1、2021 年广东省东莞高考数学模拟试卷（年广东省东莞高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、单选题（每题一、单选题（每题 5 分）分）. 1集合 Mx|x5k2，kZ，Px|x5n+3，nZ，Sx|x10m+3，mZ之间的关系是（ ） ASPM BSPM CSPM DPMS 2在复平面内，复数（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A（3，4） B（4，3） C（，） D（，） 3已知 a，bR，那么“a+b1”是“a2+b21”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4已知函数 f（x）lnx+2x24x，则函数 f（x）的图象在 x1 处
2、的切线方程为（ ） Axy+30 Bx+y30 Cxy30 Dx+y+30 5一块由 5 根灯管构成的广告宣传屏幕，每个时刻每根灯管分别可以发出红、黄、蓝、绿、紫 5 种颜色的 光，则在某一时刻恰好出现 2 根灯管发出红色光的概率为（ ） A B C D 6在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是 A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则 x 与 y 之间的回归直线方程为（ ） A x+1 B x+2 C 2x+1 D x1 7若 ，则的值为（ ） A2 B0 C1 D2 8函数 f（x）（x1）cosx2在区间0，4上的零点个数是（ ） A4 B5 C6 D7 二、多选题
3、（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 9对于任意的平面向量 ， ， ，下列说法错误的是（ ） A若 且 ，则 B（ + ） + C若 ，且 0，则 D（ ） （ ） 10已知三个正态分布密度函数 i（x）e（xR，I1，2，3）的图象如图所示，则 下列结论正确的是（ ） A12 B13 C12 D23 11若数列an满足 a11，a21，anan1+an2（n3，nN+），则称数列an为斐波那契数列，又称黄 金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的 是（ ） Aa713 Ba1+a3+a5+a2019a2020
4、 CS754 Da2+a4+a6+a2020a2021 12已知函数 yf（x），xR，下列结论正确的是（ ） A若对任意 x1，x2，且 x1x2，都有0，则 f（x）为 R 上减函数 B若 f（x）为 R 上的偶函数，且在（，0）内是减函数，f（2）0，则 f（x）0 解集为（2， 2） C若 f（x）为 R 上的奇函数，则 yf（x）f（|x|）也是 R 上的奇函数 D若一个函数定义域（1，1）且 x0 的奇函数，当 x0 时，f（x）2x+1，则当 x0 时，f（x） 2x+1 三、单空题（本大题共三、单空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 13阿基米德（公元前 2
5、87 年公元前 212 年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓 碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且 球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为 24， 则该圆柱的内切球体积为 14已知函数 f（x）sin（1a）x+cos（1a）x的最大值为 2，则 f（x）的最小正周期为 15椭圆：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y 与椭 圆的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于 16已知函数 f（x）x（|x|+4），且 f（a2）+f（a
6、）0，则 a 的取值范围是 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17已知数列an是等比数列，公比 q1，前 n 项和为 Sn，若 a22，S37 （1）求an的通项公式； （2）设 mZ，若 Snm 恒成立，求 m 的最小值 18在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2b，又 sinA，sinC，sinB 成等差数列 （）求 cos（B+C）的值； （）若 SABC，求 c 的值 19某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次 的命中率为，女射手每次的命中率为 （1）当每人射击
7、 2 次时，求该射击小组共射中目标 4 次的概率； （2）当每人射击 1 次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资 格一个小组共射中目标 3 次得 100 分，射中目标 2 次得 60 分，射中目标 1 次得 10 分，没有射中目标 得50 分用随机变量 X 表示这个射击小组的总得分，求 X 的分布列及数学期望 20如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PBBC，PDCD，且 PAAB，E 为 PD 中点 （1）求证：PA平面 ABCD； （2）求二面角 ABEC 的余弦值 21已知函数 （1）求函数 f（x）的极值点； （2）设，若 g（x）
8、的最大值大于，求 a 的取值范围 22已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F2，P 是双曲线右支上一点，PF2 F1F2，OHPF1，垂足为点 H，OHOF1， （1）当 时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率 e 的取值范围 参考答案参考答案 一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 8 小题，共小题，共 40.0 分）分） 1集合 Mx|x5k2，kZ，Px|x5n+3，nZ，Sx|x10m+3，mZ之间的关系是（ ） ASPM BSPM CSPM DPMS 解：集合 Mx|x5k25（k1）+3，kZ，Px|x5n+3，nZ， MP， Sx|x10m+3，mZ
9、Sx|x52m+3，mZPx|x5n+3，nZ， SPM， 故选：C 2在复平面内，复数（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A（3，4） B（4，3） C（，） D（，） 解：+i， 复数所对应的点的坐标为（，） 故选：D 3已知 a，bR，那么“a+b1”是“a2+b21”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：若“a+b1”推不出“a2+b21”，如 a0.5，b0.6，不是充分条件， 若“a2+b21”推不出“a+b1”，如 a1，b2，不是必要条件， 故选：D 4已知函数 f（x）lnx+2x24x，则函数 f（x）的图象在
10、x1 处的切线方程为（ ） Axy+30 Bx+y30 Cxy30 Dx+y+30 解：由 f（x）lnx+2x24x，得 f（x）， f（1）1 又 f（1）2 函数 f（x）的图象在 x1 处的切线方程为 y+21（x1）， 即 xy30 故选：C 5一块由 5 根灯管构成的广告宣传屏幕，每个时刻每根灯管分别可以发出红、黄、蓝、绿、紫 5 种颜色的 光，则在某一时刻恰好出现 2 根灯管发出红色光的概率为（ ） A B C D 解：首先从五根灯管中选出 2 根为红色， 五根灯管记为 a，b，c，d，e， 从五根灯管中选出两根有： （a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（
11、b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d， e），共 10 种情况， 其他三根不能是红色，则其他三根有 4 种颜色可选， 在某一时刻恰好出现 2 根灯管发出红色光的概率为： P 故选：C 6在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是 A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则 x 与 y 之间的回归直线方程为（ ） A x+1 B x+2 C 2x+1 D x1 解：计算 （1+2+3+4）2.5， （2+3+4+5）3.5， 这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）； 把样本中心点代入四个选项中，只有 x+1 成立 故选：A 7若 ，则的值为（ ） A2 B0 C1
12、 D2 解：在 中，令 x0，可得 a01， 再令 x，可得 a0+0，1， 故选：C 8函数 f（x）（x1）cosx2在区间0，4上的零点个数是（ ） A4 B5 C6 D7 解：令 f（x）0，可得 x1 或 cosx20 x1 或 x2k+，kZ， x0，4，则 x20，16， k 可取的值有 0，1，2，3，4， 方程共有 6 个解， 函数 f（x）（x1）cosx2在区间0，4上的零点个数为 6 个， 故选：C 二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 9对于任意的平面向量 ， ， ，下列说法错误的是（ ） A若 且 ，则 B（ + ） +
13、 C若 ，且 0，则 D（ ） （ ） 解： 且 ，当 为零向量时，则 与 不一定共线，即 A 错误， 由向量乘法的分配律可得：（ + ） + ，即 B 正确， 因为 ，则（）0，又 0，则 或 （），即 C 错误， 取为非零向量，且 与 垂直， 与 不垂直，则，即 D 错误， 故选：ACD 10已知三个正态分布密度函数 i（x）e（xR，I1，2，3）的图象如图所示，则 下列结论正确的是（ ） A12 B13 C12 D23 解：根据正态曲线关于 x 对称，且 越大图象越靠近右边， 所以 123，BC 错误； 又越小数据越集中，图象越瘦长， 所以123，AD 正确 故选：AD 11若数列an
14、满足 a11，a21，anan1+an2（n3，nN+），则称数列an为斐波那契数列，又称黄 金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的 是（ ） Aa713 Ba1+a3+a5+a2019a2020 CS754 Da2+a4+a6+a2020a2021 解：因为 a11，a21，anan1+an2（n3，nN+）， 所以 a3a2+a12，a4a3+a23，a5a4+a35，a6a5+a48，a7a6+a513，所以 A 正确； S71+1+2+3+5+8+1333，所以 C 不正确； a1+a3+a5+a2019a1+a2+a1+a4+a3+a
15、2018+a2017a1+S20181+S2018， 又 an+2an+1+anan+an1+an1+an2an+an1+an 2+an3+an3+an4Sn+1， 所以 a2020S2018+1a1+a3+a5+a2019，所以 B 正确； a2+a4+a6+a2020a2+a3+a2+a5+a4+a2019+a2018a1+a2+a3+a4+a5+a2019S2019， 但 S2019+1a2021，所以 a2+a4+a6+a2020a2021，所以 D 不正确 故选：AB 12已知函数 yf（x），xR，下列结论正确的是（ ） A若对任意 x1，x2，且 x1x2，都有0，则 f（x）为
16、 R 上减函数 B若 f（x）为 R 上的偶函数，且在（，0）内是减函数，f（2）0，则 f（x）0 解集为（2， 2） C若 f（x）为 R 上的奇函数，则 yf（x）f（|x|）也是 R 上的奇函数 D若一个函数定义域（1，1）且 x0 的奇函数，当 x0 时，f（x）2x+1，则当 x0 时，f（x） 2x+1 解：对于 A，若对于任意 x1，x2R 且 x1x2，都有， 即当 x1x2时，f（x1）f（x2），则 f（x）为 R 上的减函数，则 A 正确； 对于 B，若 f（x）为 R 上的偶函数，且在（，0）内是减函数， 则 f（x）在（0，+）上递增，f（2）f（2）0， 则 f（
17、x）0 即为 f（|x|）f（2），即有|x|2，解得 x2 或 x2，则 B 错误； 对于 C，若 f（x）为 R 上的奇函数， 则 f（x）f （x），f（x）f（|x|）f（x）f（|x|）， 即有 yf（x）f（|x|）是奇函数，则 C 正确； 对于 D，当 x0 时，f（x）2x+1， 当 x0 时，x0，则 f（x）2x+1f（x），故 f（x）2x1，故 D 错误 故选：AC 三、单空题（本大题共三、单空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 13阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓 碑上刻着一个“圆柱
18、容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且 球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为 24， 则该圆柱的内切球体积为 解：设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的高为 2r， 所以圆柱的表面积为：2r2r+2r224， 解得：r2， 所以圆柱的体积为：r22r16， 根据阿基米德的结论，该圆柱的内切球体积为：16， 故答案为： 14已知函数 f（x）sin（1a）x+cos（1a）x的最大值为 2，则 f（x）的最小正周期为 解： sin（1a）x+arctan1 最大值为 2，就是2，得 a3 所以最小正周期是 T 故答案为 15椭
19、圆：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y 与椭 圆的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于 解：如图所示， 由直线可知倾斜角 与斜率有关系tan，60 又椭圆的一个交点满足MF1F22MF2F1，MF2F130，F1MF290 设|MF2|m，|MF1|n，则 ，解得 该椭圆的离心率 e 故答案为 16已知函数 f（x）x（|x|+4），且 f（a2）+f（a）0，则 a 的取值范围是 （1，0） 解：f（x）x（|x|+4）x（|x|+4）f（x）， 函数 f（x）x（|x|+4）为奇函数， 又， 图象如图， f（x）在（，+）上单调递
20、增， 由 f（a2）+f（a）0，得 f（a2）f（a）f（a），得 a2a，解得1a0 故答案为：（1，0） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17已知数列an是等比数列，公比 q1，前 n 项和为 Sn，若 a22，S37 （1）求an的通项公式； （2）设 mZ，若 Snm 恒成立，求 m 的最小值 解：（1）a22S37， 解得，q，a14 或 a11，q2（舍去） 故 an4（ ）n 1（ ）n 3， （2）由（1）可知 Sn8（1）8， an0， Sn单调递减， S37， 当 n4（7，8）， mZ，若 Snm 恒成立， m 的最小
21、值为 8 18在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2b，又 sinA，sinC，sinB 成等差数列 （）求 cos（B+C）的值； （）若 SABC，求 c 的值 解：（）ABC 中，sinA，sinC，sinB 成等差数列， sinA+sinB2sinC， 由正弦定理得 a+b2c， 又 a2b，可得 bc， cosA， A+B+C， B+CA， cos（B+C）cos（A）cosA； （）ABC 中，由 cosA， 得 sinA， SABC bcsinAc2 c2， c2， 解得 c4 19某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已
22、知每名男射手每次 的命中率为，女射手每次的命中率为 （1）当每人射击 2 次时，求该射击小组共射中目标 4 次的概率； （2）当每人射击 1 次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资 格一个小组共射中目标 3 次得 100 分，射中目标 2 次得 60 分，射中目标 1 次得 10 分，没有射中目标 得50 分用随机变量 X 表示这个射击小组的总得分，求 X 的分布列及数学期望 解：（1）某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的， 每名男射手每次的命中率为，女射手每次的命中率为 当每人射击 2 次时，该射击小组共射中目标 4 次的概
23、率为： P + （2）随机变量 X 表示这个射击小组的总得分，则 X 的可能取值为50，10，60，100， P（X50）， P（X10）， P（X60）+， P（X100）（）2（）， X 的分布列为： X 50 10 60 100 P 数学期望 E（X） 20如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PBBC，PDCD，且 PAAB，E 为 PD 中点 （1）求证：PA平面 ABCD； （2）求二面角 ABEC 的余弦值 解：（1）证明：底面 ABCD 为正方形，BCAB， 又 BCPB，ABPBB， BC平面 PAB，BCPA 同理 CDPA，BCCDC， PA平面 ABCD
24、 （2）解：以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为 2 则 A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），B（2，0，0）， 设 （x，y，z）为平面 ABE 的一个法向量， 又（0，1，1），（2，0，0）， ，令 y1，z1，得 （0，1，1）， 同理 （1，0，2）是平面 BCE 的一个法向量， 则 cos 二面角 ABEC 的余弦值为 21已知函数 （1）求函数 f（x）的极值点； （2）设，若 g（x）的最大值大于，求 a 的取值范围 解：（1）函数的定义域为（0，+）， f（x）， 令 f（x）
25、0 得 xe， x（0，e）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增， x（e，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减， f（x）的极大值点为 xe，无极小值点， （2）g（x）lnxax2+，（a0）， g（x）2ax，x0，a0， 令 g（x）0，得 x， x（0，）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增， x（，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减， g（x）maxg（）ln（）a+（lna+1） 由 g（x）max（lna+1）1，得 lna+a10， 令 h（a）lna+a1， h（a）+10， h（a）单调递增， 而 h（1）0， h（a）0 时，a（0，1） 22已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别是 F1，F2，P 是双曲线右支上一点，PF2 F1F2，OHPF1，垂足为点 H，OHOF1， （1）当 时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率 e 的取值范围 解：当 xc 时，代入双曲线可得， 由相似三角形可知，得， 2a2+b2b2，整理得 （1）当时，则 ab，双曲线的渐近线方程为 yx； （2）， 在 ，上是单调增函数， 时，e2的最大值为 3，当 时，e2的最小值为 ，即
