1、第2讲 导数及其综合应用,近五年高考试题统计与命题预测,1.(2019全国,文10)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 解析:当x=时,y=2sin +cos =-1,即点(,-1)在曲线y=2sin x+cos x上. y=2cos x-sin x, y|x=2cos -sin =-2. 曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-),即2x+y-2+1=0.故选C. 答案:C,2.(2018全国,理16)已知函数f(x)=2s
2、in x+sin 2x,则f(x)的最小值是 . 解析:由题意可得T=2是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期, 所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在0,2)上的值域. 由f(x)=2sin x+sin 2x,得f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2.,3.(2019全国,文20)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x,f(x)为f(x)的导数. (1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点; (2)若x0,时,f(x)ax,求a的取值范围.,(2)解:由题设知f()a,f()=0,可得a0. 由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点
3、,设为x0,且当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,)单调递减. 又f(0)=0,f()=0,所以,当x0,时,f(x)0. 又当a0,x0,时,ax0,故f(x)ax. 因此,a的取值范围是(-,0.,一、导数的几何意义 1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同. 二、利用导数研究函数的单调性 1.f(x)0是f
4、(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增,但f(x)0. 2.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f(x)=0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性.,三、利用导数求函数的极值、最值 1.若在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. 2.设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 四、利用导数证明不等式 用导数证明不等式是导数的应用之一,可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值,以及构造函数解题的能力.,五、利
5、用导数讨论方程根的个数 方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的走势,通过数形结合思想直观求解. 六、利用导数解决生活中的优化问题 生活中的实际问题受某些主要变量的制约,解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来,建立目标问题即关于这个变量的函数,然后通过研究这个函数的性质,从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,导数的几何意义 例1(1)设函数y=f(x)的导函数为f(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f(1)处的切线方程为x-y+2=0,则
6、f(1)+f(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)(2019全国,理13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 . (3)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+1的切线,也是曲线y=ln(x+2)的切线,则实数b= .,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,解析:(1)依题意有f(1)=1,1-f(1)+2=0,即f(1)=3,所以f(1)+f(1)=4.故选A. (2)由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex =3(x2+3x+1)ex, k=y|x=0=3. 曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.,考点1,
7、考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,(3)设直线y=kx+b与曲线y=ln x+1和曲线y=ln(x+2)的切点分别为(x1,ln x1+1),(x2,ln(x2+2). 直线y=kx+b是曲线y=ln x+1的切线,也是曲线y=ln(x+2)的切线,答案:(1)A (2)y=3x (3)ln 2,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对应训练1 (1)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为 . (2)在平面直角坐标系xOy中,设A是曲线C1:y=ax3+1(a0)与曲线C2:x2+y2= 的一个公共点,若C1在A处的切线
8、与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是 .,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,答案:(1)5x+y-3=0 (2)4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,解析:(1)f(x)=(x2+2ax)ln x- x2-2ax,f(x)=2(x+a)ln x, f(x)在(0,+)上是增函数,f(x)0在(0,+)上恒成立, 当x=1时,f(x)=0满足题意, 当x1时,ln x0,要使f(x)0恒成立, 则x+a0恒成立. x+a1+a,1+a0,解得a-1, 当0x1时,ln x0,要使f(x)0恒成立, 则x+a0恒成立
9、, x+a1+a,1+a0,解得a-1. 综上所述,a=-1.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,(2)f(x)是偶函数, f(x)=f(-x),f(x)=f(-x)=-f(-x), f(-x)=-f(x),f(x)f(-x)=-f(x), 即f(x)+f(x)0,设g(x)=exf(x),则exf(x)=exf(x)+f(x)0,答案:(1)B (2)B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对应训练2 (1)(2019福建福州质量抽测)已知函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1在0,m单调递增,则m的最大值是(
10、),(2)(2019新疆乌鲁木齐第二次质量监测)函数f(x)与其导函数f(x)的图象如图,则满足f(x)f(x)的x的取值范围为 ( ) A.(0,4) B.(-,0)(1,4) D.(0,1)(4,+),考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,(2)根据导函数与原函数的关系可知,当f(x)0时,函数f(x)单调递增, 当f(x)4时,函数y=f(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f(x)4,故选D. 答案:(1)C (2)D,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,利用导数求函数最值 例3已知函数f(x)=xex+a(ln x+x). (1)若a=-e,求f(x)的单调
11、区间; (2)当a0时,记f(x)的最小值为m,求证:m1.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对应训练3 (1)若函数f(x)在2,+)上是增函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)在1,e上的最小值为3,求实数a的值.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,(1)解:由f(x)=ex(aex-a-x)0对于xR恒成立, 设函数g(x)=aex-a-x, 可得g(x)=a
12、ex-a-x0对于xR恒成立, g(0)=0,g(x)g(0), 从而x=0是g(x)的一个极小值点, g(x)=aex-1,g(0)=a-1=0,即a=1. 当a=1时,g(x)=ex-1-x,g(x)=ex-1, x(-,0)时,g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递增, g(x)g(0)=0,故a=1.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,f(x)=ex(2ex-x-2). 令h(x)=2ex-x-2,则h(x)=2ex-1, 当x(-,-ln 2)时,h(x)0,h(x)在(-ln 2,+)上为增函数, h(-1)0, 在(-2,-1)上存在x=x0满足h(x0)=0,
13、h(x)在(-,-ln 2)上为减函数, 当x(-,x0)时,h(x)0, 即f(x)0,f(x)在(-,x0)上为增函数, 当x(x0,-ln 2)时,h(x)0, 即f(x)0,f(x)在(x0,-ln 2)上为减函数,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,当x(-ln 2,0)时,h(x)h(0)=0, 即f(x)0,f(x)在(0,+)上为增函数, f(x)在(-ln 2,+)上只有一个极小值点0, 综上可知,f(x)存在唯一的极大值点x0, 且x0(-2,-1). h(x0)=0,2 -x0-2=0,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考
14、点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对应训练4 已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值. (1)求实数a的值;,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,利用导数讨论方程根的个数 例5(2019河北衡水金卷分科综合卷)设函数f(x)=ex-2a-ln(x+a),aR,e为自然对数的底数. (1)若a0,且函数f(x)在区间0,+)内单调递增,求实数a的取值范围; (2)若0a ,试判断函数f(x)的零点个数.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点
15、4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对应训练5 已知f(x)=ax2(aR),g(x)=2ln x. (1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性; (2)若方程f(x)=g(x)在区间 ,e上有两个不相等的解,求a的取值范围.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,利用导数解决生活中的优化问题 例6罗源滨海新城建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为32万元,距离为x米的相邻两墩
16、之间的桥面工程费用为(2+ )x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=96米时,需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小?,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,对应训练6 某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为3
17、0元时,日销售量为100千克. (1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式; (2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,由y0,得x26,由y0,得x26, 所以y在区间25,26上单调递增,在区间26,40上单调递减,所以当x=26时,ymax=100e4, 即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e4元.,高考解答题的审题与答题示范(五) 函数与导数类解答题 审题方法审结论 问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误.因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审视结论,就是在结论的启发下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.,
