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山西省临汾市襄汾县2020-2021学年九年级上期末数学试题(含答案解析)

1、山西省临汾市襄汾县山西省临汾市襄汾县 2020-2021 学年九年级上学期期末数学试题学年九年级上学期期末数学试题 一、选择题一、选择题 1下列二次根式中,与是同类二次根式的是( ) A B C D 2如图,在ABC 中,A78,AB4,AC6,将ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是( ) A B C D 3由二次函数 y2(x3)2+1,可知( ) A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线 x3 C其最小值为 1 D当 x3 时,y 随 x 的增大而增大 4如图,在 44 的正方形网格中,tan 的值等于( ) A2 B C D 5如图,小球从 A 入口往下落

2、,在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性相等则小球从 E 出口 落出的概率是( ) A B C D 6已知函数 yax22ax1(a 是常数,a0) ,下列结论正确的是( ) A当 a1 时,函数图象经过点(1,1) B当 a2 时,函数图象与 x 轴没有交点 C若 a0,函数图象的顶点始终在 x 轴的下方 D若 a0,则当 x1 时,y 随 x 的增大而增大 7已知在同一直角坐标系中,二次函数 yax2+bx 和反比例函数 y的图象如图所示,则一次函数 y xb 的图象可能是( ) A B C D 8如图,D 是ABC 的边 AC 上一点,那么下面四个命题中错误的是( ) A如果ADB

3、ABC,则ADBABC B如果ABDC,则ABDACB C如果,则ABCADB D如果,则ADBABC 9如图,将一个 RtABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 处沿水平方向打入木桩底下,使木桩向上运动, 已知楔子斜面的倾斜角为 20,若楔子沿水平方向前移 8cm(如箭头所示) ,则木桩上升了( ) A8tan20 B C8sin20 D8cos20 10如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x1,与 x 轴的一个交点坐标为 A(3,0) ,其部分图象如图所示,下列结论中:b24ac;方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11, x23;2a+b0;a+b+c0;当 0 x

4、3 时,y 随 x 增大而减小;其中结论正确的个数是( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题二、填空题 11若 x11 是关于 x 的方程 x2+mx50 的一个根,则方程的另一个根 x2 12如图,有一个池塘,要测量池塘两端 A、B 的距离,可先在平地上取一点 O,从点 O 不经过池塘可以 直接到达点 A 和点 B, 连接 AO 并延长到点 C, 连接 BO 并延长到点 D, 使3, 测得 CD36m, 则池塘两端 AB 的距离为 m 13下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果 投针次数 n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 2

5、0000 针与直线相交的次数 m 454 970 1430 1912 2386 4769 9548 针与直线相交的频率p 0.454 0.485 0.4767 0.478 0.4772 0.4769 0.4774 下面有三个推断: 投掷 1000 次时,针与直线相交的次数是 454,针与直线相交的概率是 0.454; 随着实验次数的增加,针与直线相交的频率总在 0.477 附近,显示出一定的稳定性,可以估计针与直 线相交的概率是 0.477; 若再次用计算机模拟此实验,则当投掷次数为 10000 时,针与直线相交的频率一定是 0.4769 其中合理的推断的序号是: 14如图,ABC 的三个顶点

6、分别在边长为 1 的正方形网格的格点上,则 tan(+) tan+tan (填 “” “” “” ) 15下列说法中正确的序号是 在函数 yx2中,当 x0 时,y 有最大值 0; 在函数 y2x2中,当 x0 时,y 随 x 的增大而增大; 抛物线 y2x2,yx2,y中,抛物线 y2x2的开口最小,抛物线 yx2的开口最大; 不论 a 是正数还是负数,抛物线 yax2的顶点都是坐标原点 三解答题三解答题 16计算: (1) (+4)(6+4) ; (2)tan45+4cos30sin45tan60 17.用适当的方法解下列方程: (1)9(y+4)2490; (2) (x+1) (x+3)

7、15 18.已知:如图,在ABC 中,DEBC,EFAB,试判断成立吗?并说明理由 19.学校决定每班选取 4 名同学参加 12.2 全国交通安全日 “细节关乎生命安全文明出行” 主题活动启动仪式, 班主任决定从 4 名同学(小明、小山、小月、小玉)中通过抽签的方式确定 2 名同学去参加该活动 抽签规则:将 4 名同学的姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正面,把 4 张卡片的背面朝上,洗匀后放在 桌子上, 王老师先从中随机抽取一张卡片, 记下名字, 再从剩余的 3 张卡片中随机抽取一张, 记下名字 (1) “小刚被抽中”是 事件, “小明被抽中”是 事件(填“不可能” 、 “必然” 、 “随机

8、” ) ,第一次 抽取卡片抽中是小玉的概率是 ; (2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出小月被抽中的概率 20.已知函数 y(m2m)x2+(m1)x+m+1 (1)若这个函数是一次函数,求 m 的值; (2)若这个函数是二次函数,则 m 的值应怎样? (3)当 m2 时,该函数图象与 x 轴是否有交点,有请求出交点坐标,没有请说明理由 21.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材的部分内容 例 1:如图,在 RtABC 中,ACB90,AC15,BC8,试求出A 的三个三角函数值 (1)结合图 1,写出解题过程; 【结论应用】 (2)如图 2,作图 1 中的AB

9、C 斜边上高 CD,求 CD 的长; (3)如图 3,E 是图 2 上线段 AD 上的点,连接 CE,将ACE 沿 CE 翻折得到ACE,使点 A 的对称点 A落在 CD 的延长线上,连接 AB,直接写出四边形 ABCE 的面积 22.ABC 中,ABAC,BAC90,P 为 BC 上的动点,小慧拿含 45角的透明三角板,使 45角的 顶点落在点 P,三角板可绕 P 点旋转 (1)如图 a,当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证:BPECFP; (2)将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时,三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、FBPE 与CFP 还相似吗?(

10、只需写出结论) (3)在(2)的条件下,连接 EF,BPE 与PFE 是否相似?若不相似,则动点 P 运动到什么位置时, BPE 与PFE 相似?说明理由 23.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 yx2+bx+c 过 A,B,C 三点,点 A 的坐标是(3,0) ,点 C 的 坐标是(0,3) ,动点 P 在抛物线上 (1)求抛物线的解析式; (2)若动点 P 在第四象限内的抛物线上,过动点 P 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D,交 x 轴于点 E,垂 足为 E,求线段 PD 的长,当线段 PD 最长时,求出点 P 的坐标; (3)是否存在点 P,使得ACP 是以 AC 为直角边的直

11、角三角形?若存在,求出所有符合条件的点 P 的 坐标;若不存在,说明理由 山西省临汾市襄汾县山西省临汾市襄汾县 2020-2021 学年九年级上学期期末数学试题学年九年级上学期期末数学试题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1下列二次根式中,与是同类二次根式的是( ) A B C D 【分析】先化简,再根据同类二次根式的定义解答 【解答】解:A、与被开方数不同,不是同类二次根式; B、2与被开方数不同,不是同类二次根式; C、2与被开方数不同,不是同类二次根式; D、2与被开方数相同,是同类二次根式 故选:D 2如图,在ABC 中,A78,AB

12、4,AC6,将ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是( ) A B C D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可 【解答】解:A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确 D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误; 故选:C 3由二次函数 y2(x3)2+1,可知( ) A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线 x3 C其最小值为 1 D当 x3 时,y

13、随 x 的增大而增大 【分析】根据二次函数的性质,直接根据 a 的值得出开口方向,再利用顶点坐标的对称轴和增减性,分 别分析即可 【解答】解:由二次函数 y2(x3)2+1,可知: A:a0,其图象的开口向上,故此选项错误; B其图象的对称轴为直线 x3,故此选项错误; C其最小值为 1,故此选项正确; D当 x3 时,y 随 x 的增大而减小,故此选项错误 故选:C 4如图,在 44 的正方形网格中,tan 的值等于( ) A2 B C D 【分析】求一个角的正切值,可将其转化到直角三角形中,利用直角三角函数关系解答 【解答】解:如图,tan2, 故选:A 5如图,小球从 A 入口往下落,在

14、每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性相等则小球从 E 出口 落出的概率是( ) A B C D 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性相等”可知在点 B、C、D 处都是等可 能情况,从而得到在四个出口 E、F、G、H 也都是等可能情况,然后根据概率的意义列式即可得解 【解答】解:由图可知,在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性相等, 小球最终落出的点共有 E、F、G、H 四个, 所以小球从 E 出口落出的概率是:; 故选:C 6已知函数 yax22ax1(a 是常数,a0) ,下列结论正确的是( ) A当 a1 时,函数图象经过点(1,1) B当 a2 时,函数

15、图象与 x 轴没有交点 C若 a0,函数图象的顶点始终在 x 轴的下方 D若 a0,则当 x1 时,y 随 x 的增大而增大 【分析】A、将 a1 代入原函数解析式,令 x1 求出 y 值,由此得出 A 选项不符合题意;B、将 a2 代入原函数解析式,令 y0,根据根的判别式80,可得出当 a2 时,函数图象与 x 轴有两个 不同的交点,即 B 选项不符合题意;C、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标,令其纵坐标小于零, 可得出 a 的取值范围,由此可得出 C 选项不符合题意;D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴,结 合二次函数的性质,即可得出 D 选项符合题意此题得解 【解答】解:A、当

16、a1 时,函数解析式为 yx22x1, 当 x1 时,y1+212, 当 a1 时,函数图象经过点(1,2) , A 选项不符合题意; B、当 a2 时,函数解析式为 y2x2+4x1, 令 y2x2+4x10,则424(2)(1)80, 当 a2 时,函数图象与 x 轴有两个不同的交点, B 选项不符合题意; C、yax22ax1a(x1)21a, 二次函数图象的顶点坐标为(1,1a) , 当1a0 时,有 a1, C 选项不符合题意; D、yax22ax1a(x1)21a, 二次函数图象的对称轴为 x1 若 a0,则当 x1 时,y 随 x 的增大而增大, D 选项符合题意 故选:D 7已

17、知在同一直角坐标系中,二次函数 yax2+bx 和反比例函数 y的图象如图所示,则一次函数 y xb 的图象可能是( ) A B C D 【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限,即可得出 a0、b0、c0,由此即可得出 0,b0,即可得出一次函数 yxb 的图象经过二三四象限,再对照四个选项中的图象即可得 出结论 【解答】解:二次函数开口向下, a0; 二次函数的对称轴在 y 轴右侧,左同右异, b 符号与 a 相异,b0; 反比例函数图象经过一三象限,c0, 0,b0, 一次函数 yxb 的图象经过二三四象限 故选:B 8如图,D 是ABC 的边 AC 上一点,那么下面四个命题中

18、错误的是( ) A如果ADBABC,则ADBABC B如果ABDC,则ABDACB C如果,则ABCADB D如果,则ADBABC 【分析】相似三角形的判定,即对应角相等,对应边成比例 【解答】解:A 中ADBABC,A 为公共角,所以 A 正确; B 中ABDC,A 为公共角,所以 B 也正确; C 中对应边成比例,对应角相等,也正确; D 中对应边成比例,但夹角不相等,所以错误 故选:D 9如图,将一个 RtABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 处沿水平方向打入木桩底下,使木桩向上运动, 已知楔子斜面的倾斜角为 20,若楔子沿水平方向前移 8cm(如箭头所示) ,则木桩上升了( ) A8t

19、an20 B C8sin20 D8cos20 【分析】根据已知,运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为:8tan20 【解答】解:由已知图形可得:tan20, 木桩上升的高度 h8tan20 故选:A 10如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x1,与 x 轴的一个交点坐标为 A(3,0) ,其部分图象如图所示,下列结论中:b24ac;方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11, x23;2a+b0;a+b+c0;当 0 x3 时,y 随 x 增大而减小;其中结论正确的个数是( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推

20、理,进而对所得结论进行判断 【解答】解:如图,抛物线与 x 轴有两个交点,则 b24ac0,即 b24ac,故错误; 由对称轴是 x1,抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 A(3,0) ,得到:抛物线与 x 轴的另一个交点坐 标为(1,0) , 所以抛物线方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11,x23故正确; 由对称轴方程 x1 得到:2a+b0,故正确; 如图所示,当 x1 时,y0,即 a+b+c0,故正确; 如图所示,当 0 x1 时,y 随 x 增大而减小,故错误 综上所述,正确的结论有 3 个 故选:B 二填空题(共二填空题(共 5 小题)小题) 11若 x11 是关于 x 的方

21、程 x2+mx50 的一个根,则方程的另一个根 x2 5 【分析】设方程的另一根为 x2,由一个根为 x11,利用根与系数的关系求出两根之积,列出关于 x2 的方程,求出方程的解得到 x2的值,即为方程的另一根 【解答】解:关于 x 的方程 x2+mx50 的一个根为 x11,设另一个为 x2, x25, 解得:x25, 则方程的另一根是 x25 故答案为:5 12如图,有一个池塘,要测量池塘两端 A、B 的距离,可先在平地上取一点 O,从点 O 不经过池塘可以 直接到达点 A 和点 B, 连接 AO 并延长到点 C, 连接 BO 并延长到点 D, 使3, 测得 CD36m, 则池塘两端 AB

22、 的距离为 108 m 【分析】由题意可证明AOBCOD,然后利用相似三角形的性质列式计算即可 【解答】解:3,AOBCOD, AOBCOD, 3, CD36m, AB3CD108 米 故答案为:108 13下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果 投针次数 n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 20000 针与直线相交的次数 m 454 970 1430 1912 2386 4769 9548 针与直线相交的频率p 0.454 0.485 0.4767 0.478 0.4772 0.4769 0.4774 下面有三个推断: 投掷 1000 次时,针

23、与直线相交的次数是 454,针与直线相交的概率是 0.454; 随着实验次数的增加,针与直线相交的频率总在 0.477 附近,显示出一定的稳定性,可以估计针与直 线相交的概率是 0.477; 若再次用计算机模拟此实验,则当投掷次数为 10000 时,针与直线相交的频率一定是 0.4769 其中合理的推断的序号是: 【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确,从而可以解答本题 【解答】解:投掷 1000 次时,针与直线相交的次数是 454,可以估计针与直线相交的概率是 0.454, 错误; 随着实验次数的增加,针与直线相交的频率总在 0.477 附近,显示出一定的稳定性,可以估计针与直 线

24、相交的概率是 0.477,正确; 若再次用计算机模拟此实验,则当投掷次数为 10000 时,可以估计针与直线相交的频率是 0.4769,错 误; 故答案为: 14如图,ABC 的三个顶点分别在边长为 1 的正方形网格的格点上,则 tan(+) tan+tan (填 “” “” “” ) 【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出 tan 和 tan,根据等腰直角三角形的性质和 tan45的值 求出 tan(+) ,比较即可 【解答】解:由正方形网格图可知,tan,tan, 则 tan+tan+, ACBC,ACB90, +45, tan(+)1, tan(+)tan+tan, 故答案为: 15下

25、列说法中正确的序号是 在函数 yx2中,当 x0 时,y 有最大值 0; 在函数 y2x2中,当 x0 时,y 随 x 的增大而增大; 抛物线 y2x2,yx2,y中,抛物线 y2x2的开口最小,抛物线 yx2的开口最大; 不论 a 是正数还是负数,抛物线 yax2的顶点都是坐标原点 【分析】根据二次函数 yax2的图象与性质逐一判断即得答案 【解答】解:由函数的解析式 yx2,可知 a10,得到函数的开口向下,有最大值 y0,故正 确; 由函数的解析式 y2x2,可知其对称轴为 y 轴,对称轴的左边(x0) ,y 随 x 增大而减小,对称轴的右 边(x0) ,y 随 x 增大而增大,故正确;

26、 根据二次函数的性质, 系数 a 决定抛物线的开口方向和开口大小, 且|a|越大开口越小, 可知抛物线 y2x2 的开口最小,抛物线 yx2的开口第二小,而 y开口最大,故不正确; 不论 a 是正数还是负数,抛物线 yax2的顶点都是坐标原点,故正确 综上,正确的结论是: 故答案为: 三解答题三解答题 16计算: (1) (+4)(6+4) ; (2)tan45+4cos30sin45tan60 【分析】 (1)直接化简二次根式进而合并得出答案; (2)直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案 【解答】解: (1)原式 ; (2)原式1+4 17.用适当的方法解下列方程: (1)9(y+4)24

27、90; (2) (x+1) (x+3)15 【考点】解一元二次方程直接开平方法;解一元二次方程公式法 【专题】一元二次方程及应用;运算能力 【答案】 (1),; (2)x12,x26 【分析】 (1)方程变形后,利用直接开平方法即可求出解; (2)方程整理后,利用因式分解法求出解即可 【解答】解: (1)原方程可化为 9(y+4)249, , , ,; (2)原方程可化为 x2+4x120, (x2) (x+6)0, x20 或 x+60, x12,x26 18.已知:如图,在ABC 中,DEBC,EFAB,试判断成立吗?并说明理由 【考点】平行线分线段成比例 【专题】探究型 【答案】见试题解

28、答内容 【分析】首先由 DEBC,得,根据 EFAB,得,根据等式的传递性即可证明结论 【解答】解:成立 理由如下: DEBC, EFAB, 19.学校决定每班选取 4 名同学参加 12.2 全国交通安全日 “细节关乎生命安全文明出行” 主题活动启动仪式, 班主任决定从 4 名同学(小明、小山、小月、小玉)中通过抽签的方式确定 2 名同学去参加该活动 抽签规则:将 4 名同学的姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正面,把 4 张卡片的背面朝上,洗匀后放在 桌子上, 王老师先从中随机抽取一张卡片, 记下名字, 再从剩余的 3 张卡片中随机抽取一张, 记下名字 (1) “小刚被抽中”是 事件, “小

29、明被抽中”是 事件(填“不可能” 、 “必然” 、 “随机” ) ,第一次 抽取卡片抽中是小玉的概率是 ; (2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出小月被抽中的概率 【考点】随机事件;列表法与树状图法 【专题】应用题;推理能力;应用意识 【答案】见试题解答内容 【分析】 (1)根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得; (2)列举出所有情况,看所求的情况占总情况的多少即可 【解答】解: (1)该班男生“小刚被抽中”是不可能事件, “小明被抽中”是随机事件,第一次抽取卡片 “小玉被抽中”的概率为, 故答案为:不可能、随机、 (2)根据题意可列表如下: (A 表示小

30、明,B 表示小山,C 表示小月,D 表示小玉) A B C D A (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) 由表可知,共有 12 种等可能结果,其中小月被抽中的有 6 种结果, 所以小月被选中的概率 20.已知函数 y(m2m)x2+(m1)x+m+1 (1)若这个函数是一次函数,求 m 的值; (2)若这个函数是二次函数,则 m 的值应怎样? (3)当 m2 时,该函数图象与 x 轴是否有交点,有请求出交点坐标,没有请说明理由 【考点】一次函数的定义;一次函数的性质;二次函数的

31、性质;抛物线与 x 轴的交点 【专题】一次函数及其应用;二次函数图象及其性质;数据分析观念 【答案】 (1)m0; (2)m1 或 0; (3)该函数图象与 x 轴没有交点 【分析】 (1)由题意得,即可求解; (2)由题意得:m2m0,即可求解; (3)当 m2 时,该函数为 y2x2+x+3,则124230,即可求解 【解答】解: (1)由题意得,解得 m0; (2)由题意得:m2m0,解得 m1 或 0; (3)当 m2 时,该函数为 y2x2+x+3,则124230, 故该函数图象与 x 轴没有交点 21.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材的部分内容 例 1:如图,在 RtAB

32、C 中,ACB90,AC15,BC8,试求出A 的三个三角函数值 (1)结合图 1,写出解题过程; 【结论应用】 (2)如图 2,作图 1 中的ABC 斜边上高 CD,求 CD 的长; (3)如图 3,E 是图 2 上线段 AD 上的点,连接 CE,将ACE 沿 CE 翻折得到ACE,使点 A 的对称点 A落在 CD 的延长线上,连接 AB,直接写出四边形 ABCE 的面积 【考点】四边形综合题 【专题】探究型;解直角三角形及其应用;应用意识 【答案】 (1)sinA,cosA,tanA; (2); (3)60 【分析】 (1)根据锐角三角函数的定义可求出答案; (2)在 RtACD 中,根据

33、 sinA,可求出答案; (3)由折叠的性质得出 ACAC15,AEAC,求出 ED 的长,由直角三角形的性质得出 tanA tanBCD,可求出 BD 的长,则可求出 BE 的长,则可求出答案 【解答】 (1)在 RtABC 中,ACB90, 由勾股定理,得 AB17 则 sinA,cosA,tanA; (2)在 RtACD 中,ADC90, sinA, CDACsinaA15; (3)将ACE 沿 CE 翻折得到ACE,使点 A 的对称点 A落在 CD 的延长线上, ACAC15,AEAC, tanAtanEAC, CD, ADACCD15, EDADtanEAD, ADCACB90, A

34、CD+BCDACD+A90, ABCD, tanAtanBCD, BDCDtanBCD, BEDE+BD, BEAC, S四边形ABCEBEAC81560 22.ABC 中,ABAC,BAC90,P 为 BC 上的动点,小慧拿含 45角的透明三角板,使 45角的 顶点落在点 P,三角板可绕 P 点旋转 (1)如图 a,当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证:BPECFP; (2)将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时,三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、FBPE 与CFP 还相似吗?(只需写出结论) (3)在(2)的条件下,连接 EF,BPE 与PFE 是否

35、相似?若不相似,则动点 P 运动到什么位置时, BPE 与PFE 相似?说明理由 【考点】相似三角形的判定 【专题】动点型 【答案】见试题解答内容 【分析】 (1)找出BPE 与CFP 的对应角,其中BPE+CPF135,CPF+CFP135,得 出BPECFP,从而解决问题; (2)利用(1)小题证明方法可证:BPECFP; (3)动点 P 运动到 BC 中点位置时,BPE 与PFE 相似,同(1) ,可证BPECFP,得 CP:BE PF:PE,而 CPBP,因此 PB:BEPF:PE,进而求出,BPE 与PFE 相似 【解答】 (1)证明:在ABC 中,BAC90,ABAC, BC45

36、B+BPE+BEP180, BPE+BEP135, EPF45, 又BPE+EPF+CPF180, BPE+CPF135, BEPCPF, 又BC, BPECFP(两角对应相等的两个三角形相似) (2)解:BPECFP; 理由:在ABC 中,BAC90,ABAC, BC45 B+BPE+BEP180, BPE+BEP135, EPF45, 又BPE+EPF+CPF180, BPE+CPF135, BEPCPF, 又BC, BPECFP(两角对应相等的两个三角形相似) (3)解:动点 P 运动到 BC 中点位置时,BPE 与PFE 相似, 证明:同(1) ,可证BPECFP, 得 CP:BEPF

37、:PE, 而 CPBP, 因此 PB:BEPF:PE 又因为EBPEPF, 所以BPEPFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似) 23.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 yx2+bx+c 过 A,B,C 三点,点 A 的坐标是(3,0) ,点 C 的 坐标是(0,3) ,动点 P 在抛物线上 (1)求抛物线的解析式; (2)若动点 P 在第四象限内的抛物线上,过动点 P 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D,交 x 轴于点 E,垂 足为 E,求线段 PD 的长,当线段 PD 最长时,求出点 P 的坐标; (3)是否存在点 P,使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形?若存在,

38、求出所有符合条件的点 P 的 坐标;若不存在,说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题;数形结合;分类讨论;待定系数法 【答案】见试题解答内容 【分析】 (1)将点 A、C 的坐标代入函数表达式得:即可求解; (2)设点 P(x,x22x3) ,则点 D(x,x3) ,则 PDx3(x22x3)x2+3x,即可求解; (3)分ACP90、PAC90两种情况,分别求解 【解答】解: (1)将点 A、C 的坐标代入函数表达式得:,解得:, 故:函数的表达式为:yx22x3; (2)设直线 AC 的表达式为:ykx+b,则:, 故直线 AC 的表达式为:yx3, 设点 P(x,x22x3) ,则点 D(x,x3) , PDx3(x22x3)x2+3x, 10,抛物线开口向下,当 x时,PD 的最大值为, 此时,点 P(,) ; (3)存在,理由: 当ACP90时, 由(2)知,直线 AC 的表达式为:yx3, 故直线 CP 的表达式为:yx3, 联立并解得:x1 或 0(舍去 x0) , 故点 P 坐标为(1,4) ; 当PAC90时, 设直线 AP的表达式为:yx+b, 将 x3,y0 代入并解得:b3, 故:直线 AP的表达式为:yx+3, 联立并解得:x2 或 3(舍去 x3) , 故:点 P的坐标为(2,5) ; 故点 P 的坐标为(1,4)或(2,5)