1、山西省临汾市襄汾县山西省临汾市襄汾县 2020-2021 学年九年级上学期期末数学试题学年九年级上学期期末数学试题 一、选择题一、选择题 1下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B C D 2如图，在ABC 中，A78，AB4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是（ ） A B C D 3由二次函数 y2（x3）2+1，可知（ ） A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线 x3 C其最小值为 1 D当 x3 时，y 随 x 的增大而增大 4如图，在 44 的正方形网格中，tan 的值等于（ ） A2 B C D 5如图，小球从 A 入口往下落
2、，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等则小球从 E 出口 落出的概率是（ ） A B C D 6已知函数 yax22ax1（a 是常数，a0） ，下列结论正确的是（ ） A当 a1 时，函数图象经过点（1，1） B当 a2 时，函数图象与 x 轴没有交点 C若 a0，函数图象的顶点始终在 x 轴的下方 D若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 7已知在同一直角坐标系中，二次函数 yax2+bx 和反比例函数 y的图象如图所示，则一次函数 y xb 的图象可能是（ ） A B C D 8如图，D 是ABC 的边 AC 上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ） A如果ADB
3、ABC，则ADBABC B如果ABDC，则ABDACB C如果，则ABCADB D如果，则ADBABC 9如图，将一个 RtABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动， 已知楔子斜面的倾斜角为 20，若楔子沿水平方向前移 8cm（如箭头所示） ，则木桩上升了（ ） A8tan20 B C8sin20 D8cos20 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为 A（3，0） ，其部分图象如图所示，下列结论中：b24ac；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11， x23；2a+b0；a+b+c0；当 0 x
4、3 时，y 随 x 增大而减小；其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题二、填空题 11若 x11 是关于 x 的方程 x2+mx50 的一个根，则方程的另一个根 x2 12如图，有一个池塘，要测量池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一点 O，从点 O 不经过池塘可以 直接到达点 A 和点 B， 连接 AO 并延长到点 C， 连接 BO 并延长到点 D， 使3， 测得 CD36m， 则池塘两端 AB 的距离为 m 13下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果 投针次数 n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 2
5、0000 针与直线相交的次数 m 454 970 1430 1912 2386 4769 9548 针与直线相交的频率p 0.454 0.485 0.4767 0.478 0.4772 0.4769 0.4774 下面有三个推断： 投掷 1000 次时，针与直线相交的次数是 454，针与直线相交的概率是 0.454； 随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在 0.477 附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直 线相交的概率是 0.477； 若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 10000 时，针与直线相交的频率一定是 0.4769 其中合理的推断的序号是： 14如图，ABC 的三个顶点
6、分别在边长为 1 的正方形网格的格点上，则 tan（+） tan+tan （填 “” “” “” ） 15下列说法中正确的序号是 在函数 yx2中，当 x0 时，y 有最大值 0； 在函数 y2x2中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 抛物线 y2x2，yx2，y中，抛物线 y2x2的开口最小，抛物线 yx2的开口最大； 不论 a 是正数还是负数，抛物线 yax2的顶点都是坐标原点 三解答题三解答题 16计算： （1） （+4）（6+4） ； （2）tan45+4cos30sin45tan60 17.用适当的方法解下列方程： （1）9（y+4）2490； （2） （x+1） （x+3）
7、15 18.已知：如图，在ABC 中，DEBC，EFAB，试判断成立吗？并说明理由 19.学校决定每班选取 4 名同学参加 12.2 全国交通安全日 “细节关乎生命安全文明出行” 主题活动启动仪式， 班主任决定从 4 名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定 2 名同学去参加该活动 抽签规则：将 4 名同学的姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正面，把 4 张卡片的背面朝上，洗匀后放在 桌子上， 王老师先从中随机抽取一张卡片， 记下名字， 再从剩余的 3 张卡片中随机抽取一张， 记下名字 （1） “小刚被抽中”是 事件， “小明被抽中”是 事件（填“不可能” 、 “必然” 、 “随机
8、” ） ，第一次 抽取卡片抽中是小玉的概率是 ； （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率 20.已知函数 y（m2m）x2+（m1）x+m+1 （1）若这个函数是一次函数，求 m 的值； （2）若这个函数是二次函数，则 m 的值应怎样？ （3）当 m2 时，该函数图象与 x 轴是否有交点，有请求出交点坐标，没有请说明理由 21.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材的部分内容 例 1：如图，在 RtABC 中，ACB90，AC15，BC8，试求出A 的三个三角函数值 （1）结合图 1，写出解题过程； 【结论应用】 （2）如图 2，作图 1 中的AB
9、C 斜边上高 CD，求 CD 的长； （3）如图 3，E 是图 2 上线段 AD 上的点，连接 CE，将ACE 沿 CE 翻折得到ACE，使点 A 的对称点 A落在 CD 的延长线上，连接 AB，直接写出四边形 ABCE 的面积 22.ABC 中，ABAC，BAC90，P 为 BC 上的动点，小慧拿含 45角的透明三角板，使 45角的 顶点落在点 P，三角板可绕 P 点旋转 （1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP； （2）将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、FBPE 与CFP 还相似吗？（
10、只需写出结论） （3）在（2）的条件下，连接 EF，BPE 与PFE 是否相似？若不相似，则动点 P 运动到什么位置时， BPE 与PFE 相似？说明理由 23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+bx+c 过 A，B，C 三点，点 A 的坐标是（3，0） ，点 C 的 坐标是（0，3） ，动点 P 在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）若动点 P 在第四象限内的抛物线上，过动点 P 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D，交 x 轴于点 E，垂 足为 E，求线段 PD 的长，当线段 PD 最长时，求出点 P 的坐标； （3）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直
11、角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，说明理由 山西省临汾市襄汾县山西省临汾市襄汾县 2020-2021 学年九年级上学期期末数学试题学年九年级上学期期末数学试题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B C D 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答 【解答】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、2与被开方数不同，不是同类二次根式； C、2与被开方数不同，不是同类二次根式； D、2与被开方数相同，是同类二次根式 故选：D 2如图，在ABC 中，A78，AB
12、4，AC6，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确 D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误； 故选：C 3由二次函数 y2（x3）2+1，可知（ ） A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线 x3 C其最小值为 1 D当 x3 时，y
13、随 x 的增大而增大 【分析】根据二次函数的性质，直接根据 a 的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分 别分析即可 【解答】解：由二次函数 y2（x3）2+1，可知： A：a0，其图象的开口向上，故此选项错误； B其图象的对称轴为直线 x3，故此选项错误； C其最小值为 1，故此选项正确； D当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，故此选项错误 故选：C 4如图，在 44 的正方形网格中，tan 的值等于（ ） A2 B C D 【分析】求一个角的正切值，可将其转化到直角三角形中，利用直角三角函数关系解答 【解答】解：如图，tan2， 故选：A 5如图，小球从 A 入口往下落，在
14、每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等则小球从 E 出口 落出的概率是（ ） A B C D 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点 B、C、D 处都是等可 能情况，从而得到在四个出口 E、F、G、H 也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解 【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有 E、F、G、H 四个， 所以小球从 E 出口落出的概率是：； 故选：C 6已知函数 yax22ax1（a 是常数，a0） ，下列结论正确的是（ ） A当 a1 时，函数图象经过点（1，1） B当 a2 时，函数
15、图象与 x 轴没有交点 C若 a0，函数图象的顶点始终在 x 轴的下方 D若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 【分析】A、将 a1 代入原函数解析式，令 x1 求出 y 值，由此得出 A 选项不符合题意；B、将 a2 代入原函数解析式，令 y0，根据根的判别式80，可得出当 a2 时，函数图象与 x 轴有两个 不同的交点，即 B 选项不符合题意；C、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零， 可得出 a 的取值范围，由此可得出 C 选项不符合题意；D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结 合二次函数的性质，即可得出 D 选项符合题意此题得解 【解答】解：A、当
16、a1 时，函数解析式为 yx22x1， 当 x1 时，y1+212， 当 a1 时，函数图象经过点（1，2） ， A 选项不符合题意； B、当 a2 时，函数解析式为 y2x2+4x1， 令 y2x2+4x10，则424（2）（1）80， 当 a2 时，函数图象与 x 轴有两个不同的交点， B 选项不符合题意； C、yax22ax1a（x1）21a， 二次函数图象的顶点坐标为（1，1a） ， 当1a0 时，有 a1， C 选项不符合题意； D、yax22ax1a（x1）21a， 二次函数图象的对称轴为 x1 若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， D 选项符合题意 故选：D 7已
17、知在同一直角坐标系中，二次函数 yax2+bx 和反比例函数 y的图象如图所示，则一次函数 y xb 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出 a0、b0、c0，由此即可得出 0，b0，即可得出一次函数 yxb 的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得 出结论 【解答】解：二次函数开口向下， a0； 二次函数的对称轴在 y 轴右侧，左同右异， b 符号与 a 相异，b0； 反比例函数图象经过一三象限，c0， 0，b0， 一次函数 yxb 的图象经过二三四象限 故选：B 8如图，D 是ABC 的边 AC 上一点，那么下面四个命题中
18、错误的是（ ） A如果ADBABC，则ADBABC B如果ABDC，则ABDACB C如果，则ABCADB D如果，则ADBABC 【分析】相似三角形的判定，即对应角相等，对应边成比例 【解答】解：A 中ADBABC，A 为公共角，所以 A 正确； B 中ABDC，A 为公共角，所以 B 也正确； C 中对应边成比例，对应角相等，也正确； D 中对应边成比例，但夹角不相等，所以错误 故选：D 9如图，将一个 RtABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动， 已知楔子斜面的倾斜角为 20，若楔子沿水平方向前移 8cm（如箭头所示） ，则木桩上升了（ ） A8t
19、an20 B C8sin20 D8cos20 【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20 【解答】解：由已知图形可得：tan20， 木桩上升的高度 h8tan20 故选：A 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为 A（3，0） ，其部分图象如图所示，下列结论中：b24ac；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11， x23；2a+b0；a+b+c0；当 0 x3 时，y 随 x 增大而减小；其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推
20、理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：如图，抛物线与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，即 b24ac，故错误； 由对称轴是 x1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 A（3，0） ，得到：抛物线与 x 轴的另一个交点坐 标为（1，0） ， 所以抛物线方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23故正确； 由对称轴方程 x1 得到：2a+b0，故正确； 如图所示，当 x1 时，y0，即 a+b+c0，故正确； 如图所示，当 0 x1 时，y 随 x 增大而减小，故错误 综上所述，正确的结论有 3 个 故选：B 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11若 x11 是关于 x 的方
21、程 x2+mx50 的一个根，则方程的另一个根 x2 5 【分析】设方程的另一根为 x2，由一个根为 x11，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于 x2 的方程，求出方程的解得到 x2的值，即为方程的另一根 【解答】解：关于 x 的方程 x2+mx50 的一个根为 x11，设另一个为 x2， x25， 解得：x25， 则方程的另一根是 x25 故答案为：5 12如图，有一个池塘，要测量池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一点 O，从点 O 不经过池塘可以 直接到达点 A 和点 B， 连接 AO 并延长到点 C， 连接 BO 并延长到点 D， 使3， 测得 CD36m， 则池塘两端 AB
22、 的距离为 108 m 【分析】由题意可证明AOBCOD，然后利用相似三角形的性质列式计算即可 【解答】解：3，AOBCOD， AOBCOD， 3， CD36m， AB3CD108 米 故答案为：108 13下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果 投针次数 n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 20000 针与直线相交的次数 m 454 970 1430 1912 2386 4769 9548 针与直线相交的频率p 0.454 0.485 0.4767 0.478 0.4772 0.4769 0.4774 下面有三个推断： 投掷 1000 次时，针
23、与直线相交的次数是 454，针与直线相交的概率是 0.454； 随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在 0.477 附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直 线相交的概率是 0.477； 若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 10000 时，针与直线相交的频率一定是 0.4769 其中合理的推断的序号是： 【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：投掷 1000 次时，针与直线相交的次数是 454，可以估计针与直线相交的概率是 0.454， 错误； 随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在 0.477 附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直 线
24、相交的概率是 0.477，正确； 若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 10000 时，可以估计针与直线相交的频率是 0.4769，错 误； 故答案为： 14如图，ABC 的三个顶点分别在边长为 1 的正方形网格的格点上，则 tan（+） tan+tan （填 “” “” “” ） 【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出 tan 和 tan，根据等腰直角三角形的性质和 tan45的值 求出 tan（+） ，比较即可 【解答】解：由正方形网格图可知，tan，tan， 则 tan+tan+， ACBC，ACB90， +45， tan（+）1， tan（+）tan+tan， 故答案为： 15下
25、列说法中正确的序号是 在函数 yx2中，当 x0 时，y 有最大值 0； 在函数 y2x2中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 抛物线 y2x2，yx2，y中，抛物线 y2x2的开口最小，抛物线 yx2的开口最大； 不论 a 是正数还是负数，抛物线 yax2的顶点都是坐标原点 【分析】根据二次函数 yax2的图象与性质逐一判断即得答案 【解答】解：由函数的解析式 yx2，可知 a10，得到函数的开口向下，有最大值 y0，故正 确； 由函数的解析式 y2x2，可知其对称轴为 y 轴，对称轴的左边（x0） ，y 随 x 增大而减小，对称轴的右 边（x0） ，y 随 x 增大而增大，故正确；
26、 根据二次函数的性质， 系数 a 决定抛物线的开口方向和开口大小， 且|a|越大开口越小， 可知抛物线 y2x2 的开口最小，抛物线 yx2的开口第二小，而 y开口最大，故不正确； 不论 a 是正数还是负数，抛物线 yax2的顶点都是坐标原点，故正确 综上，正确的结论是： 故答案为： 三解答题三解答题 16计算： （1） （+4）（6+4） ； （2）tan45+4cos30sin45tan60 【分析】 （1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案 【解答】解： （1）原式 ； （2）原式1+4 17.用适当的方法解下列方程： （1）9（y+4）24
27、90； （2） （x+1） （x+3）15 【考点】解一元二次方程直接开平方法；解一元二次方程公式法 【专题】一元二次方程及应用；运算能力 【答案】 （1），； （2）x12，x26 【分析】 （1）方程变形后，利用直接开平方法即可求出解； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解： （1）原方程可化为 9（y+4）249， ， ， ，； （2）原方程可化为 x2+4x120， （x2） （x+6）0， x20 或 x+60， x12，x26 18.已知：如图，在ABC 中，DEBC，EFAB，试判断成立吗？并说明理由 【考点】平行线分线段成比例 【专题】探究型 【答案】见试题解
28、答内容 【分析】首先由 DEBC，得，根据 EFAB，得，根据等式的传递性即可证明结论 【解答】解：成立 理由如下： DEBC， EFAB， 19.学校决定每班选取 4 名同学参加 12.2 全国交通安全日 “细节关乎生命安全文明出行” 主题活动启动仪式， 班主任决定从 4 名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定 2 名同学去参加该活动 抽签规则：将 4 名同学的姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正面，把 4 张卡片的背面朝上，洗匀后放在 桌子上， 王老师先从中随机抽取一张卡片， 记下名字， 再从剩余的 3 张卡片中随机抽取一张， 记下名字 （1） “小刚被抽中”是 事件， “小
29、明被抽中”是 事件（填“不可能” 、 “必然” 、 “随机” ） ，第一次 抽取卡片抽中是小玉的概率是 ； （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率 【考点】随机事件；列表法与树状图法 【专题】应用题；推理能力；应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得； （2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可 【解答】解： （1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件， “小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片 “小玉被抽中”的概率为， 故答案为：不可能、随机、 （2）根据题意可列表如下： （A 表示小
30、明，B 表示小山，C 表示小月，D 表示小玉） A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知，共有 12 种等可能结果，其中小月被抽中的有 6 种结果， 所以小月被选中的概率 20.已知函数 y（m2m）x2+（m1）x+m+1 （1）若这个函数是一次函数，求 m 的值； （2）若这个函数是二次函数，则 m 的值应怎样？ （3）当 m2 时，该函数图象与 x 轴是否有交点，有请求出交点坐标，没有请说明理由 【考点】一次函数的定义；一次函数的性质；二次函数的
31、性质；抛物线与 x 轴的交点 【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；数据分析观念 【答案】 （1）m0； （2）m1 或 0； （3）该函数图象与 x 轴没有交点 【分析】 （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得：m2m0，即可求解； （3）当 m2 时，该函数为 y2x2+x+3，则124230，即可求解 【解答】解： （1）由题意得，解得 m0； （2）由题意得：m2m0，解得 m1 或 0； （3）当 m2 时，该函数为 y2x2+x+3，则124230， 故该函数图象与 x 轴没有交点 21.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材的部分内容 例 1：如图，在 RtAB
32、C 中，ACB90，AC15，BC8，试求出A 的三个三角函数值 （1）结合图 1，写出解题过程； 【结论应用】 （2）如图 2，作图 1 中的ABC 斜边上高 CD，求 CD 的长； （3）如图 3，E 是图 2 上线段 AD 上的点，连接 CE，将ACE 沿 CE 翻折得到ACE，使点 A 的对称点 A落在 CD 的延长线上，连接 AB，直接写出四边形 ABCE 的面积 【考点】四边形综合题 【专题】探究型；解直角三角形及其应用；应用意识 【答案】 （1）sinA，cosA，tanA； （2）； （3）60 【分析】 （1）根据锐角三角函数的定义可求出答案； （2）在 RtACD 中，根据
33、 sinA，可求出答案； （3）由折叠的性质得出 ACAC15，AEAC，求出 ED 的长，由直角三角形的性质得出 tanA tanBCD，可求出 BD 的长，则可求出 BE 的长，则可求出答案 【解答】 （1）在 RtABC 中，ACB90， 由勾股定理，得 AB17 则 sinA，cosA，tanA； （2）在 RtACD 中，ADC90， sinA， CDACsinaA15； （3）将ACE 沿 CE 翻折得到ACE，使点 A 的对称点 A落在 CD 的延长线上， ACAC15，AEAC， tanAtanEAC， CD， ADACCD15， EDADtanEAD， ADCACB90， A
34、CD+BCDACD+A90， ABCD， tanAtanBCD， BDCDtanBCD， BEDE+BD， BEAC， S四边形ABCEBEAC81560 22.ABC 中，ABAC，BAC90，P 为 BC 上的动点，小慧拿含 45角的透明三角板，使 45角的 顶点落在点 P，三角板可绕 P 点旋转 （1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP； （2）将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、FBPE 与CFP 还相似吗？（只需写出结论） （3）在（2）的条件下，连接 EF，BPE 与PFE 是否
35、相似？若不相似，则动点 P 运动到什么位置时， BPE 与PFE 相似？说明理由 【考点】相似三角形的判定 【专题】动点型 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）找出BPE 与CFP 的对应角，其中BPE+CPF135，CPF+CFP135，得 出BPECFP，从而解决问题； （2）利用（1）小题证明方法可证：BPECFP； （3）动点 P 运动到 BC 中点位置时，BPE 与PFE 相似，同（1） ，可证BPECFP，得 CP：BE PF：PE，而 CPBP，因此 PB：BEPF：PE，进而求出，BPE 与PFE 相似 【解答】 （1）证明：在ABC 中，BAC90，ABAC， BC45
36、B+BPE+BEP180， BPE+BEP135， EPF45， 又BPE+EPF+CPF180， BPE+CPF135， BEPCPF， 又BC， BPECFP（两角对应相等的两个三角形相似） （2）解：BPECFP； 理由：在ABC 中，BAC90，ABAC， BC45 B+BPE+BEP180， BPE+BEP135， EPF45， 又BPE+EPF+CPF180， BPE+CPF135， BEPCPF， 又BC， BPECFP（两角对应相等的两个三角形相似） （3）解：动点 P 运动到 BC 中点位置时，BPE 与PFE 相似， 证明：同（1） ，可证BPECFP， 得 CP：BEPF
37、：PE， 而 CPBP， 因此 PB：BEPF：PE 又因为EBPEPF， 所以BPEPFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） 23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+bx+c 过 A，B，C 三点，点 A 的坐标是（3，0） ，点 C 的 坐标是（0，3） ，动点 P 在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）若动点 P 在第四象限内的抛物线上，过动点 P 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D，交 x 轴于点 E，垂 足为 E，求线段 PD 的长，当线段 PD 最长时，求出点 P 的坐标； （3）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，
38、求出所有符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题；数形结合；分类讨论；待定系数法 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）将点 A、C 的坐标代入函数表达式得：即可求解； （2）设点 P（x，x22x3） ，则点 D（x，x3） ，则 PDx3（x22x3）x2+3x，即可求解； （3）分ACP90、PAC90两种情况，分别求解 【解答】解： （1）将点 A、C 的坐标代入函数表达式得：，解得：， 故：函数的表达式为：yx22x3； （2）设直线 AC 的表达式为：ykx+b，则：， 故直线 AC 的表达式为：yx3， 设点 P（x，x22x3） ，则点 D（x，x3） ， PDx3（x22x3）x2+3x， 10，抛物线开口向下，当 x时，PD 的最大值为， 此时，点 P（，） ； （3）存在，理由： 当ACP90时， 由（2）知，直线 AC 的表达式为：yx3， 故直线 CP 的表达式为：yx3， 联立并解得：x1 或 0（舍去 x0） ， 故点 P 坐标为（1，4） ； 当PAC90时， 设直线 AP的表达式为：yx+b， 将 x3，y0 代入并解得：b3， 故：直线 AP的表达式为：yx+3， 联立并解得：x2 或 3（舍去 x3） ， 故：点 P的坐标为（2，5） ； 故点 P 的坐标为（1，4）或（2，5）
