1、第 2 讲 新定义型、创新型、应用型试题突破 考情研析 本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以 及创造性解决问题的能力高考中一般会以选择题的形式出现，分值 5 分，题目新而不难，备 考时要高度重视 核心知识回顾 1.新定义型问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据 此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻 理解对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求但是，透过现象看本质，它们 考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才 是制胜法宝 2创
2、新型问题 创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题 时要注意进行文字阅读训练， 培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力， 加强 数学语言符号语言图形语言相互转换的能力训练， 善于把不熟悉的问题转化为熟悉的 问题来加以解决 3实际应用型问题 将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确 题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现 实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工 具加以解决). 热点考向探究 考向 1 新定义型问题 例 1
3、(1)已知集合 M(x，y)|yf(x)，若对于 (x1，y1)M， (x2，y2)M，使得 x1x2 y1y20 成立，则称集合 M 是“互垂点集”给出下列四个集合：M1(x，y)|yx21； M2(x，y)|yln x；M3(x，y)|yex；M4(x，y)|ysin x1其中是“互垂点集”集 合的为( ) AM1 BM2 CM3 DM4 答案 D 解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合 M1，当 x10 时，y11，x1x2 y1y2y2x2 210 不成立，所以集合 M1不是“互垂点集”对于集合 M2，x0，当 x11 时，y10，x1x2y1y2x20
4、 不成立，所以集合 M2不是“互垂点集”对于集合 M3，当 x1 0 时，y11，x1x2y1y2y2ex20 不成立，所以集合 M3不是“互垂点集”排除 A，B， C.故选 D. (2)(2020 湖南省郴州市高三一模)丹麦数学家琴生(Jensen)是 19 世纪对数学分析做出卓越 贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果设函数 f(x)在(a， b)上的导函数为 f(x)，f(x)在(a，b)上的导函数为 f(x)，若在(a，b)上 f(x)0 恒成立，则 称函数 f(x)在(a，b)上为“凸函数”已知 f(x)exx ln xm 2x 2 在(1，4)上为“凸函数
5、”则 实数 m 的取值范围是( ) A(，2e1 Be1，) C e41 4， D(e，) 答案 C 解析 f(x)exx ln xm 2x 2 在(1，4)上为“凸函数” ，f(x)exln xmx1，f(x) ex1 xm0 在(1，4)上恒成立，f(x)e x1 xm 在(1，4)上单调递增，f(x)e 4m 1 4，f(x)0 恒成立，e 4m1 40，me 41 4.故选 C. 遇到新定义问题， 应耐心读题， 分析新定义的特点， 弄清新定义的性质 按新定义的要求， “照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决对于选择题，可以结合选项通过验 证，用排除、对比、特值等方法求解 定义
6、两个实数间的一种新运算：x*ylg (10 x10y)，x，yR.对任意实数 a，b，c，给 出如下结论： (a*b)*ca*(b*c)； a*bb*a； (a*b)c(ac)*(bc)， 其中正确的是( ) A B C D 答案 D 解析 根据运算法则，可知(a*b)*clg (10a10b10c)，a*(b*c)lg (10a10b10c)，所 以(a*b)*ca*(b*c)，故正确；结合相应式子的运算律，可知 a*bb*a，故正确；(a*b) clg (10a10b)c.(ac)*(bc)lg (10ac10bc)lg 10c(10a10b)lg (10a10b)c，所 以(a*b)c(
7、ac)*(bc)，故正确所以正确的是，故选 D. 考向 2 创新型问题 例 2 (2020 山东省济南市模拟)已知水平地面上有一半径为 4 的球，球心为 O，在平行光 线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆 C.如图椭圆中心为 O，球与地面的接触点为 E，OE 3.若光线与地面所成的角为 ，则 sin _，椭圆的离心率 e_ 答案 4 5 3 5 解析 连接 OO，在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即 b4，由图可知O ABOBA1 2(AABBBA) 1 218090，可得AOB90，由 O 是中点，故 有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，在直角三角形 OOE 中，OO2OE2OE23
8、2 4252，即 a5，ec a 3 5，sin OE OO 4 5. 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化， 解 决创新型问题应注意认真审题，深刻理解题意，开阔思路，发散思维，注意知识的迁移和综合 运用 在实数的原有运算法则(“ ”“”仍为通常的乘法和减法)中， 我们补充定义新运算“” 如下：当 ab 时，aba；当 a1）， 2x 2（x2）， x2（x2）， 所以 f(x) x2（x1）， x32（12）， 可求出当 x1 时，函数 f(x)的最大值是1；当 1x2 时，函数 f(x)的最大值是 6.所以当 x2，2时，函数 f(x)(1x) x(2
9、x)的最大值为 6，选 C. 考向 3 实际应用型问题 例 3 (2020 辽宁省渤大附中、育明高中高三五模)一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将 来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄 a 元一年定期，若年利率为 r 保持 不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子 18 岁生日时不再存入，将 所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为( ) Aa(1r)17 Ba r(1r) 17(1r) Ca(1r)18 Da r(1r) 18(1r) 答案 D 解析 根据题意，当孩子 18 岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计 为 a(1r)17，
10、同理，孩子在 2 周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 a(1r)16，孩子在 3 周 岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 a(1r)15，孩子在 17 周岁生日时存入的 a 元产生 的本利合计为 a(1r)， 可以看成是以 a(1r)为首项， (1r)为公比的等比数列的前 17 项的和， 此时将存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数 Sa(1r)17a(1r)16a(1r) a（1r）（1r）171 1r1 a r(1r) 18(1r).故选 D. 求解应用题的一般步骤(四步法) (1)读题：读懂和深刻理解题意，并译为数学语言，找出主要关系； (2)建模：把主要关系近似化、形式化，
11、抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释 或验证 某网店是一家以销售袜子为主的店铺， 该网店月销量 L(x)(单位： 千双)是关于销售单价 x(单 位：元)的函数已知销售单价不低于 1 元当月销售量最少为 0.205 千双时，该店才会正常营 业，否则会亏本停业；当销售单价为 20 元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售 单价不超过 4 元时，月销售量为 2.125 千双研究表明：当 4x20 时，月销售量 L(x)与销 售单价 x 的函数关系为 L(x) a x2b(a，b
12、为常数).记月销售额(单位：千元)为 f(x)x L(x)，为使 f(x)达到最大值，则销售单价 x 应为( ) A1 元 B2 元 C3 元 D4 元 答案 D 解析 由题意得，当 1x4 时，L(x)2.125；当 x20 时，L(x)0.205；当 4x20 时，L(x) a x2b(a，b 为常数)， 则 L（4）2.125， L（20）0.205，即 a 42b2.125， a 202b0.205， 解得 a32， b1 8， 所以 L(x)32 x2 1 8，故函数 L(x)的表达式为 L(x) 2.125，1x4， 32 x2 1 8，4x20. 故 f(x)x L(x) 2.1
13、25x，1x4， 32 x x 8，4x20. 当 1x4 时，f(x)为增函数，故当 x4 时，f(x)的最 大值为 8.5；当 40(i1，2，n)， i1 n pi1，定义 X 的信息熵 H(X) i1 n pilog2pi( ) A若 n1，则 H(X)0 B若 n2，则 H(X)随着 p1的增大而增大 C若 pi1 n(i1，2，n)，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D 若 n2m， 随机变量 Y 所有可能的取值为 1， 2， ， m， 且 P(Yj)pjp2m1j(j1， 2，m)，则 H(X)H(Y) 答案 AC 解析 对于 A，若 n1，则 i1，p11，所以 H(X)(1
14、log21)0，所以 A 正确；对 于 B，若 n2，则 i1，2，p21p1，所以 H(X)p1log2p1(1p1) log2(1p1)，当 p11 4时，H(X) 1 4 log2 1 4 3 4 log2 3 4 ，当 p13 4时，H(X) 3 4 log2 3 4 1 4 log2 1 4 ，两者相等， 所以 B 错误；对于 C，若 pi1 n(i1，2，n)，则 H(X) 1 n log2 1 n nlog21 nlog2n， 则 H(X)随着 n 的增大而增大，所以 C 正确；对于 D，若 n2m，随机变量 Y 所有可能的取值 为 1，2，m，且 P(Yj)pjp2m1j(j1
15、，2，m).H(X) i1 2m pilog2pi i1 2m pilog21 pi p1log2 1 p1p2log2 1 p2p2m1log2 1 p2m1p2mlog2 1 p2m.H(Y)(p1p2m) log2 1 p1p2m(p2 p2m1) log2 1 p2p2m1(pmpm1) log2 1 pmpm1p1 log2 1 p1p2mp2 log2 1 p2p2m1 p2m1log2 1 p2p2m1p2mlog2 1 p1p2m，因为 pi0(i1，2，2m)，所以 1 pi 1 pip2m1i， 所以 log21 pilog2 1 pip2m1i，所以 pilog2 1 p
16、ipilog2 1 pip2m1i，所以 H(X)H(Y)，所以 D 错 误故选 AC. 5(2020 新高考卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心， A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点， B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tan ODC3 5，BHDG，EF12 cm， DE2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积 为_ cm2. 答案 45 2 解析 设 OBOAr，如图，过点 A 作直线 DE 和 EF 的垂
17、线，垂足分别为 M，N，AN 交 CG 于点 P.由题意知 AMAN7，EF12，所以 NF5，又因为 DE2，所以 AP5，则 APPGNF5，所以AGP45，因为 BHDG，所以AHO45，因为 AG 与圆弧 AB 相切于 A 点，所以 OAAG，即OAH 为等腰直角三角形. 在 RtOQD 中，OQ5 2 2 r，DQ7 2 2 r，因为 tan ODCOQ DQ 3 5，所以 21 3 2 2 r255 2 2 r，解得 r2 2，所以等腰直角三角形 OAH 的面积为 S11 22 22 24，扇形 AOB 的面积为 S21 2 3 4 (2 2)23，所以阴影部分的面积为 S1S21
18、 21 245 2 . 金版押题 6已知一族双曲线 En：x2y2 n 2020(nN *，n2020)，设直线 x2 与 En 在第一象限内 的交点为 An，点 An在 En的两条渐近线上的射影分别为 Bn，Cn，记AnBnCn的面积为 an，则 a1a2a3a2020_ 答案 2021 8 解析 设 An(x0，y0)，可得 x2 0y 2 0 n 2020. 双曲线 En：x2y2 n 2020(nN *，n2020)的渐近线方程分别为 xy0，xy0. 由点 An在 En的两条渐近线上的射影分别为 Bn，Cn，不妨设 Bn在第一象限内，可得|AnBn| |x 0y0| 2 ， |AnC
19、n|x 0y0| 2 ，易知双曲线 En的两条渐近线互相垂直， 可得 AnBnAnCn， 则AnBnCn的面积 an1 2|AnBn|AnCn| 1 2 |x0y0| 2 |x 0y0| 2 x 2 0y 2 0 4 1 8080n，则 a1a2a3 a2020 1 8080 1 220202021 2021 8 . 专题作业 一、选择题 1某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的 余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用 取整函数 yx(其中x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( ) Ay x
20、5 10 By x4 10 Cy x3 10 Dy x 10 答案 C 解析 根据题意，当 x16 时 y1，所以 A，B 不正确；当 x17 时 y2，所以 D 不正 确，故选 C. 2(2020 山东省济南市二模)任何一个复数 zabi(其中 a，bR，i 为虚数单位)都可以 表示成 zr(cos isin)(其中 r0，R)的形式，通常称之为复数 z 的三角形式法国数学 家棣莫弗发现： r(cos isin)nrn cos nisinn(nN*)， 我们称这个结论为棣莫弗定理 由 棣莫弗定理可知， “m 为偶数”是“复数 cos 4isin 4 m 为纯虚数”的( ) A充分不必要条件
21、B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 cos 4isin 4 m cos m 4 isinm 4 为纯虚数，故 cos m 4 0 且 sin m 4 0，故 m2 4k，kZ，故“m 为偶数”是“m24k，kZ”的必要不充分条件故选 B. 3设 a，bR，定义运算“”和“”如下：ab a，ab， b，ab， ab b，ab， a，ab， 若 正数 a，b，c，d 满足 ab4，cd4，则( ) Aab2，cd2 Bab2，cd2 Cab2，cd2 Dab2，cd2 答案 C 解析 不妨设 ab，cd，则 abb，cdc.若 b2，则 a2，ab2，则 d2，c
22、d4，与 cd4 矛盾，c2.故 cd2.故选 C. 4对于ABC，若存在A1B1C1，满足cos A sin A1 cos B sin B1 cos C sin C11，则称ABC 为“V 类三 角形”“V 类三角形”一定满足( ) A有一个内角为 30 B有一个内角为 45 C有一个内角为 60 D有一个内角为 75 答案 B 解析 由对称性，不妨设 A1和 B1为锐角，则 A1 2A，B1 2B，所以 A1B1(A B)C，于是 cos Csin C1sin (A1B1)sin C，即 tan C1，解得 C45，故选 B. 5(2020 河北省石家庄市一模)设符号 minx，y，z表示
23、 x，y，z 中的最小者，已知函数 f(x)min|x2|，x2，|x2|，则下列结论正确的是( ) A x0，)，f(x2)f(x) B x1，)，f(x2)f(x) C xR，f(f(x)f(x) D xR，f(f(x)f(x) 答案 C 解析 如图所示，由题意可得，A 中， f(x) x 2，x0，1， |x2|，x（1，）. B 中，当 1x2 时，1x20，f(x2)f(2x)2xf(x)， 当 2x3 时，0x21，f(x2)x2f(x)， 当 3x4 时，1x22，f(x2)2(x2)4xx2f(x)，当 x4 时，x22， 恒有 f(x2)1，故选 B. 7 若存在正实数 a，
24、 b， 使得 xR 有 f(xa)f(x)b 恒成立， 则称 f(x)为“限增函数” 给 出以下三个函数：f(x)x2x1；f(x) |x|；f(x)sin (x2)，其中是“限增函数”的是 ( ) A B C D 答案 B 解析 对于， f(xa)f(x)b即(xa)2(xa)1x2x1b， 即2axa2ab， xa 2ab 2a 对一切 xR 恒成立， 显然不存在这样的正实数 a， b.对于， |xa| |x|b， |xa|x|b22b |x|，而|xa|x|a，|x|a|x|b22b |x|，则 |x|ab 2 2b ，显然，当 ab2时式子恒成立，f(x) |x|是“限增函数”对于，1
25、f(x)sin (x2)1，故 f(xa) f(x)2，当 b2 时，对于任意的正实数 a，b 都成立故选 B. 8 (2020 湖南省衡阳市高三一模)衡东土菜辣美鲜香， 享誉三湘 某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 y(单位：万元)随经营利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金 不能超过利润的 20%.下列函数模型中，符合该点要求的是( ) (参考数据：1.0151004.432，lg 111.041) Ay0.04x By1.015x1 Cytan x 191 Dylog11(3
26、x10) 答案 D 解析 对于函数 y0.04x，当 x100 时，y43 不符合题意；对于函数 y1.015x1， 当 x100 时，y3.4323 不符合题意；对于函数 ytan x 191 ，不满足递增，不符合题意； 对于函数 ylog11(3x10)，满足当 x(6，100时是增函数，且 ylog11(310010) log11290log1113313，结合如下图象，符合题意，故选 D. 9若函数 yf(x)的图象上存在两个点 A，B 关于原点对称，则称点对A，B为 yf(x)的 “友情点对”，点对A，B与B，A可看作同一个“友情点对”，若函数 f(x) 2，x0 时，f(x)x36
27、x29xa，则f(x) x36x29xa， 即x36x29xa2(x0)有两个实数根， 即 ax36x29x2(x0)有两 个实数根画出 yx36x29x2(x0时， x2y21|x|y1|xy|1x 2y2 2 ， 所以x2y22， 所以x2y2 2，当 y0 时，x2y21|x|y1，故正确如图，由知长方形 CDFE 的面积为 2， BCE 的面积为 1，所以曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 3，故错误故选 C. 11(2020 山东省青岛市高三期中)英国数学家泰勒发现了如下公式：cos x1 x2 12 x4 1234 x6 123456.则下列数值更接近 cos 0.4 的是(
28、 ) A0.91 B0.92 C0.93 D0.94 答案 B 解析 由题知 cos x1(1)1 x2 12(1) 2 x4 1234(1) 3 x6 123456 (1)n x2n （2n）！. 题设要求精确到 0.01 即可， 当 n 为奇数时，由于 1 0.42 1210.080.92， 0.44 1234 0.46 1234560，所以 cos 0.41 0.42 12 0.44 1234 0.46 1234560.92； 当 n 为偶数时， 由于 1 0.42 12 0.44 12340.922， 0.46 123456 0.48 123456780， cos 0.4 1 0.42
29、 12 0.44 1234 0.46 123456 0.48 12345678 0)，则 f()为周期函数 B对于 0， 2 ，sin 的最小值为2 C若 f()a sin (1)ln 在区间(0，1)上是增函数，则 a0 D若 f()sin ()2cos ()，0，满足 f(1)f(1)，则 sin 24 5 答案 ABD 解析 1 2 f（）f（）2f(a)， 则 f()f()21 4f(a)f(a) 2，f(a)f(a)21 4f()f() 2，代换整理得 f(2a)f()1f(2a)f()0， 若 f(2a)f()，则 f()为周期函数； 若 f(2a)f()10， 则 f(4a)f(
30、2a)10， f(4a)f()， 则 f()为周期函数， A 正确； 设 g()sin ，故 g()cos sin 2 ，设 h()cos sin ，故 h()sin 0， 0， 2 ，故 h()单调递减， 故 h()h(0)0，则 g()0， 故 k()在(0，1)上单调递增，故 p() 1 cos （1）在(0，1)上单调递减，p(1)1， 故 a1，C 错误； f()sin ()2cos () 5sin ()， 其中 tan 2， 0， 2 . f(1)f(1)，即函数图象关于 1 对称， 故 2k，kZ，即 222k，kZ， sin 2sin (22k)sin 22sin cos 4
31、5， 故 D 正确故选 ABD. 二、填空题 13国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税已知某人出版一 本书，共纳税 420 元，则这个人应得稿费(扣税前)为_元 答案 3800 解析 设扣税前应得稿费为 x 元， 则应纳税额为 y 0，0 x800， （x800）14%，8004000. 如果稿费为 4000 元应纳税 448 元，现知，某人共纳税 420 元， 稿费应在 8004000 元之间， (x800)14%420，x3800. 14设 A，B
32、是 R 上的两个子集，对任意 xR，定义：m 0，xA， 1，xA，n 0，xB， 1，xB. (1)若 A B，则对任意 xR，m(1n)_； (2)若对任意 xR，mn1，则 A，B 的关系为_ 答案 (1)0 (2)ARB 解析 (1)A B，则当 xA 时，m0，m(1n)0. 当 xA 时，必有 xB，mn1，m(1n)0. 综上可得 m(1n)0. (2)对任意 xR，mn1，则 m，n 的值一个为 0，另一个为 1，即当 xA 时，必有 xB 或 xB 时，必有 xA，A，B 的关系为 ARB. 15(2020 山东省青岛市高三期中)声强级 L1(单位：dB)由公式 L110lg
33、 I 1012给出，其中 I 为声强(单位：W/m2). (1)平时常人交谈时的声强约为 106 W/m2，则其声强级为_dB； (2)一般正常人听觉能忍受的最高声强为 1 W/m2，能听到的最低声强为 1012 W/m2，则正 常人听觉的声强级范围为_dB. 答案 (1)60 (2)0，120 解析 (1)当 I106 W/m2时，L110lg 106 101210lg 10 660. (2)当 I1 W/m2时， L110lg 1 101210lg 10 12120， 当 I1012 W/m2 时， L110lg 1012 1012 0，则正常人听觉的声强级范围为0，120 dB. 16
34、(2020 北京市丰台区二模)已知集合 P(x， y)|(xcos )2(ysin )24， 0 由 集合 P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”给 出下列结论： “水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A，则点 A 的坐标为(0，1)； 在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 3； 阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C，D，则|CD|3 3； 白色“水滴”图形的面积是11 6 3. 其中正确的有_ 答案 解析 对于，方程(xcos )2(ysin )24， 令 x0，得 cos2y22y sin sin24， 所以 2si
35、n y3 y，其中 0，所以 sin 0，1， 所以 y3 y0，2， 解得 y 3，1 3，3. 所以点 A(0， 3)，点 B(0，1)，点 C(0，3)，点 D(0， 3)， 所以错误； 对于，由(xcos )2(ysin )24， 设 x2cos cos ， y2sin sin ， 则点 M 到原点的距离为 dx2y2 （2cos cos ）2（2sin sin ）2 54cos （）， 当 时，cos ()1，d 取得最大值为 3，所以正确； 对于，由知最高点为 C(0，3)，最低点为 D(0， 3)， 所以|CD|3 3，正确； 对于， “水滴”图形是由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成， 它的面积 SS 半圆2S弓形S三角形1 21 22 2 3 3 1 22 3 11 6 3， 所以 正确综上知，正确的命题序号是.
