1)由题意可知 120 个样本零件中长度大于 1.60 分米的共有 18 件， 则这批零件的长度 大于 1.60 分米的频率为 18 1200.15. 记 Y 为零件的长度，则 P(1.2Y1.3)P(1.7Y1.8) 3 1200.025， P(1.3Y1.4)P(1.6Y1.7) 15 1200.125， P(1.4Y1.5)P(1.5Y1.6)1 2(120.02520.125)0.35. 故 m
8、0.025 0.1 0.25，n0.125 0.1 1.25，t0.35 0.1 3.5. (2)由(1)可知从这批零件中随机选取 1 个，长度在(1.4，1.6的概率 P20.350.7， 且随机变量 X 服从二项分布，即 XB(3，0.7)， 则 P(X0)C0 3(10.7) 30.027，P(X1)C1 3(10.7) 20.70.189，P(X2)C2 3 (10.7)0.720.441，P(X3)C3 30.7 30.343. 故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 E(X)00.02710.18920.44130.343
9、2.1(或 E(X)30.72.1). (3)由题意可知 1.5，0.1. 则 P(Y)P(1.4Y1.6)0.7， P(2Y2)P(1.3Y1.7)0.1250.350.350.1250.95. 因为|0.70.6826|0.01740.05，|0.950.9544|0.00440.05，所以这批零件的长度满 足近似于正态分布 N(1.5，0.01)的概率分布，应认为这批零件是合格的，将顺利被公司签收 (1)正态分布的核心是正态密度曲线的对称性，利用对称性，可以由已知区间上的概率求 未知区间上的概率 (2)如果某个总体服从正态分布，则某个个体在指定区间内的概率就是一个固定值，若干 个个体在该
10、区间上出现的情况就是独立重复试验 (2020 山东省潍坊市三模)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程， 某企业每天 从该生产线上随机抽取 10000 个零件，并测量其内径(单位：cm).根据长期生产经验，认为这 条生产线正常状态下生产的零件的内径 X 服从正态分布 N(，2).如果加工的零件内径小于 3 或大于 3 均为不合格品，其余为合格品 (1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的 10000 个零件中不合格品的个数约为多少？ (2)若生产的某件产品为合格品，则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品，则该 件产品亏损已知每件产品的利润 L(单位：元)与零件的内径 X 有如下关系：
11、L 5，X3， 4，3X3. 求该企业一天从生产线上随机抽取 10000 个零件的平均利润 附：若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，则 P(X)0.6826，P(2X 2)0.9544，P(3X3)0.9974. 解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)内的概率为 0.9974， 从而抽取一个零件为不合格品的概率为 0.0026， 因此，一天内抽取的 10000 个零件中不合格品的个数约为 100000.002626. (2)结合正态分布曲线和题意可知， P(X3)0.0013， P(3X3)0.0013， 故该企业一天从生产线上随机抽取 10000 个零件的平均利润为 10000(5
12、0.001340.157460.840050.0013)56566 元 真题押题 真题检验 1(2020 新高考卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游 泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占 该校学生总数的比例是( ) A62% B56% C46% D42% 答案 C 解析 记“该中学学生喜欢足球”为事件 A， “该中学学生喜欢游泳”为事件 B，则“该 中学学生喜欢足球或游泳”为事件 AB， “该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 AB， 由题意可知 P(A)0.6，P(B)0.82，P(AB)0.96，所以 P(A
13、B)P(A)P(B)P(AB)0.6 0.820.960.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46%.故选 C. 2(2020 全国卷)设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取 到的 3 点共线的概率为( ) A1 5 B2 5 C1 2 D4 5 答案 A 解析 如图，从 O，A，B，C，D 5 个点中任取 3 点有O，A，B，O，A，C，O，A， D，O，B，C，O，B，D，O，C，D，A，B，C，A，B，D，A，C，D，B，C， D共 10 种等可能的不同取法，3 点共线的有A，O，C与B，O，D共 2 种取法由古典
14、概 型的概率计算公式，知取到 3 点共线的概率为 2 10 1 5.故选 A. 3(2020 浙江高考)一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放 回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则 P(0)_；E()_ 答案 1 3 1 解析 因为 0 对应的事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以 P( 0)1 4 1 4 1 3 1 3.随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，P(1) 2 4 1 3 2 4 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 1 3，P(2)1 1 3 1 3 1 3，所以 E()0 1 31 1 32 1 31. 4(2020 江
15、苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点 数和为 5 的概率是_ 答案 1 9 解析 根据题意可得基本事件数共有 6636 个，点数和为 5 的基本事件有(1，4)，(4， 1)，(2，3)，(3，2)，共 4 个，所以向上的点数和为 5 的概率为 4 36 1 9. 5(2020 全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者 被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场 比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其 中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，
16、甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛 双方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率 解 (1)记事件 M 为甲连胜四场， 则 P(M) 1 2 4 1 16. (2)记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 PP(ABAB)P(ACAC)P(BCBC)P(BABA)4 1 2 4 1 4， 所以需要进行第五场比赛的概率为 P1P3 4. (3)记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输， 事件 M 为甲赢，事件 N 为丙赢， 则甲赢的基本事件包括 BCBC，ABCBC，AC
17、BCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC， BCBAC， 所以甲赢的概率为 P(M) 1 2 4 7 1 2 5 9 32. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙最终获胜的概率为 P(N)12 9 32 7 16. 6 (2020 江苏高考)甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球， 乙口袋中装有 3 个白球 现从甲、 乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn. (1)求 p1q1和 p2q2； (2)求 2pnqn与 2pn1qn1的递推关系式和 Xn的
18、数学期望 E(Xn)(用 n 表示). 解 (1)p113 33 1 3，q1 23 33 2 3， 故 p1q12 9. p2p113 33q1 21 33 1 3 1 3 2 3 2 9 7 27， q2p123 33q1 1122 33 1 3 2 3 2 3 5 9 16 27. 故 p2q2112 729. (2)pnpn113 33qn1 21 33 1 3pn1 2 9qn1， qnpn123 33qn1 1122 33 (1pn1qn1)32 33 1 9qn1 2 3， 因此，2pnqn2 3pn1 1 3qn1 2 3， 从而 2pnqn1 3(2pn1qn1) 2 3，
19、所以 2pnqn11 3(2pn1qn11)， 即 2pnqn1(2p1q11) 1 3n1， 所以 2pnqn1 1 3n. 因为 Xn的分布列为 Xn 0 1 2 P 1pnqn qn pn 故 E(Xn)2pnqn1 1 3n. 金版押题 7某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以 a1为首项，公比为 2 的 等比数列，相应奖金是以 700 元为首项，公差为140 元的等差数列，则参与该游戏获得奖金 的数学期望为_元 答案 500 解析 由随机变量概率分布的性质， 得 a12a14a11， 解得 a11 7，从而 2a1 2 7，4a1 4 7. 因此，获得奖金 的分布列为
20、 700 560 420 P 1 7 2 7 4 7 E()7001 7560 2 7420 4 7500， 故参与该游戏获得奖金的数学期望为 500 元 8 某班级 50 名学生的考试分数 x 分布在区间50， 100)内， 设考试分数 x 的分布频率是 f(x) 且 f(x) n 100.4，10nx10（n1），n5，6，7， n 5b，10nx10（n1），n8，9. 考试成绩采用“5 分制”， 规定： 考试分数在50， 60)内的成绩记为 1 分， 考试分数在60， 70)内的成绩记为 2 分，考试分数在70，80)内的成绩记为 3 分，考试分数在80，90)内的成绩 记为 4 分，
21、考试分数在90，100)内的成绩记为 5 分在 50 名学生中用分层抽样的方法，从成 绩为 1 分，2 分及 3 分的学生中随机抽出 6 人，再从这 6 人中随机抽出 3 人，记这 3 人的成绩 之和为 (将频率视为概率). (1)求 b 的值，并估计该班的平均考试分数； (2)求 P(7)； (3)求 的分布列和数学期望 解 (1)因为 f(x) n 100.4，10nx10（n1），n5，6，7， n 5b，10nx4) P(2)0.4， 所以 P(4)0.6， 所以 r 是正确的； 随机变量B(n， p)， 且 E()np200， D()np(1p)100，所以 200(1p)100，解
22、得 p0.5，所以 q 是正确的，故选 D. 5 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a， 得 2 分的概率为 b， 不得分的概率为 c(a， b，c(0，1)，已知他投篮一次得分的均值为 2(不计其他得分情况)，则 ab 的最大值为( ) A 1 48 B 1 24 C 1 12 D1 6 答案 D 解析 设投篮得分为随机变量 X，则 X 的分布列为 X 3 2 0 P a b c 依题意，E(X)3a2b2. a，b(0，1)，23a2b2 6ab，即 ab1 6， 当且仅当 3a2b，即 a1 3，b 1 2时上式取等号 6五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同
23、学不值周一，乙同 学不值周五，且甲、乙不相邻的概率是( ) A 3 10 B 7 20 C2 5 D13 30 答案 B 解析 由题意，总的基本事件数为五个人的全排列数 A5 5.设“甲不值周一，乙不值周五， 且甲、乙不相邻”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数可按甲值班日期分类计算，当甲值周 二时， 有 A3 3种； 当甲值周三时， 有 A 3 3种； 当甲值周四时， 有 2A 3 3种； 当甲值周五时， 有 3A 3 3种 所 以事件 A 包含的基本事件数 n(A)A3 3A 3 32A 3 33A 3 37A 3 3，所以事件 A 发生的概率为 P(A) 7A 3 3 A5 5 7
24、20，故选 B. 7 (2020 山东省聊城市模拟)在 2019 年女排世界杯比赛中， 中国队以十一连胜的骄人成绩 夺得了冠军，成功卫冕，收到习近平总书记的贺电，团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为 学习女排精神，A，B 两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根 据以往经验，单局比赛中 A 校排球队胜 B 校排球队的概率为3 5，设各局比赛相互间没有影响， 则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为( ) A 72 625 B 78 625 C162 625 D234 625 答案 D 解析 在此次比赛中，四局结束比赛包含两种情况：前 3 局 A 两胜一负，第四局 A 胜； 前
25、 3 局 A 一胜两负， 第四局 A 负 故在此次比赛中， 四局结束比赛的概率为 PC2 3 3 5 2 2 5 3 5C 1 33 5 2 5 2 2 5 234 625.故选 D. 8(2020 河北省石家庄市模拟)一台仪器每启动一次都随机地出现一个 3 位的二进制数 A a1a2a3，其中 A 的各位数字中，ak(k1，2，3)出现 0 的概率为1 3，出现 1 的概率为 2 3.若 启动一次出现的数字为 A100，则称这次试验成功若成功一次得 2 分，失败一次得1 分， 则 81 次这样的重复试验的总得分 X 的数学期望和方差分别为( ) A63，50 9 B63，50 C6，50 9
26、 D6，50 答案 B 解析 启动一次出现数字为 A100 的概率 P2 3 1 3 2 2 27，由题意知试验成功的次数符 合二项分布，根据试验成功的概率和试验次数的值，有试验成功的次数 B 81， 2 27 ，则 的数学期望为 E()81 2 276， 的数学方差为 D()81 2 27 25 27 50 9 .则得分 X21(81 )381，所以 E(X)E(381)3E()8163，D(X)D(381)9D()50.故选 B. 二、填空题 9一个盒中有形状、大小、质地完全相同的 5 张扑克牌，其中 3 张红桃，1 张黑桃，1 张梅花现从盒中一次性随机抽出 2 张扑克牌，则这 2 张扑克
27、牌花色不同的概率为_ 答案 7 10 解析 所有可能出现的情况有(红 1，黑 1)，(红 1，梅 1)，(红 2，黑 1)，(红 2，梅 1)，(红 3，黑 1)，(红 3，梅 1)，(红 1，红 2)，(红 1，红 3)，(红 2，红 3)，(黑 1，梅 1)，共 10 种，这 10 种情况出现的可能性相等其中符合花色不同的情况有(红 1，黑 1)，(红 1，梅 1)，(红 2， 黑 1)，(红 2，梅 1)，(红 3，黑 1)，(红 3，梅 1)，(黑 1，梅 1)，共 7 种根据古典概型的概率 公式，得 P 7 10. 10(2020 山东省淄博市模拟)设随机变量 N(4，9)，若实数
28、a 满足 P(3a2)P( 2a1)，则 a 的值是_ 答案 7 5 解析 由随机变量 N(4，9)，得正态分布曲线的对称轴方程为 x4， 又实数 a 满足 P(3a2)P(2a1)， 3a22a1 2 4，a7 5. 11近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断 增大， 动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的 主要动力假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%， 充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经 过了 2000 次充电
29、，那么他的车能够充电 2500 次的概率为_ 答案 7 17 解析 设事件 A：车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次，事件 B：车载动力蓄电 池充放电循环次数达到 2500 次，则 P(A) 85 100，P(AB) 35 100，所以若某用户的自用新能源汽 车已经经过了 2000 次充电， 那么他的车能够充电 2500 次的概率为 P(B|A)P（AB） P（A） 35 100 85 100 35 85 7 17. 12(2020 百校联盟 6 月质检)2020 年新型冠状病毒疫情期间，大学生小白同学在家里根 据某款运动软件安排的训练计划进行运动，每天训练一次，连续 3 天为一个运
30、动周期，若小白 每天不能参加训练的概率为1 4，假设小白每天的训练是相互独立的，若一个训练周期内出现 2 次不能参加训练，则停止该训练计划，则这个训练计划在第二个完整周期后结束的概率为 _ 答案 81 1024 解析 一个周期内就停止训练的概率为 1 4 2 2 1 4 2 3 4 5 32，这个训练计划持续两个周 期的概率为 1 5 32 2 1 4 2 3 4 81 1024. 三、解答题 13(2020 山东省济南市二模)2020 年 4 月 21 日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考 察调研，在镇中心小学的课堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教 育部门为了了解全市
31、中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽取 1000 名中学生进 行调查，统计他们每周参加体育锻炼的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图 (1)已知样本中每周体育锻炼时长不足 4 小时的中学生有 100 人，求直方图中 a，b 的值； (2)为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况，利用分层抽样的方法从10， 12)和12，14两组中共抽取了 6 名中学生参加线上座谈会，现从上述 6 名学生中随机抽取 2 名在会上进行体育锻炼视频展示，求这 2 名学生来自不同组的概率 解 (1)由题意知 100 10002a，(b2a0.0750.10.2)21，所以 a0.05，b0.
32、025. (2)因为a b2，所以 6 名学生中有 4 名来自于10，12)组，有 2 名来自于12，14组，记事 件 A 为“这 2 名学生来自不同组”，则 P(A)C 1 4C 1 2 C2 6 8 15. 14 (2020 北京市顺义区二模)在全民抗击新冠肺炎疫情期间， 北京市开展了“停课不停学” 活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用活动开展一个月后，某学校随机 抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据 分成3，4)，4，5)，5，6)，6，7)，7，8五组，并整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有 600 名学
33、生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学 习时间达到 5 小时及以上的学生人数； (2)已知这两个班级各有 40 名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足 4 小时的学生中 随机抽取 3 人，记从甲班抽到的学生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； (3)记甲、 乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为 D1， D2， 试比较 D1与 D2的大小 (只 需写出结论) 解 (1)根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到 5 小时及以上的学生人数 约为 600(0.5000.2500.050)480. (2)甲班每天学习时间不足 4 小时的学生人数为 400.0502， 乙班每天学习
34、时间不足 4 小时的学生人数为 400.1004， 从甲班抽到的学生人数 X 可取的值为 0，1，2， 则 P(X0)C 0 2C 3 4 C3 6 1 5，P(X1) C1 2C 2 4 C3 6 3 5， P(X2)C 2 2C 1 4 C3 6 1 5， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 则 X 的数学期望为 E(X)01 51 3 52 1 51. (3)结合频率分布直方图，可知甲班学生每天学习时间更集中，所以 D1D2. 15 今年学雷锋日，某中学计划从高中三个年级选派 4 名教师和若干名学生去当学雷锋文 明交通宣传志愿者， 用分层抽样法从高中三个年级
35、的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传 小组，学生的选派情况如下： 年级 相关人数 抽取人数 高一 99 x 高二 27 y 高三 18 2 (1)求 x，y 的值； (2)若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取 3 人参加文明交通宣传，求他们中恰好 有 1 人是高三年级学生的概率； (3)若 4 名教师可去 A，B，C 三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教 师去 A，B，C 三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立记到文明交通 宣传点 A 的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 解 (1)由题意可得 x 99 y 27 2 18，所以 x11，y3.
36、 (2)设“他们中恰好有 1 人是高三年级学生”为事件 A， 则 P(A)C 2 14C 1 2 C3 16 13 40. (3)X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择 A，B，C 三个学雷锋 文明交通宣传点的概率都是1 3. 所以 P(X0)C0 4 1 3 0 2 3 4 16 81， P(X1)C1 4 1 3 1 2 3 3 32 81， P(X2)C2 4 1 3 2 2 3 2 24 81 8 27， P(X3)C3 4 1 3 3 2 3 1 8 81， P(X4)C4 4 1 3 4 2 3 0 1 81， 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2
37、3 4 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 E(X)016 811 32 812 8 273 8 814 1 81 4 3. 16(2020 广东省广州市一模)某种规格的矩形瓷砖(600 mm600 mm)根据长期检测结果， 各厂生产的每片瓷砖质量 x(kg)都服从正态分布 N(，2)，并把质量在(3，3)之外的瓷 砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品 (1)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查，求至少有 1 片是废品的概率； (2)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别 为 a(mm)，b(mm)，则“尺寸误差”为|a
38、600|b600|(mm)，按行业生产标准，其中“优 等”“一级”“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是0，0.2，(0.2，0.5，(0.5，1.0(正品瓷 砖中没有“尺寸误差”大于 1.0 mm 的瓷砖)，每片价格分别为 7.5 元、6.5 元、5.0 元现分别 从甲、 乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖， 相应的“尺寸误差”组成的样 本数据如下： 甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表 尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 乙厂瓷砖的“尺寸误差”条形图 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率. 记甲厂该
39、种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为(元)，求 的分布列及数学期望 E()； 由图可知， 乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”“一级”两种， 求 5 片该规格的 正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率 附： 若随机变量Z服从正态分布N(， 2)， 则P(3Z3)0.9974； 0.9974100.9743， 0.840.4096，0.850.32768. 解 (1)由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(3，3)之内的概率为 0.9974， 则这 10 片质量全都在(3，3)之内(即没有废品)的概率为 0.9974100.9743，则这 10 片 中至少有 1 片是废品的概率为 10.97
40、430.0257. (2)由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得甲厂生产 的一片正品瓷砖为“优等”“一级”“合格”的概率分别为 0.7，0.2，0.1， 则 的可能取值为 15，14，12.5，13，11.5，10， P(15)0.70.70.49， P(14)0.70.220.28， P(12.5)0.70.120.14， P(13)0.20.20.04， P(11.5)0.20.120.04， P(10)0.10.10.01， 故 的分布列如下： 15 14 13 12.5 11.5 10 P 0.49 0.28 0.04 0.14 0.04 0.01 数学期望为 E()150.49140.28130.0412.50.1411.50.04100.01 7.353.920.521.750.460.114.1(元). 设乙陶瓷厂 5 片该规格的正品瓷砖中有 n 片“优等”品，则有 5n 片“一级”品，由 题意，得 7.5n6.5(5n)36，解得 n3.5，则 n 取 4 或 5. 故所求的概率为 PC4 50.8 40.20.850.40960.327680.73728.
